2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省淮安市高中校协作体高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
已知不重合的三点A，B，C，平面α，β和直线l，那么下列命题错误的是______（填序号）①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β=AB；③l?α，A∈l?A∈α；④A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α及β重合．
给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是______．
如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平行APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的命题为______．
已知直线a，b与平面α，β，γ，有下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；?????②若a∥b，a⊥α，则b⊥α；③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；???④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中，命题正确的是______．（请把正确的序号填在横线上）
圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了
5
3
cm，则这个铁球的表面积为______cm2．
已知圆柱M的底面半径为3，高为2，圆锥N的底面直径和高相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为______．
已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为______．
过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．
已知点P是圆C：x2+y2+4x+ay-5=0上任意一点，P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上，则实数a等于______．
圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0距离的最小值为______．
圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为______．
将圆x2+（y+1）2=9绕直线y=kx-1在空间旋转一周，所得几何体的体积为______．
已知圆x2+y2=9与圆x2+y2+8x-6y+25-r2=0（r＞0）有公共点，则r的取值范围是______．
若直线y=x+2与曲线??=
???
??
2
(??＞0)恰有一个公共点，则实数m的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
设直线l1：mx-2my-6=0与l2：（3-m）x+my+m2-3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．

在三棱锥P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，BC⊥AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：AD⊥DE．

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-6x=0及点A（-1，2），B（1，4）．（1）过B作直线l与圆C相交于M，N两点，MN=2
5
，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（1）求四棱锥P-ABCD的体积V；（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（3）求证CE∥平面PAB．

已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-3y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）求四边形PAMB面积的最小值及此时点P的坐标；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

答案和解析
1.【答案】③【解析】
解：①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?AB?α，即l?α，故①对； ②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?AB?α，AB?β?α∩β=AB，故②对； ③l?α，A∈l，可能l∥α，即有A?α，故③错； ④A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α及β重合，故④对． 故答案为：③．由平面的性质：公理1，可判断①；由平面的性质：公理2，可判断②； 由线面的位置关系可判断③；由平面的性质：公理3，可判断④．本题考查平面的基本性质，以及线面的位置关系，考查推理能力，属于基础题．
2.【答案】②④【解析】
解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对； 由平面与平面垂直的判定定理可知②正确； 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对； 若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确． 故应填②④用空间中线与线、面与面、线与面的相关定义与定理进行判断，相关定理与定义较多，要根据每一个命题进行合理选择．①用面面平行的判定定理进行验证，②用面面垂直的判定定理进行验证；③用空间两条直线的位置关系验证；④用面面垂直的性质定理验证．考查空间中面面的位置关系的判定，属于检查基础知识是否掌握熟练的题型．
3.【答案】①②③【解析】
解：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴PA⊥BC， ∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC， 又∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC，∵PC?PAC， ∴BC⊥PC．故而①，③正确． ∵M是PB中点，O是AB中点， ∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC， ∴OM∥平面PAC．故②正确． 故答案为：①②③．由中位线定理可知OM∥PA，故OM∥平面PAC，由PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，由AB为直角得出AC⊥BC，故而BC⊥平面PAC．本题考查了线面垂直的性质与判定，线面平行的判定，属于基础题．
4.【答案】②③【解析】
解：直线a，b与平面α，β，γ， 对于①，若a∥b，a∥α，可得b?α或b∥α，故①错； 对于②，若a∥b，a⊥α，可得b⊥α，故②对； 对于③，若α∥β，a⊥α，可得a⊥β，故③对； ?对于④，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故④错． 故答案为：②③．由线面平行的性质可判断①；由线面垂直的性质定理可判断②； 由面面平行的性质和线面垂直的性质，可判断③；由面面的位置关系可判断④．本题考查空间线面、面面平行和垂直的判断和性质，以及空间线面，面面的位置关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
5.【答案】100π【解析】
解：设实心铁球的半径为R，则，得R=5，故这个铁球的表面积为S=4πR2=100πcm2．故填：100π．容器的水面下降部分的容积即为球的体积，由此计算出球的半径，再根据球的表面积公式即可求解．本小题是立体几何的应用题，涉及圆柱的体积和球的表面积、体积的计算，考查考生理解、解决实际问题的能力．
6.【答案】6【解析】
解：设圆锥N高为h，则圆锥的底面半径为r=，∵圆柱M的底面半径为3，高为2，圆柱M和圆锥N的体积相同，∴，解得h=6．∴圆锥N的高为6．故答案为：6．设圆锥N高为h，则圆锥的底面半径为r=，由圆柱M的底面半径为3，高为2，圆柱M和圆锥N的体积相同，能求出圆锥N的高．本题考查圆锥的高的求法，考查圆柱、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题．
7.【答案】5【解析】
解：设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R， ∵圆锥的侧面积是50πcm2， ∴50π=π×R×2R， 解得R=5cm． 故答案为5．设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，利用圆锥的侧面积是50πcm2，求出此圆锥的底面半径．本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．
8.【答案】2x+y=0或x+y-1=0【解析】
【分析】?本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．?当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y-k=0，把点（-1，2）代入直线的方程可得k值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线过原点时，方程为?y=-2x，即2x+y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y-k=0，把点（-1，2）代入直线的方程可得 k=-1，故直线方程是 x+y-1=0．综上，所求的直线方程为 2x+y=0，或 x+y-1=0，故答案为：2x+y=0，或 x+y-1=0．
9.【答案】-10【解析】
解：根据题意得：圆心C在直线2x+y-1=0上，由圆的方程得：圆心C坐标为（-2，-），代入直线2x+y-1=0中，得：-4--1=0，解得：a=-10．故答案为：-10根据P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上，得到直线2x+y-1=0过圆心C，将圆心C坐标代入直线方程即可求出a的值．此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是根据P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆上，得到直线2x+y-1=0过圆心C．
10.【答案】4【解析】
解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y-25=0的距离d=∴圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0距离的最小值是AC=5-r=5-1=4故答案为：4圆心（0，0）到直线3x+4y-25=0的距离d=，圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0距离的最小值是AC=5-r，从而可求本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离，要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离的最大值
11.【答案】2
2
【解析】
解：圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的方程相减得：x-y+2=0，由圆x2+y2-4=0的圆心（0，0），半径r为2，且圆心（0，0）到直线x-y+2=0的距离d==，则公共弦长为2=2=2．故答案为：2．两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．
12.【答案】36π【解析】
解：圆x2+（y+1）2=9的圆心是C（0，-1），半径为3；圆心C在直线y=kx-1上，该圆绕直线y=kx-1在空间旋转一周，所得几何体是半径为3的球，∴球的体积为V球===36π．故答案为：36π．根据题意知圆的圆心和半径，且圆心在直线y=kx-1上，根据圆绕直线y=kx-1旋转一周所得几何体是球，求出体积即可．本题考查了旋转体的体积计算问题，是基础题．
13.【答案】[2，8]【解析】
解：圆x2+y2=9，其圆心为（0，0），半径为3圆x2+y2+8x-6y+25-r2=0，其圆心为（-4，3），半径为=r．两圆的圆心距d=5．∵两圆交点，可知圆心距大于等于半径之差，小于等于半径之和，∴3-r≤5≤3+r．解得：8≥r≥2；故答案为[2，8]．两圆交点，可知圆心距大于等于半径之差，小于等于半径之和，可得r的取值范围；本题考查两个圆的位置关系的判断，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键．
14.【答案】m＞4或m=2【解析】
解：曲线表示以原点为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，直线y=x+2与曲线相切时，=，∴m=2，直线y=x+2与曲线有两个交点时，将（0，2）代入，可得m=4，∴直线y=x+2与曲线恰有一个公共点时，实数m的取值范围为m＞4或m=2．故答案为：m＞4或m=2．曲线表示以原点为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，画出图象，结合图象，即可得出结论．本题考查直线与圆相交的性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
15.【答案】解：（1）若l1∥l2，则
1
2
=?
3???
??
，∴m=6，∴l1：x-2y-1=0，l2：x-2y-6=0∴l1，l2之间的距离d=
5
1+4
=
5
；（2）由题意，
3???>0
??>0
，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=
1
2
m（3-m）=?
1
2
(???
3
2
)
2
+
9
8
，∴m=
3
2
时，S最大为
9
8
，此时直线l2的方程为2x+2y-3=0．【解析】
（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离； （2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16.【答案】证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条相交直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条相交直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．【解析】
（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.【答案】证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，所以DE是△PBC的中位线，所以DE∥PC，…………………………（2分）又DE?平面PAC，PC?平面PAC，故DE∥平面PAC．……………（5分）解：（2）因为AP=AB，D是PB的中点，所以AD⊥PB，………（7分）因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，又BC⊥AB，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAB，…………（10分）因为AD?平面PAB，所以AD⊥BC，……………………………（11分）又AD⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC?平面ABC，故AD⊥平面PBC，……………………………………………（13分）因为DE?平面PBC，所以DE⊥AD．………………………………（14分）【解析】
（1）由D，E分别为PB，BC的中点，得DE∥PC，由此能证明DE∥平面PAC． （2）由AP=AB，D是PB的中点，得AD⊥PB，从而BC⊥平面PAB，进而AD⊥BC，再由AD⊥PB，得AD⊥平面PBC，由此能证明DE⊥AD．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18.【答案】解：（1）圆C的标准方程为（x-3）2+y2=9，所以圆心C（3，0），半径为r=3．当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y-4=k（x-1），圆心C到直线l的距离是d因为MN=2
??
??
2
?
??
2
，MN=2
5
，CM=r=3，所以d=2……………（4分）则d=
|3???0+4???|
??
2
+1
=2．?k=-
3
4
，即直线l的方程为：3x+4y-19=0当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，也适合题意；故直线l的方程为x=1或3x+4y-19=0．（2）若圆C上存在点P，使得PA2+PB2=12设P（x，y），则PA2+PB2=（x+1）2+（y-2）2+（x-1）2+（y-4）2=12，即x2+y2-6y+5=0，即x2+（y-3）2=4，所以点P在圆C：x2+（y-3）2=4上，又点P在圆C：（x-3）2+y2=9上，所以点P是两圆的交点，又因为3-2＜
(3?0
)
2
+(0?3
)
2
＜2+3，所以圆C：x2+（y-3）2=4与圆C：（x-3）2+y2=9相交，所以点P的个数为2．【解析】
（1）因为半径r=3，所以MN=2?圆心到直线的距离d=2，再由点到直线距离可求得斜率k后得直线方程；（2）因为PA2+PB2=12等价于点P在圆x2+（y-3）2=4上，所以问题等价于判断两圆的位置关系，然后用圆心距与两圆半径的关系．本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．
19.【答案】解：（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴????=
3
，AC=2．在Rt△ACD中，AC=2，∠ACD=60°，∴????=2
3
，????=4．∴
??
????????
=
1
2
?????????+
1
2
?????????=
1
2
×1×
3
+
1
2
×2×2
3
=
5
2
3
．则??=
1
3
×
5
2
3
×2=
5
3
3
．（2）证明：∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC．∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD，则EF⊥PC，∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．（3）证明：延长DC，AB，设它们交于点N，连PN．∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN．∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，∴EC∥平面PAB．【解析】
（1）利用直角三角形中的边角关系求出BC、AC、CD，由?求得底面的面积，代入体积公式进行运算．（2）证明AF⊥PC，再由CD⊥平面PAC 证明CD⊥PC，由EF∥CD，可得PC⊥EF，从而得到PC⊥平面AEF．（3）延长DC，AB，设它们交于点N，证明EC是三角形DPN的中位线，可得EC∥PN，从而证明EC∥平面PAB．本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明CE∥平面PAB 是解题的难点．
20.【答案】解：（1）根据题意，点P在直线l上，设P（3m，m），连接MP，因为圆M的方程为x2+（y-2）2=1，所以圆心M（0，2），半径r=1．因为过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B；则有PA⊥MA，PB⊥MB，且MA=MB=r=1，易得△APM≌△BPM，又由∠APB=60°，即∠APM=30°，则MP=2MA=2，即有（3m）2+（m-2）2=4，解可得：m=0或m=
2
5
，即P的坐标为（0，0）或（
6
5
，
2
5
）；（2）根据题意，△APM≌△BPM，则S四边形PAMB=2S△APM=MA?AP=AP，又由AP2=MP2-MA2=MP2-1，当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，设此时P的坐标为（3n，n）；有
???2
3???0
=-3，解可得n=
1
5
，即P的坐标为（
3
5
，
1
5
）；此时MP=
|0?6|
1+9
=
3
10
5
，则四边形PAMB面积的最小值为
??
??
2
?1
=
65
5
；（3）根据题意，PA是圆M的切线，则PA⊥MA，则过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，设P的坐标为（3m，m），M（0，2），则以MP为直径的圆为（x-0）（x-3m）+（y-m）（y-2）=0，变形可得：x2+y2-3mx-（m+2）y+2m=0，即x2+y2-2y-m（3x+y-2）=0；则有
3??+???2=0
??
2
+
??
2
?2??=0
，解可得：
??=2
??=0
或
??=
3
5
??=
1
5
；则当x=0、y=2和x=
3
5
、y=
1
5
时，x2+y2-2y-m（3x+y-2）=0恒成立，则经过A，P，M三点的圆必过定点，且定点的坐标为（0，2）和（
3
5
，
1
5
）．【解析】
（1）设P（3m，m），连接MP，分析易得MP=2MA=2，即有（3m）2+（m-2）2=4，解可得m的值，即可得答案；（2）根据题意，分析易得S四边形PAMB=2S△APM=MA?AP=AP，又由AP2=MP2-MA2=MP2-1，当MP最小时，即直线MP与直线l垂直时，四边形PAMB面积最小，设出P的坐标，则有=-3，解可得n的值，进而分析MP的最小值，求出四边形PAMB面积，即可得答案；（3）根据题意，分析可得：过A，P，M三点的圆为以MP为直径的圆，设P的坐标为（3m，m），用m表示过A，P，M三点的圆为x2+y2-2y-m（3x+y-2）=0，结合直线与圆位置关系，分析可得答案．本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及直线与圆的位置关系以及相交的性质，属于中档题．