2018-2019学年江苏省镇江市高二(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共14小题,共56.0分)
抛物线y2=6x的准线方程为______.
直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何体是______.
已知圆锥底面半径为1,高为
3
,则该圆锥的侧面积为______.
圆C1:x2+y2+2x+2y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0的公切线有______.
已知正四棱锥的侧面积为4
2
,底面边长为2,则该四棱锥的体积______
已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线
??
2
??
2
?
??
2
3
=1(??>0)的右焦点,则双曲线的渐近线方程为______.
已知l,m是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,在下列给出的4个命题中,所有真命题的序号为______①l⊥α,m?α?l⊥m②l∥α,m?α?l∥m③α⊥β,α⊥γ?β∥γ④α⊥β,l⊥β?l∥α
已知地球表面及约是火星表面积的4倍,则地球体积是火星体积的______.
若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为
3
,则点M到该抛物线焦点的距离为______.
双曲线C1:
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1作一条直线l交双曲线右支于点P,PF2⊥x轴,且sin∠PF1F2=
1
3
,则双曲线的离心率为______
椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,直线BF与直线x+y-3
2
=0垂直,垂足为M,且点B为线段MF的中点,该椭圆方程为______.
已知圆柱M的底面半径为2,高为
2
3
3
,圆锥N的底面直径和母线长相等,若圆柱M?和圆锥N的体积相同,则圆锥N的底面半径为______.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在面对角线AC上运动,给出下列四个命题:①D1P∥平面A1BC1;?②D1P⊥BD;③平面PDB1⊥平面A1BC1;④三棱锥A1-BPC1的体积不变.则其中所有正确的命题的序号是______.
已知椭圆
??
2
4
+
??
2
3
=1的左、右顶点分别为A,B,直线l斜率大于0,且l经过椭圆的右焦点F,与椭圆交于两点P,Q,若△AFP,△BFQ的面积分别为S1,S2,若
??
1
??
2
=
3
2
,则直线l的斜率为______.
二、解答题(本大题共6小题,共94.0分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1E⊥C1F,A1C1⊥B1C1.(1)求证:DE∥平面A1C1F;(2)求证:B1E⊥平面A1C1F
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD,E,F分别是线段PA,PD的中点,H在线段AB上.(1)求证:PC⊥AF;(2)若平面PBC∥平面EFH,求证H是AB的中点;(3)若AD=4,AB=2,求点D到平面PAC的距离.
已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若点P的横坐标为1,求切线PA,PB的方程;(2)若点P的纵坐标为a,且在圆M上存在点Q到点P的距离为1,求实数a的取值范围.
在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船,正以北偏西a(a为锐角)角方向航行,速度为40km/h.已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响.(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值?(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续多少时间?
已知椭圆E:
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(a>b>0)的焦距为2
3
,一条准线方程为x=
4
3
3
,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,点P,Q在的椭圆上,且点P在第一象限.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若点P,Q关于坐标原点对称,且PQ⊥AB,求四边形ABCD的面积;(3)若AP,BQ的斜率互为相反数,求证:PQ斜率为定值.
如图,在平面直角坐标系xoy中,F为椭圆E:
??
2
6
+
??
2
2
=1的右焦点,过F作两条相互垂直的直线AB,CD,与椭圆E分别交于A,B和点C,D.(1)当AB=
5
7
????时,求直线AB的方程;(2)直线AB交直线x=3于点M,OM与CD交于P,CO与椭圆E交于Q,求证:OM∥DQ.
答案和解析
1.【答案】x=-
3
2
【解析】
解:抛物线方程可知p=3,∴准线方程为x=-=-故答案为x=-根据抛物线方程求得p,进而根据抛物线性质求得其准线方程.本题主要考查了抛物线的简单性质.属基础题.
2.【答案】圆台【解析】
解:由圆台的结构特征,可知直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周, 形成的几何体是圆台. 故答案为:圆台.直接由圆台的结构特征得答案.本题考查圆台的结构特征,是基础题.
3.【答案】2π【解析】
解:由已知可得r=1,h=,则圆锥的母线长l=.∴圆锥的侧面积S=πrl=2π.故答案为:2π.由已知求得母线长,代入圆锥侧面积公式求解.本题考查圆锥侧面积的求法,关键是对公式的记忆,是基础题.
4.【答案】4【解析】
解:根据题意,圆C1:x2+y2+2x+2y=0的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2,其圆心坐标为C1(-1,-1),半径R=,圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=4,其圆心坐标为C2(3,-1),半径r=2,圆心距离C1C2=3-(-1)=4>2+,即两圆相外离,则公切线有4条,故答案为:4根据题意,将两圆的方程变形为标准方程,求出圆心的坐标以及半径,分析两圆的位置关系,即可得答案.本题主要考查两圆公切线的条数,判断两圆的位置关系是解决本题的关键.
5.【答案】
4
3
【解析】
解:顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心,如图所示; 正四棱锥的侧面积为S侧面=4??2?PE=4,∴PE=,∴该正四棱锥的高长度为:OP===1.所以棱锥的体积为:=.故答案为:.根据题意知顶点在底面的射影是正方形的中心,利用侧面积求出斜高,再计算正四棱锥的高,然后求解体积.本题考查了正四棱锥的结构特征与应用问题,根据棱锥的侧面求斜高是解题的关键.
6.【答案】??=±
3
??【解析】
解:∵抛物线方程为y2=8x,∴2p=8,=2,可得抛物线的焦点为F(2,0).∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线的右焦点,∴双曲线的右焦点为(2,0),可得c==2,解得a2=1,因此双曲线的方程为,可得a=1且b=,∴双曲线的渐近线方程为y=x,即.故答案为:根据抛物线的方程,算出它的焦点为F(2,0),即为双曲线的右焦点,由此建立关于a的等式并解出a值,进而可得此双曲线的渐近线方程.本题给出双曲线的右焦点与已知抛物线的焦点相同,求双曲线的渐近线方程.着重考查了抛物线的简单性质、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.
7.【答案】①【解析】
解:由l,m是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知: 在①中,由线面垂直的性质定理得:l⊥α,m?α?l⊥m,故①正确; 在②中,l∥α,m?α?l∥m或l,m异面,故②错误; 在③中,α⊥β,α⊥γ?β与γ相交或平行,故③错误; 在④中,α⊥β,l⊥β?l∥α或l?α,故④错误. 故答案为:①.在①中,由线面垂直的性质定理得l⊥m;在②中,l∥m或l,m异面;在③中,β与γ相交或平行;在④中,l∥α或l?α.本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
8.【答案】8倍【解析】
解:设地球的半径为R,火星的半径为r,由已知条件得4πR2=4×4πr2,所以,R=2r,所以,地球的体积为,因此,地球体积是火星体积的8倍,故答案为:8倍.先利用已知条件得出地球半径与火星半径的倍数关系,再利用球体体积公式得出地球体积与火星体积的倍数关系.本题考查球体的表面积与体积,确定地球与火星半径之间的倍数关系,是解本题的关键,属于基础题.
9.【答案】
3
2
【解析】
解:设点M(,y),∵|MO|=,∴+(y-0)2=3,∴y2=2或y2=-6(舍去),∴x==1.∴M到抛物线y2=2x的准线x=-的距离d=1-(-)=.∵点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y2=2x的准线的距离,∴点M到该抛物线焦点的距离为.故答案为:.求得点M的坐标,将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线y2=2x的准线的距离即可.本题考查抛物线的简单性质,考查转化思想与方程思想,求得点M的坐标是关键,属于中档题.
10.【答案】
2
【解析】
解:双曲线C1:=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F1作一条直线l交双曲线右支于点P,PF2⊥x轴,且sin∠PF1F2=,可得tan∠PF1F2=,可得:,可得:2c2-2a2=ac,2e2-e-2=0.e>1;解得e=,故答案为:.利用已知条件,列出方程,转化求解双曲线的离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.
11.【答案】
??
2
4
+
??
2
2
=1【解析】
解:椭圆=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,直线BF与直线x+y-3=0垂直,可得kBF=1,F(-b,0),B(0,b),直线BF与直线x+y-3=0垂直,垂足为M,且点B为线段MF的中点,可得M(b,2b),代入直线x+y-3=0,可得b=,c=,则a=2.所求椭圆方程为:.故答案为:.利用直线BF与直线x+y-3=0垂直,得到直线BF的斜率,求出M的坐标,代入准线方程,即可得到b,c,然后求解a,得到椭圆方程.本题考查椭圆的简单性质的应用,直线与椭圆的位置关系,考查转化思想以及计算能力.
12.【答案】2【解析】
解:设圆锥N的底面直径为2r,则高为r,∵圆柱M的底面半径为2,高为,圆柱M和圆锥N的体积相同,∴=,解得r=2,∴圆锥N的底面半径为2.故答案为:2.设圆锥N的底面直径为2r,则高为r,利用圆柱M的底面半径为2,高为,圆柱M和圆锥N的体积相同,建立方程能求出结果.本题考查圆柱、圆锥的体积公式,考查学生的计算能力,是中档题.
13.【答案】①③④【解析】
解:①∵在正方体中,D1A∥BC1,D1C∥BA1,且D1A∩DC1=D1,∴平面D1AC∥平面A1BC1;∵P在面对角线AC上运动,∴D1P∥平面A1BC1;∴①正确.②当P位于AC的中点时,D1P⊥BD不成立,∴②错误;③∵A1C1⊥平面BDD1B1;∴A1C1⊥B1D,同理A1B⊥B1D,∴B1D⊥平面A1BC1,∴平面BDD1B⊥面ACD1,∴平面PDB1⊥平面A1BC1;∴③正确.④三棱锥A1-BPC1的体积等于三棱锥B-A1PC1的体积.△A1PC1的面积为定值,B到平面A1PC1的高为BP为定值,∴三棱锥A1-BPC1的体积不变,∴④正确.故答案为:①③④.①根据线面平行的判断定理进行判断D1P∥平面A1BC1;?②D利用特殊值法即可判断D1P⊥BD不成立; ③根据面面垂直的判断条件即可判断平面PDB1⊥平面A1BC1;④将三棱锥的体积进行等价转化,即可判断三棱锥A1-BPC1的体积不变.本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的位置关系的判断,综合考查学生的推理能力,综合性较强,难度较大.
14.【答案】
5
2
【解析】
解:如图,由椭圆,得F(1,0), 则,.由=,得|QF|=2|PF|,即yQ=-2yP(yP>0).设直线l:x=my+1.联立,可得(3m2+4)y2+6my-9=0.∴,.又yQ=-2yP(yP>0),解得,m=.∴直线方程为,则直线的斜率为.故答案为:.由题意画出图形,写出S1,S2,结合=,可得P,Q的纵坐标的关系,设直线l:x=my+1,与椭圆方程联立,化为关于y的一元二次方程,结合根与系数的关系求m,则斜率可求.本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,是中档题.
15.【答案】证明:(1)∵D,E分别为棱AB,BC的中点,∴DE∥AC,又∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1,∴DE∥A1C1,∵A1C1?平面A1C1F,DE?平面A1C1F,∴DE∥平面A1C1F;(2)∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1⊥CC1,又∵A1C1⊥B1C1.B1C1∩CC1=C1,∴A1C1⊥平面BCB1C1,∵B1E?平面BCB1C1,∴A1C1⊥B1E,∵B1E⊥C1F,A1C1∩C1F=C1,∴B1E⊥平面A1C1F.【解析】
(1)由已知利用三角形的中位线的性质可求DE∥AC,由直三棱柱的性质可得AC∥A1C1,进而可证DE∥A1C1,利用线面平行的判定定理即可证明DE∥平面A1C1F; (2)先证明线面垂直A1C1⊥平面BCB1C1,利用线面垂直的性质再证明A1C1⊥B1E,利用线面垂直的判定定理即可证明B1E⊥平面A1C1F.本题主要考查了线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理及性质定理的应用,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.
16.【答案】(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,∴CD⊥PA.又∵四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.又∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵AF?平面PAD,∴CD⊥AF.∵F为PD的中点,且PA=AD,∴PD⊥AF,又∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.∴PC⊥AF.(2)证明:∵平面PBC∥平面EFH,面APB∩平面PBC=PB,面PBA∩平面EFH=EH,∴EH∥PB.又E是线段PA的中点,H在线段AB上,∴H是AB的中点.(3)过D作DM⊥AC于M,∵侧棱PA⊥底面ABCD,∴PA⊥DM,且PA∩AC=A,∴DM⊥面PAC,∴线段DM的长就是点D到平面PAC的距离.在直角三角形ACD中,AC?DM=DA?DC.∴DM=
4
5
5
.∴点D到平面PAC的距离为
4
5
5
. 【解析】
(1)要证AF⊥平面PCD即可,须证AF垂直面内两条相交直线即可; (2)由面PBC∥平面EFH,可得EH∥PB.即可证明; (3)过D作DM⊥AC于M,可得线段DM的长就是点D到平面PAC的距离.本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,考查点面距离的求法,是中档题.
17.【答案】解:(1)由已知可得,P(1,
1
2
),当切线斜率不存在时,切线方程为x=1;当切线斜率存在时,设切线方程为y-
1
2
=k(x-1),化为2kx-2y-2k+1=0.由圆心(0,2)到切线的距离等于半径,得
|?4?2??+1|
4
??
2
+4
=1,解得k=-
5
12
.∴切线方程为?
5
6
???2??+
5
6
+1=0,即5x+12y-11=0.则切线PA,PB的方程分别为x=1,5x+12y-11=0或5x+12y-11=0,x=1;(2)设P(2a,a),则|MP|=
4
??
2
+(???2
)
2
,∵圆M上存在点Q到点P的距离为1,∴
4
??
2
+(???2
)
2
?1≤1,解得0≤??≤
4
5
.∴实数a的取值范围是[0,
4
5
].【解析】
(1)求出P点坐标,分切线斜率存在与不存在求解;(2)设P(2a,a),则|MP|=,由圆M上存在点Q到点P的距离为1,可得,由此求得a的取值范围.本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线距离公式的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.
18.【答案】解:(1)根据题意画出图形,如图所示,则圆的方程为x2+y2=1802,设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200),k<0;即kx-y-200k=0,则圆心O(0,0)到直线l的距离为d=
|?200??|
??
2
+1
=180,化简得19k2=81,解得k=±
9
19
;∴tan(90°+α)=-
9
19
,∴-
1
????????
=-
9
19
,∴tanα=
19
9
,∴若轮船不被风暴影响,则角α的正切值的最大值为
19
9
;(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则直线方程为x+y=200,则圆心O到该直线的距离为d=
|200|
2
=100
2
,弦长为2
??
2
?
??
2
=2
180
2
?(100
2
)
2
=40
31
,则轮船被风暴影响持续的时间为
40
31
40
=
31
.【解析】
(1)根据题意画出图形,结合图形建立平面直角坐标系, 利用直线与圆的方程求出直线与圆相切时的斜率,即可求出角α的正切值的最大值; (2)求出直线被圆所截的弦长,再计算轮船被风暴影响持续的时间.本题考查了直线与圆的方程应用问题,是中档题.
19.【答案】解:(1)由题意可得:2c=2
3
,
??
2
??
=
4
3
3
,a2=b2+c2,解得:c=
3
,a=2,b=1.∴椭圆E的标准方程为:
??
2
4
+
??
2
=1.(2)kAB=?
1
2
,∵点P,Q关于坐标原点对称,且PQ⊥AB,∴kPQ=2.可得直线PQ的方程为:y=2x.联立
??
2
+4
??
2
=4
??=2??
,解得x2=
4
17
,y2=
8
17
.∴|PQ|=2
??
??
2
+
??
??
2
=2
4
17
+
8
17
=
4
51
17
.∴四边形ABCD的面积=
1
2
|????|?|????|=
1
2
×
5
×
4
51
17
=
2
255
17
.(3)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2).设直线AP的斜率为k,(k<0),则直线方程为:y=k(x-2),联立
??
2
+4
??
2
=4
??=??(???2)
,化为:(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,∴2x1=
16
??
2
?4
1+4
??
2
,解得x1=
8
??
2
?2
1+4
??
2
,y1=
?4??
1+4
??
2
.∵AP,BQ的斜率互为相反数,∴直线BQ的斜率为-k,直线方程为:y=-kx+1.联立
??
2
+4
??
2
=4
??=?????+1
,化为:(1+4k2)x2-8kx=0,∴x2=
8??
1+4
??
2
,y2=
1?4
??
2
1+4
??
2
.∴PQ斜率=
1?4
??
2
1+4
??
2
?
?4??
1+4
??
2
8??
1+4
??
2
?
8
??
2
?2
1+4
??
2
=
1
2
为定值.【解析】
(1)由题意可得:2c=2,=,a2=b2+c2,联立解出即可得出.(2)kAB=,根据点P,Q关于坐标原点对称,且PQ⊥AB,可得kPQ=2.可得直线PQ的方程为:y=2x.与题意方程联立解出可得|PQ|.可得四边形ABCD的面积.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).设直线AP的斜率为k,(k<0),则直线方程为:y=k(x-2),与椭圆方程联立可得P点坐标.根据AP,BQ的斜率互为相反数,可得直线BQ的斜率为-k,直线方程为:y=-kx+1.与椭圆方程联立可得Q点坐标.再利用斜率计算公式即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、四边形面积计算公式、一元二次方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
20.【答案】(1)解:由题意可设直线AB的方程为:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2).则直线CD的方程为:y=-
1
??
(x-2),C,D.联立
??
2
+3
??
2
=6
??=??(???2)
,化为:(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,∴x1+x2=
12
??
2
1+3
??
2
,x1x2=
12
??
2
?6
1+3
??
2
,则|AB|=
(1+
??
2
)[(
??
1
+
??
2
)
2
?4
??
1
??
2
]
=
(1+
??
2
)[
144
??
4
(1+3
??
2
)
2
?
4(12
??
2
?6)
1+3
??
2
]
=
2
6
(1+
??
2
)
1+3
??
2
.同理可得:|CD|=
2
6
(1+
1
??
2
)
1+3×
1
??
2
=
2
6
(1+
??
2
)
3+
??
2
.∵|AB|=
5
7
|CD|,∴
2
6
(1+
??
2
)
1+3
??
2
=
5
7
×
2
6
(1+
??
2
)
3+
??
2
.化为:k2=2,解得k=±
2
.∴直线AB的方程为:y=±
2
(x-2).(2)证明:设直线AB的方程为:y=k(x-2),则直线CD的方程为:y=-
1
??
(x-2),C(x3,y3),D(x4,y4).联立
??=3
??=??(???2)
,解得M(3,k).可得直线OM的方程:y=
??
3
x,联立
??=
??
3
??
??=?
1
??
(???2)
,解得P(
6
3+
??
2
,
2??
3+
??
2
).联立
??=?
1
??
(???2)
??
2
+3
??
2
=6
,化为:(3+k2)x2-12x+12-6k2=0,∴x3+x4=
12
3+
??
2
,可得线段CD的中点坐标(
6
3+
??
2
,
2??
3+
??
2
),与点P重合.又点O是CQ的中点,∴OP∥DQ,即OM∥DQ.【解析】
(1)由题意可设直线AB的方程为:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2).则直线CD的方程为:y=-(x-2),C,D.分别与椭圆方程联立,利用根与系数的关系、弦长公式即可得出|AB|=,同理可得:|CD|.根据|AB|=|CD|,解得k.即可得出直线AB的方程.(2)设直线AB的方程为:y=k(x-2),则直线CD的方程为:y=-(x-2),C(x3,y3),D(x4,y4).联立,解得M.可得直线OM的方程:y=x,联立,解得P.联立,利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段CD的中点坐标,得到与点P重合.又点O是CQ的中点,即可证明结论.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、线段中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.