2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省连云港市灌云县高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“?x＞0，x2+x＞0”的否定是______．
抛物线x2=-8y的焦点到准线的距离为______．
b2=ac是a，b，c成等比数列的______条件．
以双曲线
??
2
3
?
??
2
=1的右焦点为焦点的抛物线标准方程为______．
函数y=f（x）的图象在A（2，f（2））处的切线方程是y=3x-1，则f（2）+f′（2）=______．
已知椭圆
??
2
25
+
??
2
9
=1上一点到左准线的距离为5，则此点到左焦点的距离等于______．
不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}，则a：b：c=______．
已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为______．
不等式2x-
??
≥1的解集为______．
与双曲线
??
2
5
?
??
2
3
=1有公共渐近线，且焦距为8的双曲线方程为______．
以椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??＞??＞0)的左焦点F（-c，0）为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
已知x＞0，y＞0，满足x+2y-1=0，则
(???1)(1???)+1
????
的最小值是______．
已知实数x，y满足
??≥1
??≤3???1
??+??≤??
，如目标函数z=x-y最小值的取值范围为[-2，-1]，则实数m的取值范围______．
设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=16x+
??
2
??
+5，若f（x）≥a+2对一切x≥0成立，则a的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
关于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0有两实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，求a的取值范围．
命题p：方程
??
2
???3
+
??
2
???1
=1表示双曲线，命题q：不等式x2-2x+k2-3＞0对一切实数x恒成立．（1）求命题p中双曲线的焦点坐标；（2）若命题“p且q”为真命题，求实数k的取值范围．
函数f（x）=log2（x2-2x-3）的定义域为A，g（x）=
3
(???????1)(2?????)
的定义域为B．（1）求集合A、B；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．
在面积为3的△PMN中，tan∠PMN=
1
3
，tan∠MNP=-3，（1）求以M，N为焦点且过点P的椭圆的方程（2）若Q为（1）中椭圆上任意一点，试求
????
?
????
的取值范围．
如图，是一块足球训练场地，其中球门AB宽7米，B点位置的门柱距离边线EF的长为21米，现在有一球员在该训练场地进行直线跑动中的射门训练，球员从离底线AF距离x（x＞10）米，离边线EF距离a（7≤a≤18）米的C处开始跑动，跑动线路为CD（CD∥EF），设射门角度∠ACB=θ．（1）若a=12，①当球员离底线的距离x=16时，求tanθ的值；②问球员离底线的距离为多少时，射门角度θ最大？（2）若tanθ=
1
2
，当a变化时，求x的取值范围．

已知椭圆E：
??
2
??
2
+
??
2
4
=1（m＞2）的上顶点为M（0，2），两条过M点动弦MA，MB满足MA⊥MB．（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；（2）对于给定的实数m（m＞2），动直线AB是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用m表示），否则，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】?x＞0，x2+x≤0【解析】
解：由已知为全称命题， 它的否定为特称命题，即： ?x＞0，x2+x≤0， 故答案为：?x＞0，x2+x≤0首先，将全称量词?改为存在量词?，然后，将x2+x＞0改成x2+x≤0即可．本题重点考查了全称量词和存在量词，全称命题的否定等知识，属于中档题，属于高考热点问题，这类题型是常考题型，求解此类问题关键是，量词否一否，结论否一否．
2.【答案】4【解析】
解：抛物线x2=-8y的焦点到准线的距离为：p=4． 故答案为：4．直接利用抛物线方程，求解p的值即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3.【答案】必要非充分【解析】
解：若a、b、c成等比数列， 根据等比数列的性质可得：b2=ac； 若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列， 则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件 故答案为：必要非充分由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；对于充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．本题主要考查等比数列的等比中项的性质和充要条件的判断．在应用a，b，c成等比数列时，一定要考虑a，b，c都等于0的特殊情况，这是解题的关键所在．
4.【答案】y2=8x【解析】
解：双曲线的右焦点坐标为（2，0），则所求抛物线的焦点坐标为（2，0）∴所求抛物线的标准方程为y2=8x故答案为：y2=8x先确定双曲线的右焦点坐标，可得抛物线的焦点坐标，即可得到抛物线的标准方程．本题考查双曲线、抛物线的几何性质，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定抛物线的焦点坐标．
5.【答案】8【解析】
解：∵在点（2，f?（2））处的切线方程为y=3x-1， ∴f（2）=6-1=5，f′（2）=3， ∴f（2）+f′（2）=8， 故答案为：8．由切线方程和导数的几何意义求出f（2）和f′（2）的值，再相加即可．本题导数的几何意义：在某点处的切线的斜率就是该点处的导数值，以及切点在曲线和切线上的应用．
6.【答案】4【解析】
解：已知椭圆+=1，解得：e=已知椭圆上一点到左准线的距离为5，则：设点到左焦点的距离为d，利用椭圆的第二定义：，解得：d=4故答案为：4．根据椭圆的方程求出离心率，进一步根据椭圆的第一和第二定义求出结果．本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，椭圆的第一第二定义的应用，属于基础题型．
7.【答案】1：（-4）：3【解析】
解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}，所以ax2+bx+c=0的两个根是1，3，且a＞0，则，解得，所以a：b：c=1：（-4）：3，故答案为：1：（-4）：3．根据题意得ax2+bx+c=0的两个根是1，3，且a＞0，利用韦达定理列出方程，用a表示出b和c，求出它们的比值．本题考查一元二不等式的解集与对应方程的根的关系，以及韦达定理的应用．
8.【答案】2或
2
3
3
【解析】
解：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°，150°，斜率为若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°，120°，斜率为①若双曲线的焦点在x轴上，则或∵c2=a2+b2∴或 ∴或e2-1=3∴e=或e=2②若双曲线的焦点在y轴上，则或∵c2=a2+b2∴或 ∴或e2-1=3∴e=或e=2综上所述，离心率为2或 故答案为2或先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，得双曲线的两条渐近线的斜率±或，由于不知双曲线的焦点位置，故通过讨论分别计算离心率，由或，再由双曲线中c2=a2+b2，求其离心率即可本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键
9.【答案】[1，+∞）【解析】
解：由不等式2x-≥1，令t=≥0，可得2t2-t-1≥0，求得t≤- （舍去），或t≥1，即≥1，x≥1，故答案为：[1，+∞）．令t=≥0，得到一个关于t的一元二次不等式，解此一元二次不等式，求得t的范围，可得x的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
10.【答案】
??
2
10
?
??
2
6
=1或
??
2
10
?
??
2
6
=?1【解析】
解：设出所求的双曲线的方程为，依题意可知求得a=，b=∴双曲线的方程为：．故答案为：或．先设出双曲线的方程，根据已知条件求得a和b的比值，进而利用焦距求得a和b的另一关系式，联立方程求得a和b，则双曲线的方程可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及公共渐近线的双曲线的方程，由于不能确定所求的双曲线的焦点所在的位置，一定要分在x轴和y轴两种情况去讨论．
11.【答案】(
2
2
，1)【解析】
解：依题意可知-c＜c即a2＜2c2∴e=＞∵e＜1e的范围是（，1）故答案为（，1）根据题意可知，左焦点到左准线的距离小于圆的半径c，进而可得不等式-c＜c，进而求得即离心率e的范围．又根据椭圆的离心率小于1，综合答案可得．本题主要考查了椭圆的简单性质．要熟练掌握椭圆中关于准线、焦点、长轴、半轴等概念和关系的理解．
12.【答案】2+2
2
【解析】
解：x＞0，y＞0，满足x+2y-1=0，可得x+2y=1，则==-1=+-1=（x+2y）（+）-1=2++≥2+2=2+2，当且仅当x=y=-时，上式取得等号，即有最小值为2+2，故答案为：2+2．由题意可得x+2y=1，=+-1=（x+2y）（+）-1，展开后运用基本不等式可得最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
13.【答案】[3，5]【解析】
解：由z=x-y得y=x-z，目标函数z=x-y最小值的取值范围为[-2，-1]，所以此时目标函数对应的直线为y=x+1和y=x+2作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：当目标函数为y=x+1时，对应的区域为BCD及其内部．当目标函数为y=x+2时，对应的区域为ABE及其内部．所以直线BC和AE是直线x+y=m的取值范围．由，解得，即B（1，2），此时m=x+y=1+2=3．由，解得A（，），此时m=x+y=+=5．所以3≤m≤5，即实数m的取值范围[3，5]．故答案为：[3，5]．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，以及z=x-y最小值的取值范围为[-2，-1]，结合图象得到实数m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．本题难度较大，综合性较强．
14.【答案】（-∞，-2]【解析】
解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f-x）=-f（x），∴f（0）=0，∴0≥a+2，得a≤-2；当x＞0时，-x＜0，所以f（x）=-f（-x）=-16（-x）--5=16x+-5≥a+2恒成立，因为16x+-5≥2-5=8|a|-5，（当且仅当x=时取等），8|a|-5≥a+2，解得a≤-，综上所述；a的取值范围是：（-∞，-2]故答案为：（-∞，-2]先根据奇函数性质，求出x≥0时，f（x）的解析式，然后利用基本不等式求出其最小值，代替恒成立．本题考查了不等式恒成立．属中档题．
15.【答案】解：设f（x）=7x2-（a+13）x+a2-a-2，∵x1，x2是方程f（x）=0的两实根，且0＜x1＜1＜x2＜2，∴
??(0)＞0
??(1)＜0
??(2)＞0
，∴
??
2
????2＞0
7?(??+13)+
??
2
????2＜0
28?2(??+13)+
??
2
????2＞0
，∴
??
2
????2＞0
??
2
?2???8＜0
??
2
?3??＞0
，∴
??＜?1或??＞2
?2＜??＜4
??＜0或??＞3
∴-2＜a＜-1或3＜a＜4．∴a的取值范围为（-2，-1）∪（3，4）．【解析】
把方程的根转化为函数的零点，结合函数图象找出不等式组，求解即可．本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．
16.【答案】解：（1）∵k-1＞k-3，∴a2=k-1，b2=k-3，c2=2，∴双曲线的焦点坐标为（0，±
2
）（2）方程方程
??
2
???3
+
??
2
???1
=1，表示双曲线，则（k-3）（k-1）＜0，即1＜k＜3．不等式x2-2x+k2-3＞0对一切实数x恒成立?△=4-4（k2-3）＜0，解得k＜-2或＞2．∵命题p∧q为真命题，∴
??>2或??1?2＜k＜3，综上，k的取值范围是：（2，3）．【解析】
（1）由k-1＞k-3，可得c2=2，即可得双曲线的焦点坐标为（0，）（2）由方程=1表示双曲线求出k的范围，由不等式x2-2x+k2-3＞0对一切实数x恒成立求出k的范围，然后由p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p，q的真假情况，转化为集合间的关系得答案．本题考查了命题的真假判断与应用，体现了数学转化思想方法，训练了补集思想在解题中的应用，是中档题．
17.【答案】解：（1）由x2-2x-3＞0，解得x＜-1或x＞3，∴A=（-∞，-1）∪（3，+∞）；∵g（x）=
3
(???????1)(2?????)
的定义域非空，∴a≠1，当a＞1时，B=（a+1，2a），当a＜1时，B=（2a，a+1）；（2）由A∪B=A，可得B?A，∴a+1≤-1或a+1≥3，解得a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．【解析】
（1）由对数的真数大于0，化简集合A，由二次不等式的解法化简集合B； （2）由并集的定义，即可得到实数a的取值范围．本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0，考查集合的并集的求法，运用定义法解题是关键，属于中档题．
18.【答案】解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设所求的椭圆方程为
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0），设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为焦点为M（-c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=
1
3
，tan∠MNP=
1
3
，得直线PM和直线PN的方程分别为y=
1
3
（x+c）和y=3（x-c）．将此二方程联立，解得x=
5
4
c，y=
3
4
c，即P点坐标为（
5
4
c，
3
4
c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故由题设条件S△MNP=
1
2
×2??×
3??
4
=3，∴c=2，即P点坐标为（
5
2
，
3
2
），由两点间的距离公式，得PM=
3
10
2
，????=
10
2
，由椭圆定义可得，2a=PM+PN=2
10
，∴a=
10
又b2=a2-c2=6，故所求椭圆方程
??
2
10
+
??
2
6
=1；（2）设Q（x，y），则
????
?
????
=x2+y2-4=
??
2
+6?
3
??
2
5
?4=
2
??
2
5
+2∵??∈[?
10
，
10
]，∴
2
??
2
5
+2的范围为[2，6]，∴
????
?
????
的范围为[2，6]．【解析】
（1）以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据已知，可得直线PM和PN的直线方程，可知点P的坐标，根据，三角形的面积公式可求c，即可求解点P的坐标．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得． （2）结合向量的数量积的定义及椭圆的范围即可求解．本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．
19.【答案】解：在△ACD中，设∠ACD=α，则tanα=
????
????
=
????
??
，在△BCD中，设∠BCD=β，则tan??=
????
????
=
????
??
，∴tanθ=tan（α-β）=
?????????????????
1+????????????????
=
????
??
?
????
??
1+
????
??
?
????
??
=
7??
??
2
+?????????
．（1）当a=12时，AD=14，BD=7，①若x=16，则tanθ=
7×16
16
2
+9×16
=
7
25
；②tanθ=
7??
??
2
+16×9
=
7
??+
144
??
≤
7
2
???
144
??
=
7
24
．当且仅当x=
144
??
，即x=12＞10时上式取“=”；（2）AD=28-a，BD=21-a，tanθ=
7??
??
2
+(28???)(21???)
=
1
2
，则-x2+14x=a2-49a+588．∵7≤a≤18，∴30≤a2-49a+588≤294．则30≤-x2+14x≤294，即
??
2
?14??+30≤0
??
2
?14??+294≥0
，解得7-
19
≤??≤7+
19
．又x＞10，∴10＜x≤7+
19
．∴x的取值范围为（10，7+
19
]．【解析】
在△ACD中，设∠ACD=α，得tanα=，在△BCD中，设∠BCD=β，则tanβ=，由tanθ=tan（α-β），展开可得tanθ关于x，AD，BD的表达式．（1）当a=12时，得AD=14，BD=7，①把x=16直接代入可得tanθ的值；②求得tanθ=，直接利用基本不等式求最值；（2）求得AD=28-a，BD=21-a，可得tanθ=，则-x2+14x=a2-49a+588，再由a的范围得到关于x的不等式组，求解得答案．本题考查函数模型的性质及其应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
20.【答案】解：（1）∵椭圆E：
??
2
??
2
+
??
2
4
=1（m＞2）的上顶点为M（0，2），两条过M点动弦MA，MB满足MA⊥MB．∴当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，d=
??
2
??
=
??
2
+4
??
≥4，当且仅当c=2时，取等号，∴当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，椭圆E的方程为
??
2
8
+
??
2
4
=1．（2）∵两条过M点动弦MA，MB满足MA⊥MB．∴直线MA与坐标轴不垂直，∴设直线MA的方程为y=kx+2，直线MB的方程为y=-
1
??
x+2，将y=kx+2代入椭圆C的方程，得：（4+m2k2）x2+4m2kx=0，解得x=0或x=
?4
??
2
??
4+
??
2
??
2
，∴点A坐标为（
?4
??
2
??
4+
??
2
??
2
，
8?2
??
2
??
2
4+
??
2
??
2
），同理，点B坐标为（
4
??
2
??
4
??
2
+
??
2
，
8
??
2
?2
??
2
4
??
2
+
??
2
），∴直线l的斜率为kl=
8
??
2
?2
??
2
4
??
2
+
??
2
?
8?2
??
2
??
2
4+
??
2
??
2
4
??
2
??
4
??
2
+
??
2
?
?4
??
2
??
4+
??
2
??
2
=
4(
??
2
?1)
(
??
2
+4)??
，∴直线l的方程为y=
4(
??
2
?1)
(
??
2
+4)??
（x-
4
??
2
??
4
??
2
+
??
2
）-
8
??
2
?2
??
2
4
??
2
+
??
2
，整理，得：??=
4(
??
2
?1)
(
??
2
+4)??
x+
2(4?
??
2
)
??
2
+1
，∴直线l过定点（0，
2(4?
??
2
)
4+
??
2
）．【解析】
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，d=≥4，由此能求出结果．（2）设直线MA的方程为y=kx+2，直线MB的方程为y=-x+2，将y=kx+2代入椭圆C的方程，得（4+m2k2）x2+4m2kx=0，从而求出点A（，），同理，B（，），由此求出直线l的斜率为kl=，进而求出直线l的方程为x+，由此能求出直线l过定点（0，）．本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、直线斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．