1.1 命题与量词
课时过关·能力提升
1.下列语句不是命题的是( )
A.一个正数不是质数就是合数
B.大角所对的边较大,小角所对的边较小
C.请把门关上
D.若x∈R,则x2+x+2>0
答案:C
2.下列语句是命题的是( )
A.|x+a|大于0吗?
B.{0}∈N
C.判断元素与集合的关系
D.求一个集合的真子集
答案:B
3.命题“存在实数x,使x+1<0”可写成( )
A.若x是实数,则x+1<0
B.?x∈R,x+1<0
C.?x∈R,x+1<0
D.以上都不正确
解析:由存在性命题的表示形式可知选项B正确.
答案:B
4.对命题“一次函数f(x)=ax+b是单调函数”改写错误的是( )
A.所有的一次函数f(x)=ax+b都是单调函数
B.任意一个一次函数f(x)=ax+b都是单调函数
C.任意一次函数f(x)=ax+b是单调函数
D.有的一次函数f(x)不是单调函数
解析:由全称命题的表示形式可知选项D错误.
答案:D
5.下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R,lg x=0
B.?x∈R,tan x=1
C.?x∈R,x3>0
D.?x∈R,2x>0
解析:对于选项A,当x=1时,lg x=0,为真命题;
对于选项B,当x,tan x=1,为真命题;
对于选项C,当x<0时,x3<0,为假命题;
对于选项D,由指数函数性质知,?x∈R,2x>0,为真命题,故选C.
答案:C
6.下列语句是命题的是 .(填序号)?
①地球上有四大洋;②-2∈N;③π∈R;④垂直于同一条直线的两个平面平行.
解析:所给语句均能判断真假,故都是命题.
答案:①②③④
7.有下列命题:①奇函数的图象关于原点对称;②有些三角形是等腰三角形;③?x∈R,2x+1是奇数;④至少有一个整数,它既不是合数也不是质数;⑤实数的平方大于零.其中是全称命题的为 (填序号).?
解析:根据全称命题的定义知,①③⑤是全称命题.
答案:①③⑤
★8.下列命题是真命题的是 (填序号).?
①5能整除15;②不存在实数x,使得x2-x+2<0;③对任意实数x,均有x-1
解析:对于①,由整数的整除性知该命题是真命题;对于②,因为Δ<0,所以x2-x+2<0无解,故该命题是真命题;对于③,因为任意一个数减去一个正数后都小于原数,所以该命题是真命题;对于④,因为Δ<0,所以方程x2+3x+3=0无解,所以该命题是假命题;对于⑤,因为分子恒为正,分母大于0,所以商不可能小于0,即解集为空集,故该命题是真命题.
答案:①②③⑤
9.判断下列命题的真假:
(1)?a∈R,函数y=logax是单调函数;
(2)?a∈{向量},对任意向量b,有a·b=0.
解:(1)由于1∈R,当a=1时,y=logax无意义,
因此命题“?a∈R,函数y=logax是单调函数”是假命题.
(2)由于0∈{向量},
当a=0时,能使a·b=0,
因此命题“?a∈{向量},对任意向量b,有a·b=0”是真命题.
★10.求使命题p(x)≥0为真命题的x的取值范围.
分析:要使命题p(x)≥0为真命题,就是要使x的取值满≥0,只需解不等≥0即可.
解:≥0得x(2x+1)≥0,且2x+1≠0,
解得x≥0或x<
故x的取值范围
1.2.1 “且”与“或”
课时过关·能力提升
1.下列命题中不是“p∧q”形式的命题的是( )
A.函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象一定过(0,1)点
B.3和-3是方程x2-9=0的实数根
C.1不是质数且不是合数
D.正方形的四条边相等且四个角相等
答案:A
2.下列命题中是“p∧q”形式的命题的是( )
A.28是5的倍数或是7的倍数
B.2是方程x2-4=0的根又是方程x-2=0的根
C.函数y=ax(a>1)是增函数
D.函数y=ln x是减函数
解析:选项A是由“或”联结构成的新命题,是“p∨q”形式的命题;选项B可写成“2是方程x2-4=0的根且是方程x-2=0的根”,是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题,故选项B是“p∧q”形式的命题;选项C,D不是由逻辑联结词联结形成的新命题,故不是“p∧q”形式的命题.
答案:B
3.下列说法与x2+y2=0含义相同的是( )
A.x=0,且y=0 B.x=0或y=0
C.x≠0,且y≠0 D.x≠0或y≠0
解析:因为两个非负数的和等于0,故每个加数都为0,即x2=0,且y2=0,所以x=0,且y=0.
答案:A
4.以下判断正确的是( )
A.命题“p∨q”是真命题时,命题p一定是真命题
B.命题p是假命题时,命题“p∧q”不一定是假命题
C.命题“p∧q”是假命题时,命题p一定是假命题
D.命题p是真命题时,命题“p∨q”一定是真命题
解析:利用表Ⅰ、表Ⅱ进行判断可知选项D正确.
答案:D
★5.如果命题“p∨q”是真命题,命题“p∧q”是假命题,那么( )
A.命题p,q都是假命题
B.命题p,q都是真命题
C.命题p,q有且只有一个是真命题
D.以上答案都不正确
解析:因为命题“p∨q”是真命题,所以p,q中至少有一个是真命题.因为命题“p∧q”是假命题,所以p,q中至少有一个假命题,故p,q中有且只有一个是真命题.
答案:C
6.命题“?n∈R,n≤n”的构成形式是 ,该命题是 命题(填“真”或“假”).?
答案:p∨q 真
7.命题“所有正多边形都有一个内切圆和一个外接圆”的构成形式是 ,组成该命题的两个命题分别是“ ?”,?
“ ”.?
答案:p∧q 所有正多边形都有一个内切圆 所有正多边形都有一个外接圆
8.命题p:等腰三角形有两条边相等;q:等腰三角形有两个角相等.命题p,q构成的“且”命题是“ ”,该命题是 命题(填“真”或“假”).?
答案:等腰三角形有两个角相等且有两条边相等 真
9.已知c>0,且c≠1,设命题p:函数y=x2+cx+1的图象与x轴有两个交点;q:当x>1时,函数y=logcx>0恒成立.如果p∨q为假,求c的取值范围.
分析:先由p,q为真,分别求出c的范围;再由p∨q为假知p,q都假;然后列出关于c的不等式组来解决.
解:若p为真,则Δ=c2-4>0(c>0,且c≠1),
所以c>2.
若q为真,则c>1.
因为p∨q为假,
所以p,q都为假.
当p为假时,0当q为假时,0所以当p,q都为假时,0即c的取值范围为(0,1).
★10.已知命题p:函数y=x2+mx+1在区间(-1,+∞)内是增函数;q:函数y=4x2+4(m-2)+1的函数值恒大于零.若p∧q为假,p∨q为真,求m的取值范围.
分析:先由p,q为真,分别求出m的范围;再由p∧q为假,p∨q为真知,命题p,q一真一假;然后分“p真q假”和“p假q真”两种情况列出关于m的不等式组来解决.
解:若p为真,≤-1,
所以m≥2;
若q为真,则Δ=16(m-2)2-16<0,解得1因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p,q一真一假.
当p真q假时,得
解得m≥3;
当p假q真时,得
解得1综上,m的取值范围是{m|m≥3或11.2.2 “非”(否定)
课时过关·能力提升
1.命题“2不是质数”的构成形式是( )
A.p∧q B.p∨q
C. p D.以上答案都不正确
答案:C
2.若命题“p”与“p∧q”都是假命题,则( )
A.命题p,q都是真命题
B.命题p,q都是假命题
C.命题p是真命题,命题q是假命题
D.命题q是真命题,命题p是假命题
答案:C
3.a,b不全为0是指( )
A.a,b全不为0
B.a,b中至多有一个为0
C.a,b中只有一个不为0
D.a,b中至少有一个为0
答案:B
★4.命题“?x∈?RQ,x3∈Q”的否定是( )
A.?x??RQ,x3∈Q B.?x∈?RQ,x3?Q
C.?x??RQ,x3∈Q D.?x∈?RQ,x3?Q
答案:D
5.命题“菱形的对角线互相垂直”的否定是 .?
答案:有些菱形的对角线不互相垂直
6.命题“所有人都晨练”的否定是 .?
答案:有的人不晨练
7.已知命题p“?x∈R,x
命题q是 命题(填“真”或“假”).?
解析:利用存在性命题的否定形式写出p为:?x∈R,x≤x>1时,xp为假命题.
答案:?x∈R,x≤
8.已知命题p:0不是自然数,命题q∧q”;②“p∨q”;③“p”;④“q”中,真命题的序号是 ,假命题的序号是 .?
解析:先判断命题p,q的真假,可知p假q真;再利用含有逻辑联结词的命题的真假判断方法进行判断,其中②③为真,①④为假.
答案:②③ ①④
9.写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)集合A是集合A∪B的子集;
(2)?T=2kπ(k∈Z),sin(x+T)=sin x.
分析:(1)利用命题的否定形式写出其否定,根据集合A∪B的定义可判断其真假;
(2)利用全称命题的否定形式写出其否定,再利用正弦函数的周期判断其真假.
解:它们的否定及真假如下:
(1)集合A不是集合A∪B的子集;(假)
(2)?T=2kπ (k∈Z),sin(x+T)≠sin x.(假)
★10.指出下列命题的结构形式以及构成它们的简单命题,并判断它们的真假:
(1)q:1-x2≤1;
(2)s:函数y=x2的图象不关于y轴对称.
分析:可依据命题的几种结构形式(“p∨q”“p∧q”“p”)直接写出它们的结构形式以及构成它们的简单命题;然后根据表Ⅰ、表Ⅱ、表Ⅲ判断其真假.
解:它们的结构形式依次为:(1)p∨q,(2)p.
构成它们的简单命题依次为:
(1)“1-x2<1”和“1-x2=1”.
(2)函数y=x2的图象关于y轴对称.
其真假依次为:(1)真;(2)假.
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
课时过关·能力提升
1.若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由题意知甲?乙?丙?丁,故命题丁是命题甲的必要不充分条件.
答案:B
2.命题“?x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5
答案:C
3.已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则“k1=k2”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当k1=k2时,直线l1,l2可能平行也可能重合;当l1∥l2时,k1,k2一定相等.故选B.
答案:B
4.“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )
A.充分不必要条件
B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件
D.充要条件
答案:A
5.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由m为平面α内的一条直线,m⊥β,得α⊥β,必要性成立;由m为平面α内的一条直线,α⊥β,不能推出m⊥β,充分性不成立.故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.
答案:B
★6.设{an}是首项大于零的等比数列,则 “a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:因为{an}是首项大于零的等比数列,a1答案:C
7.已知集合A为数集,则“A∩{0,1}={0}”是“A={0}”的 条件.?
答案:必要不充分
8.设a,b,c为实数,“a>0,c<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的 条件.?
解析:a>0,c<0?b2-4ac>0?函数f(x)有两个零点;函数f(x)有两个零点?b2-4ac>0a>0,c<0,故“a>0,c<0”是“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
9.已知p:A={x|x2+4x+3>0},q:B={x||x|分析:先化简集合,然后把“p是q的必要不充分条件”转化为“B?A”,得关于a的不等式解决问题.
解:p:A={x|x2+4x+3>0}={x|x>-1或x<-3},q:B={x||x|因为p是q的必要不充分条件,所以B?A.
当a≤0时,B=?,满足B?A;
当a>0时,B={x|-a综上,a的取值范围为(-∞,1].
★10.已知m∈Z,关于x的一元二次方程
x2-2x+m=0, ①
x2+2mx+m2-m-1=0, ②
求方程①和②的根都是整数的充要条件.
分析:方程①和②的根都是整数,即方程①和②有实数根且为整数,因此先求出方程①和②有实数根的充要条件,得到m的取值范围,由m∈Z,再逐一验证.
解:方程①有实根?Δ=4-4m≥0,即m≤1;方程②有实根?Δ=(2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,即m≥-1,
所以方程①和②同时有实数根?-1≤m≤1.
因为m∈Z,所以m=-1,0,1.
当m=-1时,方程①无整数根;
当m=0时,方程①和②都有整数根;
当m=1时,方程②无整数根.
综上所述,方程①和②的根都是整数的充要条件是m=0.
1.3.2 命题的四种形式
课时过关·能力提升
1.命题“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题是( )
A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角
B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角
C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B必有一钝角
D.在△ABC中,若∠A,∠B都是锐角,则∠C=90°
答案:B
2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( )
A.如果xB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2
C.如果x<2ab,那么xD.如果x≥a2+b2,那么x<2ab
答案:C
3.下列说法正确的是( )
A.一个命题的否命题为真,则它的逆命题为假
B.一个命题的逆命题为真,则它的否命题为真
C.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真
D.一个命题的逆否命题为真,则它的逆命题为真
解析:由四种命题的关系可知,一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系,根据互为逆否命题的两个命题是等价的,可得选项B正确.
答案:B
4.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
答案:B
5.下列命题中,是真命题的为( )
A.“若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0”的逆否命题
B.“正方形的四条边相等”的逆命题
C.“若x2-4=0,则x=2”的否命题
D.“对顶角相等”的逆命题
解析:对于A项,原命题是假命题,故其逆否命题也为假命题;对于B项,逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”,是假命题;对于C项,否命题为“若x2-4≠0,则x≠2”,为真命题;对于D项,逆命题为“相等的角是对顶角”,为假命题.
答案:C
6.命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是“ ”.?
答案:到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上
7.命题“若x,y是偶数,则x+y是偶数(x∈Z,y∈Z)”的逆否命题是“ ”,?
它是 命题(填“真”或“假”).?
答案:若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数(x∈Z,y∈Z) 真
8.有下列四个命题:
①如果xy=1,则lg x+lg y=0;
②“如果sin α+cos α
③“如果b≤0,则关于x的方程x2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题;
④“如果A∪B=B,则A?B”的逆命题.
其中是真命题的有 (填序号).?
解析:命题①显然错误,例如,x=-1,y=-1时,lg x+lg y无意义.
对于②,其否命题为“如果sin α+cos α≠α不是第一象限角”,因为当α=60°时,sin α+cos α,故其否命题为假命题.
对于命题③,因为当b≤0时,Δ=4b2-4b≥0恒成立,故关于x的方程x2-2bx+b=0有实数根,由原命题与其逆否命题等价,知命题③是真命题.
对于④,其逆命题为“若A?B,则A∪B=B”,显然为真命题.
答案:③④
9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假:
(1)末尾数字是0或5的整数,能被5整除;
(2)若a=2,则函数y=ax是增函数.
分析:依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题.“0或5”的否定是“不是0且不是5”,“是”的否定词是“不是”,“等于”的否定词是“不等于”.
解:(1)逆命题:能被5整除的整数,末尾数字是0或5;(真)
否命题:末尾数字不是0且不是5的整数,不能被5整除;(真)
逆否命题:不能被5整除的整数,末尾数字不是0且不是5.(真)
(2)逆命题:若函数y=ax是增函数,则a=2;(假)
否命题:若a≠2,则函数y=ax不是增函数;(假)
逆否命题:若函数y=ax不是增函数,则a≠2.(真)
2.1 曲线与方程
课时过关·能力提升
1.已知动点A在圆x2+y2=1上移动,则点A与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=1
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
解析:设A,B连线的中点的坐标为(x,y),则动点A为(2x-3,2y),
因为动点A在圆x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+(2y)2=1,
即(2x-3)2+4y2=1.
答案:C
2.“点M在曲线y2=8x上”是“点M的坐标满足方程y=-
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
3.已知曲线y=x2-x+2和y=x+m有两个不同的交点,则( )
A.m∈R B.m∈(-∞,1)
C.m=1 D.m∈(1,+∞)
解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两个不同的解.
答案:D
4.下列方程中表示相同曲线的一对方程是( )
A.x
B.y=x
C.y
D.y=x与x2-y2=0
答案:C
5.平面内与定点(-1,2)和直线3x+4y-5=0的距离相等的点的轨迹是 .?
解析:因为(-1,2)在直线3x+4y-5=0上,
所以满足条件的点的轨迹是过定点(-1,2)且垂直于3x+4y-5=0的直线.
答案:直线
6.方程(x+y-1
解析:由方程(x+y-1x+y-1=0(x≥1)或x=1.
答案:直线x=1或直线x+y-1=0(x≥1)
7.(1)方程 (x-1)2
(2)方程(x-1)
解析:(1)∵(x-1)2
(1,0).
(2)∵(x-1)
∴x-1=0或x2+y2-1=0,即方程表示的图形是直线x-1=0或圆x2+y2-1=0.
答案:(1)点(1,0) (2)直线x-1=0或圆x2+y2-1=0
★8.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,求点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程.
解:设AP的中点坐标为(x,y),
则P(2x, 2y+1)在2x2-y=0上,
即2(2x) 2-(2y+1)=0,
整理,得2y=8x2-1.
9.点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.
分析:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),由题意可
所.
解:由题意设点M(x,y),P(x0,y0),
所
又因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
所以(2x-3)2+4y2=1,
所
故点M的轨迹方程
★10.若直线x+y-m=0被曲线y=x2所截得的线段长为
分析:直线与曲线交于两点,可设出这两点的坐标,然后灵活应用根与系数的关系求解.
解:设直线x+y-m=0与曲线y=x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立直线与曲线方程,
将②代入①,得x2+x-m=0,
所
所以|AB|·|x1-x2|
所m的值为2.
2.2.1 椭圆的标准方程
课时过关·能力提升
1.椭
A.(±5,0) B.( 0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)
解析:易知焦点在y轴上,a2=169,b2=144.
则c
答案:B
2.已知椭
A.4 B.5 C.7 D.8
解析:因为焦点在y轴上,
所?6又焦距为4,
所以m-2-10+mm=8.
答案:D
3.若F1,F2是椭△PF1F2的周长为( )
A.10 B.12 C.16 D.不确定
答案:B
4.已知椭圆的焦距为
A
B
C
D
解析:因为2c=c
因为2a=8,所以a=4.
所以b2=a2-c2=9.
又因为焦点不知在哪个坐标轴上,
所以标准方程有两个,故选D.
答案:D
★5.若椭
A.2 B.4 C.8 D
解析:设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=10,知|MF2|=10-2=8.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|B.
答案:B
6.已知M是椭
答案:6
7.已知椭圆的焦距|F1F2|=6,AB是过焦点F1的弦,且△ABF2的周长为20,则该椭圆的标准方程为 .?
答案:
8.已知椭圆C
解:因为点P(x0,y0)满足0
所以点P在椭圆内且不过原点,
所以|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a.
又因为a2=2,b2=1,
所以c2=a2-b2=1,即c=1.
所以2≤|PF1|+|PF2|<
9.已知圆A:(x+3)2+y2=1及圆B:(x-3)2+y2=81,动圆P与圆A外切,与圆B内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
分析:利用椭圆定义先判断动圆圆心P的轨迹是椭圆,再求其方程.
解:设动圆P的半径为r,
由所给圆的方程知:A(-3,0),B(3,0).
由题意可得,|PA|=r+1,|PB|=9-r,
则|PA|+|PB|=10>|AB|=6.
由椭圆定义知动点P的轨迹是椭圆.
其中2a=10,2c=6,即a=5,c=3,所以b2=16,
故动圆圆心P的轨迹方程
★10.已知椭∠F1PF2=θ,求△F1PF2的面积.
分析:计算三角形的面积有多种公式可供选择,其中与已知条件联系最密切的应·|PF2|·sin θ,所以应围绕|PF1|·|PF2|进行计算.
解:如图,由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a,而在△F1PF2中,由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ=|F1F2|2=4c2,
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos θ=4c2,即4(a2-c2)=2|PF1|·|PF2|(1+cos θ).∴|PF1||PF2|
·|PF2|sin θ
2.2.2 椭圆的几何性质
课时过关·能力提升
1.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为( )
A
C
答案:B
2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率
A
C
解析:由x2+y2-2x-15=0,知圆的半径为4,故2a=4,即a=2.又ec=1.故b2=a2-c2=4-1=3.故选A.
答案:A
3.已知过椭∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A
C
解析:在Rt△PF1F2中,设|PF1|=m(m>0),由已知得|F1F2|e
答案:C
4.若方
A.a<0 B.-1C.a<1 D.a>1
解析:因为方y轴上的椭圆,所?-1答案:B
★5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A
C
解析:设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,焦距为2c,离心率为e.
依题意有2×2b=2a+2c,即2b=a+c,
∴4b2=a2+2ac+c2.
∵b2=a2-c2,∴4a2-4c2=a2+2ac+c2,
∴3a2-2ac-5c2=0.
两边同除以a2,即有5e2+2e-3=0,解得ee=-1(舍去).故选B.
答案:B
6.若椭
解析:当椭圆的焦点在x轴上,即k>1时,b=3,a
∴c
k=4.符合k>1,∴k=4;
当椭圆的焦点在y轴上,即-8∴c
k=-8∴k=k=4
答案:4或
7.椭△FAB的周长最大时,△FAB的面积是 .?
解析:设椭圆的右焦点为F1,则|AF|=2a-|AF1|=4-|AF1|,
所以△AFB的周长为2|AF|+2|AH|=2(4-|AF1|+|AH|).
因为△AF1H为直角三角形,
所以|AF1|>|AH|,仅当F1与H重合时,|AF1|=|AH|,
所以当m=1时,△AFB的周长最大,此时S△FAB
答案:3
8.已知直线x+2y-2=0经过椭
解析:由题意知椭圆的焦点在x轴上,又直线x+2y-2=0与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,1),它们分别是椭圆的焦点和顶点,所以b=1,c=2,从而ae
答案:
9.已知椭
分析:由椭圆的离心率可得a,c的关系,从而知道b,c的关系,再由点在椭圆上,代入方程即可求得椭圆的标准方程.
解:由题意知,椭圆的离心率e
所a=2c,
所以b2=a2-c2=3c2,
所以椭圆的方程
又因为,
所
所以c2=1,
所以椭圆的方程
★10.已知椭
分析:由离心率ea2=b2+c2,可得a=2b.由菱形面积为4,可得ab=2.两式联立可求得a,b,从而得到椭圆的方程.
解:由e3a2=4c2.
再由c2=a2-b2,解得a=2b.
由题意可ab=2.
解方程
所以椭圆的方程
2.3.1 双曲线的标准方程
课时过关·能力提升
1.若双曲线的方程
A.(±2,0) B.(±4,0)
C.(0,±2) D.(0,±4)
解析:因为c2=a2+b2=10+6=16,焦点在x轴上,
所以焦点坐标为(4,0),(-4,0).
答案:B
2.若方
A.-10
C.k≤0 D.k>1或k<-1
解析:因为方,
所以有(1+k)(1-k)>0,解得-1答案:A
3.若椭
A. 1 B.1或3
C.1或3或-2 D.3
解析:由题意可知m>0,于是焦点都在x轴上,故m=1.
答案:A
4.已知方程ax2-ay2=b,且ab<0,则它表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的双曲线
B.圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.椭圆
解析:原方程可变形y轴上的双曲线.
答案:C
★5.与双曲
A
C.
解析:由题意知,c2=16+4=20,设所求的双曲线方程a2+b2=20,a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程
答案:D
6.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .?
解析:令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,所以a=2,c=4,b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上.故双曲线的标准方程
答案:
7.已知F是双曲
解析:设右焦点为F1,依题意,有
|PF|=|PF1|+4,∴|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4=9,当A,P,F1三点共线时取等号.
答案:9
★8.已知双曲∠F1PF2△F1PF2的面积是 .?
解析:不妨设P为双曲线左支上的点,F1为左焦点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,
②-①2,得r1r2=2.所
答案:1
9.已知双曲线的焦点为F1(0,-6),F2(0,6),且经过点(2,-5),求该双曲线的标准方程.
分析:由焦点坐标可知,焦点在y轴上,可设方程c=6,再把点代入即可求得.
解:设所求的双曲线方程
故所求的双曲线的标准方程
★10.已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程.
分析:此题由于不知道焦点在哪个坐标轴上,所以应先分两种情况来讨论,再把两点代入.此题还可以先设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),再把两点代入求解.
解法一当焦点在x轴上时,设所求的双曲线的标准方程M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,
所
解得
当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程
同理,
解得.
故所求的双曲线的标准方程
解法二设所求的双曲线的标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).
因为M(1,1),N(-2,5)两点在双曲线上,代入上述方程
解得
故所求的双曲线的标准方程
2.3.2 双曲线的几何性质
课时过关·能力提升
1.如果双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为( )
A
C.2 D.3
解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e
答案:B
2.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距
A
C
解析:由方程
得a=2,b=2.
因为双曲线的焦点在y轴上,
所以双曲线的标准方程
答案:B
3.过点(2,-2)且
A.
C.
解析:由题意可设双曲线方程∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程
答案:A
4.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为( )
A.1
C.3
解析:因为△F1PF2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,故必有|F1F2|=|PF2|,
即2cc2-2ac-a2=0,
即e2-2e-1=0,
解:之,得e=1
∵e>1,∴e=1
答案:A
★5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点3y-mx=0.
由题意m=4.
答案:D
6.双曲
解析:利用公式y=y=
答案:y=
7.已知双曲
解析:因为椭(±4,0),
所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),即c=4.
所以a=2,b2=12,
所以双曲线方程
所以渐近线方程为y=
答案:(±4,0)
8.若双曲
解析:利用双曲线的定义及离心率公式,可求得k=-31.
答案:-31
9.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:
(1)过点P(3,
(2)焦点在x轴上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°
解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,
.
由e
由点P(3,,
又a2+b2=c2, ③
由①②③,得a2=1,b2
所求双曲线方程为x2
若双曲线的焦点在y轴上,.
同理
解之,得b2=).
故所求双曲线的标准方程为x2
(2)设双曲线的标准方程为
因为|F1F2|=2c,
而e
由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c.
由余弦定理,得
(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·(1-cos 60°),
所以4c2=c2+|PF1|·|PF2|.
又因·|PF2|·sin 60°=1
所以|PF1|·|PF2|=48.
所以3c2=48,即c2=16,
由此得a2=4,b2=12.
故所求双曲线的标准方程
★10.如图所示,已知F1,F2为双曲∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.
分析:由于双曲y=,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.
解法一设F2(c,0)(c>0),把P(c,y0)代入方程得y0=
∴|PF2|Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,
∴|F1F2|2c
∵c2=a2+b2,∴b2=2a2.
故所求双曲线的渐近线方程为y=
解法二∵在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,
∴|PF1|=2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
∴|PF2|=2a.∴|F1F2|
∴2c=c2=3a2=a2+b2.∴2a2=b2.
故所求双曲线的渐近线方程为y=
2.4.1 抛物线的标准方程
课时过关·能力提升
1.抛物线y2=12x的焦点坐标是( )
A.(12,0) B.(6,0) C.(3,0) D.(0,3)
答案:C
2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是( )
A.y2
C.y2=
答案:B
3.抛物线y2
A.x
C.x=
答案:D
4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为( )
A.(x-1)2+y2
B.x2+(y-1)2
C.(x-1)2+y2=1
D.x2+(y-1)2=1
答案:C
★5.已知点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于( )
A.3 B.6
C.9 D. 12
解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x
由抛物线定义知l=h,
又l=dd=l
答案:B
6.抛物线x=2y2的焦点坐标是 .?
答案:
7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为 .?
答案:y2=8x
8.抛物线x-4y2=0的准线方程是 .?
答案:x=
9.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M,其横坐标为9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和点M的坐标.
解:由抛物线定义知,焦点x=
由题意,设点M到准线的距离为d,
则d=|MF|=10,即9p=2.
故抛物线方程为y2=4x.
将M(9,y)代入y2=4x,解得y=±6,
则点M的坐标为(9,6)或(9,-6).
★10.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.
解:设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则其准线为x=
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|+|BF|=8,
所以x1x1+x2=8-p.
因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,
所以|QA|=|QB|,
因
所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.
因为AB与x轴不垂直,
所以x1≠x2,
则x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,
即p=4.
故抛物线方程为y2=8x.
2.4.2 抛物线的几何性质
课时过关·能力提升
1.抛物线y=4x2的准线方程为( )
A.y=
C.y
解析:由题意知x2py=
答案:D
2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( )
A.
C.4 D.
解析:由抛物线的定义,p=2,即抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y0)在抛物线上,所以y0=±|OM|
答案:B
3.如果点M (5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是( )
A.y=12x2
B.y=-36x2
C.y=12x2或y=-36x2
D.y
解析:分a>0,a<0两种情况,可得yy=
答案:D
★4.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为( )
A
解析:圆x2+y2-6x-7=0的圆心坐标为(3,0),半径为4.y2=2px(p>0)的准线方程为x=
∴3
∴p=2.故选C.
答案:C
5.焦点在x轴的负半轴上,并且过点(-4,2)的抛物线的标准方程为 .?
解析:设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0).
因为抛物线过点(-4,2),
所以22=-2p×(-4),
即p
故所求抛物线的标准方程为y2=-x.
答案:y2=-x
6.若抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为5,则这点的坐标为 .?
答案:(4,4)或(4,-4)
7.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为 .?
解析:由已知,
∴2pp
∴
因此点B到该抛物线的准线的距离
答案:
8.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点F的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.
分析:由题意可先设抛物线方程为y2=-2px(p>0),再求解.
解:设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
则焦
由题意可
解得
故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为±
★9.已知点A(2,1)和抛物线y2=x,F为抛物线的焦点,P是抛物线上任意一点.求:
(1
(2)点P到直线x+2y+4=0的距离的最小值.
分析:利用抛物线的定义及平面几何知识求解.
解: (1)设点P到准线x=d,则|AP|+|PF|=|AP|+d,当PA垂直于准线时,|PA|+d最小,最小值
(2)设点P的坐标为(t2,t),则点P到直线x+2y+4=0的距离
故当t=-1时,点P到直线x+2y+4=0的距离最小,最小值
2.5 直线与圆锥曲线
课时过关·能力提升
1.若椭
A.2 B.-2 C
解析:设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,
①-②得
所以所求直线的斜率
答案:D
2.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为 ( )
A.
C
解析:依题设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2,y1+y2=2,
所
此弦的斜率k
所以此弦所在的直线方程为y-1=
即y=
代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,
所以x1x2
所以|AB|
答案:C
3.已知双曲
A.(1
B.(1
C.
D.
解析:双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率k
要使双曲y=2x有交点,
只要满,
∴e
答案:C
4.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F
A
B
C
D
解析:由ca2+b2=7.
∵焦点为F
∴可设双曲线方程
并设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=x-1代入①并整理得
(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,
∴x1+x2=
由已知a2=2,
故双曲线的方程
答案:D
★5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A
C.[-1,1] D.[-4,4]
解析:由已知,得直线l的方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1.所以-1≤k≤1,k≠0.综上得-1≤k≤1.
答案:C
6.直线l过抛物线y2=ax的焦点,并且垂直于x轴,若直线l被抛物线截得的线段长为4,则a= .?
解析:抛物线y2=ax的焦点l与抛物线的两个交点坐标
所a=±4.
答案:±4
7.已知椭圆C
解析:由题意
答案:
8.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为
解析:直线AF的方程为:y=
当x=-2时,y=
当y=,代入y2=8x中,得x=6,
∴P(6,
答案:8
9.在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长.
分析:题目中涉及弦的中点,既可以考虑中点坐标公式,又可以考虑平方差公式.
解:当直线斜率不存在时,M不可能为弦的中点,
所以可以设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,得
(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0.
显然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0,
由x1+x2k=
故所求弦所在的直线方程为x+2y-4=0.
x,得y2-2y=0,
∴y1=0,y2=2.
∴弦
★10.求k的取值范围,使直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1至多有一个公共点.
分析:将y=kx+1代入双曲线方程得关于x的方程,讨论该方程解的个数即可.
解:联立直线与双曲线方y得(1-k2)x2-2kx-2=0.
当1-k2=0,即k=±1时,
解得x=?1;
当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2.
由Δ=0得k=
由Δ<0得k所以当k=k=±1时,直线与双曲线有1个公共点;
当k∈(-∞,,直线与双曲线无公共点.
故当k=±1或k=k∈(-∞,,直线与双曲线至多有一个公共点.
3.1.1 空间向量的线性运算
课时过关·能力提升
1.已知λ∈R,a为非零向量,则下列结论正确的是( )
A.λa与a同向 B.|λa|=λ|a|
C.λa可能是0 D.|λa|=|λ|a
答案:C
2.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,下列各式运算的结果为向
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:D
3.在平行六面体ABCD - A'B'C'D'中,M为平行四边形BB'C'C的中心,N为棱CC'的中点,
A
答案:C
4.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M是BC的中点,G为CD上一点,
A
C
答案:A
★5.已知点G是正方形ABCD的中心,P为正方形ABCD所在平面外的一点,
A.
C
答案:D
6.化简:
答案:0
7.化简a+2b-3c)+a-2b+c)= .?
答案:
8.在平行六面体ABCD - EFGH中
解析:因
所
所
所以x+y=x+z=y+z=1,
所以x+y+z
答案:
★9.已知ABCD - A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E,点F为D'C'上一点,且D'F
(1)化简
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上
解:(1)由AA'的中点为E,
因
从
(2
因此α
3.1.2 空间向量的基本定理
课时过关·能力提升
1.AM是△ABC中BC边上的中线,e1e2,
A.e1+e2
B
C.e1-e2
D
答案:D
2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有
A.O,A,B,C四点共面
B.P,A,B,C四点共面
C.O,P,B,C共面
D.O,P,A,B,C五点共面
解析:.又它们有同一公共点P,∴P,A,B,C四点共面.
答案:B
★3.已知a,b,c共面,b,c,d也共面,则下列说法正确的是( )
A.若b与c不共线,则a,b,c,d共面
B.若b与c共线,则a,b,c,d共面
C.当且仅当c=0时,a,b,c,d共面
D.若b与c不共线,则a,b,c,d不共面
答案:A
4.非零向量e1,e2不共线,使ke1+e2与e1+ke2共线的k= .?
解析:ke1+e2与e1+ke2共线,则存在唯一的实数x,使ke1+e2=x(e1+ke2), ?k=±1.
答案:±1
5.已知D,E,F分别是△ABC中BC,CA,AB上的点,ab,
答案:
6.已知G是△ABC的重心,点O是空间任意一点,
答案:3
7.三条射线AB,BC,BB1不共面,若四边形BB1A1A和四边形BB1C1C的对角线均互相平分,
解:由题意知AB,BC,BB1不共面,四边形BB1C1C为平行四边.
又由向量加
∴x=2y=3z=1.
∴x=1,y
8.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向
求证:(1)点E,F,G,H共面;
(2)AB∥平面EG.
分析:(1)要证E,F,G,H四点共面,可先证向,即只需;
(2)可证明EG中的向.
证明:(1)
∴
同
∵ABCD是平行四边形,
E,
∴点E,F,G,H共面.
(2)由(1)
∴AB∥EF.又AB?平面EG,
∴AB与平面EG平行,即AB∥平面EG.
★9.已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且M
分析:结合图形,从向,利用向量运算法则不断进行分解,直到全部向量都,即可求出x,y,z的值.
解法一如图所示,取PC的中点E,连接NE,
连接AC,则
=
∴x=
解法二如图所示,在PD上取一点F,使F2,连接MF,
∴x=
解法三
=
=
∴x=
3.1.3 两个向量的数量积
课时过关·能力提升
1.|a+b|=|a-b|的充要条件是( )
A.a=0或b=0 B.a∥b
C.a·b=0 D.|a|=|b|
答案:C
2.下列式子正确的是( )
A.|a|·a=a2
B.(a·b)2=a2·b2
C.(a·b)c=a(b·c)
D.|a·b|≤|a|·|b|
答案:D
3.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC
A
解析:
∴cos
答案:D
4.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满△BCD是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
解析:
∠DBC为锐角,
同理可得∠BCD,∠BDC均为锐角.
答案:B
★5.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,可得a·b=-1,
∴cos
故向量a与b的夹角是120°.
答案:C
6.已知|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0,则|a+b+c|= .?
解析:因为|a+b+c|2=(a+b+c) 2
=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+a·c)=3,
所以|a+b+c|
答案:
7.已知a≠c,b≠0,a·b=b·c,且d=a-c,则= .?
解析:∵a·b=b·c,∴(a-c)·b=0,
∴b⊥d.故=90°.
答案:90°
8.已知向量a,b之间的夹角为30°,|a|=3,|b|=4,求a·b,a2,b2,(a+2b)·(a-b).
分析:利用向量数量积的定义、性质及运算律.
解:a·b=|a||b|cos=3×4×cos 30°=
a2=a·a=|a|2=9,
b2=b·b=|b|2=16,
(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=9+=.
★9.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.
分析:选,先coscos
解:不妨设正方体的棱长为1abc,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.
a-ca+b,
a-c)·(a+b)=|a|2+a·b-a·c-b·c=1.
∈[0,π],∴
故异面直线A1B与AC所成的角
3.1.4 空间向量的直角坐标运算
课时过关·能力提升
1.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则
A.(9,0,16) B.25
C.5 D.13
解析:由题意,得B(3,0,-4),
∴
答案:B
2.已知A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离
A
解析:由题意,
所
答案:C
3.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为( )
A
C.4 D.8
解析:∵|a|b|=3,
∴cosa,b>
∴S=|a||b|sin
答案:A
4.已知a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则a+b与a-b的夹角是( )
A.90° B.60° C.30° D.0°
解析:(a+b)·(a-b) =a2-b2=cos2α+12+sin2α-(sin2α+12+cos2α)=0,故a+b与a-b的夹角是90°.
答案:A
★5.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,则( )
A.x=6,y=15 B.x=3,y
C.x=3,y=15 D.x=6,y
解析:a∥b?
答案:D
6.已知在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中a=(2,1,- 1)b=(1,-2,1)c=(1,1,1),则
解析:a+b+c=(2,1,-1)+(1,-2,1)+(1,1,1)=(4,0,1),
∴
答案:
7.已知三点P1(-x, 1,-3),P2(2,y,-1),P3(-3,0,z),
解析:由已知条件得,
(-3+x,0-1,z+3)
解得x=6,y=
答案:6
8.已知点A(1,0,0),B(3,1,1),C(2, 0,1),ab,则= .?
解析:由题中条件得
a=(-1,-1,0),b=(-1,0,-1).
故cos
所以=60°.
答案:60°
9.设空间两个单位向∠AOB.
解:由题意
解得n
故cos∠AOB
★10.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于AB何处时,MN⊥MC1?
解:以A为坐标原点,棱AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a,
所
因为MN⊥MC1,
所x
所以点N的坐标N为AB的四等分点且靠近点A时,MN⊥MC1.
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
课时过关·能力提升
1.已知O(0,0,0),M(5,-1,2),A(4,2,-1),
A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)
C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)
解析:设点B的坐标为(x,y,z),(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),可得点B(9,1,1).
答案:B
2.设l1的方向向量为a=(1,3,7),l2的方向向量为b=(3,x,3y),若l1∥l2,则x,y的值分别是( )
A.9,21 B.9,7
C.3,21 D.3,7
解析:a∥b?x,y的值分别是9,7.
答案:B
3.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )
A.-3或1 B.3或-1
C.-3 D.1
解析:∵|a|
∴x=4或-4.
∵a·b=2×2+4×y+2×x=0,
∴x=4时,y=-3;x=-4时,y=1,
∴x+y=1或x+y=-3.
答案:A
4.已知直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-4, 5,2),则l与α的关系是( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l?α D.l∥α或l?α
解析:因为v·u=0,所以l∥α或l?α.
答案:D
★5.已知平面α过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列点在α内的是( )
A.(2,3,3) B.(3,-3,4)
C.(-1,1,0) D.(-2,0,1)
解析:设M(x,y,z)为平面内一点,
·n=0,即2(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0.
又A项中坐标满足上式,故选A.
答案:A
6.已知A,B,P三点共线,对空间任一点O
答案:1
7.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y= ,z=.?
解析:因∥v,
所
解得y
答案:
8.Rt△ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是 .?
答案:一条线段或一个钝角三角形
9.已知在正方体ABCD - A'B'C'D'中,点M,N分别是棱BB'与对角线A'C的中点,求证:MN⊥BB',MN⊥A'C.
证明:不妨设已知正方体的棱长为1,以A为坐标原x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由已知条件
因
所以MN⊥A'C.MN⊥BB'.
★10.在棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.
解:以D为坐标原x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
有A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,m),
∵D1M⊥平面EFB1,
∴m
故取B1B的中点M,能满足D1M⊥平面EFB1.
3.2.3 直线与平面的夹角
3.2.4 二面角及其度量
课时过关·能力提升
1.在正三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
A
解析:设BC的中点为D,则AD⊥平面BB1C1C,故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角.在Rt△ADC1中,ADsin∠AC1D
答案:C
2.已知AB⊥平面α于B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
解析:设AC和平面α所成的角为θ,则cos 60°=cos θcos 45°,故cos θθ=45°.
答案:C
3.一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面,那么这两个二面角( )
A.相等 B.互补
C.关系无法确定 D.相等或互补
答案:D
4.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B - AD - C后,BC
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:∠BDC就是二面角B - AD - C的平面角,
易知△BCD为等边三角形,则∠BDC=60°.
答案:C
★5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则面APB和面CDP所成二面角的度数是 ( )
A.90° B.60° C. 45° D. 30°
解析:∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角.
答案:C
6.已知直线l的方向向量v=(1,-1,-2),平面α的法向量u=(-2,-1,1),则l与α的夹角为 .?
解析:cos
∴sin θl与α的夹角).∴θ=30°.
答案:30°
7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 .?
解析:作CD⊥α于D,连接DA,DB,DM,则∠CAD=30°,CDsin∠CMD∠CMD=45°,即CM与平面α所成的角为45°.
答案:45°
★8.若P是△ABC所在平面外一点,且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA
解析:设BC的中点为D,连接PD,AD,则PD⊥BC,AD⊥BC,所以∠PDA就是二面角P - BC - A的平面角.易知∠PDA=90°.
答案:90°
9.在三棱锥P - ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,AB=BC=
分析:本题可以建立适当坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求.
解:由题意PA=PB=PC,点P在△ABC内的射影O为△ABC的外心,即点P在△ABC内的射影O到点A,B,C的距离相等,又面PAC⊥面ABC,所以O为AC的中点,且∠ABC=90°,以O为原x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则P(0,0
设n=(x,y,z)为面PBC的法向量,可求得n=
设AC与平面PBC所成的角为θ,
则sin θ=|cos故AC与平面PBC所成角的大小为30°.
★10.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF△AEF翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF,求二面角A' - FD - C的余弦值.
分析:本题可以建立适当的直角坐标系,利用平面的法向量来求;也可作出二面角的平面角来求.
解法一取线段EF的中点H,连接A'H,
由题意,知A'E=A'F及H是EF的中点,
所以A'H⊥EF.
又因为平面A'EF⊥平面BEF,A'H?平面A'EF,
所以A'H⊥平面BEF.
如图建立空间直角坐标系Axyz,
则A'(2,2,
设n=(x,y,z)为平面A'FD的一个法向量,
所
取zn=(0,-2
又平面BEF的一个法向量m=(0,0,1),
故cos
所以二面角A' - DF - C的余弦值
解法二取线段EF的中点H,AF的中点G,连接A'G,A'H,GH.
由题意,知A'E=A'F及H是EF的中点,
所以A'H⊥EF.
又因为平面A'EF⊥平面BEF,A'H?平面A'EF,
所以A'H⊥平面BEF.
又AF?平面BEF,
故A'H⊥AF.
又因为G,H分别是AF,EF的中点,
易知GH∥AB,
所以GH⊥AF,于是AF⊥平面A'GH,
所以AF⊥A'G.
所以∠A'GH为二面角A' - DF - C的平面角.
在Rt△A'GH中,A'H=
所以cos∠A'GH
故二面角A' - DF - C的余弦值
3.2.5 距离(选学)
课时过关·能力提升
1.在三棱锥P - ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=90°,PA=PB=PC=13,则点P到平面ABC的距离为( )
A.12 B.6
C.
解析:设BC的中点为D,则由已知可证∠PDB=∠PDC=∠PDA=90°,PD⊥平面ABC,PD就是所求距离,在Rt△ABC中,DAPD
答案:A
2.半径为R的球面上有A,B,C三点,其中A和B及A和C的球面距离都
A
C
解析:如图,由题知∠AOB=∠AOC=90°,∠BOC=60°,OA=OB=OC=R,在Rt△AOD中,高OH即为所求.
利用VA - OBC=VO - ABC,得
·R·OH,
∴OH
答案:C
3.已知A,B两点到平面α的距离分别为1和2,线段AB在α内的射影线段长
A
C
解析:按照A,B两点在平面α的同侧和异侧分别讨论.
答案:C
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是平面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )
A
解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),
设n=(1,y,z)是平面ABC1D1的一个法向量,则
y=0,z=1,
∴n=(1,0,1).
∴点O到平面ABC1D1的距离
答案:B
★5.在长方体ABCD - A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A
C
解析:利A1到截面AB1D1的距离
答案:C
6.在棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F分别为棱B1C1和C1D1的中点,则直线EF到平面B1D1D的距离为 .?
解析:设B1D1中点为O,EF中点为K,则KO即为EF到平面B1D1D的距离,KO
答案:
7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内,AB∥α,AC,BC与α所成的角分别为45°和30°,若AB=6,则AB到α的距离为 .?
解析:设AB到α的距离为h,则CBAB2=AC2+CB2可h
答案:
★8.在三棱锥P - ABC中,侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=2,则点P到平面ABC的距离等于 .?
答案:
9.在三棱锥B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.
解:如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于点M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,
设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
∴y=n=(
代入dd
即点D到平面ABC的距离
★10.在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F,G分别在棱AB,CC1,D1A1上,且正方体的棱长为a,AE=CF=D1G=b.
(1)求证:DB1⊥平面EFG;
(2)求B1到平面EFG的距离.
分析:在正方体中建立空间直角坐标系较为方便,可建立坐标系求平面的法向量,用向量法证明线面垂直,求点面距离.
(1)证明:如图,以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B1(a,a,a),E(a,b,0),F(0,a,b),G(b,0,a).
所
所
所以DB1⊥EF,DB1⊥FG.而EF∩FG=F,
所以DB1⊥平面EFG.
(2B1到平面EFG的距离为d,则d
所以点B1到平面EFG的距离
第一章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.给出下列命题:
(1)有的四边形是菱形;(2)有的三角形是等边三角形;(3)无限不循环小数是有理数;(4)?x∈R,x>1;(5)0是最小的自然数.
其中假命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:(1)(2)(5)是真命题;无限不循环小数是无理数,故(3)是假命题;(4)显然是假命题.
答案:B
2.设p,q是两个命题,则命题“p∨q”为真的充要条件是 ( )
A.p,q中至少有一个为真
B.p,q中至少有一个为假
C.p,q中有且只有一个为真
D.p为真,q为假
答案:A
3.已知p:{1}?{0,1},q:{1}∈{1,2,3},由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“p”中,真命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案:B
4.已知命题p:?x∈R,x+6>0,则p是( )
A.?x∈R,x+6≥0
B.?x∈R,x+6≤0
C.?x∈R,x+6≥0
D.?x∈R,x+6≤0
答案:D
5.已知命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在该命题的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中,真命题的个数是( )
A.0 B.1
C. 2 D.3
答案:B
6.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:当φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数;
若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,
∴cos φ=±1,
∴φ=kπ(k∈Z).
故选A.
答案:A
7.已知p是r的充分条件,q是r的必要条件,那么p是q的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由已知p?r?q,故p是q的充分条件.
答案:A
8.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( )
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
答案:A
9.下列说法错误的是( )
A.命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是“若x≠3,则x2-4x+3≠0”
B.“x=3”是“|x|>0”的充分不必要条件
C.若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题
D.已知命题p:?x∈R,使x2+x+1<0,则p:?x∈R,均有x2+x+1≥0
解析:根据逆否命题的定义知选项A正确;x=3?|x|>0,但|x|>0不能推出x=3,故知选项B正确;若“p且q”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故知选项C不正确;由命题p的否定知选项D正确.
答案:C
10.下列命题中,真命题是( )
A.?m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数
B.?m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数
C.?m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D.?m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
解析:当m=0时,f(x)=x2是偶函数,故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.“函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于负半轴”的充要条件是 .?
答案:c<0
12.命题“存在x∈R,使得x2-3x+10=0”的否定是 .?
答案:对任意x∈R,都有x2-3x+10≠0
13.已知命题p:?x∈R,x2+2x+3>0,则p: .?
答案:?x∈R,x2+2x+3≤0
14.在一次射击训练中,某战士连续射击了两次,设命题p是“第一次射击击中目标”,命题q是“第二次射击击中目标”,用p,q及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨,∧, )表示下列命题:
两次都击中目标可表示为: ;?
恰好一次击中目标可表示为: .?
解析:“两次都击中目标”即“第一次击中目标且第二次也击中目标”,故“两次都击中目标”可表示为p∧q;
“恰好一次击中目标”即“第一次击中目标且第二次没击中目标,或第一次没击中目标且第二次击中目标”,
故“恰好一次击中目标”可表示为(p∧q)∨(p∧q).
答案:p∧q (p∧q)∨(p∧q)
15.下列四个结论:
①命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a=0,则ab≠0”;
②已知命题p:?x∈R,x2+6x+11<0,则p:?x∈R,x2+6x+11≥0;
③若命题“p”与命题“p或q”都是真命题,则命题q一定是真命题;
④命题“若0其中正确结论的序号是 .?
答案:②③
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)给出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:不论m取何实数,关于x的方程x2+mx-1=0都有实根;
(2)q:?x∈{三角形},x是等边三角形.
分析:先分析命题所含的量词,明确命题是全称命题还是存在性命题,然后加以否定;可利用“p”与“p”的真假性相反判断命题的真假.
解:(1)p:?m∈R,关于x的方程x2+mx-1=0无实根.(假命题)
(2)q:?x∈{三角形},x不是等边三角形.(假命题)
17.(8分)把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时判断四种命题的真假:
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)当x=2时,x2-3x+2=0.
解:(1)原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形对应的三边相等,真命题;
逆命题:若两个三角形对应的三边相等,则这两个三角形全等,真命题;
否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形对应的三边不全相等,真命题;
逆否命题:若两个三角形对应的三边不全相等,则这两个三角形不全等,真命题.
(2)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0,真命题;
逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2,假命题;
否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0,假命题;
逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2,真命题.
18.(9分)已知命题p:A={x||x-2|≤4},q:B={x|(x-1-m)(x-1+m)≤0}(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
分析:化简集合,实行等价转化即将条件“p是q的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件”转化为“A?B”,然后利用集合关系列不等式组解决问题.
解:p:A={x||x-2|≤4}={x|-2≤x≤6},q:B={x|1-m≤x≤1+m}(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以p是q的充分不必要条件.
利用数轴分析可,解得m≥5.
故m的取值范围为[5,+∞).
第三章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心.
A.1 B
解析:
∴x=1,y=zx+y+z=2,故选C.
答案:C
2.已知i,j,k为单位正交基底,a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于( )
A.-15 B.-5 C.-3 D.-1
解析:a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),
故5a=(15,10,-5),3b=(3,-3,6),
∴5a·3b=45-30-30=-15.
答案:A
3.已知向量ab=(x,1,2),其中x>0,若a∥b,则x的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
解析:a∥b?存在λ∈R使a=λb?
答案:B
4.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )
A
B
C
D
解析:选项D中的三个系数M与点A,B,C一定共面.
答案:D
5.若a,b,c是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是 ( )
A.(a·b)c=(b·c)a
B.若a·b=-|a|·|b|,则a∥b
C.若a·c=b·c,则a∥b
D.若a·a=b·b,则a=b
解析:(a·b)c是与c共线的向量,(b·c)a是与a共线的向量,a与c不一定共线,故A项为假命题;
若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,所以a∥b,故B项为真命题;
若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能得出a∥b,故C项为假命题;
若a·a=b·b,则|a|=|b|,a与b方向未必相同,故不能得出a=b,所以D项为假命题.
答案:B
6.若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值
A.2 B.-2
C.-2
解析:cos
解得x=-2或x
答案:C
7.在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是平行四边形
A.相交
B.垂直
C.不垂直
D.成60°角
解析:⊥平面ABCD.
答案:B
8.下面命题中,正确的命题有( )
①若n1,n2分别是不同平面α,β的法向量,则n1∥n2?α∥β;
②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β?n1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,b,c是α内两个不共线的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),则n·a=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案:D
9.如图,在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A
C
解析:用坐标法求向量的夹角.
答案:D
10.已知向量n=(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到α的距离为( )
A
C
解析:
又n与α垂直,
所以P到α的距离
故选B.
答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .?
解析:如图,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,A1M与DN所成的角的大小为90°.
答案:90°
12.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H(x,y,z),满足BH⊥OA,则x= ,y= ,z= .?
解析:
∵BH⊥OA,
∴(x,y-1,z-1)·(-1,1,0)=0.
又OH∥OA,
∴(x,y,z)=k(-1,1,0),
联立解得x=
答案:
13.已知|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则a·c+b·c+a·b= .?
解析:设a·c+b·c+a·b=x,
则2x=(a+b)·c+(b+c)·a+(c+a)·b
=-|c|2-|a|2-|b|2=-3,
解得x=
答案:
14.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为 .?
解析:因为|a|=|b|,所以平行四边形为菱形.
又a+b=(4,1,3),a-b=(0,-3,1),
|a+b||a-b|
所以S
答案:
15.给出命题:
①在?ABCD中
②在△ABC中,△ABC是锐角三角形;
③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,
以上命题中,正确命题的序号是 .?
解析:①满足向量运算的平行四边形法则,故正确;
·cos A>0?∠A<90°,但∠B,∠C无法确定,△ABC是否是锐角三角形无法确定,故错误;③符合梯形中位线的性质,故正确.
答案:①③
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)在平行六面体ABCD - A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
分析:选择基底表.
解:
∴
=
=1+22+32+2·cos·cos·cos
=14+2×1×2cos 90°+2×1×3cos 60°+2×2×3cos 60°
=23,
∴AC1
17.(8分)
在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD.
又CD?平面BCD,∴AB⊥CD.
(2)解:过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.
由(1)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD,
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以B为坐标原点,分别x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ,
则sin θ=|cos即直线AD与平面MBC所成角的正弦值
18.(9分)已知四棱锥P - ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC
(1)证明平面PAD⊥平面PCD;
(2)求AC与PB所成角的余弦值;
(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值.
分析:因为PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,所以可以以A为坐标原点,AD长为单位长度,建系使用向量求解.
(1)证明:如图,建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C (1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M.
∵=(0,0,1),=(0,1,0),=0,
∴AP⊥DC.
又由题设知:AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD内,故面PAD⊥面PCD.
(2)解:由(1)可=(1,1,0),=(0,2,-1),
∴||=,||=,=2,
∴cos<,>==.
由此得AC与PB所成角的余弦值.
(3)解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R,=λ,
=(1-x,1-y,-z),=,
∴x=1-λ,y=1,z=λ.
要使AN⊥MC,只=0,即x-z=0,
解得λ=.可知当λ=,N点坐标,
能=0.
此时,=,=,
=0.
=0,=0,得AN⊥MC,BN⊥MC.
∴∠ANB为所求二面角的平面角.
∵||=,||=,=-,
∴cos<,>==-.
故所求的二面角的余弦值为-.
第二章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知椭△ABF2的周长为( )
A.10 B.20
C.
解析:因为|F1F2|=8,所以c=4,a△ABF2的周长.
答案:D
2.若焦点在x轴上的椭
A
C
解析:a
所m>0,所以mB.
答案:B
3.已知双曲线的渐近线方程为y=
A.焦距为10
B.实轴与虚轴分别为8和6
C.离心率
D.离心率不确定
解析:由双曲线的渐近线方程为y=
可
e
所以选C.
答案:C
4.下列曲线中离心率
A
C
解析:在曲线方,a=2,c
所以离心率e
答案:B
5.已知P为双曲∠F1PF2=60°,
A
C
解析:∵|PF1|-|PF2|=±2a,
且4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
·|PF2|sin 60°
答案:A
6.已知抛物线y=ax2的准线方程是y-2=0,则a的值是 ( )
A
解析:将抛物线的方程化为标准形式x2
其准线方程是y=a=
答案:B
7.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=
A
解析:设双曲线的方程x=-4,且|AB|=A(-4,A的坐标代入双曲线方程,得a2=4,故a=2,即双曲线的实轴长为4.
答案:C
8.已知双曲
A.2 B.1 C
解析:依题意得e=2,抛物线方程为y2p
答案:D
9.已知双曲
A.(1,3) B.(1,3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
解析:如图,由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|.
∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a,
即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,
即|AF2|≤2a.
∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a,
∴c≤3a.
∵c>a,∴a∴1≤3,即1答案:B
10.已知抛物线C的方程为x2
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B
C.(-∞,-∪(
D.(-∞,
解析:过点A (0,-1)和点B(t,3)的直线方程4x-ty-t=0.
得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4×2t2<0,
解得t答案:D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.在平面直角坐标系xOy中,若双曲
解析:根据双曲线方程的结构形式可知,此双曲线的焦点在x轴上,且a2=m,b2=m2+4,故c2=m2+m+4,于是e2m=2,经检验符合题意.
答案:2
12.直线l:x-y+1=0和椭
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
7x2+8x-8=0,
所以x1+x2=
由弦长公式可得
|AB|
答案:
13.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .?
解析:由焦点弦|AB||AB|
∴2p=|AB|
答案:2
14.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a= .?
解析:焦点坐标为(1,0),代入直线方程得a=-1.
答案:-1
15.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率
解析:由题意得2a=12a=6,c=G的方程
答案:
三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(8分)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,求该抛物线的方程及其准线方程.
解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为y=xy2=2px联立,得y2-2py-p2=0,
∴y1+y2=2p.
由题意知y1+y2=4,∴p=2.
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
解法二设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4
两式相减,得kAB
∴p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
17.(8分)已知B为线段MN上一点,|MN|=6,|BN|=2,动圆C与MN相切于点B,分别过M,N作圆C的切线,两切线交于点P.求点P的轨迹方程.
分析:应用切线长定理进行线段之间的转化,根据圆锥曲线的定义求方程.
解:
以MN所在的直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴,O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示.
设MP,NP分别与☉C相切于D,E两点,则
|PM|-|PN|=|MD|-|NE|=|MB|-|BN|=6-2-2=2,且|MN|>2.
所以点P的轨迹是以M,N为焦点,2a=2,2c=6的双曲线的右支(顶点除外).
由a=1,c=3,知b2=8.
故点P的轨迹方程为x2
18.(9分)已知椭
(1)求椭圆的方程;
(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A,B两点,点M在椭圆上,且满
解:(1)因为双曲
所以椭圆的离心率
因为b=1,所以a=2.
故椭圆的方程
(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).
(1+4k2)x2+8kx=0,
所以x1+x2=
因
所以m
因为点M在椭圆上,
所以m2+4n2=4,
所
所以y1y2=0,
所以(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1
=k·
即k2
所以k=
此时Δ=(8k)2-4(1+4k2)×0=64k2=16>0,
故k的值
