2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

2018-2019学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“?x∈R，x2＞9”的否定是______．
“x＞1”是“x2＞1”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
函数f（x）=x2在区间[1，1.1]上的平均变化率是______．
已知函数f（x）=2ex-x的导数为f′（x），则f′（0）的值是______．
已知直线l1：ax+4y+4=0，l2：x+ay+2=0，若l1∥l2，则a的值是______．
已知点A（1，2），B（3，4），若直线x+ky+5=0与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是______．
（理科）若x，y满足约束条件
??≥0
??+2??≥3
2??+??≤3
，则z=x-y的最小值是______．
已知双曲线x2-y2=k的一个焦点是抛物线y2=16x的焦点，则k的值是______．
若圆x2+y2=4与圆x2+y2-16x+m=0相外切，则实数m的值是______．
若经过椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为
??
2
，则该椭圆的离心率为______．
已知椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
?4
=1的左、右焦点分别为F1、F2，若在椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a2的值是______．
已知圆（x-3）2+（y-4）2=4的圆心为C，点P，Q在圆上，若△CPQ的面积是
3
，则C到直线PQ的距离为______．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（4，0），若直线x-y+m=0上存在唯一的点P使得PB=2PA，则m的值是______．
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线
??
2
??
??
2
??
-t2y2=1（t∈[2，3]）的右焦点为F，过F作双曲线的渐近线的垂线，垂足为H，则△OFH面积的取值范围为______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
已知p：方程
??
2
???1
+
??
2
???4
=1表示双曲线，q：
??
2
??+2
+
??
2
6???
=1表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若“p且q”是真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-2x+1与圆O：x2+y2=r2（r＞0）交于M，N两点，且MN=
4
5
5
．（1）求M，N的坐标；（2）求过O，M，N三点的圆的方程．
已知点A（
1
2
，-1），B（2，1），函数f（x）=log2x．（1）过原点O作曲线y=f（x）的切线，求切线的方程；（2）曲线y=f（x）（
1
2
≤x≤2）上是否存在点P，使得过P的切线与直线AB平行？若存在，则求出点P的横坐标，若不存在，则请说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）（a是正常数），抛物线y=px2的焦点是（0，1），P是抛物线上的动点．（1）求抛物线的方程；（2）若PA的最小值是2
3
，求a的值．
设f（x）=（1-m）lnx+
??
2
??
2
+nx（m，n是常数）．（1）若m=0，且f（x）在（1，2）上单调递减，求n的取值范围；（2）若m＞0，且n=-1，求f（x）的单调区间．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）离心率是
1
2
，焦点到相应准线的距离是3．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E（1，0）和F（7，0），且与直线x=4交于点P，Q．①求证：AP，AQ斜率的积是定值；②设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN过定点．

答案和解析
1.【答案】?x∈R，x2≤9【解析】
解：命题“?x∈R，x2＞9”的否定是命题“?x∈R，x2≤9”， 故答案为：?x∈R，x2≤9．由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得答案．本题考查的知识点是特称命题的否定，难度不大，属于基础题．
2.【答案】充分不必要【解析】
解：由x2＞1得x＞1或x＜-1． ∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．
3.【答案】2.1【解析】
解：∵f（x）=x2，∴f（1）=1，f（1.1）=1.21，∴该函数在区间[1，1.1]上的平均变化率为=2.1故答案为：2.1利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间[1，1.1]上的平均变化率．本题考查函数在区间上的平均变化率，考查学生的计算能力，属于基础题．
4.【答案】1【解析】
解：函数f（x）=2ex-x的导数为f′（x）=2ex-1，则f′（0）=2-1=1， 故答案为：1先求导，再代值计算即可．本题考查了基本导数公式和导数值的求法，属于基础题
5.【答案】-2【解析】
解：∵直线l1：ax+4y+4=0，l2：x+ay+2=0，若l1∥l2，则a=0时，不满足条件，∴a≠0，且=≠，求得a=-2，故答案为：-2．由题意利用两条直线平行的性质，求得a的值．本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
6.【答案】[-3，-2]【解析】
解：直线x+ky+5=0经过定点P（-5，0），∴kPA==，kPB==．∵直线x+ky+5=0与线段AB有公共点，∴≤-≤，解得：-3≤k≤-2．故答案为：[-3，-2]．直线x+ky+5=0经过定点P（-5，0），可得kPA≤-≤kPB．本题考查了直线的斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】-3【解析】
解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x-y整理得到y=x-z，要求z=x-y的最小值即是求直线y=x-z的纵截距的最大值，当平移直线x-y=0经过点A（0，3）时，x-y最小，且最小值为：-3，则目标函数z=x-y的最小值为-3．故答案为：-3．先根据条件画出可行域，设z=x-y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x-y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
8.【答案】8【解析】
解：抛物线y2=16x的焦点坐标为（4，0）故双曲线x2-y2=k的焦点在x轴，即k＞0，双曲线x2-y2=k的标准方程为：，故2k=16，解得：k=8，故答案为：8．由已知可靠是双曲线x2-y2=k的焦点在x轴，且c=4，进而得到答案．本题考查的知识点双曲线的性质，抛物线的性质，难度不大，属于基础题．
9.【答案】28【解析】
解：x2+y2-16x+m=0的圆心为（8，0），半径r=，∴圆心距：8=2+，解得：m=28，故答案为：28．两圆外切等价于圆心距等于两圆半径之和．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属基础题．
10.【答案】
3
2
【解析】
解：因为过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，所以，又b2=a2-c2，所以3a2=4c2，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．椭圆的通经等于过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，建立方程，然后求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的基本性质，椭圆离心率的求法，考查计算能力．
11.【答案】6【解析】
解：根据椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴（|PF1|）2+（|PF2|）2=（2c）2，又∵△PF1F2的面积为2，∴?|PF1|?|PF2|=2，则|PF1|?|PF2|=4，∴（2a）2=（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|）2+（|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|=4c2+8，即b2=a2-c2=2，则a2-4=2，∴a2=6，故答案为：6．通过椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，由PF1⊥PF2，可知（|PF1|）2+（|PF2|）2=（2c）2，利用△PF1F2的面积为2可得?|PF1|?|PF2|=2，则（2a）2=（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|）2+（|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|，代入计算即可．本题考查椭圆定义、直角三角形的面积及勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
12.【答案】1或
3
【解析】
解：根据题意，设C到直线PQ的距离为d，圆（x-3）2+（y-4）2=4的半径r=2，若△CPQ的面积是，则S=×d×2=，即d×=，解可得：d=1或；故答案为：1或．根据题意，设C到直线PQ的距离为d，分析圆的半径，由直线与圆相交的性质可得S=×d×2=，变形解可得d的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意利用勾股定理分析，属于基础题．
13.【答案】±2
2
【解析】
解：设P（x，y），则由PB=2PA得=2，化简得：x2+y2=4，依题意得，直线x-y+m=0与圆x2+y2=4有唯一交点，即相切．所以=2，解得m=±2故答案为先求出点P的轨迹方程为圆：x2+y2=4，然后问题转化为直线x-y+m=0与圆相切．本题考查了两点间的距离．属中档题．
14.【答案】[
????2
4
，
1
2??
]【解析】
解：在双曲线-t2y2=1中a2=ln2t，b2=，∴c2=a2+b2=ln2t+，a=lnt，b=∴右焦点为F（，0），渐近线方程为y=±x，∴|FH|==，∴|OH|=a=lnt，∴△OFH面积S=f（t）=，t∈[2，3]，∴f′（t）=，令f′（t）=0，解得t=e，当t∈[2，e]时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增，当t∈（e，3]时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减，∴f（t）max=f（e）=，∵f（2）=，f（3）=，∴f（2）-f（3）=-==＜0，∴f（t）min=f（2）=，故△OFH面积的取值范围为[，]故答案为：[，]根据双曲线的简单性质和渐近线方程，以及点到直线的距离公式求出|FH|═，|OH|=a=lnt，表示出三角形的面积，构造函数，利用导数求出函数的最值．本题考查了双曲线的简单性质和导数和函数的最值的关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题
15.【答案】解：（1）命题p：方程
??
2
???1
+
??
2
???4
=1表示双曲线，则（m-1）（m-4）＜0，解得1＜m＜4；命题q：
??
2
??+2
+
??
2
6???
=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m+2＞6-m＞0，解得2＜m＜6；若“p且q”是真命题，则
21，解得2＜m＜6，∴实数m的取值范围是2＜m＜6；（2）若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则p、q一真一假；当p真q假时，
??≤2或??≥6
1，解得1＜m≤2；当p假q真时，
2??≤1或??≥4
，解得4≤m＜6；综上，实数m的取值范围是1＜m≤2或4≤m＜6．【解析】
（1）求出命题p、q为真命题时m的取值范围，再根据“p且q”是真命题求出m的取值范围； （2）当“p且q”是假命题，“p或q”是真命题时，p、q一真一假，由此求出m的取值范围．本题考查了椭圆与双曲线的定义与应用问题，也考查了复合命题的真假性问题，是中档题．
16.【答案】解：（1）根据题意，圆O：x2+y2=r2的圆心为（0，0），圆心O到直线y=-2x+1的距离d=
|?1|
4+1
=
5
5
，又由|MN|=
4
5
5
，则2×
??
2
?
??
2
=
??
2
?
1
5
=
4
5
5
，解可得r=1；则圆的方程为x2+y2=1，联立
??=?2??+1
??
2
+
??
2
=1
，解可得
??=1
??=0
或
??=
4
5
??=?
3
5
，即M、N的坐标为（0，1）或（
4
5
，-
3
5
）；（2）由（1）的结论，M、N的坐标为（0，1）或（
4
5
，-
3
5
）；设过O，M，N三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有
??=0
1+??=0
(
4
5
)
2
+(?
3
5
)
2
+
4
5
×???
3
5
×??+??=0
，解可得：F=0，E=-1，D=-2，则要求圆的方程为x2+y2-2x-y=0．【解析】
（1）根据题意，求出圆x2+y2=r2的圆心到直线y=-2x+1的距离d，又由|MN|=，结合直线与圆的位置关系可得2×==，解可得r的值，即可得圆O的方程，联立直线与圆的方程，解可得M、N的坐标，（2）根据题意，设过O，M，N三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有，解可得D、E、F的值，代入圆的方程即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质以及弦长的计算，属于综合题．
17.【答案】解：（1）设切点为（m，log2m），函数f（x）=log2x导数为f′（x）=
1
??????2
，由题意可得
1
??????2
=
????
??
2
??
??
，解得m=e，则切线方程为y=ex：（2）A（
1
2
，-1），B（2，1）的斜率为kAB=
4
3
，设P（n，log2n），假设存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，可得
1
??????2
=
4
3
，可得n=
3
4????2
，
1
2
＜
3
4????2
＜2，则曲线y=f（x）（
1
2
≤x≤2）上存在点P，使得过P的切线与直线AB平行，且P的横坐标为
3
4????2
．【解析】
（1）设切点为（m，log2m），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，计算可得所求方程； （2）设P（n，log2n），求得导数可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，可得P的横坐标．本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线的斜率和直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：（1）∵抛物线y=px2的焦点是（0，1），∴
1
4??
=1，p=
1
4
．∴抛物线的方程为：y=
1
4
??
2
．（2）设P（x，y），y≥0．x2=4yPA2=x2+（y-a）2=[y-（a-2）]2+4a-4．PAmax=
4???4
，??≥2
??，??＜2
，∵PA的最小值是2
3
，a的值为4．【解析】
（1）可得，p=．即可得抛物线的方程．（2）设P（x，y），y≥0．x2=4y，PA2=x2+（y-a）2=[y-（a-2）]2+4a-4．PAmax=，即可得a的值．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了分段函数的运用，训练了分段函数最值得求法，是中档题．
19.【答案】解：（1）m=0时，f（x）=lnx+nx，f′（x）=
1
??
+n，∵f（x）在（1，2）递减，故x∈（1，2）时
1
??
+n≤0成立，故n≤-
1
??
在x∈（1，2）时成立，故n的范围是（-∞，-1]；（2）∵m＞0，n=-1，∴f（x）=（1-m）lnx+
??
2
x2-x，f′（x）=
??
??
（x-1）（x-
1???
??
），其中x＞0，①当m≥1时，
1???
??
＜0，在区间（0，1]上，f′（x）＜0，在区间[1，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x0在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；②当
1
2
＜m＜1时，0＜
1???
??
＜1，在区间（0，
1???
??
）和（1，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（
1???
??
，1）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，
1???
??
），（1，+∞）递增，在（
1???
??
，1）递减，③当m=
1
2
时，
1???
??
=1，在区间（0，+∞）上，f′（x）≥0，（仅在x=1时，f′（x）=0），故f（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，④当0＜m＜
1
2
时，
1???
??
＞1，在区间（0，1）和（
1???
??
，+∞）上，f′（x）＞0，在区间（1，
1???
??
）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）和（
1???
??
，+∞）递增，在（1，
1???
??
）递减．【解析】
（1）代入m的值，求出函数的导数，得到n≤-在x∈（1，2）时成立，求出n的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
20.【答案】解：（1）设椭圆的焦距为2c（c＞0），由题意可得
??
??
=
1
2
，所以，a=2c，因为椭圆的焦点到相应准线的距离为
??
2
??
???=
(2??
)
2
??
???=3??=3，得c=1，所以，a=2c=2，??=
??
2
?
??
2
=
3
，因此，椭圆的方程为
??
2
4
+
??
2
3
=1；（2）①设动圆的圆心坐标为（4，t），则圆的方程为（x-4）2+（y-t）2=t2+9，设点P（xP，yP）、Q（xQ，yQ），令x=4，可得yPyQ=-9，则AP、AQ的斜率之积为
??
??
6
×
??
??
6
=
?9
36
=?
1
4
（定值）；②设直线MN的方程为x=my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2）＜将直线MN的方程代入椭圆方程并化简得（3m2+4）y2+6tmy+3t2-12=0，由韦达定理可得
??
1
+
??
2
=?
6????
3
??
2
+4
，
??
1
??
2
=
3
??
2
?12
3
??
2
+4
，因为A、M、P三点共线，则
????
∥
????
，由于
????
=(
??
1
+2，
??
1
)=(??
??
1
+??+2，
??
1
)，
????
=(6，
??
??
)，所以6y1=（my1+t+2）yP，则
??
??
=
6
??
1
??
??
1
+(??+2)
，同理可得
??
??
=
6
??
2
??
??
2
+(??+2)
，由
??
??
??
??
=
36
??
1
??
2
[??
??
1
+(??+2)][??
??
2
+(??+2)]
=
36
??
1
??
2
??
2
??
1
??
2
+??(??+2)(
??
1
+
??
2
)+(??+2
)
2
=
36(3
??
2
?12)
3
??
2
+4
??
2
(3
??
2
?12)
3
??
2
+4
?
6
??
2
??(??+2)
3
??
2
+4
+(??+2
)
2
=
36(3
??
2
?12)
4(??+2
)
2
=
27(???2)
??+2
=?3，解得t=1，因此，直线MN过定点（1，0）．【解析】
（1）由椭圆的离心率得到a=2c，结合焦点到相应准线的距离可求出c的值，进而求出a、b的值，即可得出椭圆的方程； （2）①设动圆圆心坐标为（4，t），进而写出动圆的方程，将直线x=4的方程代入圆的方程，得出点P、Q两点的纵坐标之积，再利用斜率公式可得出AP、AQ的斜率之积为定值； ②设直线MN的方程为x=my+t，将直线MN的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由P、Q两点的纵坐标之积为-9，结合韦达定理计算出t=1，从而得出直线MN过定点（1，0）．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查计算能力与推理能力，属于难题．