1.1 直角坐标系,平面上的伸缩变换
课时过关·能力提升
1若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(2,3),C(3,1),则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析:|AB|
|BC|
|AC|
|BC|=|AC|≠|AB|,△ABC为等腰三角形.
答案:A
2有相距1 400 m的甲、乙两个观察站,在甲站听到爆炸声的时间比在乙站听到爆炸声的时间早4 s.已知当时声音的传播速度为340 m/s,则爆炸点所在的曲线为( )
A.双曲线 B.直线
C.椭圆 D.抛物线
答案:A
3在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变
A.50x2+72y2=1
B.9x2+100y2=1
C.10x2+24y2=1
D
解析:2X2+8Y2=1,
得2(5x)2+8(3y)2=1,即50x2+72y2=1为所求的曲线C的方程.
答案:A
4平行四边形ABCD中三个顶点A,B,C的坐标分别是(-1,2),(3,0),(5,1),则顶点D的坐标是( )
A.(9,-1) B.(-3,1)
C.(1,3) D.(2,2)
解析:设D(x,y),则由题意,(4,-2)=(5-x,1-y),
即D(1,3).
答案:C
5将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为
( )
A
C
解析:由伸缩变换公
∴a=3,b
答案:C
6在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变
A.3X-4Y+1=0
B.3X+Y-1=0
C.9X-Y+1=0
D.X-4Y+1=0
解析:由伸缩变3x-2y+1=0有9X-Y+1=0.
答案:C
7在伸缩变
答案:(2,-1)
8将对数曲线y=log3 x上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线方程为 .?
答案:y=log3
9在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变
(1)5x+2y=0;
(2)x2+y2=2.
解:(1)由伸缩变
将其代入方程5x+2y=0,得5X+3Y=0.
所以经过伸缩变,直线5x+2y=0变成直线5X+3Y=0.
(2)x2+y2=2,
所以经过伸缩变,圆x2+y2=2变成椭
★10某种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得这种商品后返回的费用是:每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍.已知A,B两地的距离为10 km,顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是:运费和价格的总费用较低,求A,B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点?
解:以A,B所在的直线为x轴,AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
因为|AB|=10,
所以A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买这种商品便宜,并设A地的运费为3a元/千米,
则B地的运费为a元/千米.
因为P地居民购货总费用满足条件:
价格+A地运费≤价格+B地运费,
即有3
又a>0,
所
两边平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,
所以以,圆C内的居民从A地购货,圆C外的居民从B地购货,圆C上的居民可从A,B两地之一购货.
1.2 极坐标系
课时过关·能力提升
1若ρ1=ρ2≠0,θ1-θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( )
A.关于极轴所在的直线对称
B.关于极点对称
C.关于过极点垂直于极轴的直线对称
D.重合
答案:B
2下列各点在极轴上方的是( )
A.(3,0) B
C
解析:建立极坐标系,由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上,,,故选D.
答案:D
3已知点M的极坐标
A
C
答案:A
4若点P的直角坐标为≥0,0≤θ<2π)可表示为( )
A
C
解析:∵ρP在第四象限,
∴θP的极坐标
答案:D
5已知两点的极坐标为
解析:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°,即△AOB为等边三角形,则|AB|=|AO|=|BO|=3,∠ACx,C为直线AB与极轴的交点).
答案:3
6若△AOB= .(其中O是极点)?
答案:5 6
★7在极坐标系中,点A的极坐标
(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是 ;?
(2)点A关于极点的对称点的极坐标是 ;?
(3)点A关于过极点,且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是 .(本题中规定ρ>0,θ∈[0,2π))?
答案:(1
8已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点,且一组对边与极轴Ox平行,求正方形的顶点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ<2π)
解:由题意,知|OA|=|OB|=|OC|=|OD|
∠xOA∠xOB∠xOC∠xOD
故正方形的顶点的极坐标分别
9在极坐标系中,若△ABO的面积(O为极点).
解:在△ABO中,|OA|=3,|OB|=4,∠AOB
故S△AOB·|OB|sin∠AOB
★10某大学校园的部分平面示意图如图所示.
用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门、器材室、操场、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标.(限定ρ≥0,0≤θ<2π,且极点为(0,0))
解:以点O为极点,OA所在的射线为极轴Ox,建立极坐标系,
由|OC|=600,∠AOC∠OAC|AC|=300,|OA|=30|AB|=|BC|,所以|AB|=150.
同理,得|OE|=2|OG|=30
所以各点的极坐标分别为O(0,0),A(30
1.3 曲线的极坐标方程
1.4 圆的极坐标方程
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1圆心在点(1,0),且过极点的圆的极坐标方程为( )
A.ρ=1 B.ρ=cos θ
C.ρ=2cos θ D.ρ=2sin θ
解析:圆的直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入上式,整理,得ρ=2cos θ,即为此圆的极坐标方程.
答案:C
2极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0的直角坐标方程为( )
A.x2+y2=0或y=1 B.x=1
C.x2+y2=0或x=1 D.y=1
解析:∵ρ(ρcos θ-1)=0,
∴ρρcos θ=x=1.
答案:C
3在极坐标系中,与圆ρ=4cos θ相切的一条直线方程为 ( )
A.ρsin θ=4 B.ρcos θ=2
C.ρcos θ=4 D.ρcos θ=-4
解析:圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,四个选项所对应的直线方程化为直角坐标方程分别为y=4,x=2,x=4,x=-4,故选C.
答案:C
4极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是( )
A.2 B
解析:如图所示,两圆的圆心的极坐标分别
答案:D
5以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 ( )
A.ρ=2co
C.ρ=2cos(θ-1) D.ρ=2sin(θ-1)
解析:如图所示,设圆心C(1,1),P(ρ,θ)为圆上任意一点,过C作CD⊥OP于点D.
∵|CO|=|CP|,
∴|OP|=2|DO|.
在Rt△CDO中,∠DOC=θ-1,
∴|DO|=cos(θ-1).
∴|OP|=2cos(θ-1),∴ρ=2cos(θ-1).
答案:C
6直≥0)?
解析:将x=ρcos θ,y=ρsin θ(ρ≥0)代入直角坐标方程得tan θ≥0)和θ≥0).
答案:θ≥0)和θ≥0)
7在极坐标系中,定点
解析:将ρcos θ+ρsin θ=0化为直角坐标方程为x+y=0,A(0,1).如图,过点A作AB⊥直线l于点B,因为△AOB为等腰直角三角形,
又|OA|=1,所以|OB|∠BOx
故点B的极坐标
答案:
8化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程,并判断曲线的形状.
(1)ρcos θ=2; (2)ρ=6cos θ.
解:(1)极坐标方程ρcos θ=2化为直角坐标方程为x=2,曲线是过点(2,0),垂直于x轴的直线.
(2)∵ρ=6cos θ,∴ρ2=6ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9.
故曲线是圆心为(3,0),半径为3的圆.
9圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2的交点的直线的直角坐标方程.
解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)x=ρcos θ,y=ρsin θ,
由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,
所以x2+y2-4x=0,
为圆O1的直角坐标方程.
同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.
(2)
即圆O1、圆O2交于点(0,0)和(2,-2),过两圆交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
★10在极坐标系中,已知圆C的圆心
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若点P在直线OQ上,
解:(1)圆C的圆心坐标化为平面直角坐标
所以圆C的平面直角坐标方程
ρ2-6ρco
(2)设点P的坐标为(ρ,θ),点Q的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可Q在圆C上,所以点Q的坐标适合圆C的方程,代入P的轨迹方程为ρ2-15ρco
1.5 柱坐标系和球坐标系
课时过关·能力提升
1点P的柱坐标
A.(5,8,
B.(8,
C.(
D.(4,
解析:∵ρ=16,θ
∴x=ρcos θ=8,y=ρsin θ=
∴点P的直角坐标是(8,
答案:B
2点M的直角坐标为
A
B
C
D
解析:ρ
故点M的柱坐标
答案:C
3已知点M的球坐标
A.
C.2 D.4
解析:设点M的直角坐标为(x,y,z),
∵(r,θ,φ)
∴点M的直角坐标为(-2,2,
点M到Oz轴的距离A.
答案:A
4在柱坐标系中,点M的柱坐标
解析:∵(ρ,θ,z)M的直角坐标为(x,y,z),
则x2+y2=ρ2=4,z
∴|OM|
答案:3
5设点M的柱坐标
解析:∵ρ=4,θ
∴x=ρcos θ=4co
y=ρsin θ=4si
∴点M的直角坐标是(-
答案:(-
6如图,请写出点M的球坐标.
解:由球坐标的定义和题图知,|OM|=r,OM与z轴正向所夹的角为φ,点M在xOy平面上的射影为点Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(r,θ,φ)来表示,即M(r,θ,φ).
7已知点P的柱坐标
解:设点P的直角坐标为(x,y,z),
则x
y
设点B的直角坐标为(x1,y1,z1),
则x1
y1
z1
所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标
★8在球坐标系中,求两点
解:将P,Q两点的球坐标转化为直角坐标.
设点P的直角坐标为(x,y,z),
x=3si
z=3co
则点P的直角坐标
设点Q的直角坐标为(x1,y1,z1).
x1=3si
z1=3co
∴点Q的直角坐标
∴|PQ|=
即P,Q两点间的距离
2.1 曲线的参数方程
课时过关·能力提升
1若点P(3,b)在曲
A.-5 B.3
C.5或-3 D.-5或3
解析:由点P在曲线上,t=±2.
当t=2时,y=b=-5;
当t=-2时,y=b=3.
答案:D
2曲
A.(1,4)
B
C.(1,-3)
D
解析:把tx=1+t2,得x=1
即y2+6y-16x+25=0.令y=0,得x
故曲线与x轴的交点坐标
答案:B
3动点M作匀速直线运动,它在x轴正方向和y轴正方向的分速度分别为3 m/s和4 m/s,直角坐标系的长度单位是1 m,点M的起始位置在点M0(2,1)处,则点M的轨迹的参数方程是( )
A≥0)
B≥0)
C≥0)
D≥0)
解析:设在时刻t点M的坐标为M(x,y),
≥0).
答案:B
4参数方
A.直线 B.抛物线
C.椭圆 D.双曲线
解析:y=tan θ
=
平方得y2
由sin 2θcos22θ=1
则y2,得x2-y2=4.
故曲线为双曲线.
答案:D
5“由方
答案:必要不充分
6已知曲线C的参数方程
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系;
(2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值.
解:(1)把点M1的坐标(0,1)代t=0,所以点M1在曲线C上.
把点M2的坐标(5,4)代
此时无解,所以点M2不在曲线C上.
(2)因为点M3(6,a)在曲线C上,
所t=2,a=9,
所以a的值为9.
★7已知点P(x,y)是曲线C
(1)x+y的最值;
(2)点P到直线x+y-1=0的距离d的最值.
解:因为点P在曲线C上,
所以点P(3+cos θ,2+sin θ).
(1)x+y=3+cos θ+2+sin θ
=5
故x+y的最大值为55
(2)d
显然,当si,d取最大值1+si,d取最小
2.2 直线和圆的参数方程
课时过关·能力提升
1若直线的参数方程
A
解析:直线的参数方程
可化
故直线的倾斜角为120°,斜率
答案:B
2对于参数方
A.是倾斜角为30°的两条平行直线
B.是倾斜角为150°的两条重合直线
C.是两条垂直相交于点(1,2)的直线
D.是两条不垂直相交于点(1,2)的直线
解析:因为参数方
可化
所以其倾斜角为150°.
同理,参数方
可化
所以其倾斜角也为150°.
又因为两条直线都过点(1,2),故两条直线重合.
答案:B
3直
A.1 B
解析:因为题目所给方程不是直线参数方程的标准形式,参数t不具有几何意义,故不能直接由1-0=1来得距离,应将t=0,t=1分别代入方程得到两点坐标(2,-1)和(5,0),由两点间距离公式来求出距离,
答案:B
4已知P(x,y)是曲≤α≤2π)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )
A.36 B.6
C.26 D.25
解析:由参数方程,可知(x-2)2+y2=1,则该曲线为圆,圆心O(2,0),另一定点M(5,-4),
所以|OM|
故(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.
答案:A
5过点M(2,1)作曲线C≤θ≤2π)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )
A.y-1=
B.y-1=-2(x-2)
C.y-2=
D.y-2=-2(x-1)
解析:把曲线C的参数方程化为普通方程为x2+y2=16,表示圆心O在原点,半径r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直.
因为kOM
所以弦所在直线的斜率为-2,
故直线方程为y-1=-2(x-2).
答案:B
6过原点作倾斜角为θ的直线与
解析:易知直线的斜率存在,直线为y=xtan θ,圆为(x-4)2+y2=4.当直线与圆相切时,易知tan θ=
答案:
7曲线C≤θ≤2π)的普通方程是 .如果曲线C与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值范围是 .?
解析:
∵圆与直线有公共点,
∴圆心到直线的距离d≤1,
解得1≤a≤1
答案:x2+(y+1)2=1 [1
8过点(6,7),倾斜角α的余弦值
解析:∵cos α
∴直线l的参数方程
答案:
9已知直线l经过点P(1,-
分析根据题意写出l的参数方程,代入l'的方程求出t的值,再利用其几何意义求出距离.
解:因为l过点P(1,-
所以l的参数方程
y=x-
得-t=4+
即t=4+l与l'的交点Q所对应的参数值,根据参数t的几何意义,可知|t|=|PQ|,
故|PQ|=4+
★10已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设l与圆x2+y2=4相交于点A和点B,求点P到A,B两点的距离之积.
分析利用定义求出参数方程,再利用t的几何意义求出距离之积.
解:(1)因为直线l过P(1,1),且倾斜角αl的参数方程
(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数分别为t1,t2.
将直线l的参数方程代入圆的方程x2+y2=4,
整理,得t2+
设t1,t2是方程t2+,
所以t1t2=-2.故|PA|·|PB|=|t1t2|=2.
所以点P到A,B两点的距离之积为2.
2.3 圆锥曲线的参数方程
课时过关·能力提升
1椭≤φ≤2π)的焦点坐标为( )
A.(±5,0) B.(±4,0)
C.(±3,0) D.(0,±4)
解析:将参数方程化为普通方程,(±4,0).
答案:B
2点P(1,0)到曲
A.0 B.1 C
解析:d2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2.
∵t∈R,
答案:B
3参数方
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
解析: 2x2+y2=4,所x≥0,y≥0,它表示椭圆的一部分.
答案:B
4曲≤θ≤2π)的长轴长为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:将曲线的参数方程化为普通方程,得x2y轴上的椭圆,其长轴长为4.
答案:B
5当θ取一切实数时,连接点A(4sin θ,6cos θ)和点B(-4cos θ,6sin θ)的线段的中点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段
解析:设中点为M(x,y),由中点坐标公式,得x=2sin θ-2cos θ,y=3cos θ+3sin θ,θ-cos θθ+cos θ,两式平方相加,.
答案:B
6若实数x,y满足3x2+4y2=12,则2x
解析:因为实数x,y满足3x2+4y2=12,所以设x=2cos α,yα,
则2xα+3sin α=5sin (α+φ),
其中sin φ
当sin (α+φ)=1时,2x5.
答案:5
7抛物线y=x2
解析:抛物线方程可化为yM(x,y)为所求轨迹上任意一点,t,得y=-x2(x≠0).
答案:y=-x2(x≠0)
8求椭
解:由椭圆的参数方程,设椭圆上的任意一点为(4cos θ,θ),则此点到直线l的距离为
d
因此dmax=
9把下列参数方程化为普通方程,并判断方程所表示的曲线的类型.
(1
(2
(3
解:(1)由cos2θ+sin2θ=1,
该方程表示一个长轴长为2a,短轴长为2b,中心在原点的椭圆.
(2)由已知sec φ
及sec2φ=1+tan2φ,
该方程表示双曲线.
(3)由已知tx=2pt2,·2p=x,
即y2=2px,该方程表示一条抛物线.
★10已知极点与原点重合,极轴与x轴正半轴重合,若曲线C1的极坐标方程为ρco≤θ≤2π),试求曲线C1,C2的交点的直角坐标.
解:曲线C1可化x+y=2;曲线C2可化3x2+4y2=12.
联
解得交点为(2,0)
2.4 一些常见曲线的参数方程
课时过关·能力提升
1已知一个圆的参数方程≤θ≤2π),则圆的摆线方程中参数t
A
C
解析:根据圆的参数方程,可知圆的半径为3,则它的摆线的参数方程t
故|AB|
答案:C
2如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其
A.3π B.4π
C.5π D.6π
解析:根据渐开线的定义,可1的圆的周长2的圆的周长3的圆的周长4的圆的周长2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案:C
3我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆
答案:
4已知一个圆的摆线方程
答案:16π
5给出直径为6的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.
解:以圆的圆心为原点,一条半径所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.因为圆的直径为6,所以半径为3,所以圆的渐开线的参数方程
以圆周上的某一定点为原点,以过该定点的切线为x轴,建立平面直角坐标系,
则摆线的参数方程
6有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm,求齿廓线所在的渐开线的参数方程.
分析直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可.
解:因为基圆的直径为22 mm,所以基圆的半径为11 mm,因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为
7已知圆C的参数方程≤α≤2π),直线l的普通方程是x-y-
(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?
(2)写出平移后圆的渐开线方程.
解:(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-d,所以直线和圆是相切的.
(2)由圆的半径是6,可得渐开线方程
★8已知一个参数方程
(1)请写出直线和圆的普通方程;
(2)如果把圆心平移到(0,a),求出圆对应的摆线的参数方程.
解:(1)如果把a看成参数,可得直线的普通方程为:y-2=tan α(x-2),即y=xtan α-2tan α+2,
如果把α看成参数,当a>0时,它表示半径为a的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=a2.
(2)因为圆的圆心在(0,a),圆的半径为a,所以对应的摆线的参数方程
★9如图,若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上),当车轮滚动时,点Q的轨迹称为变幅摆线,取|AQ|
解:设Q(x,y),P(x0, y0),若A(rθ,r),
当|AQ|,
代
得点Q的轨迹的参数方程
当|AQ|,
代
得点Q的轨迹方程
模块综合检测
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1方程ρ=2sin θ表示的图形是( )
A.圆 B.直线
C.椭圆 D.射线
解析:ρ=2sin θ可化为x2+y2-2y=0,表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆.
答案:A
2将正弦曲线y=sin x作如下变换
A.Y=3si
C.Y
答案:A
3设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )
A.-
C.-3 D.
解析:不妨a+bα=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tan φ
故a+b的最小值为-3.
答案:C
4设点M的柱坐标
A.(1
C.(1,7
解析:x=2co
答案:B
5如图所示,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5),C
A
C
答案:B
6将点P的直角坐标(3
A
C
解析:∵x=3
∴ρ
tan θ
=ta
又P在第一象限,∴θ
答案:A
7已知曲线C与曲线ρ=
A.ρ=-10co
B.ρ=10co
C.ρ=-10co
D.ρ=10co
解析:曲线ρ的直角坐标方程为x2+y2=ρ关于极轴对称的曲线C的直角坐标方程为x2+y2=
所以极坐标方程为ρ2=θ+5ρsin θ,
即ρ=θ+5sin θ=10co
答案:B
8已知曲线的参数方程≠0),则它的普通方程是( )
A.(x-1)2(y-1)=1 B.y
C.y
解析:∵x=1
∴t
答案:B
9曲
A.(0,1) B.(1,0)
C.(1,2) D.(0,2)
解析:将参数方程化为普通方程为(y-1)2=4(x+1),该曲线为抛物线y2=4x向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).
答案:A
10已知过曲≤t≤π)上一点P与原点O的直线PO,倾斜角
A
C
解析:将曲线化成普通方程≥0),与直线PO:y=x联立可得P点坐标P点的极坐标
答案:D
11过点P(4,3),且斜率
A
C
解析:∵倾斜角α满足tan α
∴sin α
∴所求参数方程
答案:A
12双曲
A.y=
C.y=±2x D.y=±3x
解析:把参数方程化为普通方程,y=
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13在极坐标系(ρ>0,0≤θ<π)中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为 .?
解析:由ρ=2sin θ,ρcos θ=-1,
得2sin θcos θ=-1,即sin 2θ=-1,2θ
答案:
14在极坐标系中,点
解析:l:ρsi
即x
故d
答案:
15直
解析:设P(x0+t,y0
则|PP0|2=t2+(
故|PP0|=2|t|.
答案:2|t|
16直
解析:把x=1x2+y2=16中,得t2-8t+12=0.
设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8.
故AB的中点对应的参数为t0t0=4代入直线参数方程,可求得AB的中点的坐标为(3,
答案:(3,
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17(12分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsi
解:把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,
得xl垂直的直线方程为y
(1
即极点在直线l上的射影的极坐标
18(12分)已知函数y=2x的图象经过坐标变换得到函数y=4x-3+1的图象,求该坐标变换.
解:y=4x-3+1可化为Y-1=22X-6,与y=2x比较可
故所求的坐标变换
19(12分)已知直线的参数方程
(1)求|AB|的长;
(2)求点P(-1,2)到线段AB中点C的距离.
解:(1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线的方程并化简,得7t2+6t-2=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=·t2=
所以线段AB的长度|AB|·|t1-t2|=
(2)根据中点坐标的性质可得AB的中点C对应的参数
所以由t的几何意义,可得点P(-1,2)到线段AB中点C的距离
20(12分)已知椭圆C1∩C2≠?时,求m的取值范围.
解:将椭圆C1的参数方程代入C2:y2=
整理,得3sin2t=
∴1-cos2t=2m+4cos t-3,
即(cos t+2)2=8-2m.
∵1≤(cos t+2)2≤9,
∴1≤8-2m≤9.
解得≤m≤
∴当C1∩C2≠?时,m∈
21(12分)已知P为半圆C≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与圆C的
(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(2)求直线AM的参数方程.
解:(1)由已知,点M的极角M的极径等M的极坐标
(2)点M的直角坐标,A(1,0),
故直线AM的参数方程为
22(14分)已知某圆的极坐标方程为ρ2-4ρ cos+6=0,求
(1)圆的普通方程和参数方程;
(2)圆上所有点(x,y)中xy的最大值和最小值.
解:(1)原方程可化为
ρ2-4+6=0,
即ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0. ①
因为ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以①可化为x2+y2-4x-4y+6=0,
即(x-2)2+(y-2)2=2,
即为所求圆的普通方程.
所以参数方程
(2)由(1)可知xy=(2+cos θ)·(2+sin θ)=4+2(cos θ+sin θ)+2cos θ·sin θ=3+2(cos θ+sin θ)+(cos θ+sin θ)2. ②
设t=cos θ+sin θ,
则t=sin,t∈[-,].
所以xy=3+2t+t2=(t+)2+1.
当t=-,xy有最小值为1;当t=,xy有最大值为9.
第一章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1与极坐
A
B
C
D
答案:B
2将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来
A.
B.
C.
D.
解析:设(x,y)经过伸缩变换变为(X,Y),
所
代入F(x,y)=0
答案:A
3若ρ1=ρ2≠0,θ1+θ2=π,则点M1(ρ1,θ1)与点M2(ρ2,θ2)的位置关系是( )
A.关于极轴所在的直线对称
B.关于极点对称
C.关于过极点垂直于极轴的直线对称
D.重合
答案:C
4
A.ρ=-(sin θ+cos θ)
B.ρ=sin θ+cos θ
C.ρ=-2(sin θ+cos θ)
D.ρ=2(sin θ+cos θ)
答案:C
5极坐标方程4ρsin
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解析:∵4ρsin
∴4ρ·θ=5,化为直角坐标方程y2=5x.
答案:D
6在极坐标系中有如下三个结论:①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;②tan θ=1(ρ≥0)与θ≥0)表示同一条曲线;③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.其中正确的是( )
A.①③
B.①
C.②③
D.③
解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故①错误;tan θ=1不仅表示θ,还表示θ,故②错误;ρ=3与ρ=-3差别仅在于方向不同,但都表示圆心为极点,半径为3的圆,故③正确.
答案:D
7若点P的直角坐标为(1,
A
B
C
D
解析:∵P(1,x轴的正方向所成的角P的一个极坐标P的一个极坐标.
答案:C
8极坐标方程ρ=cos θ与ρcos θ
解析:把ρcos θ,得x
又圆ρ=cos θ的圆心B正确.
答案:B
9直角坐标为(3
A
B
C
D
解析:∵ρ(3,tan θ
∴点(3
答案:B
10极坐标系内曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点
A
B
C.1
D
解析:将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),
则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,
答案:A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11在极坐标系内,
解析:(0,2),直线ρcos θ=1的直角坐标方程为x=1,所以(0,2)关于x=1的对称点为(2,2),它的极坐标
答案:
12两条直线ρsi
解析:两直线方程可化为x+y=2 0101.
答案:垂直
13在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρ(cos θ
解析:圆的直角坐标方程为x2+y2=4,直线的直角坐标方程为x
所以圆心到直线的距离1.
答案:1
14已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos
解析:
∴4cos2 θ=3,
∴2(1+cos 2θ)=3.
∴cos 2θ
∵0≤2θ<π,
∴θ①得ρ=
∴曲线C1与C2交点的极坐标
答案:
15在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ
解析:三条直线θ=0,θθ+ρsin θ=1在直角坐标系下对应的直线方程为y=0,y
三条直线围成的图形如图阴影部分所示.
则点A(1,0),
故S△AOB
答案:
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变
解:(X-5)2+(Y+6)2=1,
得(2x-5)2+(2y+6)2=1,
故曲线C是.
17(8分)如图,在正方体OABC-D'A'B'C'中,|OA|=3,A'C'与B'D'相交于点P,分别写出点C,B',P的柱坐标.
解:设点C的柱坐标为(ρ1,θ1,z1),
则ρ1=|OC|=3,θ1=∠COA
所以点C的柱坐标
设点B'的柱坐标为(ρ2,θ2,z2),
则ρ2=|OB|∠BOA
z2=3,所以点B'的柱坐标
如图,取OB的中点E,连接PE,
设点P的柱坐标为(ρ3,θ3,z3),则ρ3=|OE|∠AOE
所以点P的柱坐标
18(9分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),
依题意,
x2C的方程为x2
(2)
不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标
所求直线斜率为k
于是所求直线方程为y-1
化为极坐标方程,并整理得
2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
即ρ
第二章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1直
A.20° B.70°
C.110° D.160°
解析:令t'=-t,直线的参数方程化160°.
答案:D
2极坐标方程ρ=cos θ和参数方
A.圆、直线
B.直线、圆
C.圆、圆
D.直线、直线
解析:∵ρ=cos θ,∴x2+y2=x表示圆.
.
答案:A
3椭≤t≤2π)的离心率是( )
A
C
答案:A
4已知三个方程:
A.①②③ B.①②
C.①③ D.②③
解析:①②③的普通方程都是y=x2,但①②中x的取值范围相同,都是x∈R,而③中x的取值范围是-1≤x≤1.
答案:B
5若直≤θ≤2π相切,则直线的倾斜角为( )
A
B
C
D.
解析:直线的普通方程为y=tan α·x,圆的普通方程为(x-4)2+y2=4,由于直线与圆相切,
|sinα|
∴tan α=
答案:A
6设曲线C的参数方程≤θ≤2π),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离
d3
故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.
答案:B
7
A.λ=5t
B.λ=-5t
C.t=5λ
D.t=-5λ
解析:比较x-x0,得-3λ=tcos α,比较y-y0,得4λ=tsin α,消去α的三角函数,得25λ2=t2,得t=±5λ,借助于直线的斜率,可排除t=-5λ,所以t=5λ.
答案:C
8直线l1
A
C.α D.π-α
解析:直线l1可化为y-2=-tan α(x-1),l2的倾斜角π-α.
故l1与l2的夹角
答案:A
9设R>0,则直线xcos θ+ysin θ=R与≤θ≤2π)的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.视R的大小而定
解析:根据已知圆的圆心在原点,半径是R,则圆心(0,0)到直线的距离为d,所以直线和圆相切.
答案:B
10参数方
解析:将参数方程进行消参,则tty,得当x>0时,x2+y2=1,此时y≥0;当x<0时,x2+y2=1,此时y≤0.对照选项,可知D正确.
答案:D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11设直线l1的参数方程
解析:化l1为普通方程,l1:y=3x-2.
故l1与l2间的距离为d
答案:
12双曲
解析:化参数方程为普通方程,得y2-x2=1.
故其渐近线为y=±x,即x±y=0.
答案:x±y=0
13椭
解析:如图,设椭圆参数方程
设A(acos t,bsin t),t∈
则S矩形=(2acos t)(2bsin t)=2absin 2t,
当2tt,S矩形有最大值2ab.
答案:2ab
14圆的摆线上有一点(π,0),在满足条件的所有摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数t
解析:根据摆线的参数方),把点(π,0)代入可?cos t=1,则sin t=0,t=2kπ(k∈Z),
所以a∈Z),
又a>0,所以k∈N+,当k=1时,a取最大值t
答案:
15已知直线l的参数方程≤θ≤2π),则直线l被圆C所截得的弦长为 .?
解析:将直线l的参数方,得l:2x+y-6=0,圆C的普通方程为(x-2)2+y2=4,则圆心到直线l的距离d
答案:
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)如图,已知椭·|OQ|为定值.
证明椭
0≤t≤2π.
设M(2cos t,sin t),
又B1(0,-1),B2(0,1),
则MB1的方程为y+1
令y=0,则x
即|OP|
MB2的方程为y-1
则|OQ|
所以|OP|·|OQ|
故|OP|·|OQ|为定值4.
17(8分)已知抛物线y2=2px(p>0)上存在两点A,B关于直线x+y-1=0对称,求p的取值范围.
解:设抛物线的参数方程
两点A(2≠t2,
又A,B两点关于直线x+y-1=0对称,
则
由②得t1+t2=1,代入①
∴0
又
∴0综上所述,p的取值范围
18(9分)已知曲线C
(1)写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解:(1)曲线C的参数方程).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为dθ+3sin θ-6|,
则|PA|α为锐角,且tan α
当sin(θ+α)= -1时,|PA|取得最大值,最大值
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值
