2018-2019学年江苏省连云港市开发区、赣榆区高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省连云港市开发区、赣榆区高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“?x∈R，x2＜1”的否定是______．
不等式x2-2x-3＜0的解集为______．
抛物线y2=-8x的准线方程是______．
命题“若x＜0，则x2≥0”的逆否命题是______．
双曲线
??
2
?
??
2
3
=1的两条渐近线所成的锐角为______．
函数f（x）=2x2+
8
??
2
+1
的最小值为______．
已知变量x，y满足约束条件
2?????+4≥0
2??+???4≤0
??+1≥0
，则z=2x+3y的最大值为______．
已知双曲线x2-
??
2
8
=
1
??
的一个焦点为（0，-3），则k的值为______．
已知椭圆
??
2
45
+
??
2
20
=1上一点P与两个焦点的连线互相垂直，若点P在第二象限，则该点的坐标为______．
过定点A（4，2）任作互相垂直的两条直线l1与l2，设11与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，则线段MN的中点P的轨迹方程是______．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F，点M是抛物线上的动点，则
????
????
的最大值为______．
若集合A={x|4≤
2
?
??
2
+2??+??
≤9}中恰有唯一的元素，则实数a的值为______．
如图所示，点A，F分别是椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）的下顶点和右焦点交于另一点B，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于点C，若
????
????
=
7
20
，则椭圆的离心率为______．
已知正数x，y满足2x+
1
??
+y+
2
??
=9，则2x+y的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
已知m∈R，命题p：方程
??
2
???1
+
??
2
2???
=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程
??
2
4???
?
??
2
??+2
=1表示双曲线．（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．
已知关于x的不等式ax2-4ax+1＜0的解集为集合A，其中a∈R．（1）若A={x|x＜-2，或x＞b}，求a，b的值；（2）若A=?，求实数a的取值范围．
已知不等式4x2+8x-5≤0的解集为集合A，x2-4x-m2+4≤0的解集为集合B．（1）求集合A和B；（2）当m∈（0，+∞）时，若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．
已知椭圆C：ax2+by2=1．（1）若a=
1
4
，椭圆C的一条准线方程为x=4，求b的值（2）若椭圆C与直线l：x+y=1交于点A，B，M为线段AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为
2
2
，又OA⊥OB，求a，b的值．
如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗△EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗△EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
3
的椭圆过点(
2
,
7
3
)．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与y轴的非负半轴交于点B，过点B作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P，Q两点，连接PQ，求△BPQ的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】?x∈R，x2≥1【解析】
解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得： ￢p：?x∈R，x2≥1 故答案为：：?x∈R，x2≥1．利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢p．本题主要考查了含有量词的命题的否定，要求掌握含有量词的命题的否定的两种形式，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
2.【答案】{x|-1＜x＜3}【解析】
解：∵方程x2-2x-3=0的实数根是x1=-1，x2=3； ∴不等式x2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}， 故答案为：{x|-1＜x＜3}，先求对应方程x2-2x-3=0的实数根，再写出不等式的解集本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答即可．
3.【答案】x=2【解析】
解：∵抛物线的方程为y2=-8x，∴2p=8，p=4，∴其准线方程为x==2．故答案为：x=2．利用抛物线的性质即可求得答案．本题考查抛物线的性质，属于简单题．
4.【答案】若x2＜0，则x≥0【解析】
解：命题“若x＜0，则x2≥0”的逆否命题为：若x2＜0，则x≥0． 故答案为：若x2＜0，则x≥0．直接利用四种命题的逆否关系，写出逆否命题即可．本题考查四种命题的逆否关系，注意命题的否定与否定命题的区别，是基础题．
5.【答案】60°【解析】
解：由题意，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，∴两条渐近线所夹的锐角等于60°．故答案为：60°．先由双曲线方程求出渐近线方程，再求两条渐近线所夹的锐角即可．本题的考点是双曲线的简单性质，主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线的倾斜角，属于基础题．
6.【答案】6【解析】
解：f（x）=2x2+=2（x2+1+）-2≥2×2-2=6，当且仅当x2=1时取等号，故函数f（x）=2x2+的最小值为6，故答案为：6．由f（x）=2x2+=2（x2+1+）-2，利用基本不等式即可求出．本题考查基本不等式的应用，属基础题．
7.【答案】12【解析】
解：由变量x，y满足约束条件作出其平面区域，由解得，x=0，y=4；A（0，4），z=2x+3y经过A时，取得最大值，故目标函数z=2x+3y的最大值为0+3×4=12；故答案为：12．由题意作出其平面区域，求出A的坐标；故目标函数z=2x+3y的最大值．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．
8.【答案】-1【解析】
解：双曲线x2-=化为，∵双曲线的一个焦点为（0，-3），∴2，解得k=-1．故答案为：-1．双曲线8kx2-ky2=8化为标准形式，由于双曲线的一个焦点为（0，-3），列出方程，解出k即可本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】（-3，4）【解析】
解：∵椭圆=1，∴a2=45，b2=20，c2=a2-b2=25以O为圆心，半径5的圆方程x2+y2=25 （1）=1 （2）由（1）（2）得：x2=9，y2=16解得：x1=-3，x2=3，y1=4，y2=-4，椭圆=1上一点P与两个焦点的连线互相垂直，即椭圆与圆的交点，若点P在第二象限，所以交点坐标是（-3，4），故答案为：（-3，4）．以椭圆的中心为圆心，以半焦距为半径的圆，椭圆与圆的交点即为所求．本题主要考查椭圆的性质，属于基本知识的考查．
10.【答案】2x+y-5=0【解析】
解：当l1不平行于坐标轴时，设l1：y-2=k（x-4）…①则l2：y-2=-（x-4）…②在①中令y=0得，M（4-，0），在②中令x=0得，N（0，2+）．设MN的中点P（x，y），则，消去k得，2x+y-5=0，当l1平行于坐标轴时，MN的中点为（2，1）也满足此方程．∴P点的轨迹方程为2x+y-5=0．故答案为：2x+y-5=0．通过当l1不平行于坐标轴时，设l1：y-2=k（x-4），l2：y-2=-（x-4），求出M，N的坐标，设MN的中点P（x，y），消去k得轨迹方程，当l1平行于坐标轴时，判断是否满足方程即可．本题考查轨迹方程的求法，注意直线的斜率是否存在是解题的易错点，是中档题．
11.【答案】
2
3
3
【解析】
解：焦点F（1，0），设M（m，n），则n2=4m，m＞0，设M?到准线x=-1的距离等于d，则==．令2m-1=t，t＞-1，则m=（t+1），∴=≤=（当且仅当t=3时，等号成立）．则的最大值为：．故答案为：设M到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得=，令2m-1=t，利用基本不等式求得最大值．本题考查抛物线的定义、简单性质，体现了换元的思想，基本不等式的应用是解题的关键和难点，属于中档题．
12.【答案】2【解析】
解：∵集合A={x|4≤9}中恰有唯一的元素，∴2≤-x2+2x+a≤log29恰有唯一解，∵1≤a-（x-1）2≤log29-1，∴实数a的值为2．故答案为：2．推导出2≤-x2+2x+a≤log29恰有唯一解，从而2≤a-（x-1）2≤log29-1，由此能求出实数a的值．本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素个数、指数函数的性质的合理运用．
13.【答案】
3
4
【解析】
解：由题意，设A（0，-b），F（c，0），AB的方程为y=x-b，则OC的方程为y=x，AB的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2-2a2cx=0，∴x=0或x=，可得B（，），∴|FB|==，OC的方程与椭圆方程联立可得（a2+c2）x2=a2c2，∴x=±，即有C（，），∴|OC|==，∵==，化为400c4-849c2a2+351a4=0，由e=可得400e4-849e2+351=0，即有e2=或＞1（舍去），则e=．故答案为：．设出AB，CO的方程，分别与椭圆方程联立，求导|CO|，|FB|，利用=，即可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出|CO|，|FB|，属于中档题．
14.【答案】[1，8]【解析】
解：2x++y+=9，∴9-（2x+y）=+==≥=，当且仅当2x=y取等号，设2x+y=t，t＞0，∴9-t≥，即t2-9t+8≤0，解得1≤t≤8，故2x+y的取值范围为[1，8]，故答案为：[1，8]由题意和基本不等式整体可得9-（2x+y）≥的不等式，解不等式可得．本题考查基本不等式，涉及换元法和不等式的解法，属基础题．
15.【答案】解：（1）若命题p是真命题，则2-m＞m-1＞0，解得1＜m＜
3
2
；（2）若命题q为真命题，则（4-m）（m+2）＞0，即-2＜m＜4．命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．当p真q假时，
1＜??＜
3
2
??≤?2或??≥4
，得m∈?；当p假q真时，
??≤1或??≥
3
2
?2＜??＜4
，解得-2＜m≤1或
3
2
≤??＜4．∴实数m的取值范围时（-2，1]∪[
3
2
，4）．【解析】
（1）由题意可得，2-m＞m-1＞0，求解不等式得答案； （2）求出q为真命题的m的范围，再由复合命题的真假判断列式求解．本题考查复合命题的真假判断，考查椭圆与双曲线的性质，是中档题．
16.【答案】解：（1）A={x|x＜-2，或x＞b}时，不等式ax2-4ax+1＜0对应方程的解为-2和b，且a＜0，∴4a+8a+1=0，解a=-
1
12
，∴不等式x2-4x-12＞0，解得x＜-2或x＞6，∴b=6；（2）若A=?，则
△≤0
??>0
，即
16
??
2
?4??≤0
??>0
，解得
??＞0
0≤??≤
1
4
，即实数a的取值范围是0＜a≤
1
4
．【解析】
（1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，即可求出a和b的值； （2）由题意，利用判别式即可求得a的取值范围．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．
17.【答案】解：（1）∵4x2+8x-5≤0的解集为集合A，∴A=[-
5
2
，
1
2
]；∵x2-4x-m2+4≤0的解集为集合B，∴B=[2-|m|，2+|m|]；（2）当m∈（0，+∞）时：B=[2-m，2+m]，若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A?B，则
2???≤?
5
2
2+??≥
1
2
，解得：m≥
9
2
．【解析】
（1）解不等式求出A，B即可； （2）根据集合的包含关系得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了不等式的解法，考查集合的包含关系，是一道常规题．
18.【答案】解（1）a=
1
4
时，椭圆方程化为：
??
2
1
??
+
??
2
1
??
=1，∴
1
??
1
??
?
1
??
=4，即
4
4?
1
??
=4，解得：b=
1
3
，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立
??
??
2
+??
??
2
=1
??+??=1
，消去y并整理得：（a+b）x2-2bx+b-1=0，∴△=（-2b）2-4（a+b）（b-1）＞0，得a+b＞ab，x∴1+x2=
2??
??+??
，x1x2=
???1
??+??
，∴y1+y2=2-（x1+x2）=
2??
??+??
，y1y2=1-（x1+x2）+x1x2=
???1
??+??
，∴kOM=
??
1
+
??
2
2
??
1
+
??
2
2
=
??
??
=
2
2
，OA⊥OB?1x2+y1y2=0?
???1
??+??
+
???1
??+??
=0?a+b=2，
??
??
=
2
2
??+??=2
解得：a=2
2
-2??????????b=4-2
2
【解析】
（1）根据椭圆的几何性质列式：=4，即=4，解得：b=；（2）联立直线与椭圆，用根与系数关系、斜率公式以及OA⊥OB?1x2+y1y2=0列式解得a与b．本题考查了直线与椭圆的综合．属中档题．
19.【答案】解：（1）①当0≤x＜0.5时，△EMN的高是0.5-x，底是1+2x（可以由三角形相似得到），∴f（x）=
1
2
（0.5-x）（1+2x）=
1
2
（0.5-2x2），②当1.5≥x≥0.5时，△EMN的高是x-0.5，底是2
1?(0.5???
)
2
，∴f（x）=（x-0.5）
3+4???4
??
2
4
，∴f（x）=
1
2
(
1
2
?2
??
2
)
0≤??＜
1
2
(???
1
2
)
3+4???4
??
2
4
1
2
≤??≤
3
2
，（2）当0≤x＜0.5时，f（x）是单调递减的，f（x）的最大值为f（0）=
1
4
，当1.5≥x≥0.5时，f（x）是在（
1
2
，
1+
2
2
）上单调递增，在（
1+
2
2
，
3
2
）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（
1+
2
2
）=
1
2
，∴当x=
1+
2
2
时，三角形面积最大，最大面积为
1
2
．【解析】
（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可． （2）求出每一段上的最大值．再找到最大的一个即可．本题考查分段函数求解析式，所以分类讨论即可．求最大值时，只需求出每一段上的最大值，再找到最大的一个即可．
20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1(??＞??＞0)，则
??
??
=
2
2
3
2
??
2
+
7
9
??
2
=1
，故
??=1
??=3
，所以，椭圆方程为
??
2
9
+
??
2
=1．（Ⅱ）由题意可知，直线BP的斜率存在且不为o．故可设直线BP的方程为y=kx+1，由对称性，不妨设k＞0，由
??
2
+9
??
2
?9=0
??=????+1
，消去y得（1+9k2）x2+18kx=0，则|????|=
1+
??
2
18??
1+9
??
2
，将式子中的k＞0换成?
1
??
，得：|????|=
18
1+
??
2
??
2
+9
．
??
△??????
=
1
2
|????||????|=
1
2
?
18??
??
2
+1
1+9
??
2
?
18
??
2
+1
??
2
+9
=
1
2
??
2
+1
18??
1+9
??
2
1
??
2
+1
18
1
??
1+
9
??
2
=
??
2
+1
1
??
2
+1
162
(1+9
??
2
)(1+
9
??
2
)
=(??+
1
??
)
162
82+9(
??
2
+
1
??
2
)
，设??+
1
??
=??，则t≥2．故
??
△??????
=
162??
9
??
2
+64
=
162
9??+
64
??
≤
162
2
9×64
=
27
8
，取等条件为9??=
64
??
即??=
8
3
，即??+
1
??
=
8
3
，解得??=
4±
7
3
时，S△BPQ取得最大值
27
8
．【解析】
（Ⅰ）设出椭圆的方程；利用椭圆的离心率，经过的点，求出a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）直线BP的斜率存在且不为0．设直线BP的方程为y=kx+1，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理以及弦长公式，表示三角形的面积，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．