2018-2019学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“?x∈R，x2-2x+4＞0”的否定是______．
在平面直角坐标系中，直线x+
3
y-3=0的斜率为______．
命题“若α是钝角，则sinα＞0”的逆否命题为______．
已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5+3m，l2：2x+（5+m）y=2，若直线l1与l2平行，则这两条直线之间的距离为______．
若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是______．
已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m⊥n”是“m⊥α”的______条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．
已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C，直线x+y-2=0与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为______．
已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay-5=0上任意一点，P点关于直线2x+3y+1=0的对称点在圆上，则实数a=______．
若命题：“?x∈R，使x2+ax-2a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是______．
α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是______（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m?α，则m∥β；????????????????②若m∥α，n?α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；???????④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1-BB1D1D的体积为______．
在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx-2y+2=0与直线l2：2x+ky-2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x-y-3=0距离的最大值为______．
在三棱锥P-ABC中，D，E分别是PB，BC中点，若F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则
????
????
的值为______．
已知圆M：（x-1）2+（y-3）2=4，过圆M内一点P（2，3）作直线l与圆M相交于A、B两点，且
????
=2
????
，则直线l的斜率为______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB．

已知p：x2-x-6≤0，q：x2+2mx-8m2≤0，m＞0．（1）若q是p成立的必要不充分条件，求m的取值范围；（2）若￢p是￢q成立的充分不必要条件，求m的取值范围．
已知圆C：x2+y2+2x-4y+a=0．（1）若圆C的半径为2，求实数a的值；（2）当a=1时，圆O：x2+y2=2与圆C交于M，N两点，求直线MN的方程和弦MN的长．
已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1经过点A?（1，0）．（1）若直线l1与圆C相切，求直线l1的方程；（2）若直线l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
已知圆C：x2+y2-4x-4y-8=0，直线l过定点P（0，1），O为坐标原点．（1）若圆C截直线l的弦长为4
3
，求直线l的方程；（2）若直线l的斜率为k，直线l与圆C的两个交点为A，B，且
????
?
????
＞-7，求斜率k的取值范围．
已知圆O：x2+y2=r2（r＞0），点P为圆O上任意一点（不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．（1）当直线PA的斜率为2时，①若点A的坐标为（-
1
5
，-
7
5
），求点P的坐标；②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．
答案和解析
1.【答案】?x0∈R，
??
0
2
?2
??
0
+4≤0【解析】
解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“?x∈R，x2-2x+4＞0”的否定是：?x0∈R，．故答案为：?x0∈R，．利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．
2.【答案】-
3
3
【解析】
解：化已知直线方程为斜截式可得y=-x+，可得直线的斜率为-．故答案为：．化已知直线方程为斜截式，可得直线的斜率．本题考查直线的斜率，化直线的方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题．
3.【答案】“若sinα≤0，则α不是钝角”【解析】
解：命题“若α是钝角，则sinα＞0”的逆否命题为 “若sinα≤0，则α不是钝角”． 故答案为：“若sinα≤0，则α不是钝角”．根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．本题考查了四种命题的应用问题，是基础题．
4.【答案】
3
2
2
【解析】
解：∵两条直线l1：（3+m）x+4y=5+3m，l2：2x+（5+m）y=2，直线l1与l2平行，∴，解得m=-7，∴直线l1：-4x+4y=-16，即x-y=4，直线l2：2x-2y=2，即x-y=1，∴这两条直线之间的距离为：d=．故答案为：．由直线l1与l2平行，得m=-7，从而直线l1：-4x+4y=-16，即x-y=4，直线l2：2x-2y=2，即x-y=1，由此能求出这两条直线之间的距离．本题考查两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行、两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】m＞2【解析】
解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，解得：m＞2，故答案为：m＞2．根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．
6.【答案】必要不充分【解析】
解：由m?α，n?α，m⊥n，不能得到m⊥α， 反之，由m?α，n?α，m⊥α，能够推出m⊥n， ∴“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分．由m?α，n?α，m⊥n，不能得到m⊥α，反之，由m?α，n?α，m⊥α，能够推出m⊥n，结合充分必要条件的判定方法得答案．本题考查充分必要条件的判定方法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判断，是基础题．
7.【答案】
1
2
【解析】
解：圆x2+y2-2x=0化为标准方程是（x-1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1，则圆心C（1，0）到直线x+y-2=0的距离为d=，弦长|AB|=2=2，∴△ABC的面积为S=?|AB|?d=．故答案为：．把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径，求出圆心到直线的距离，计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求解即可．本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，考查了点到直线的距离公式，是基础题．
8.【答案】-2【解析】
解：根据题意得：圆心C在直线2x+3y+1=0上，由圆的方程得：圆心C坐标为（-2，-），代入直线2x+3y+1=0中，得：-4-+1=0，解得：a=-2．故答案为：-2．根据P点关于直线2x+3y+1=0的对称点在圆上，得到直线2x+3y+1=0过圆心C，将圆心C坐标代入直线方程即可求出a的值．本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是根据P点关于直线2x+3y+1=0的对称点在圆上，得到直线2x+3y+1=0过圆心C，是基础题．
9.【答案】[-8，0]【解析】
解：∵命题：“?x∈R，使x2+ax-2a＜0”为假命题， ∴△=a2+8a≤0， 解得-8≤a≤0． ∴实数a的取值范围是[-8，0]． 故答案为[-8，0]．由命题：“?x∈R，使x2+ax-2a＜0”为假命题，得△=a2+8a≤0，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数参数的取值范围的求法，考查全称命题的真假判断及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】①④【解析】
解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知： 在①中，若α∥β，m?α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确； 在②中，若m∥α，n?α，则m∥n或m与n异面，故②错误； 在③中，若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m与β相交、平行或m?β，故③错误； 在④中，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确． 故答案为：①④．在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m∥n或m与n异面；在③中，m与β相交、平行或m?β； 在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
11.【答案】
1
3
【解析】
解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥A1-BB1D1D的体积为：=．故答案为：．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
12.【答案】2
2
【解析】
解：∵直线l1：kx-2y+2=0与直线l2：2x+ky-2=0的斜率乘积=×（-）=-1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，1），N（1，0）．∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN=-1，可得MN与直线x-y-3=0垂直．∴点P为（0，1）时，到直线x-y-3=0的距离d=为最大值．故答案为：．由已知可得，直线l1与直线l2分别经过定点：M（0，1），N（1，0）．且l1与直线l2垂直，可得两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN=-1，可得MN与直线x-y-3=0垂直．由此可得点P为（0，1）时，到直线x-y-3=0的距离最大，再由点到直线的距离公式求解．本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】
1
2
【解析】
解：连结DC，交PE于点G，连结FG、DE，∵AD∥平面PEF，AD?平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，∴AD∥FG．∵D、E分别是PB、BC的中点，∴DE为△BPC的中位线，因此，△DEG∽△CPG，可得==，∴==．故答案为：．连结DC，交PE于点G，连结FG、DE．利用线面平行的性质定理，证出AD∥FG．而DE为△BPC的中位线，证出△DEG∽△CPG，利用相似三角形的性质和平行线的性质，即可算出的值．本题考查相似三角形的计算等知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
14.【答案】±
15
3
【解析】
解：设AB的中点为E，则由=2得PB=2AP，可以推出BE=3EP，∴BE2=9EP2，由圆中垂径定理得ME⊥AB，在Rt△MEB和Rt△MEP中，由勾股定理得：MB2-BE2=ME2=MP2-EP2，又MB=2，MP=，1，BE2=9EP2，所以ME2=，显然直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为：y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0由点到直线的距离公式得|ME|=，所以=，解得：k2=，∴k=±，故答案为±先用向量关系得出长度关系，接着得出BE=3EP，再设出弦AB的中点，利用垂径定理得ME⊥AB，然后利用勾股定理算出ME2=，最后设出斜率，由点到直线距离公式可算出k．本题考查了圆中的垂径定理、点到直线距离公式．属中档题．
15.【答案】（本小题满分14分）证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AD⊥AP．…（2分）又因为AP⊥AB，AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD．…（4分）因为CD?平面ABCD，所以CD⊥AP．…（6分）（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．①…（8分）因为AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD．又因为AP⊥AB，AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD．②…（10分）由①②得CD∥AB，…（12分）因为CD?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（14分）【解析】
（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD⊥AP． （2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推导出AB⊥AD，AP⊥AB，从而AB⊥平面PAD，进而CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．本题考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16.【答案】解：（1）根据题意，p：x2-x-6≤0，x2-x-6≤0?-2≤x≤3，则P：-2≤x≤3，q：x2+2mx-8m2≤0，而x2+2mx-8m2≤0?-4m≤x≤2m，则q：-4m≤x≤2m，若q是p成立的必要不充分条件，则有
2??≥3
?4??≤?2
，解可得m≥
3
2
；（2）若￢p是￢q成立的充分不必要条件，则q是p成立的充分不必要条件，则有
2??≤3
?4??≥?2
，解可得0＜m≤
1
2
．【解析】
（1）根据题意，分析可得P：-2≤x≤3，q：-4m≤x≤2m，又由充分必要条件的定义可得有，解可得m的取值范围，（2）根据题意，分析可得q是p成立的充分不必要条件，则有，解可得m的取值范围．本题考查充分必要条件的应用，注意充分必要条件与集合包含之间的关系，属于基础题．
17.【答案】解：（1）根据题意，圆C：x2+y2+2x-4y+a=0，若其半径为2，则有22+（-4）2-4a=16，解可得：a=1；（2）当a=1时，圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，①圆O的方程为x2+y2=2，②①-②可得：2x-4y+3=0，则直线MN的方程为2x-4y+3=0，O到MN的距离d=
|3|
2
2
+
4
2
=
3
5
10
；则MN=2×
2?(
3
5
)
2
=
155
5
．【解析】
（1）根据题意，若圆的半径为2，由圆的一般方程分析可得22+（-4）2-4a=16，解可得a的值，即可得答案； （2）根据题意，分析可得圆C与圆O的方程，联立2圆的方程，分析可得直线MN的方程，由直线与圆的位置关系，分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系以及直线与圆的方程的应用，注意圆的一般方程的形式，属于基础题．
18.【答案】解：（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线x=1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x-1），即kx-y-k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即
|3???4???|
??
2
+1
=2，解得??=
3
4
，所求直线方程为x=1，或3x-4y-3=0；（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，则圆心到直线l1的距离??=
|2???4|
1+
??
2
，又∵三角形CPQ面积??=
1
2
??×2
4?
??
2
=??
4?
??
2
=
4
??
2
?
??
4
=
?(
??
2
?2
)
2
+4
，∴当d=
2
时，S取得最小值2，则??=
|2???4|
1+
??
2
=
2
，k=1或k=7，故直线方程为y=x-1，或y=7x-7．【解析】
（1）由直线与圆相切可得圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，设直线点斜式方程，列方程可得斜率，最后验证斜率不存在时是否满足条件．（2）由垂径定理可得弦长PQ，而三角形的高为圆心到直线l1的距离d，所以，利用基本不等式求最值可得当d=时，S取得最小值2，再根据点到直线距离公式求直线l1的斜率，即得l1的方程．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和．
19.【答案】解：（1）根据题意，设直线l与圆C的交点为A、B；圆C：x2+y2-4x-4y-8=0，即（x-2）2+（y-2）2=16．则圆心为（2，2），半径r=4；若圆C截直线l的弦长为4
3
，则圆心C到直线l的距离d=
16?(
4
3
2
)
2
=2，若直线斜率k不存在，可得方程为：x=0，符号题意．若直线斜率k存在，可设方程为：y-1=kx，即kx-y+1=0；此时有d=
|2???2+1|
??
2
+1
=2，解可得k=-
3
4
，则直线的方程为y=-
3
4
x+1，即3x+4y-4=0；综合可得：直线l的方程为x=0或3x+4y-4=0．（2）根据题意，可设直线方程为kx-y+1=0，直线l与圆C的两个交点为A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
??
2
+
??
2
?4???4???8=0
??=????+1
，整理可得：（1+k2）x2-（2k+4）x-11=0，则x1+x2=
2??+4
1+
??
2
，x1x2=-
11
1+
??
2
，则y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=
?8
??
2
+4??+1
1+
??
2
；又由
????
?
????
＞-7，则y1y2+x1x2=
?8
??
2
+4??+1
1+
??
2
-
11
1+
??
2
＞-7，变形可得：k2-4k+3＜0，解可得：1＜k＜3，即k的取值范围为（1，3）．【解析】
（1）利用点斜式设出方程，根据直线被圆截得弦长公式即可求解．需对k存在进行讨论；（2）利用设而不求的思想，设出A，B坐标，联立直线与圆的方程可得（1+k2）x2-（2k+4）x-11=0，根据韦达定理可得x1+x2=，x1x2=-，进而可得y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，又由＞-7，则y1y2+x1x2=-＞-7，变形解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线和圆的位置关系以及弦长公式，属于综合题．
20.【答案】解：（1）①点A的坐标为（-
1
5
，-
7
5
），代入可得r2=2直线PA的方程为y+
7
5
=2（x+
1
5
），即y=2x-1，代入x2+y2=2，可得5x2-4x-1=0，∴点P的坐标为（1，1）；②因为直线PA与直线PB的倾斜角互补且直线PA的斜率为2，所以直线PB的斜率为-2．设点P的坐标为（2，t），则直线PA的方程为：2x-y-4+t=0，直线PB的方程为：2x+y-t-4=0．圆心（0，0）到直线PA，PB的距离分别为d1=
|?4+??|
5
，d2=
|????4|
5
因为PA=2PB，所以由垂径定理得：4（r2-d12）=16（r2-d22）所以4（
|????4|
5
）2-（
|?4+??|
5
）2=3r2，又因为点P（2，t）在圆O上，所以22+t2=r2（2），联立（1）（2）解得r=
13
或
37
3
；（2）由题意知：直线PA，PB的斜率均存在．设点P的坐标为（x0，y0），直线OP的斜率为kOP=
??
0
??
0
直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为：y-y0=k（x-x0），联立直线PA与圆O方程x2+y2=r2，消去y得：（1+k2）x2+2k（y0-kx0）x+（y0-kx0）2-r2=0，因为点P在圆O上，即x02+y02=r2，所以（y0-kx0）2-r2=（k2-1）x02-2kx0y0，由韦达定理得：xA=
(
??
2
?1)
??
0
?2??
??
0
1+
??
2
，故点A坐标为（
(
??
2
?1)
??
0
?2??
??
0
1+
??
2
，
?2??
??
0
?
??
2
??
0
+
??
0
1+
??
2
），用“-k“代替“k“得：点B的坐标为（
(
??
2
?1)
??
0
+2??
??
0
1+
??
2
，
2??
??
0
?
??
2
??
0
+
??
0
1+
??
2
）∴kAB=
??
??
?
??
??
??
??
?
??
??
=
??
0
??
0
∴kABkOP=1．综上，当点P在圆O上移动时，直线OP与AB的斜率之积为定值1【解析】
（1）①求出r2=2，直线PA的方程，代入x2+y2=2，可得5x2-4x-1=0，即可求点P的坐标； ②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，设点P的坐标为（2，t），由垂径定理得：4（r2-d12）=16（r2-d22），因为点P（2，t）在圆O上，所以22+t2=r2，即可求r的值； （2）当点P在圆O上移动时，求出A，B的坐标，即可证明直线OP与AB的斜率之积为定值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．