2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高二(上)期中数学试卷(解析版)

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名称 2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高二(上)期中数学试卷(解析版)
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资源类型 教案
版本资源 苏教版
科目 数学
更新时间 2019-01-17 20:12:20

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文档简介


2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高二(上)期中数学试卷
一、填空题(本大题共14小题,共70.0分)
命题“?x>0,x2+x>0”的否定是______.
抛物线x2=-8y的焦点到准线的距离为______.
b2=ac是a,b,c成等比数列的______条件.
以双曲线
??
2
3
?
??
2
=1的右焦点为焦点的抛物线标准方程为______.
函数y=f(x)的图象在A(2,f(2))处的切线方程是y=3x-1,则f(2)+f′(2)=______.
已知椭圆
??
2
25
+
??
2
9
=1上一点到左准线的距离为5,则此点到左焦点的距离等于______.
不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},则a:b:c=______.
已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则其离心率为______.
不等式2x-
??
≥1的解集为______.
与双曲线
??
2
5
?
??
2
3
=1有公共渐近线,且焦距为8的双曲线方程为______.
以椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??>??>0)的左焦点F(-c,0)为圆心,c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是______.
已知x>0,y>0,满足x+2y-1=0,则
(???1)(1???)+1
????
的最小值是______.
已知实数x,y满足
??≥1
??≤3???1
??+??≤??
,如目标函数z=x-y最小值的取值范围为[-2,-1],则实数m的取值范围______.
设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=16x+
??
2
??
+5,若f(x)≥a+2对一切x≥0成立,则a的取值范围为______.
二、解答题(本大题共6小题,共80.0分)
关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两实根x1,x2,且0<x1<1<x2<2,求a的取值范围.
命题p:方程
??
2
???3
+
??
2
???1
=1表示双曲线,命题q:不等式x2-2x+k2-3>0对一切实数x恒成立. (1)求命题p中双曲线的焦点坐标; (2)若命题“p且q”为真命题,求实数k的取值范围.
函数f(x)=log2(x2-2x-3)的定义域为A,g(x)=
3
(???????1)(2?????)
的定义域为B. (1)求集合A、B; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
在面积为3的△PMN中,tan∠PMN=
1
3
,tan∠MNP=-3, (1)求以M,N为焦点且过点P的椭圆的方程 (2)若Q为(1)中椭圆上任意一点,试求
????
?
????
的取值范围.
如图,是一块足球训练场地,其中球门AB宽7米,B点位置的门柱距离边线EF的长为21米,现在有一球员在该训练场地进行直线跑动中的射门训练,球员从离底线AF距离x(x>10)米,离边线EF距离a(7≤a≤18)米的C处开始跑动,跑动线路为CD(CD∥EF),设射门角度∠ACB=θ. (1)若a=12, ①当球员离底线的距离x=16时,求tanθ的值; ②问球员离底线的距离为多少时,射门角度θ最大? (2)若tanθ=
1
2
,当a变化时,求x的取值范围.

已知椭圆E:
??
2
??
2
+
??
2
4
=1(m>2)的上顶点为M(0,2),两条过M点动弦MA,MB满足MA⊥MB. (1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,求此时椭圆E的方程; (2)对于给定的实数m(m>2),动直线AB是否经过一个定点?如果经过,求出该定点的坐标(用m表示),否则,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】?x>0,x2+x≤0 【解析】
解:由已知为全称命题, 它的否定为特称命题,即: ?x>0,x2+x≤0, 故答案为:?x>0,x2+x≤0 首先,将全称量词?改为存在量词?,然后,将x2+x>0改成x2+x≤0即可. 本题重点考查了全称量词和存在量词,全称命题的否定等知识,属于中档题,属于高考热点问题,这类题型是常考题型,求解此类问题关键是,量词否一否,结论否一否.
2.【答案】4 【解析】
解:抛物线x2=-8y的焦点到准线的距离为:p=4. 故答案为:4. 直接利用抛物线方程,求解p的值即可. 本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查.
3.【答案】必要非充分 【解析】
解:若a、b、c成等比数列, 根据等比数列的性质可得:b2=ac; 若b=0,a=2,c=0,满足b2=ac,但a、b、c显然不成等比数列, 则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件 故答案为:必要非充分 由a、b、c成等比数列,根据等比数列的性质可得b2=ac;对于充分性,可以举一个反例,满足b2=ac,但a、b、c不成等比数列,从而得到正确的选项. 本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断.在应用a,b,c成等比数列时,一定要考虑a,b,c都等于0的特殊情况,这是解题的关键所在.
4.【答案】y2=8x 【解析】
解:双曲线的右焦点坐标为(2,0),则所求抛物线的焦点坐标为(2,0) ∴所求抛物线的标准方程为y2=8x 故答案为:y2=8x 先确定双曲线的右焦点坐标,可得抛物线的焦点坐标,即可得到抛物线的标准方程. 本题考查双曲线、抛物线的几何性质,考查抛物线的标准方程,解题的关键是确定抛物线的焦点坐标.
5.【答案】8 【解析】
解:∵在点(2,f?(2))处的切线方程为y=3x-1, ∴f(2)=6-1=5,f′(2)=3, ∴f(2)+f′(2)=8, 故答案为:8. 由切线方程和导数的几何意义求出f(2)和f′(2)的值,再相加即可. 本题导数的几何意义:在某点处的切线的斜率就是该点处的导数值,以及切点在曲线和切线上的应用.
6.【答案】4 【解析】
解:已知椭圆+=1,解得:e= 已知椭圆上一点到左准线的距离为5, 则:设点到左焦点的距离为d, 利用椭圆的第二定义:, 解得:d=4 故答案为:4. 根据椭圆的方程求出离心率,进一步根据椭圆的第一和第二定义求出结果. 本题考查的知识要点:椭圆的离心率的应用,椭圆的第一第二定义的应用,属于基础题型.
7.【答案】1:(-4):3 【解析】
解:因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3}, 所以ax2+bx+c=0的两个根是1,3,且a>0, 则,解得, 所以a:b:c=1:(-4):3, 故答案为:1:(-4):3. 根据题意得ax2+bx+c=0的两个根是1,3,且a>0,利用韦达定理列出方程,用a表示出b和c,求出它们的比值. 本题考查一元二不等式的解集与对应方程的根的关系,以及韦达定理的应用.
8.【答案】2或
2
3
3
【解析】
解:∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°,且渐近线关于x、y轴对称, 若夹角在x轴上,则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°,150°,斜率为 若夹角在y轴上,则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°,120°,斜率为 ①若双曲线的焦点在x轴上,则或 ∵c2=a2+b2 ∴或 ∴或e2-1=3 ∴e=或e=2 ②若双曲线的焦点在y轴上,则或 ∵c2=a2+b2 ∴或 ∴或e2-1=3 ∴e=或e=2 综上所述,离心率为2或 故答案为2或 先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°,得双曲线的两条渐近线的斜率±或,由于不知双曲线的焦点位置,故通过讨论分别计算离心率,由或,再由双曲线中c2=a2+b2,求其离心率即可 本题考查了双曲线的几何性质,由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键
9.【答案】[1,+∞) 【解析】
解:由不等式2x-≥1,令t=≥0,可得2t2-t-1≥0,求得t≤- (舍去),或t≥1, 即≥1,x≥1, 故答案为:[1,+∞). 令t=≥0,得到一个关于t的一元二次不等式,解此一元二次不等式,求得t的范围,可得x的范围. 本题主要考查一元二次不等式的解法,属于中档题.
10.【答案】
??
2
10
?
??
2
6
=1或
??
2
10
?
??
2
6
=?1 【解析】
解:设出所求的双曲线的方程为, 依题意可知求得a=,b= ∴双曲线的方程为:. 故答案为:或. 先设出双曲线的方程,根据已知条件求得a和b的比值,进而利用焦距求得a和b的另一关系式,联立方程求得a和b,则双曲线的方程可得. 本题主要考查了双曲线的简单性质.涉及公共渐近线的双曲线的方程,由于不能确定所求的双曲线的焦点所在的位置,一定要分在x轴和y轴两种情况去讨论.
11.【答案】(
2
2
,1) 【解析】
解:依题意可知-c<c 即a2<2c2 ∴e=> ∵e<1 e的范围是(,1) 故答案为(,1) 根据题意可知,左焦点到左准线的距离小于圆的半径c,进而可得不等式-c<c,进而求得即离心率e的范围.又根据椭圆的离心率小于1,综合答案可得. 本题主要考查了椭圆的简单性质.要熟练掌握椭圆中关于准线、焦点、长轴、半轴等概念和关系的理解.
12.【答案】2+2
2
【解析】
解:x>0,y>0,满足x+2y-1=0, 可得x+2y=1, 则= =-1=+-1 =(x+2y)(+)-1 =2++≥2+2=2+2, 当且仅当x=y=-时,上式取得等号, 即有最小值为2+2, 故答案为:2+2. 由题意可得x+2y=1,=+-1=(x+2y)(+)-1,展开后运用基本不等式可得最小值. 本题考查基本不等式的运用:求最值,注意变形和等号成立的条件,考查化简运算能力,属于中档题.
13.【答案】[3,5] 【解析】
解:由z=x-y得y=x-z,目标函数z=x-y最小值的取值范围为[-2,-1], 所以此时目标函数对应的直线为y=x+1和y=x+2 作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图: 当目标函数为y=x+1时,对应的区域为BCD及其内部. 当目标函数为y=x+2时,对应的区域为ABE及其内部. 所以直线BC和AE是直线x+y=m的取值范围. 由,解得,即B(1,2), 此时m=x+y=1+2=3. 由,解得A(,), 此时m=x+y=+=5. 所以3≤m≤5, 即实数m的取值范围[3,5]. 故答案为:[3,5]. 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数z的几何意义,以及z=x-y最小值的取值范围为[-2,-1],结合图象得到实数m的取值范围. 本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.本题难度较大,综合性较强.
14.【答案】(-∞,-2] 【解析】
解:因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f-x)=-f(x),∴f(0)=0,∴0≥a+2,得a≤-2; 当x>0时,-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-16(-x)--5=16x+-5≥a+2恒成立, 因为16x+-5≥2-5=8|a|-5,(当且仅当x=时取等), 8|a|-5≥a+2,解得a≤-, 综上所述;a的取值范围是:(-∞,-2] 故答案为:(-∞,-2] 先根据奇函数性质,求出x≥0时,f(x)的解析式,然后利用基本不等式求出其最小值,代替恒成立. 本题考查了不等式恒成立.属中档题.
15.【答案】解:设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2, ∵x1,x2是方程f(x)=0的两实根,且0<x1<1<x2<2, ∴
??(0)>0
??(1)<0
??(2)>0
,∴
??
2
????2>0
7?(??+13)+
??
2
????2<0
28?2(??+13)+
??
2
????2>0
, ∴
??
2
????2>0
??
2
?2???8<0
??
2
?3??>0
,∴
??<?1或??>2
?2<??<4
??<0或??>3
∴-2<a<-1或3<a<4. ∴a的取值范围为(-2,-1)∪(3,4). 【解析】
把方程的根转化为函数的零点,结合函数图象找出不等式组,求解即可. 本题考查了方程的根与函数的零点的关系,同时考查了数形结合的数学思想,属于基础题.
16.【答案】解:(1)∵k-1>k-3,∴a2=k-1,b2=k-3,c2=2, ∴双曲线的焦点坐标为(0,±
2
) (2)方程方程
??
2
???3
+
??
2
???1
=1,表示双曲线,则(k-3)(k-1)<0,即1<k<3. 不等式x2-2x+k2-3>0对一切实数x恒成立?△=4-4(k2-3)<0,解得k<-2或>2. ∵命题p∧q为真命题,∴
??>2或??1?2<k<3, 综上,k的取值范围是:(2,3). 【解析】
(1)由k-1>k-3,可得c2=2,即可得双曲线的焦点坐标为(0,) (2)由方程=1表示双曲线求出k的范围,由不等式x2-2x+k2-3>0对一切实数x恒成立求出k的范围,然后由p∨q为真命题,p∧q为假命题得到p,q的真假情况,转化为集合间的关系得答案. 本题考查了命题的真假判断与应用,体现了数学转化思想方法,训练了补集思想在解题中的应用,是中档题.
17.【答案】解:(1)由x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3, ∴A=(-∞,-1)∪(3,+∞); ∵g(x)=
3
(???????1)(2?????)
的定义域非空, ∴a≠1, 当a>1时,B=(a+1,2a),当a<1时,B=(2a,a+1); (2)由A∪B=A,可得B?A, ∴a+1≤-1或a+1≥3, 解得a∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 【解析】
(1)由对数的真数大于0,化简集合A,由二次不等式的解法化简集合B; (2)由并集的定义,即可得到实数a的取值范围. 本题考查函数的定义域的求法,注意对数的真数大于0,考查集合的并集的求法,运用定义法解题是关键,属于中档题.
18.【答案】解:如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系, 设所求的椭圆方程为
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(a>b>0), 设以M,N为焦点且过点P的椭圆方程为焦点为M(-c,0),N(c,0). 由tan∠PMN=
1
3
,tan∠MNP=
1
3
, 得直线PM和直线PN的方程分别为y=
1
3
(x+c)和y=3(x-c). 将此二方程联立,解得x=
5
4
c,y=
3
4
c,即P点坐标为(
5
4
c,
3
4
c). 在△MNP中,|MN|=2c,MN上的高为点P的纵坐标,故由题设条件S△MNP=
1
2
×2??×
3??
4
=3, ∴c=2,即P点坐标为(
5
2

3
2
), 由两点间的距离公式,得PM=
3
10
2
,????=
10
2
, 由椭圆定义可得,2a=PM+PN=2
10
, ∴a=
10
又b2=a2-c2=6, 故所求椭圆方程
??
2
10
+
??
2
6
=1; (2)设Q(x,y), 则
????
?
????
=x2+y2-4=
??
2
+6?
3
??
2
5
?4=
2
??
2
5
+2 ∵??∈[?
10

10
], ∴
2
??
2
5
+2的范围为[2,6], ∴
????
?
????
的范围为[2,6]. 【解析】
(1)以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设以M,N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标,根据已知,可得直线PM和PN的直线方程,可知点P的坐标,根据,三角形的面积公式可求c,即可求解点P的坐标.由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|,进而根据椭圆的定义求得a,进而求得b,则椭圆方程可得. (2)结合向量的数量积的定义及椭圆的范围即可求解. 本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.
19.【答案】解:在△ACD中,设∠ACD=α,则tanα=
????
????
=
????
??
, 在△BCD中,设∠BCD=β,则tan??=
????
????
=
????
??
, ∴tanθ=tan(α-β)=
?????????????????
1+????????????????
=
????
??
?
????
??
1+
????
??
?
????
??
=
7??
??
2
+?????????
. (1)当a=12时,AD=14,BD=7, ①若x=16,则tanθ=
7×16
16
2
+9×16
=
7
25
; ②tanθ=
7??
??
2
+16×9
=
7
??+
144
??

7
2
???
144
??
=
7
24
. 当且仅当x=
144
??
,即x=12>10时上式取“=”; (2)AD=28-a,BD=21-a, tanθ=
7??
??
2
+(28???)(21???)
=
1
2
,则-x2+14x=a2-49a+588. ∵7≤a≤18,∴30≤a2-49a+588≤294. 则30≤-x2+14x≤294, 即
??
2
?14??+30≤0
??
2
?14??+294≥0
,解得7-
19
≤??≤7+
19
. 又x>10,∴10<x≤7+
19
. ∴x的取值范围为(10,7+
19
]. 【解析】
在△ACD中,设∠ACD=α,得tanα=,在△BCD中,设∠BCD=β,则tanβ=,由tanθ=tan(α-β),展开可得tanθ关于x,AD,BD的表达式. (1)当a=12时,得AD=14,BD=7,①把x=16直接代入可得tanθ的值;②求得tanθ=,直接利用基本不等式求最值; (2)求得AD=28-a,BD=21-a,可得tanθ=,则-x2+14x=a2-49a+588,再由a的范围得到关于x的不等式组,求解得答案. 本题考查函数模型的性质及其应用,考查数形结合的解题思想方法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.
20.【答案】解:(1)∵椭圆E:
??
2
??
2
+
??
2
4
=1(m>2)的上顶点为M(0,2), 两条过M点动弦MA,MB满足MA⊥MB. ∴当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时, d=
??
2
??
=
??
2
+4
??
≥4, 当且仅当c=2时,取等号, ∴当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,椭圆E的方程为
??
2
8
+
??
2
4
=1. (2)∵两条过M点动弦MA,MB满足MA⊥MB. ∴直线MA与坐标轴不垂直, ∴设直线MA的方程为y=kx+2,直线MB的方程为y=-
1
??
x+2, 将y=kx+2代入椭圆C的方程,得: (4+m2k2)x2+4m2kx=0, 解得x=0或x=
?4
??
2
??
4+
??
2
??
2
, ∴点A坐标为(
?4
??
2
??
4+
??
2
??
2

8?2
??
2
??
2
4+
??
2
??
2
), 同理,点B坐标为(
4
??
2
??
4
??
2
+
??
2

8
??
2
?2
??
2
4
??
2
+
??
2
), ∴直线l的斜率为kl=
8
??
2
?2
??
2
4
??
2
+
??
2
?
8?2
??
2
??
2
4+
??
2
??
2
4
??
2
??
4
??
2
+
??
2
?
?4
??
2
??
4+
??
2
??
2
=
4(
??
2
?1)
(
??
2
+4)??
, ∴直线l的方程为y=
4(
??
2
?1)
(
??
2
+4)??
(x-
4
??
2
??
4
??
2
+
??
2
)-
8
??
2
?2
??
2
4
??
2
+
??
2
, 整理,得:??=
4(
??
2
?1)
(
??
2
+4)??
x+
2(4?
??
2
)
??
2
+1
, ∴直线l过定点(0,
2(4?
??
2
)
4+
??
2
). 【解析】
(1)当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时,d=≥4,由此能求出结果. (2)设直线MA的方程为y=kx+2,直线MB的方程为y=-x+2,将y=kx+2代入椭圆C的方程,得(4+m2k2)x2+4m2kx=0,从而求出点A(,),同理,B(,),由此求出直线l的斜率为kl=,进而求出直线l的方程为x+,由此能求出直线l过定点(0,). 本题考查椭圆方程的求法,考查直线是否过定点的判断与求法,考查椭圆、直线方程、直线斜率等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
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