2018-2019学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省扬州市高邮市高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“?x＜-3，x2＞9”的否定是______．
过点（1，2）且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是______．
抛物线y2=4x的准线方程是______．
命题“若x＞3，则x2＞9”的否命题是______．
若圆的半径为3，圆心与点（2，0）关于点（1，0）对称，则圆的标准方程为______．
“直线x-2y+m=0与圆x2+y2=4相切”是“m=2
5
”的______充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中的一个）．
已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为______．
直线l1：mx+2y+4=0与直线l2：x+（m+1）y-2平行，则l1与l2间的距离为______
椭圆
??
2
2
+
??
2
=1的左、右两焦点分别为F1，F2，椭圆上一点P满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为______．
已知双曲线C：
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??＞0，??＞0)的一条渐近线平行于直线l：4x-3y-20=0，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为______．
已知椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，下顶点为A．若平行于AF且在y轴上截距为3-
2
的直线与圆x2+（y-3）2=1相切，则该椭圆的离心率为______．
椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）的左顶点为A，左焦点为F，过点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，BF垂直于x轴，若
4
3
＜k＜
3
2
，则椭圆的离心率的取值范围是______．
过点P（4，7）作直线与圆（x-3）2+（y-4）2=2交于A，B两点，且A为PB中点，则弦AB的长为______．
已知点A（-1，0），B（1，2），圆C：（x-a）2+y2=25（a＞0）上存在唯一的点P，使PA2+PB2=12，则实数a的值是______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+2my-m=0（m≠0）．（Ⅰ）若直线l的斜率为-1，求实数m的值；（Ⅱ）若直线l与坐标轴围成的三角形的面积为2，求实数m的值．
已知命题p：?x∈R，x2+x-m≥0，命题q：实数m满足：方程
??
2
???1
+
??
2
4???
=1表示双曲线．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．
已知点P（1，5），圆C：x2+y2-4x-4y+4=0．（Ⅰ）过点P作圆的切线PT，T为切点，求线段PT的长；（Ⅱ）过点P作直线与圆交于A，B两点，且AB=2
3
，求直线AB的方程．
为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽．图徽外框由半圆和半椭圆组成（如图），半圆的直径为10，椭圆的离心率为
3
2
，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；（Ⅱ）根据美学知识，当
????
????
=0.6时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时AB的长．

已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为
3
2
．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是椭圆上一点，求以点P为切点的椭圆的切线方程；（Ⅲ）设点Q是直线l：x=5上一动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，直线MN是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．

已知椭圆E：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0），四点A（0，2
2
），B（2，
6
），C（2，-
6
），D（-2，2
2
）中恰有三个点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x-
6
交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=
2
4
，M是线段OC延长线上一点，且MC：AB=2：3，以M为圆的圆M半径为MC，OS、OT是圆M的两条切线，切点分别为S、T．求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

答案和解析
1.【答案】?x＜-3，x2≤9【解析】
解：命题是全称命题， 则命题的否定是：?x＜-3，x2≤9， 故答案为：?x＜-3，x2≤9．根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，是基本知识的考查．
2.【答案】x-2y+3=0【解析】
解：设过点（1，2）且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是x-2y+m=0， 把点（1，2）代入直线方程x-2y+m=0，可得：1-4+m=0，解得m=3． ∴要求的直线方程为：x-2y+3=0． 故答案为：x-2y+3=0．设过点（1，2）且与直线2x+y-3=0垂直的直线方程是x-2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程x-2y+m=0，可得m．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】x=-1【解析】
解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=-1．故答案为x=-1．先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程．根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误．
4.【答案】若x≤3，则x2≤9【解析】
解：命题“若x＞3，则x2＞9”的否命题是 “若x≤3，则x2≤9”． 故答案为：“若x≤3，则x2≤9”．根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，写出即可．本题考查了命题与它的否命题之间关系应用问题，是基础题．
5.【答案】x2+y2=9【解析】
解：圆的半径为r=3，设圆心C（x，y），则C与点（2，0）关于点（1，0）对称，则，解得，∴圆的标准方程为x2+y2=9．故答案为：x2+y2=9．设圆心C（x，y），根据对称关系求出点C的坐标，再写出圆C的标准方程．本题考查了圆的标准方程与应用问题，是基础题．
6.【答案】必要不充分条件【解析】
【分析】本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．【解答】解：由直线x-2y+m=0与圆x2+y2=4相切，得，即m=．反之，由m=，可得直线x-2y+m=0与圆x2+y2=4相切．∴“直线x-2y+m=0与圆x2+y2=4相切”是“m=2”的必要不充分条件．故答案为必要不充分条件．
7.【答案】2【解析】
解：∵抛物线方程为y2=4x ∴焦点为F（1，0），准线为l：x=-1设所求点坐标为M（x，y）作MQ⊥l于Q根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=±4故点M坐标为：（2，y）即点M到y轴的距离为2故答案为：2．先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．
8.【答案】
6
5
5
【解析】
解：∵直线l1：mx+2y+4=0与直线l2：x+（m+1）y-2平行，∴，解得m=1，∴l1与l2间的距离为：d==．故答案为：．由直线l1：mx+2y+4=0与直线l2：x+（m+1）y-2平行，列方程求出m=1，由此能求出l1与l2间的距离．本题考查两平行线间的距离的求法，考查平行线的性质、两平行线间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
3
3
【解析】
解：由题意，椭圆的左、右两焦点分别为F1，F2，|F1P|+|PF2|=2，|F1F2|=2；则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2-2|F1P||PF2|cos60°；故4=（|F1P|+|PF2|）2-2|F1P||PF2|cos60°-2|F1P||PF2|；故4=8-3|F1P||PF2|；故|F1P||PF2|=；故△PF1F2的面积S=|F1P||PF2|?sin60°=；故答案为：．由题意，|F1P|+|PF2|=，|F1F2|=2；从而由余弦定理求解，从而求面积．本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．
10.【答案】
??
2
9
?
??
2
16
=1【解析】
解：∵双曲线C：的一条渐近线平行于直线l：4x-3y-20=0，∴=，∵双曲线的一个焦点在直线l：4x-3y-20=0上，∴由y=0，得x=5，∴双曲线的一个焦点为F（5，0），∴，解得a=3，b=4，∴双曲线的方程为：．故答案为：．由已知推导出=，双曲线的一个焦点为F（5，0），由此能求出双曲线的方程．本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．
11.【答案】
2
2
【解析】
解：椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，下顶点为A．可得AF的斜率为：-，平行于AF且在y轴上截距为3-的直线为：y=-+3-．平行于AF且在y轴上截距为3-的直线与圆x2+（y-3）2=1相切，可得：，可得e===．故答案为：．求出与AF平行的直线方程，利用直线与圆相切关系，列出方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．
12.【答案】（(
1
3
，
1
2
)【解析】
解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵＜k＜，则．∴，∴．故答案为：（，）作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过＜k＜，得＜＜求解．本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角．属于中档题．
13.【答案】2【解析】
解：如图示：，设圆心为C（3，4），作CD⊥AB，设AB=2t，则PA=2t，AD=BD=t，由CD2+AD2=AC2①，CD2+PD2=PC2②，②-①得：PD2-AD2=PC2-AC2，而PD=3t，AD=t，PC=，AC=，故9t2-t2=10-2，解得：t=1，故AB=2，故答案为：2．画出图形，设出AB，利用直角三角形勾股定理，求解即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查转化思想的应用．
14.【答案】4
3
或2
2
【解析】
解：设P（x，y），则PA2=（x+1）2+（y-0）2=x2+y2+2x+1，PB2=（x-1）2+（y-2）2=x2+y2-2x-4y+5，∵PA2+PB2=12，∴x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4；∴P点轨迹方程为x2+（y-1）2=4．又圆C上存在唯一的点P符合题意，∴两圆相切，∴=7，或=3，解得a=±4或a=±2，∴实数a的值为4或2．故答案为：4或2．求出P点的轨迹方程，由P的轨迹与圆C只有一个公共点，列方程求出a的值．本题考查了圆的方程、直线方程的求法与应用问题，也考查了推理论证与运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：（Ⅰ）直线斜率存在时，斜率为-
1
2??
=-1，解得m=
1
2
；?……（7分）（Ⅱ）由m≠0，当x=0时，y=
1
2
；当y=0时，x=m；∴直线与坐标轴围成的三角形面积为
1
2
×
1
2
×|m|=
|??|
4
，由面积为
|??|
4
=2，解得m=±8．……（14分）【解析】
（Ⅰ）由直线方程求出斜率，列方程求得m的值； （Ⅱ）求出直线在x、y轴上的截距， 计算直线与坐标轴围成的三角形面积，列方程求得m的值．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．
16.【答案】解：（Ⅰ）∵?x∈R，x2+x-m≥0恒成立，∴△=1+4m≤0，解得m≤?
1
4
，∴实数m的取值范围是（-∞，-
1
4
]；（Ⅱ）∵“p或q”为假命题，∴p，q均为假命题，当q为真命题时，则（m-1）（4-m）＜0，解得m＞4或m＜1．∴q为假命题时，1≤m≤4．由（1）知，p为假命题时m＞-
1
4
．从而
??＞?
1
4
1≤??≤4
，即1≤m≤4．∴实数m的取值范围为1≤m≤4．【解析】
（Ⅰ）?x∈R，x2+x-m≥0恒成立，可得△=1+4m≤0，从而求得m的范围； （Ⅱ）由“p或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．
17.【答案】解：（Ⅰ）化圆C：x2+y2-4x-4y+4=0为（x-2）2+（y-2）2=4，得圆心为C（2，2），半径r=2．|CP|=
(2?1
)
2
+(2?5
)
2
=
10
，连结CT，则CT⊥PT，∴|PT|=
|????
|
2
?
2
2
=
6
；（Ⅱ）设圆心C到直线的距离为d，∴|AB|=2
??
2
?
??
2
=2
2?
??
2
=2
3
，则d=1．若直线的斜率不存在，直线方程为x=1，满足d=1；若直线的斜率存在，设直线方程为y-5=k（x-1），即kx-y+5-k=0．则d=
|2???2+5???|
??
2
+1
=
|??+3|
??
2
+1
=1，解得k=-
4
3
，此时直线的方程为4x+3y-19=0．综上所述，AB方程为4x+3y-19=0或x=1．【解析】
（Ⅰ）化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，可得|CP|，再由勾股定理求|PT|； （Ⅱ）设圆心C到直线的距离为d，由垂径定理求得d，然后分类求解AB方程．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．
18.【答案】解：（Ⅰ）以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=25（y≤0），…………（4分）椭圆的短半轴b=5，
??
??
=
3
2
，b2=a2-c2所以a2=100，b2=25．所以半椭圆方程为
??
2
25
+
??
2
100
=1??（y≥0）…………（8分）（Ⅱ）当ABCD的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点A的横坐标为m（0＜m＜5），则，AB=2m，AD=
25?
??
2
+
100(1?
??
2
25
)
=3
25?
??
2
……（10分）由
????
????
=0.6得
3
25?
??
2
2??
=
3
5
，…………（12分）解得m=
25
29
29
，此时AB=
50
29
29
…………（14分）答：达到最佳美观的效果时AB为
50
29
29
…………（16分）【解析】
（Ⅰ）以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，依题意可得则半圆的方程，半椭圆方程．?（Ⅱ）当ABCD的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点A的横坐标为m（0＜m＜5），则，AB=2m，AD=+=3，由得AB本题考查椭圆和圆的定义和方程的运用，主要考查椭圆的定义和圆的参数方程的运用，考查三角函数的恒等变换公式的运用和正弦函数的单调性的运用，属于中档题．
19.【答案】解（Ⅰ）设椭圆C的方程为
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）．由题意得
??=2
??
??
=
3
2
解得c=
3
．所以b2=a2-c2=1．所以椭圆C的方程为
??
2
4
+
??
2
=1（Ⅱ）（1）如果y0≠0，则切线的斜率存在，设切线方程为y-y0=k（x-x0），即y=kx+y0-kx0与椭圆
??
2
4
+
??
2
=1联立，消去y整理得：　（1+4k2）x2+8k（y0-kx0）x+4（y0-kx0）2-4=0　（*）因为直线与椭圆相切，所以方程（*）中△=64k2（y0-kx0）2-16[（y0-kx0）2-1]（1+4k2）=0……（5分）得（4-x02）k2+2kx0y0+1-y02=0　　　①又因为点（x0，y0）在椭圆上，所以
??
0
2
4
+y02=1代入①得4y02k2+2kx0y0+
??
0
2
4
=（2y0k+
??
0
2
2
）2=0，所以k=-
??
0
4
??
0
，所以切线方程为y-y0=-
??
0
4
??
0
（x-x0），即x0x+4y0y=4y
0
2
+x
0
2
=4；（2）如果P坐标为（2，0），则切线方程为x=2，满足x0x+4y0y=4（3）如果P坐标为（-2，0），则切线方程为x=-2，满足x0x+4y0y=4综上所述，切线方程为x0x+4y0y=4；（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（5，n），则由（Ⅱ）可知，QM方程为x1x+4y1y=4?①QN方程为x2x+4y2y=4?②…………（12分）由①②解得x=
4(
??
2
?
??
1
)
??
2
??
1
?
??
2
??
1
，由x=
4(
??
2
?
??
1
)
??
2
??
1
?
??
2
??
1
=5，即
(
??
2
?
??
1
)
??
2
??
1
?
??
2
??
1
=
5
4
又MN的方程为y-y1=
??
1
?
??
2
??
1
?
??
2
（x-x1），令y=0得，x=
??
1
??
2
?
??
1
??
2
??
1
?
??
2
=
4
5
所以MN恒过定点（
4
5
，0）．【解析】
（Ⅰ）先求出c=，再得到椭圆标准方程；（Ⅱ）设出切线方程代入椭圆方程，利用判别式等于0可得；（Ⅲ）利用第（Ⅱ）问切线方程的结论做．本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的切线方程．属中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）由对称性可知，B，C在椭圆上，D不在椭圆上，则A在椭圆上，所以b=2
2
，将点B代入椭圆方程，可得
4
??
2
+
6
??
2
=1，解得a=4，所以椭圆方程为
??
2
16
+
??
2
8
=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程y=k1x-
6
和x2+2y2=16，得（1+2k12）x2-4
6
k1x-4=0，由题意知△＞0，且x1+x2=
4
6
??
1
1+2
??
1
2
，x1x2=-
4
1+2
??
1
2
，所以|AB|=
1+
??
1
2
|x1-x2|=
1+
??
1
2
?
(
??
1
+
??
2
)
2
?4
??
1
??
2
=4?
1+
??
1
2
?
1+8
??
1
2
1+2
??
1
2
．由题意可知圆M的半径r为r=
8
3
?
1+
??
1
2
?
1+8
??
1
2
1+2
??
1
2
，由题设知k1k2=
2
4
，所以k2=
2
4
??
1
，因此直线OC的方程为y═
2
4
??
1
x联立椭圆方程x2+2y2=16，得x2=
64
??
1
2
1+4
??
1
2
，y2=
8
1+4
??
1
2
，因此|OC|=
??
2
+
??
2
=2
2
?
1+8
??
1
2
1+4
??
1
2
．由题意可知sin
∠??????
2
=
??
??+|????|
=
1
1+
|????|
??
，而
|????|
??
=
2
2
1+8
??
1
2
1+4
??
1
2
8
3
(1+
??
1
2
)(1+8
??
1
2
)
1+2
??
1
2
=
3
2
4
?
1+2
??
1
2
(1+
??
1
2
)(1+4
??
1
2
)
，令t=1+2k12，则t＞1，0＜
1
??
＜1，因此
|????|
??
=
3
2
?
??
2
??
2
+???1
=
3
2
?
1
2+
1
??
?
1
??
2
=
3
2
?
1
9
4
?(
1
??
?
1
2
)
2
≥1，当且仅当
1
??
=
1
2
，即t=2时等号成立，此时k1=±
2
2
，所以?sin
∠??????
2
≤
1
2
，因此
∠??????
2
≤
??
6
，所以∠SOT最大值为
??
3
．综上所述∠SOT的最大值为
??
3
，取得最大值时直线l的斜率为k1=±
2
2
．【解析】
（Ⅰ）由对称性可知，B，C在椭圆上，D不在椭圆上，则A在椭圆上，代入椭圆方程，求解a，b的值，可得椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得圆M的半径r，设出直线OC的方程，代入椭圆方程，求得|OC|，由sin==，运用换元法求得最大值，可得∠SOT的最大值，以及直线l的斜率．本题考查椭圆方程的求法，注意运用方程思想，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，圆的定义，考查化简整理的运算能力，属于难题．