2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年江苏省无锡市江阴四校高二（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
命题“?x∈N*，sinx≤1”的否定是______．
直线x+
3
y+1=0的倾斜角的大小为______．
“x＞1”是“x2＞1”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线方程是______．
若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的标准方程为______．
点P是直线x+y-2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为______．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积是______．
若将一个圆锥的侧面沿着一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为______．
椭圆C：
??
2
36
+
??
2
16
=1焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m?α，则l∥m；??②若l?α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m?α，则l∥α；?④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是______（写出所有真命题的序号）．
若命题“?x∈R，使（a-1）x2-（a-1）x+1≤0”是假命题，则实数a的取值范围为 ______ ．
在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆（x-1）2+（y-a）2=
16
3
相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是______．
在平面直角坐标系中，若直线y=k（x-3
3
）上存在一点P，圆x2+（y-1）2=1上存在一点Q，满足
????
=3
????
，则实数k的取值范围是______．
设椭圆
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．若AD为圆C的切线，则椭圆的离心率______．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
已知命题P：“方程x2+
??
2
??
=1表示焦点在y轴上的椭圆”；命题Q：“方程x2+y2-2x+（2m-6）y+m2-14m+26=0表示圆心在第一象限的圆”．若P∧Q假，P∨Q为真，求实数m的取值范围．
如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．

已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切．（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得DE，DO，DF成等比数列，求
????
?
????
的取值范围．
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2．（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？

在平面直角坐标中xOy，已知点A（2，0），B（4，0）圆C：x2+y2-2x-2
3
y+3=0（1）过点A（2，0）向圆C引切线l，求切线l的方程；（2）若直线l1：x-y+m=0上存在点P，使得PB=
2
????，求实数m的取值范围；（3）若定点M，N在直线l2：x=1上，对于圆C上任意一点R都满足RN=
3
????，试求M，N两点的坐标．
平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2．且|F1F2|=2
3
，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E：
??
2
16
+
??
2
4
=1．于A，B两点，射线OP交椭圆E于点Q．（i）若|OQ|=λ|OP|，求λ的值；（ii）求四边形AOBQ面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】?x∈N*，sinx＞1【解析】
解：命题是特称命题，则命题的否定是： ?x∈N*，sinx＞1， 故答案为：?x∈N*，sinx＞1．根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】
5??
6
【解析】
解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
3.【答案】充分不必要【解析】
解：由x2＞1得x＞1或x＜-1． ∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．
4.【答案】2x+y+5=0或2x+y-5=0【解析】
解：设平行于直线2x+y+1=0的方程为2x+y+m=0，m≠1；则圆x2+y2=5的圆心O（0，0）到直线2x+y+m=0的距离为r=，∴==，解得m=±5，∴所求的直线方程是2x+y+5=0或2x+y-5=0．故答案为：2x+y+5=0或2x+y-5=0．根据题意设出所求的直线方程为2x+y+m=0，利用圆心到直线的距离求出m的值即可．本题考查了点到直线的距离应用问题，是基础题．
5.【答案】（x-2）2+（y-
3
）2=4或（x-2）2+（y+
3
）2=4【解析】
解：设圆心C（a，b），由已知得，解得a=2，b=，半径r=|a|=2，∴⊙C的方程为（x-2）2+（y-）2=4或（x-2）2+（y+）2=4．故答案为：（x-2）2+（y-）2=4或（x-2）2+（y+）2=4．设圆心C（a，b），由已知得，由此能求出⊙C的方程．本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质的合理运用．
6.【答案】
2
?1【解析】
解：圆心（0，0）到直线x+y-2=0的距离d==．再由d-r=-1，知最小距离为1．故答案为：．求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．
7.【答案】8
3
【解析】
解：取BC中点D，连结AD，则AD⊥BC，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD?平面ABC，∴AD⊥平面BCC1B1．∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AD=2．∵AA1∥平面BCC1B1，E，F是BB1，CC1的中点，∴VA-BCFE=V===8，∴V=V-2VA-BCFE=-2×=8．故答案为：8用三棱柱的体积减去三棱锥A1-EFC1B1和三棱锥A-BCFE的体积．本题考查了棱柱的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．
8.【答案】
3
??
3
【解析】
解：一个圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r，则得到2πr=2π，解得：r=1，这个圆锥的底面半径是1，∴圆锥的高为=．∴圆锥的体积为：πr2h=．故答案为：．半径为2的半圆的弧长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后利用勾股定理求圆锥的高即可求解圆锥的体积．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
9.【答案】16【解析】
解：∵椭圆方程为：，∴a2=36，b2=16，可得c2=a2-b2=20，即a=6，c=2，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，则有m+n=2a=12，m2+n2=4c2=80，即（m+n）2=m2+n2+2mn，则144=80+2mn得2mn=64，即mn=32，∴|PF1|?|PF2|=32．∴△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=×32=16．故答案为：16．根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，平方相减即可求出|PF1|?|PF2|=8，结合直角三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|，得到本题答案．本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识．
10.【答案】②④【解析】
解：①若l∥α，m?α，则l与m平行或异面，故①错误；?? ②若l?α，l∥β，α∩β=m， 则由直线与平面平行的性质得l∥m，故②正确； ③若l∥m，m?α，则l∥α或l?α，故③错误；? ④若l⊥α，m∥α，则由直线与平面垂直的性质得l⊥m，故④正确． 故答案为：②④．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
11.【答案】[1，5）【解析】
解：∵命题“?x∈R，使（a-1）x2-（a-1）x+1≤0”是假命题，∴（a-1）x2-（a-1）x+1＞0的解集不是?，∴a-1=0或，解得1≤a＜5，∴实数a的取值范围为[1，5）．故答案为：[1，5）．推导出（a-1）x2-（a-1）x+1＞0的解集不是?，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查一元二次不等式的性质、复合命题的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】0【解析】
解：直线ax+y-2=0与圆心为C的圆（x-1）2+（y-a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，圆心C（1，a），半径r==，∴圆心到直线ax+y-2=0的距离d==，解得a=0．故答案为：0．推导出圆心C（1，a），半径r==，圆心到直线ax+y-2=0的距离d==，由此能求出a的值．本题考查实数值的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
13.【答案】【解析】
解：设P（x0，y0），则y0=k（x0-3），∵=3，∴=，∴Q（，），因为Q在圆上，所以（）2+（-1）2=1，将y0=k（x0-3）代入整理得：（1+k2）x02-（6k2+6k）x0+27k2+18k=0，因为上式对x0有解，所以△=（6k2+6k）2-4（1+k2）（27k2+18k）≥0，解得：-≤k≤0，故答案为：[-，0]．设出点P的坐标，根据=3转移到点Q的坐标中去，然后将Q的坐标代入圆的方程，得到关于P的横坐标的方程有解，所以△≥0，可得．本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．
14.【答案】
6
?
2
2
【解析】
解：由题意可得B（0，b），F（-c，0），BF方程为y=x+b，由，可得x2+x=0，即有x=0或x=-，即有A（-，），过B、F、O三点的圆的圆心为C，可得C为BF的中点，即有C（-c，b），AD与圆C相切，得?AD⊥CO，即有?=0，得b4=2a2c2，∴（a2-c2）2=2a2c2，a4-4a2c2+c4=0，即e4-4e2+1=0，即e2=2-，解得e==．故答案为：．由AD为圆C的切线，得到AD⊥CO，联立直线和椭圆方程求得A的坐标，由?=0得到a，b，c的关系式，结合隐含条件可求椭圆的离心率．本题考查了椭圆与圆的方程和性质，考查了直线与圆和圆锥曲线的关系，解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．
15.【答案】解：∵“方程x2+
??
2
??
=1表示焦点在y轴上的椭圆”，∴m＞1，即P：m＞1．…………………（3分）∵“方程x2+y2-2x+（2m-6）y+m2-14m+26=0表示圆心在第一象限的圆．”∴
8???16>0
3???>0
，解得2＜m＜3，即Q：2＜m＜3．…………………………………..（7分）因为P∧Q假，P∨Q为真，则P，Q一真一假．若P真Q假，此时1＜m≤2或m≥3．………………………………………………………..…..（10分）若P假Q真，此时m无解．……………………………………………………………．（13分）综上：实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．…………………………………．…..（14分）【解析】
求出P：m＞1，Q：2＜m＜3，由P∧Q假，P∨Q为真，则P，Q一真一假，由此能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查椭圆、圆的性质、复合命题等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=
1
2
PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=
1
2
BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．【解析】
（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF； （2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．
17.【答案】解：（1）圆M的方程可整理为：（x-1）2+（y-1）2=8，故圆心M（1，1），半径R=2
2
．圆O的圆心为O（0，0），因为|MO|=
2
＜2
2
，所以点O在圆M内，故圆O只能内切于圆M．设其半径为r．因为圆O内切于圆M，所以有：|MO|=|R-r|，即
2
=|2
2
-r|，解得r=
2
或r=3
2
（舍去）；所以圆O的方程为x2+y2=2．（2）由题意可知：E（-
2
，0），F（
2
，0）．设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，得|DO|2=|DE|×|DF|，即：
(??+
2
)
2
+
??
2
×
(???
2
)
2
+
??
2
=x2+y2，整理得：x2-y2=1．
????
?
????
=（-
2
???，-y）?（
2
???，-y）=x2+y2-2=2y2-1，由于点D在圆N内，故有
??
2
?
??
2
=1
??
2
+
??
2
<2
，由此得y2＜
1
2
，∴
????
?
????
的取值范围是[-1，0）．【解析】
（1）化简圆M的方程为：x2+y2-2x-2y-6=0，为标准方程，求出圆心和半径，判定圆心O在圆M内部，因而内切，用|MN|=R-r，求圆O的方程；（2）根据圆O与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，列出关系，再求?的取值范围；本题考查圆与圆的位置关系，等差数列的性质，圆的公切线方程等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
18.【答案】解：（1）∵四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又AB∩AD=A，∴AA2⊥平面ABCD．连接BD，∵BD?平面ABCD，∴AA2⊥BD，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1，∴B1D1∥BD，于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又AA2∩AC=A，∴B1D1⊥平面ACC2A2；（2）∵四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，∴S1=S四棱柱下底面+S四棱柱侧面=(
??
2
??
2
)
2
+4AB?AA2=102+4×10×30=1300（cm2）又∵四棱台A1B1C1D1-ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，∴S2=S四棱柱下底面+S四棱台侧面=(
??
1
??
1
)
2
+4×
1
2
（AB+A1B1）?h等腰梯形的高=202+4×
1
2
（10+20）?
13
2
?[
1
2
(20?10)
]
2
=1120（cm2），于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420（cm2），故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．【解析】
（1）依题意易证AC⊥B1D1，AA2⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC2A2； （2）需计算上面四棱柱ABCD-A2B2C2D2的表面积（除去下底面的面积）S1，四棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积（除去下底面的面积）S2即可．本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱、棱台的侧面积和表面积，着重考查分析转化与运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：（1）①当直线l与x轴垂直时，x=2符合题意；…（1分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）．即kx-y-2k=0．若直线l与圆C相切，则有
|????
3
|
1+
??
2
=1，解得k=-
3
3
，∴直线l：x+
3
???2=0，故直线l的方程为x=2或x+
3
???2=0．…（5分）（2）设P（x，y），由PB=
2
????，得
(???4
)
2
+
??
2
=
2
(???2
)
2
+
??
2
，化简得x2+y2=8，…（8分）点P在直线l1：x-y+m=0上，∴直线与圆有公共点，d=
|??|
2
≤2
2
，解得m的范围为[-4，4]．…（10分）（3）设M（1，a），N（1，b），R（x，y），则（x-1）2+（y-
3
）2=1，RN2=（x-1）2+（y-b）2，RM2=（x-1）2+（y-a）2，∵RN=
3
????，∴（x-1）2+（y-b）2=3（x-1）2+3（y-a）2，…（12分）化简得
??
2
+
??
2
?2??+(???3??)??+1+
3
??
2
?
??
2
2
=0，…（13分）∵
??
2
+
??
2
?2???2
3
??+3=0，由于x，y的任意性，得
6???2???4
3
=0
??
2
?3
??
2
+4=0
，解得
??=
4
3
3
??=2
3
或
??=
2
3
3
??=0
．所以满足条件的定点有两组M（1，
4
3
3
），N（1，2
3
）或M（1，
2
3
3
），N（1，0）．…（16分）【解析】
（1）当直线l与x轴垂直时，x=2符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx-y-2k=0，由直线l与圆C相切，得k=-，由此能求出直线l的方程．（2）设P（x，y），由PB=，得x2+y2=8，点P在直线l1：x-y+m=0上，从而直线与圆有公共点，由此能求出m的范围．（3）设M（1，a），N（1，b），R（x，y），则（x-1）2+（y-）2=1，由RN=，得=0，由此能求出满足条件的定点．本题考查切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的定点坐标的求法，考查直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20.【答案】解：（I）由题意知2a=3+1，即a=2，又因为|F1F2|=2
3
，所以c=
3
，b=1，所以椭圆C的方程为
??
2
4
+
??
2
=1．（II）（i）设P（x0，y0），由题意知Q（λx0，λy0）．由(
??
??
0
4
)
2
+(
??
??
0
2
)
2
=1，知
??
2
4
(
??
0
2
4
+
??
0
2
)=1，又因为
??
0
2
4
+
??
0
2
=1，所以λ=2．（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，由△＞0可得m2＜4+16k2．①又
??
1
+
??
2
=?
8????
1+4
??
2
，x
??
1
??
2
=
4
??
2
?16
1+4
??
2
．所以|x1-x2|=
4
16
??
2
+4?
??
2
1+4
??
2
．因为直线y=kx+m与y轴交点坐标为（0，m），所以S△OAB=
1
2
|m|?|x1-x2|=
1
2
|m|?
4
16
??
2
+4?
??
2
1+4
??
2
=2
(4?
??
2
1+4
??
2
)
??
2
1+4
??
2
．将y=kx+m代入椭圆C的方程可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由△≥可得m2＜1+4k2②．令
??
2
1+4
??
2
=??，则由①及②知0＜t＜1，（14分）因此S△OAB=2
?
??
2
+4??
≤2
3
，当且仅当t=1时取等号．由（?i?）知SAOBQ=2S△OAB≤4
3
，∴四边形AOBQ面积的最大值为4
3
．【解析】
（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程； （2）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），|OQ|=λ|OP|，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又四边形AOBQ面积为2S△OAB，即可得到所求的最大值．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题