2018-2019学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省徐州市铜山区高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“若x≤1，则x2≤1”的逆否命题为______．
已知空间直角坐标系中，A（1，0，2），点M与点A关于yoz平面对称，则点M坐标为______．
过点（-1，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为______．
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2
3
，则此正方体的外接球的体积为______．
关于x的不等式|x|＜1是-1＜x＜4成立的______条件．（填“充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要”）
已知直线l1：（m+1）x+y=2-m和l2：4x+2my=-16，若l1∥l2，则m的值为______．
圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为
2??
3
的扇形，则这个圆锥的高是______．
若两圆x2+y2=4，x2+y2-2mx+m2-1=0相外切，则实数m=______．
已知圆C经过A（-2，1），B（5，0）两点，且圆心C在直线y=2x上．则圆C的方程为______．
已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；??????????????②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；??④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是______．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为______cm3．
直线y-4=k（x-2）与曲线y=1+
4?
??
2
（-2≤x＜2）有且只有一个公共点时，实数k的取值范围是______．
在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），O是坐标原点，若在直线x+y+m=0上总存在点P，使得PA=
3
PO，则实数m的取值范围是______．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x-a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
已知a∈R，命题p：“?x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“?x∈R，x2+2ax+2=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
如图，过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB，使AB=2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG=GC．求证：（1）FG∥平面AED；（2）平面DAF⊥平面BAF．

已知直线l：x-2y+2m-2=0．（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．
如图所示，某街道居委会拟在地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心的截面图的下部份是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影子长度GE不可超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tanθ=
3
4
．以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）若设计AB=20米，AD=6米，能否保证上述采光要求？（2）当影子GE的长度恰为2.5米时，应如何设计AB与CD的长度，可使活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）

已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为2
3
时，求点P的坐标；（2）求线段PA长度的最小值．（3）若△PAM的外接圆为圆N，当P在直线l上运动时，求出圆N经过的所有定点．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=2
5
，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得
????
+
????
=
????
，求实数t的取值范围．

答案和解析
1.【答案】若x2＞1，则x＞1【解析】
解：命题的逆否命题为：若x2＞1，则x＞1， 故答案为：若x2＞1，则x＞1根据逆否命题的定义进行求解即可．本题主要考查逆否命题的求解，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．
2.【答案】（-1，0，2）【解析】
解：∵空间直角坐标系中，A（1，0，2）， 点M与点A关于yoz平面对称， ∴则点M坐标为（-1，0，2）． 故答案为：（-1，0，2）．若点M与点A（a，b，c）关于yoz平面对称，则点M坐标为（-a，b，c）．本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】x-2y+7=0【解析】
解：设过点（-1，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 x-2y+m=0，把点（-1，3）代入直线方程得 -1-2×3+m=0，m=7，故所求的直线方程为x-2y+7=0， 故答案为：x-2y+7=0．设过点（-1，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为 x-2y+m=0，把点（-1，3）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点（-1，3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+m=0是解题的关键．
4.【答案】36π【解析】
解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为，则此正方体的外接球的半径为3，∴此正方体的外接球的体积为．故答案为：36π．由正方体的棱长求得对角线长，可得正方体的外接球的半径，代入体积公式得答案．本题考查多面体外接球的体积的求法，是基础题．
5.【答案】充分不必要【解析】
解：根据题意，|x|＜1?-1＜x＜1， 则|x|＜1?-1＜x＜4，反之不一定成立， 则|x|＜1是-1＜x＜4成立的充分不必要条件； 故答案为：充分不必要．根据题意，分析可得|x|＜1?-1＜x＜1，由充分必要条件的定义分析可得答案．本题考查充分必要条件的判断，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】1【解析】
解：由题意可得，由化简可得m2+m-2=0解之可得m=1，或m=-2，但m=-2时，不合题意，故答案为：1由题意可得，解之可得．本题考查直线的一般式方程以及两直线的平行关系，属基础题．
7.【答案】2
2
【解析】
解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为：=2．故答案为：2．利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8.【答案】±3【解析】
解：圆x2+y2-2mx+m2-1=0，化成标准方程，得（x-m）2+y2=1，圆心为（m，0），半径r1=1 x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r2=2 ∵两圆x2+y2=4，x2+y2-2mx+m2-1=0相外切，则|m|=r1+r2=3，解之得m=±3． 故答案为：±3．将圆x2+y2-2mx+m2-1=0化成标准形式，可得它们的圆心坐标和半径长．如果两圆x2+y2=4，x2+y2-2mx+m2-1=0相外切，则两圆的半径之和等于它们圆心间的距离，由此建立关于m的方程，解之即可得到m的值．本题给出两个含有字母m的圆的一般方程，在满足外切的情况下求m的取值范围．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．
9.【答案】x2+y2-4x-8y-5=0【解析】
解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得：D=-4，E=-8，F=-5，∴圆C的方程：x2+y2-4x-8y-5=0．故答案为：x2+y2-4x-8y-5=0．设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法能求出圆C的方程．本题考查圆的方程的求法，训练了待定系数法，是基础题．
10.【答案】②④【解析】
证明：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l?α，故①错误． ②由l∥β，可知在平面β内存在直线l′，使得l′∥l， 则由l⊥α可得l′⊥α且l′?β，由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β，故②正确． ③若l∥α，则直线l上的所有的点到平面α的距离相等， 若直线l∩α=M，则在直线上且在平面α的两侧存在点满足距M相等的点到平面的距离相等，故③错误． ④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个，则可得α⊥β，α∥γ，则γ⊥β正确． 故答案为：②④．①若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l?α； ②由平面与平面垂直的判定定理可得α⊥β； ③若直线l上的两个点到平面α的距离相等， 则直线l∥α或直线l∩α=M，且在直线上的点到M的距离相等的点满足条件； ④一个平面垂直于两平行平面中的一个必垂直于另一个．本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解答本题关键是熟练掌握线面间位置关系的判断条件以及较好的空间想像能力．
11.【答案】6【解析】
解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A-BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．
12.【答案】{
5
12
}∪{
3
4
，+∞}【解析】
解：曲线y=1+（|x|≤2）即x2+（y-1）2=4，表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的半圆（圆位于直线y=1的上方（含直线y=1））．y=k（x-2）+4，经过定点A（2，4）．由圆心到直线的距离等于半径可得=2，求得k=，当直线经过点B（-2，1）时，直线的斜率为=，当直线经过点（2，1）时，直线的斜率为不存在综上所述，实数k的取值范围：k=或k＞．故答案为：{}∪{，+∞}．曲线表示一个半圆，直线经过定点A（2，4）．由圆心到直线的距离等于半径求得k的值，求出当直线经过点（-2，1），（2，1）时，实数k的取值，即可求得实数k的取值范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．
13.【答案】1-
6
≤m≤1+
6
【解析】
解：法1：由题意，P是直线x+y+m=0上的点，设P（x，-m-x），由PA=PO，即PA2=3PO2，可得：（2-x）2+（m+x）2=3x2+3（x+m）2可得4x2+（4m+4）x+2m2-4=0，存在点P，可得△≥0，即（4m+4）2-4（2m2-4）≥0．解得：1-≤m≤1+，所以m的范围是；1-≤m≤1+．故答案为：1-≤m≤1+．由题意，P是直线x+y+m=0上的点，设P（x，-m-x），根据PA=PO，转化为二次方程有解可得m的范围．本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，体现了数学转化思想，难度不大，属于基础题． 法2：设P（x,y）由PA=PO，可求得P点在一圆上，? ? ? ? ?又P在一条直线上，所以，直线和圆有交点，即直线和圆相切或相交。?
14.【答案】a＞
7
?1或a＜-
7
?1【解析】
解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（-2，0），N（0，2），所以中点A（-1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜-；所以a的取值范围是a＞或a＜-；故答案为：a＞或a＜-．设以MN为直径的圆的圆心为A，得到MN的中点A（-1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得a．本题考查了直线与圆和圆与圆的位置关系；解得本题的关键是∠MPN恒为锐角的等价条件．
15.【答案】解：（1）∵命题p：“?x∈[1，2]，x2-a≥0”，令f（x）=x2-a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1-a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（-∞，1]；????（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2-4×2≥0，解得a≤-
2
或a≥
2
．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，
??≤1
?
2
＜??
2
即?
2
＜??≤1．当命题p为假，命题q为真时，
??＞1
??≤?
2
或??≥
2
即??≥
2
综上：a≥
2
或-
2
＜a≤1【解析】
（1）由于命题p：“?x∈[1，2]，x2-a≥0”，令f（x）=x2-a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可； （2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2-4?2≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】证明：（1）∵DG=GC，AB=CD=2EF，AB∥EF∥CD，∴EF∥DG，EF=DG．∴四边形DEFG为平行四边形，∴FG∥ED．又∵FG∥平面AED，ED?平面AED，∴FG∥平面AED．…（7分）（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面BAF，又∵AD?平面DAF，∴平面DAF⊥平面BAF..…（14分）【解析】
（1）点G是DC中点，易证四边形DEFG是平行四边形，从而FG∥DE，利用线面平行的判断定理即可得到FG∥面AED； （2）依题意，可证AD⊥平面ABF，利用面面垂直的判断定理即可证得面DAF⊥面BAF．本题考查直线与平面平行的判断与平面与平面垂直的判定，掌握线面平行的判断定理与面面垂直的判定定理是基础，属于中档题．
17.【答案】解：（1）∵直线l：x-2y+2m-2=0的斜率为
1
2
，∴与直线l垂直的直线的斜率为-2，…（2分）因为点（2，3）在该直线上，所以所求直线方程为y-3=-2（x-2），故所求的直线方程为2x+y-7=0．?…（6分）（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（-2m+2，0），（0，m-1），…（8分）则所围成的三角形的面积为
1
2
×|-2m+2|×|m-1|．…（10分）由题意可知
1
2
×|-2m+2|×|m-1|＞4，化简得（m-1）2＞4，…（12分）解得m＞3或m＜-1，所以实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．??…（14分）【解析】
（1）由直线l：x-2y+2m-2=0的斜率为，可得所求直线的斜率为-2，代入点斜式方程，可得答案；（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（-2m+2，0），（0，m-1），则所围成的三角形的面积为×|-2m+2|×|m-1|，根据直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，构造不等式，解得答案．本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线与直线的交点，解不等式，是直线与不等式的综合应用，难度中档．
18.【答案】解：（1）∵AB=20，AD=6，∴半圆的圆心为H（10，6），半径r=10．设太阳光线所在直线方程为y=?
3
4
??+??，即3x+4y-4b=0，则由
|30+24?4??|
3
2
+
4
2
=10，解得b=16或b=1（舍）．故太阳光线所在直线方程为y=-
3
4
??+26，令x=30，得EG=3.5米＞2.5米．∴此时不能保证上述采光要求；（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．∵影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y-
5
2
=-
3
4
（x-30），即3x+4y-100=0．由直线l1与半圆H相切，得r=
|3??+4??100|
5
．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h-100＜0，即??=?
3??+4??100
5
，从而h=25-2r．又S=2???+
1
2
??
??
2
=2??(25?2??)+
3
2
r2=-
5
2
??
2
+50??=?
5
2
(???10
)
2
+250≤250．当且仅当r=10时取等号．∴当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大．【解析】
（1）由已知可得半圆的圆心为H（10，6），半径r=10．设太阳光线所在直线方程为y=，由直线与圆相切求得b，得到直线方程，令x=30求得得EG得答案；（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．由影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y-=-（x-30），由直线l1与半圆H相切，得r=．结合点H（r，h）在直线l1的下方，可得3r+4h-100＜0，从而h=25-2r，再由矩形与圆的面积公式列式求最值．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
19.【答案】解：（1）根据题意，圆M：x2+（y-4）2=4，则圆M的半径r=2，圆心M（0，4），设P（2b，b），若PA是圆M的一条切线，则∠MAP=90°，又由切线PA的长度为2
3
，则MP2=AM2+AP2=（0-2b）2+（4-b）2=12+4=16，解可得：b=0或b=
8
5
，则P的坐标为（0，0）或（
16
5
，
8
5
）；（2）根据题意，PA=
??
??
2
?
??
2
=
??
??
2
?4
，分析可得当PM最小时，PA最小，而当PM垂直于直线l时最小，PM的最小值为
|0+8|
1+4
=
8
5
5
，则PA的最小值为
2
55
5
；（3）根据题意，圆M：x2+（y-4）2=4中，圆心M（0，4），且∠MAP=90°，所以经过A，M，P三点的圆N是以MP为直径的圆，其方程为（x-b）2+（y-
??+4
2
）2=
4
??
2
+(???4
)
2
4
，变形可得：（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0则有
??
2
+
??
2
?4??=0
2??+???4=0
，解得
??=4
??=0
或
??=
8
5
??=
4
5
，则圆N经过点（0，4）或（
8
5
，
4
5
）．【解析】
（1）圆M的半径r=2，圆心M（0，4），设P（2b，b），由PA是圆M的一条切线，得∠MAP=90°，由此能求出点P的坐标．（2）根据题意，可得PA==，分析可得当PM最小时，PA最小，而当PM垂直于直线l时最小，求出PM的最小值，分析可得答案；（3）根据题意，分析可得经过A，M，P三点的圆N是以MP为直径的圆，进而可得（x-b）2+（y-）2=，变形可得（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0，则有，解可得x、y的值，即可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆相切的性质以及应用，属于综合题．
20.【答案】解：化圆M为标准方程：（x-6）2+（y-7）2=25，∴圆心M（6，7），半径为5．（1）由圆心在直线x=6上，可设N（6，y0）．∵N与x轴相切，与圆M外切，∴0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7-y0=5+y0，解得y0=1．因此，圆N的标准方程为（x-6）2+（y-1）2=1；（2）∵直线l∥OA，∴直线l的斜率为
4?0
2?0
=2．设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离d=
|2×6?7+??|
5
=
|??+5|
5
．∵BC=2
5
，而MC2=d2+（
????
2
）2，∴25=
(??+5)2
5
+5，解得m=5或m=-15．故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵A（2，4），T（t，0），
????
+
????
=
????
，∴
??
2
=
??
1
+4
??
2
=
??
1
+2???
，①∵点Q在圆M上，∴(
??
2
?6
)
2
+(
??
2
?7
)
2
=25，②将①代入②，得(
??
1
????4
)
2
+(
??
1
?3
)
2
=25，于是点P（x1，y1）既在圆M上，又在圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25上，从而圆（x-6）2+（y-7）2=25与圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25有公共点，∴5?5≤
[(??+4)?6
]
2
+(3?7
)
2
≤5+5，解得：2?2
21
≤??≤2+2
21
．因此，实数t的取值范围是[2-2
21
，2+2
21
]．【解析】
化圆M的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径．（1）由圆心在直线x=6上，可设N（6，y0），结合N与x轴相切，与圆M外切，得0＜y0＜7，可得圆N的半径为y0，从而7-y0=5+y0，求得得y0=1，即可得到圆N的标准方程；（2）由直线l∥OA，得直线l的斜率，设直线l的方程为y=2x+m，由圆心M到直线l的距离及垂径定理求得m值，则直线l的方程可求；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由已知可得，①，再由点Q在圆M上，得，②，联立可得，于是点P（x1，y1）既在圆M上，又在圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25上，从而得到圆（x-6）2+（y-7）2=25与圆[x-（t+4）]2+（y-3）2=25有公共点，由此可得实数t的取值范围．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系及圆与圆的位置关系的应用，是中档题．