华师大版九年级数学上册期末专题: 第24章 解直角三角形 单元检测试卷
一、单选题(共10题;共30分)
1.在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,则sinA的值是(?? )
A.?34??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?45??????????????????????????????????????????D.?43
2.一个三角形的两边长分别是3和7,且第三边长为整数,这样的三角形周长最大的值为(? ?)
A.?15?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?18?????????????????????????????????????????D.?19
3.为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A,再在他所在的这一侧选点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,然后找出AD与BC的交点E.如图所示,若测得BE=90m,EC=45m,CD=60m,则这条河的宽AB等于(??? )
A.?120m??????????????????????????????????B.?67.5m??????????????????????????????????C.?40m??????????????????????????????????D.?30m
4.等腰三角形的周长为20cm,腰长为x cm,底边长为y cm,则底边长与腰长之间的函数关系式为(??? )
A.?y=20﹣x(0<x<10)???????????????????????????????????????B.?y=20﹣x(10<x<20)C.?y=20﹣2x(10<x<20)??????????????????????????????????D.?y=20﹣2x(5<x<10)
5.一段拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡度为i=1:3 , 坝高BC=6m,则坡面AB的长度( )
A.?12m????????????????????????????????????B.?18m????????????????????????????????????C.?63????????????????????????????????????D.?123
6.汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P点,测得A村的俯角为30°,B村的俯角为60°(如图)则A,B两个村庄间的距离是(?? )米.
A.?300??????????????????????????????????B.?900??????????????????????????????????C.?300 2??????????????????????????????????D.?300 3
7.如图,小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时,测得自身影子CD的长为1米,他继续往前走3米到达点E处(即CE=3米),测得自己影子EF的长为2米,已知小明的身高是1.5米,那么路灯A的高度AB是( )
A.?4.5米?????????????????????????????????????B.?6米?????????????????????????????????????C.?7.2米?????????????????????????????????????D.?8米
8.一个三角形的两边长为2和6,第三边为偶数,则这个三角形的周长为( )
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
9.如图,斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1:2,AC=3 5 米,坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米,则旗杆BC的高度为(?? )
A.?5米?????????????????????????????????B.?6米?????????????????????????????????C.?8米?????????????????????????????????D.?(3+ 5 )米
10.如图,在□ABCD中,AB∶AD=3∶2,∠ADB=60°,那么cosA的值等于(???)
A.?3?66???????????????????????????????B.?3+326???????????????????????????????C.?3+66???????????????????????????????D.?3+226
二、填空题(共10题;共33分)
11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米,那么他下降________米.
12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6,则该等腰三角形的周长是________.
13.如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°, ∠B=30°,AC=1,则BB′的长为________.
14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 43 ?,则x=________,cosα=________.?
15.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=4,sinB=23 , 那么AB=________?
16.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m,此时测得附近一个建筑物的影长24 m,则该建筑物的高是________m.
17.tan________ °=0.7667.
18.如图:∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB,若AE=8,则DF等于________. ?19.如图,将两块直角三角形的一条直角边重合叠放,已知AC=BC= 3 +1,∠D=60°,则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________.
20.已知当x1=a,x2=b,x3=c时,二次函数y= 12 x2+mx对应的函数值分别为y1 , y2 , y3 , 若正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且当a<b<c时,都有y1<y2<y3 , 则实数m的取值范围是________.
三、解答题(共8题;共57分)
21.如图,我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行,船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向,船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点,此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向.请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近?
22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.
23.如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处60 3 米的点D(点D与楼底C在同一水平上)出发,沿斜面坡度为i=l: 3 的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53 ° ,求楼房AC的高度(参考数据:sin53 ° = 45 , cos53 ° = 35 , tan53 ° = 43 , 3 ≈1.732,结果精确到0.1米)
24.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).
25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志,小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景,然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点,“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m.如图,DE∥BC,BD=1800m,∠DBC=80°,求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1m,可参考数据sin29°≈0.4848,sin80°≈0.9848,cos29°≈0.8746,cos80°≈0.1736)
26.在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度.他们首先从A处安置测倾器,测得塔顶C的仰角∠CFE=21°,然后往塔的方向前进50米到达B处,此时测得仰角∠CGE=37°,已知测倾器高1.5米,请你根据以上数据计算出古塔CD的高度.(参考数据:sin37°≈ 35 ,tan37°≈ 34 ,sin21°≈ 925 ,tan21°≈ 38 )
27.在一次课题学习中,老师让同学们合作编题.某学习小组受赵爽弦图的启发,编写了下面这道题,请你来解一解.如图,将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H,使得AE=CG,BF=DH,连结EF、FG、GH、HE.
(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;
(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形,且∠FEB=45°,tan∠AEH=2,求AE的长.
28.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退,红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D处成功拦截蓝方,求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值) . ?
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:在△ABC中, ∠C=90°,∵AC=4,BC=3,∴AB= 32+42 =5.∴sinA= 35 ,故答案为:B.【分析】先根据勾股定理算出AB,再根据正切定义得出结论。
2.【答案】D
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】设第三边为a,根据三角形的三边关系,得:7﹣3<a<3+7,即4<a<10,∵a为整数,∴a的最大值为9,则三角形的最大周长为9+3+7=19.故答案为:D.【分析】三角形的三边关系为:任意两边和大于第三边,任意两边差小于第三边.
3.【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△DCE,
∴ ABCD=BECE .
∵BE=90m,EC=45m,CD=60m,
∴ AB=90×6045=120(m) ?
故答案为:A.
【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DCE,可得比例式求解。
4.【答案】D
【考点】三角形三边关系,等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:∵2x+y=20∴y=20﹣2x,即x<10∵两边之和大于第三边∴x>5故答案为:D【分析】本题先由等腰三角形周长20=2x+y,易得y与x的函数关系式,再利用两腰之和大于底且腰、底必须是正列出x的不等式组,通过解不等式组即可确定自变量x的取值范围。
5.【答案】A
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解:∵迎水坡AB的坡度为i=1:3 , 坝高BC=6m,∴BCAC=13即 6AC=13解得AC=63 , ∴AB= AC2+BC2= 632+62=108+36=144=12m,故选A.【分析】根据迎水坡AB的坡度为i=1:3 , 坝高BC=6m,可以求得AC的长度,从而得到AB的长度,本题得以解决.
6.【答案】D
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解:∠A=30°,∠PBC=60°,∴∠APB=60°﹣30°,∴∠APB=∠A,∴AB=PB.在Rt△BCP中,∠C=90°,∠PBC=60°,PC=450米,所以PB= 450sin60°=9003=3003 .所以AB=PB=300 3 .故选D.【分析】过P作AB的垂线,垂足是C,根据两个俯角的度数可知△ABP是等腰三角形,AB=BP,在直角△PBC中,根据三角函数就可求得BP的长.
7.【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:∵MC∥AB,∴△DCM∽△DAB,∴DCDB=MCAB , 即1.5AB=1BC+1①,∵NE∥AB,∴△FNE∽△FAB,∴NEAB=EFBF , 即1.5AB=2BC+3+2②,∴1BC+1=2BC+3+22 , 解得BC=3,∴1.5AB=11+3解得AB=6,即路灯A的高度AB为6m.故选B.【分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB,根据相似三角形的性质得1.5AB=1BC+1同理可得1.5AB=2BC+3+2然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长.
8.【答案】C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】第三边的取值范围是大于4且小于8,又第三边是偶数,故第三边是6.则该三角形的周长是14.故选:C.【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.即可求解.
9.【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解:设CD=x,则AD=2x,由勾股定理可得,AC= x2+(2x)2 = 5 x,∵AC=3 5 米,∴ 5 x=3 5 ,∴x=3米,∴CD=3米,∴AD=2×3=6米,在Rt△ABD中,BD= 102?62 =8米,∴BC=8﹣3=5米.故选A.【分析】设CD=x,则AD=2x,根据勾股定理求出AC的长,从而求出CD、AC的长,然后根据勾股定理求出BD的长,即可求出BC的长.
10.【答案】A
【考点】勾股定理,锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设AD=2x,则AB=3x,过点D作DE⊥AB于点E,过点A作AF⊥DB于点F,因为∠ADB=60°,所以DF=x,AF=3x,在△ABF中,BF=6x,根据三角形的面积公式S=12BD×AF=12AB×DE,所以有DE=6+13x,在△ADE中,由勾股定理得AE=3?63x,所以cos∠DAB=3?66,故选A.????
二、填空题
11.【答案】1
【考点】含30度角的直角三角形
【解析】【解答】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半,
∴他下降 12 ×2=1米.
故答案为:1.
【分析】利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半来求可得.
12.【答案】15
【考点】三角形三边关系,等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:当腰为3时,3+3=6,∴3、3、6不能组成三角形;当腰为6时,3+6=9>6,∴3、6、6能组成三角形,该三角形的周长为=3+6+6=15.故答案为:15.【分析】先根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义得到三角形的三个边,再计算等腰三角形的周长即可.
13.【答案】4
【考点】含30度角的直角三角形,中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=1,∴AB=2AC=2,根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4.故答案为:4.【分析】先利用直角三角形30°角的性质求得斜边的长,然后再利用中心对称的性质求BB′的长。
14.【答案】-6;35
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解:(1)过P点作x轴的垂线段PA,垂足为A,在Rt△PAO中,∵角α的正切值是 43 ,∴ PAOA = 43 ,∵PA=8,∴OA=6,即x=-6.( 2 )在Rt△OPA中,PA=8,OA=6,∴OP=10.∴cos α= OAOP = 610 = 35故答案为:-6;35【分析】以角α为一角构造一个直角三角形,过P点作x轴的垂线段PA,根据角α的正切值,求出OA的值,即可求出x的值;由勾股定理可得OP的长度,再根据余弦函数的定义,可得cosα的值。
15.【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解:∵sinB=23 , ∴AB=6.故答案是:6.【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解.
16.【答案】16
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵ 建筑物的高建筑物的影子长=旗杆高旗杆影长 ,
即 建筑物的高20=45 ,
∴设建筑物的高是x米.则 x20=45
解得:x=16.
故该建筑物的高为16米.
【分析】根据物长:影长可得比例式求解。
17.【答案】37.5
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解:tan﹣10.7667≈37.5°.
故答案为:37.5.
【分析】直接利用计算求出答案.
18.【答案】4
【考点】角平分线的性质,含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解:作DG⊥AC,垂足为G.∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,∵∠DAE=∠ADE=15°,∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°,∴∠DEG=15°×2=30°,∴ED=AE=8,∴在Rt△DEG中,DG=12DE=4,∴DF=DG=4.故答案为:4. 【分析】作DG⊥AC,根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE,再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD,求出∠DEG=15°×2=30°,再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长,然后根据角平分线的性质求出DF.
19.【答案】1
【考点】相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解:过点E作EH垂直BC于H。 ∵∠CBD=90°,∠D=60°,∴∠BCD=30°,∴∠ACE=60°,∵AC=BC= 3 +1,∴BD= 3+13 ,AB= 2 ( 3 +1),∵∠AEC=∠BED,∴△BDE∽△ACE,∴ BDAC = BEAE ,∴ 3+133+1 = BE2(3+1)?BE ,∴BE= 2 ,AE= 6 ,∵∠ACB=90°,∴△BHE∽△BCA,∴ EHAC = AEAB ,∴ EH3+1 = 62(3+1) ,∴EH=1,故答案为1.【分析】过点E作EH垂直BC于H。AC=BC=3+1,∠D=60°,根据特殊锐角的三角函数值可以求出BD,AB的长,进而判断出△BDE∽△ACE,根据相似三角形对应边成比例得出BE,AE的长,再判断出△BHE∽△BCA,根据对应边成比例得出EH的长。
20.【答案】m>﹣ 52
【考点】三角形三边关系,二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】方法一:
解:∵正整数a,b,c恰好是一个三角形的三边长,且a<b<c,
∴a最小是2,
∵y1<y2<y3 ,
∴﹣ m2×12 <2.5,
解得m>﹣2.5.
方法二:
解:当a<b<c时,都有y1<y2<y3 ,
即 {y1<y2y2<y3 ,
∴ {12a2+ma<12b2+mb12b2+mb<12c2+mc ,
∴ {m>?12(a+b)m>?12(b+c) ,
∵a,b,c恰好是一个三角形的三边长,a<b<c,
∴a+b<b+c,
∴m>﹣ 12 (a+b),
∵a,b,c为正整数,
∴a,b,c的最小值分别为2、3、4,
∴m>﹣ 12 (a+b)≥﹣ 12 (2+3)=﹣ 52 ,
∴m>﹣ 52 ,
故答案为:m>﹣ 52 .
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2,再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2,即小于2.5,然后列出不等式求解即可.
三、解答题
21.【答案】解:过点A作AD⊥BC于D,根据题意得∠ABC=30°,∠ACD=60°,∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°,∴CA=CB.∵CB=50×2=100(海里),∴CA=100(海里),在直角△ADC中,∠ACD=60°,∴CD= 12 AC= 12 ×100=50(海里).故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D,则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离,线段CD的长度即为所求.先由方位角的定义得出∠ABC=30°,∠ACD=60°,由三角形外角的性质得出∠BAC=30°,则CA=CB=100海里,然后解直角△ADC,得出CD= 12 AC=50海里.
22.【答案】解:作AM⊥EF于点M,作BN⊥EF于点N,如右图所示,
由题意可得,AM=BN=60米,CD=100米,∠ACF=45°,∠BDF=60°,∴CM= AMtan45° =60米,DN= BNtan60°=603 = 203 米,∴AB=CD+DN﹣CM= 100+203?60 =( 40+203 )米,即A、B两点的距离是( 40+203 )米.
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线,画出相应的图形,可分别求出CM、DN的长,由于AB=CN-CM,从而可以求得AB的长。
23.【答案】解:如图作BN⊥CD于N,BM⊥AC于M.
在Rt△BDN中,BD=30,BN:ND=1: 3 ,
∴BN=15,DN=15 3 ,
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°,
∴四边形CMBN是矩形,
∴CM=BN=15,BM=CN=60 3 -15 3 =45? 3 ,
在Rt△ABM中,tan∠ABM=AMBM=43,
∴AM=60 3 ,
∴AC=AM+CM=15+60 3 ≈118.9米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】要求楼房AC的高度,需将AC放在直角三角形中即可求解。由题意可作辅助线,作BN⊥CD于N,BM⊥AC于M,结合已知条件可得四边形CMBN是矩形,由矩形的性质可得CM=BN,BM=CN;解直角三角形ABM可求得AM的长,则AC=AM+CM可求解。
24.【答案】【解答】解:如图,过点B作BE⊥CD于点E,根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABEC为矩形.∴CE=AB=12m.在Rt△CBE中,cot∠CBE=BECE,∴BE=CE?cot30°=12×3=123.在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,得DE=BE=123.∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.答:楼房CD的高度约为32.4m.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
25.【答案】解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,延长DE交AC于点M,由题意可得:EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29°,在Rt△DFB中,sin80°= DFBD ,则DF=BD?sin80°,AM=AC﹣CM=1890﹣1800?sin80°,在Rt△AME中,sin29°= AMAE ,故AE= AMsin29° = 1890?1800?sin80°sin29° ≈242.1(m),答:斜坡AE的长度约为242.1m.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F,延长DE交AC于点M,进而表示出DF、AM的长,再利用AE= AMsin29° ,求出答案.
26.【答案】解:由题意知CD⊥AD,EF∥AD.∴∠CEF=90°.设CE=x,在Rt△CEF中,tan∠CFE= CEEF ,则EF= CEtan∠CFE=xtan21°=83 x.在Rt△CEG中,tan∠CGE= CEGE ,则GE= CEtan∠CGE=xtan37°=43x .∵EF=FG+EG,∴ 83x=50+43 x,x=37.5.∴CD=CE+ED=37.5+1.5=39(米).答:古塔的高度约是39米.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE,利用其公共边CE构造等量关系,借助FG=EF﹣GE=50,构造方程关系式求解.
27.【答案】(1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠BAD=∠BCD=90°.?????? 又∵BF=DH,?????? ∴AD+DH=BC+BF?????? 即AH=CF.?????? 在Rt△AEH中,EH=AE2+AH2.?????? 在Rt△CFG中,FG=CG2+CF2.?????? ∵AE=CG,?????? ∴EH=FG.?????? 同理得,EF=HG.?????? ∴四边形EFGH为平行四边形.(2)解:在正方形ABCD中,AB=AD=1.?????? 设AE=x,则BE=x+1.?????? ∵在Rt△BEF中,∠BEF=45°.?????? ∴BE=BF.?????? ∵BF=DH,?????? ∴DH=BE=x+1.?????? ∴AH=AD+DH=x+2.?????? ∵在Rt△AEH中,tan∠AEH=2,?????? ∴AH=2AE.?????? ∴2+x=2x.?????? ∴x=2.?????? 即AE=2.
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理,平行四边形的判定,矩形的性质,解直角三角形
【解析】【分析】(1)在矩形ABCD中,AD=BC,∠BAD=∠BCD=90°.根据BF=DH,得出AH=CF.根据勾股定理 EH=AE2+AH2.FG=CG2+CF2.?由AE=CG得出EH=FG.EF=HG;从而证明四边形EFGH为平行四边形.(2)在正方形ABCD中,AB=AD=1; 设AE=x,则BE=x+1;在Rt△BEF中,∠BEF=45°.得出BE=BF=DH=x+1;AH=AD+DH=x+2.在Rt△AEH中,利用正切即可求出AE的长.
28.【答案】解:如图,过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F , 则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF . 在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°,∴∠BCE=30°,∴BE= BC= ×1000=500米;在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=AB=1000米,∴CF= CD=500 米,∴DA=BE+CF=(500+500 )米,故拦截点D处到公路的距离是(500+500 )米 . ?
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F , 则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF . 解Rt△BCE , 求出BE= BC= ×1000=500米;解Rt△CDF , 求出CF= CD=500 米,则DA=BE+CF=(500+500 )米 . ?