2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高二(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共14小题,共70.0分)
已知不重合的三点A,B,C,平面α,β和直线l,那么下列命题错误的是______(填序号)①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α;②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB;③l?α,A∈l?A∈α;④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α及β重合.
给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是______.
如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,△ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.现有以下命题:①BC⊥PC;②OM∥平行APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的命题为______.
已知直线a,b与平面α,β,γ,有下列四个命题:①若a∥b,a∥α,则b∥α;?????②若a∥b,a⊥α,则b⊥α;③若α∥β,a⊥α,则a⊥β;???④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;其中,命题正确的是______.(请把正确的序号填在横线上)
圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个实心铁球浸没于容器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了
5
3
cm,则这个铁球的表面积为______cm2.
已知圆柱M的底面半径为3,高为2,圆锥N的底面直径和高相等,若圆柱M和圆锥N的体积相同,则圆锥N的高为______.
已知一个圆锥的侧面积是50πcm2,若母线与底面所成角为60°,则此圆锥的底面半径为______.
过点(-1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______.
已知点P是圆C:x2+y2+4x+ay-5=0上任意一点,P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上,则实数a等于______.
圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0距离的最小值为______.
圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为______.
将圆x2+(y+1)2=9绕直线y=kx-1在空间旋转一周,所得几何体的体积为______.
已知圆x2+y2=9与圆x2+y2+8x-6y+25-r2=0(r>0)有公共点,则r的取值范围是______.
若直线y=x+2与曲线??=
???
??
2
(??>0)恰有一个公共点,则实数m的取值范围为______.
二、解答题(本大题共6小题,共80.0分)
设直线l1:mx-2my-6=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0.(1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离;(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.
在三棱锥P-ABC中,AP=AB,平面PAB⊥平面ABC,BC⊥AB,D,E分别为PB,BC的中点.(1)求证:DE∥平面PAC;(2)求证:AD⊥DE.
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-6x=0及点A(-1,2),B(1,4).(1)过B作直线l与圆C相交于M,N两点,MN=2
5
,求直线l的方程;(2)在圆C上是否存在点P,使得PA2+PB2=12?若存在,求点P的个数;若不存在,说明理由.
在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求四棱锥P-ABCD的体积V;(2)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;(3)求证CE∥平面PAB.
已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-3y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;(2)求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标;(3)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
答案和解析
1.【答案】③【解析】
解:①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?AB?α,即l?α,故①对; ②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?AB?α,AB?β?α∩β=AB,故②对; ③l?α,A∈l,可能l∥α,即有A?α,故③错; ④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α及β重合,故④对. 故答案为:③.由平面的性质:公理1,可判断①;由平面的性质:公理2,可判断②; 由线面的位置关系可判断③;由平面的性质:公理3,可判断④.本题考查平面的基本性质,以及线面的位置关系,考查推理能力,属于基础题.
2.【答案】②④【解析】
解:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对; 由平面与平面垂直的判定定理可知②正确; 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,相交也可以异面,故③不对; 若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确. 故应填②④用空间中线与线、面与面、线与面的相关定义与定理进行判断,相关定理与定义较多,要根据每一个命题进行合理选择.①用面面平行的判定定理进行验证,②用面面垂直的判定定理进行验证;③用空间两条直线的位置关系验证;④用面面垂直的性质定理验证.考查空间中面面的位置关系的判定,属于检查基础知识是否掌握熟练的题型.
3.【答案】①②③【解析】
解:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴PA⊥BC, ∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC, 又∵PA?平面PAC,AC?平面PAC,PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC,∵PC?PAC, ∴BC⊥PC.故而①,③正确. ∵M是PB中点,O是AB中点, ∴OM∥PA,∵PA?平面PAC,OM?平面PAC, ∴OM∥平面PAC.故②正确. 故答案为:①②③.由中位线定理可知OM∥PA,故OM∥平面PAC,由PA⊥平面ABC可得PA⊥BC,由AB为直角得出AC⊥BC,故而BC⊥平面PAC.本题考查了线面垂直的性质与判定,线面平行的判定,属于基础题.
4.【答案】②③【解析】
解:直线a,b与平面α,β,γ, 对于①,若a∥b,a∥α,可得b?α或b∥α,故①错; 对于②,若a∥b,a⊥α,可得b⊥α,故②对; 对于③,若α∥β,a⊥α,可得a⊥β,故③对; ?对于④,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α,β相交,故④错. 故答案为:②③.由线面平行的性质可判断①;由线面垂直的性质定理可判断②; 由面面平行的性质和线面垂直的性质,可判断③;由面面的位置关系可判断④.本题考查空间线面、面面平行和垂直的判断和性质,以及空间线面,面面的位置关系,考查空间想象能力和推理能力,属于基础题.
5.【答案】100π【解析】
解:设实心铁球的半径为R,则,得R=5,故这个铁球的表面积为S=4πR2=100πcm2.故填:100π.容器的水面下降部分的容积即为球的体积,由此计算出球的半径,再根据球的表面积公式即可求解.本小题是立体几何的应用题,涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算,考查考生理解、解决实际问题的能力.
6.【答案】6【解析】
解:设圆锥N高为h,则圆锥的底面半径为r=,∵圆柱M的底面半径为3,高为2,圆柱M和圆锥N的体积相同,∴,解得h=6.∴圆锥N的高为6.故答案为:6.设圆锥N高为h,则圆锥的底面半径为r=,由圆柱M的底面半径为3,高为2,圆柱M和圆锥N的体积相同,能求出圆锥N的高.本题考查圆锥的高的求法,考查圆柱、圆锥等基础知识,考查运算求解能力、考查函数与方程思想,是基础题.
7.【答案】5【解析】
解:设圆锥的底面半径为R,则母线长为2R, ∵圆锥的侧面积是50πcm2, ∴50π=π×R×2R, 解得R=5cm. 故答案为5.设圆锥的底面半径为R,则母线长为2R,利用圆锥的侧面积是50πcm2,求出此圆锥的底面半径.本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用,掌握公式是关键.
8.【答案】2x+y=0或x+y-1=0【解析】
【分析】?本题考查用待定系数法求直线方程,体现了分类讨论的数学思想,注意当直线过原点时的情况,这是解题的易错点,属于基础题.?当直线过原点时,用点斜式求得直线方程.当直线不过原点时,设直线的方程为x+y-k=0,把点(-1,2)代入直线的方程可得k值,从而求得所求的直线方程,综合可得结论.【解答】解:当直线过原点时,方程为?y=-2x,即2x+y=0.当直线不过原点时,设直线的方程为x+y-k=0,把点(-1,2)代入直线的方程可得 k=-1,故直线方程是 x+y-1=0.综上,所求的直线方程为 2x+y=0,或 x+y-1=0,故答案为:2x+y=0,或 x+y-1=0.
9.【答案】-10【解析】
解:根据题意得:圆心C在直线2x+y-1=0上,由圆的方程得:圆心C坐标为(-2,-),代入直线2x+y-1=0中,得:-4--1=0,解得:a=-10.故答案为:-10根据P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上,得到直线2x+y-1=0过圆心C,将圆心C坐标代入直线方程即可求出a的值.此题考查了直线与圆的位置关系,解题的关键是根据P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上,得到直线2x+y-1=0过圆心C.
10.【答案】4【解析】
解:∵圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d=∴圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0距离的最小值是AC=5-r=5-1=4故答案为:4圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离d=,圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0距离的最小值是AC=5-r,从而可求本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离,要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离的最大值
11.【答案】2
2
【解析】
解:圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的方程相减得:x-y+2=0,由圆x2+y2-4=0的圆心(0,0),半径r为2,且圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==,则公共弦长为2=2=2.故答案为:2.两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式,求出第一个圆心到直线的距离,再由第一个圆的半径,利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长.此题考查了直线与圆相交的性质,求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键.
12.【答案】36π【解析】
解:圆x2+(y+1)2=9的圆心是C(0,-1),半径为3;圆心C在直线y=kx-1上,该圆绕直线y=kx-1在空间旋转一周,所得几何体是半径为3的球,∴球的体积为V球===36π.故答案为:36π.根据题意知圆的圆心和半径,且圆心在直线y=kx-1上,根据圆绕直线y=kx-1旋转一周所得几何体是球,求出体积即可.本题考查了旋转体的体积计算问题,是基础题.
13.【答案】[2,8]【解析】
解:圆x2+y2=9,其圆心为(0,0),半径为3圆x2+y2+8x-6y+25-r2=0,其圆心为(-4,3),半径为=r.两圆的圆心距d=5.∵两圆交点,可知圆心距大于等于半径之差,小于等于半径之和,∴3-r≤5≤3+r.解得:8≥r≥2;故答案为[2,8].两圆交点,可知圆心距大于等于半径之差,小于等于半径之和,可得r的取值范围;本题考查两个圆的位置关系的判断,求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键.
14.【答案】m>4或m=2【解析】
解:曲线表示以原点为圆心,为半径的圆在x轴上方的部分,直线y=x+2与曲线相切时,=,∴m=2,直线y=x+2与曲线有两个交点时,将(0,2)代入,可得m=4,∴直线y=x+2与曲线恰有一个公共点时,实数m的取值范围为m>4或m=2.故答案为:m>4或m=2.曲线表示以原点为圆心,为半径的圆在x轴上方的部分,画出图象,结合图象,即可得出结论.本题考查直线与圆相交的性质,数形结合是解决问题的关键,属中档题.
15.【答案】解:(1)若l1∥l2,则
1
2
=?
3???
??
,∴m=6,∴l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0∴l1,l2之间的距离d=
5
1+4
=
5
;(2)由题意,
3???>0
??>0
,∴0<m<3,直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=
1
2
m(3-m)=?
1
2
(???
3
2
)
2
+
9
8
,∴m=
3
2
时,S最大为
9
8
,此时直线l2的方程为2x+2y-3=0.【解析】
(1)若l1∥l2,求出m的值,即可求l1,l2之间的距离; (2)表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积,配方法求出最大,即可求直线l2的方程.本题考查直线方程,考查直线与直线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
16.【答案】证明:(1)∵G、H分别为A1B1,A1C1中点,∴GH∥B1C1,∵三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面;(2)∵E、F分别为AB、AC中点,∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点,∴四边形A1EBG为平行四边形,A1E∥BG∴平面EFA1中有两条相交直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条相交直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG.【解析】
(1)利用三角形中位线的性质,证明GH∥B1C1,从而可得GH∥BC,即可证明B,C,H,G四点共面;(2)证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行,即可得到平面EFA1∥平面BCHG.本题考查平面的基本性质,考查面面平行,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
17.【答案】证明:(1)因为D,E分别为PB,BC的中点,所以DE是△PBC的中位线,所以DE∥PC,…………………………(2分)又DE?平面PAC,PC?平面PAC,故DE∥平面PAC.……………(5分)解:(2)因为AP=AB,D是PB的中点,所以AD⊥PB,………(7分)因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,又BC⊥AB,BC?平面ABC,所以BC⊥平面PAB,…………(10分)因为AD?平面PAB,所以AD⊥BC,……………………………(11分)又AD⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC?平面ABC,故AD⊥平面PBC,……………………………………………(13分)因为DE?平面PBC,所以DE⊥AD.………………………………(14分)【解析】
(1)由D,E分别为PB,BC的中点,得DE∥PC,由此能证明DE∥平面PAC. (2)由AP=AB,D是PB的中点,得AD⊥PB,从而BC⊥平面PAB,进而AD⊥BC,再由AD⊥PB,得AD⊥平面PBC,由此能证明DE⊥AD.本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
18.【答案】解:(1)圆C的标准方程为(x-3)2+y2=9,所以圆心C(3,0),半径为r=3.当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x-1),圆心C到直线l的距离是d因为MN=2
??
??
2
?
??
2
,MN=2
5
,CM=r=3,所以d=2……………(4分)则d=
|3???0+4???|
??
2
+1
=2.?k=-
3
4
,即直线l的方程为:3x+4y-19=0当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,也适合题意;故直线l的方程为x=1或3x+4y-19=0.(2)若圆C上存在点P,使得PA2+PB2=12设P(x,y),则PA2+PB2=(x+1)2+(y-2)2+(x-1)2+(y-4)2=12,即x2+y2-6y+5=0,即x2+(y-3)2=4,所以点P在圆C:x2+(y-3)2=4上,又点P在圆C:(x-3)2+y2=9上,所以点P是两圆的交点,又因为3-2<
(3?0
)
2
+(0?3
)
2
<2+3,所以圆C:x2+(y-3)2=4与圆C:(x-3)2+y2=9相交,所以点P的个数为2.【解析】
(1)因为半径r=3,所以MN=2?圆心到直线的距离d=2,再由点到直线距离可求得斜率k后得直线方程;(2)因为PA2+PB2=12等价于点P在圆x2+(y-3)2=4上,所以问题等价于判断两圆的位置关系,然后用圆心距与两圆半径的关系.本题考查了直线与圆的位置关系.属中档题.
19.【答案】解:(1)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴????=
3
,AC=2.在Rt△ACD中,AC=2,∠ACD=60°,∴????=2
3
,????=4.∴
??
????????
=
1
2
?????????+
1
2
?????????=
1
2
×1×
3
+
1
2
×2×2
3
=
5
2
3
.则??=
1
3
×
5
2
3
×2=
5
3
3
.(2)证明:∵PA=CA,F为PC的中点,∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,∴CD⊥PC.∵E为PD中点,F为PC中点,∴EF∥CD,则EF⊥PC,∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.(3)证明:延长DC,AB,设它们交于点N,连PN.∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,∴C为ND的中点.∵E为PD中点,∴EC∥PN.∵EC?平面PAB,PN?平面PAB,∴EC∥平面PAB.【解析】
(1)利用直角三角形中的边角关系求出BC、AC、CD,由?求得底面的面积,代入体积公式进行运算.(2)证明AF⊥PC,再由CD⊥平面PAC 证明CD⊥PC,由EF∥CD,可得PC⊥EF,从而得到PC⊥平面AEF.(3)延长DC,AB,设它们交于点N,证明EC是三角形DPN的中位线,可得EC∥PN,从而证明EC∥平面PAB.本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,求棱锥的体积,证明CE∥平面PAB 是解题的难点.
20.【答案】解:(1)根据题意,点P在直线l上,设P(3m,m),连接MP,因为圆M的方程为x2+(y-2)2=1,所以圆心M(0,2),半径r=1.因为过点P作圆M的切线PA、PB,切点为A、B;则有PA⊥MA,PB⊥MB,且MA=MB=r=1,易得△APM≌△BPM,又由∠APB=60°,即∠APM=30°,则MP=2MA=2,即有(3m)2+(m-2)2=4,解可得:m=0或m=
2
5
,即P的坐标为(0,0)或(
6
5
,
2
5
);(2)根据题意,△APM≌△BPM,则S四边形PAMB=2S△APM=MA?AP=AP,又由AP2=MP2-MA2=MP2-1,当MP最小时,即直线MP与直线l垂直时,四边形PAMB面积最小,设此时P的坐标为(3n,n);有
???2
3???0
=-3,解可得n=
1
5
,即P的坐标为(
3
5
,
1
5
);此时MP=
|0?6|
1+9
=
3
10
5
,则四边形PAMB面积的最小值为
??
??
2
?1
=
65
5
;(3)根据题意,PA是圆M的切线,则PA⊥MA,则过A,P,M三点的圆为以MP为直径的圆,设P的坐标为(3m,m),M(0,2),则以MP为直径的圆为(x-0)(x-3m)+(y-m)(y-2)=0,变形可得:x2+y2-3mx-(m+2)y+2m=0,即x2+y2-2y-m(3x+y-2)=0;则有
3??+???2=0
??
2
+
??
2
?2??=0
,解可得:
??=2
??=0
或
??=
3
5
??=
1
5
;则当x=0、y=2和x=
3
5
、y=
1
5
时,x2+y2-2y-m(3x+y-2)=0恒成立,则经过A,P,M三点的圆必过定点,且定点的坐标为(0,2)和(
3
5
,
1
5
).【解析】
(1)设P(3m,m),连接MP,分析易得MP=2MA=2,即有(3m)2+(m-2)2=4,解可得m的值,即可得答案;(2)根据题意,分析易得S四边形PAMB=2S△APM=MA?AP=AP,又由AP2=MP2-MA2=MP2-1,当MP最小时,即直线MP与直线l垂直时,四边形PAMB面积最小,设出P的坐标,则有=-3,解可得n的值,进而分析MP的最小值,求出四边形PAMB面积,即可得答案;(3)根据题意,分析可得:过A,P,M三点的圆为以MP为直径的圆,设P的坐标为(3m,m),用m表示过A,P,M三点的圆为x2+y2-2y-m(3x+y-2)=0,结合直线与圆位置关系,分析可得答案.本题考查直线与圆方程的综合应用,涉及直线与圆的位置关系以及相交的性质,属于中档题.