华师大九年级上期末专题《第24章解直角三角形》单元试卷含解析
文档属性
| 名称 | 华师大九年级上期末专题《第24章解直角三角形》单元试卷含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 166.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-18 07:59:05 | ||
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文档简介
华师大版九年级数学上册期末专题： 第24章 解直角三角形 单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?? ）
A.?34??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?45??????????????????????????????????????????D.?43
2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（? ?）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?18?????????????????????????????????????????D.?19
3.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（??? ）
A.?120m??????????????????????????????????B.?67.5m??????????????????????????????????C.?40m??????????????????????????????????D.?30m
4.等腰三角形的周长为20cm，腰长为x cm，底边长为y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（??? ）
A.?y=20﹣x（0＜x＜10）???????????????????????????????????????B.?y=20﹣x（10＜x＜20） C.?y=20﹣2x（10＜x＜20）??????????????????????????????????D.?y=20﹣2x（5＜x＜10）
5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：3 ， 坝高BC=6m，则坡面AB的长度（ ）
A.?12m????????????????????????????????????B.?18m????????????????????????????????????C.?63????????????????????????????????????D.?123
6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（?? ）米．
A.?300??????????????????????????????????B.?900??????????????????????????????????C.?300 2??????????????????????????????????D.?300 3
7.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）
A.?4.5米?????????????????????????????????????B.?6米?????????????????????????????????????C.?7.2米?????????????????????????????????????D.?8米
8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
9.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 5 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（?? ）
A.?5米?????????????????????????????????B.?6米?????????????????????????????????C.?8米?????????????????????????????????D.?（3+ 5 ）米
10.如图，在□ABCD中，AB∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于（???）
A.?3?66???????????????????????????????B.?3+326???????????????????????????????C.?3+66???????????????????????????????D.?3+226
二、填空题（共10题；共33分）
11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米．
12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．
13.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．
14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 43 ?,则x=________,cosα=________. ?
15.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=23 ， 那么AB=________?
16.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m.
17.tan________ °=0.7667．
18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________． ?19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= 3 +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．
20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= 12 x2+mx对应的函数值分别为y1 ， y2 ， y3 ， 若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3 ， 则实数m的取值范围是________．
三、解答题（共8题；共57分）
21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？
22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．
23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 3 米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l： 3 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 ° ，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 ° = 45 , cos53 ° = 35 , tan53 ° = 43 ， 3 ≈1.732，结果精确到0.1米）
24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3=1.7）．
25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度． （参考数据：sin37°≈ 35 ，tan37°≈ 34 ，sin21°≈ 925 ，tan21°≈ 38 ）
27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解． 如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值） ． ?
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠C=90°， ∵AC=4，BC=3， ∴AB= 32+42 =5． ∴sinA= 35 ， 故答案为：B． 【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。
2.【答案】D
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7， 即4＜a＜10， ∵a为整数， ∴a的最大值为9， 则三角形的最大周长为9+3+7=19． 故答案为：D． 【分析】三角形的三边关系为：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边.
3.【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△DCE,
∴ ABCD=BECE .
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴ AB=90×6045=120(m) ?
故答案为：A.
【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DCE,可得比例式求解。
4.【答案】D
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵2x+y=20∴y=20﹣2x，即x＜10 ∵两边之和大于第三边 ∴x＞5 故答案为：D 【分析】本题先由等腰三角形周长20=2x+y，易得y与x的函数关系式，再利用两腰之和大于底且腰、底必须是正列出x的不等式组，通过解不等式组即可确定自变量x的取值范围。
5.【答案】A
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为i=1：3 ， 坝高BC=6m， ∴BCAC=13 即 6AC=13 解得AC=63 ， ∴AB= AC2+BC2= 632+62=108+36=144=12m， 故选A． 【分析】根据迎水坡AB的坡度为i=1：3 ， 坝高BC=6m，可以求得AC的长度，从而得到AB的长度，本题得以解决．
6.【答案】D
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∠A=30°，∠PBC=60°， ∴∠APB=60°﹣30°， ∴∠APB=∠A， ∴AB=PB． 在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450米， 所以PB= 450sin60°=9003=3003 ． 所以AB=PB=300 3 ． 故选D． 【分析】过P作AB的垂线，垂足是C，根据两个俯角的度数可知△ABP是等腰三角形，AB=BP，在直角△PBC中，根据三角函数就可求得BP的长．
7.【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵MC∥AB， ∴△DCM∽△DAB， ∴DCDB=MCAB ， 即1.5AB=1BC+1①， ∵NE∥AB， ∴△FNE∽△FAB， ∴NEAB=EFBF ， 即1.5AB=2BC+3+2②， ∴1BC+1=2BC+3+22 ， 解得BC=3， ∴1.5AB=11+3解得AB=6， 即路灯A的高度AB为6m． 故选B． 【分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB，根据相似三角形的性质得1.5AB=1BC+1同理可得1.5AB=2BC+3+2然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．
8.【答案】C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．则该三角形的周长是14． 故选：C． 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
9.【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设CD=x，则AD=2x， 由勾股定理可得，AC= x2+(2x)2 = 5 x， ∵AC=3 5 米， ∴ 5 x=3 5 ， ∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=2×3=6米， 在Rt△ABD中，BD= 102?62 =8米， ∴BC=8﹣3=5米． 故选A． 【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
10.【答案】A
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设AD=2x,则AB=3x,过点D作DE⊥AB于点E,过点A作AF⊥DB于点F,因为∠ADB=60°,所以DF=x,AF=3x, 在△ABF中，BF=6x,根据三角形的面积公式S=12BD×AF=12AB×DE,所以有DE=6+13x, 在△ADE中，由勾股定理得AE=3?63x，所以cos∠DAB=3?66, 故选A. ????
二、填空题
11.【答案】1
【考点】含30度角的直角三角形
【解析】【解答】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降 12 ×2=1米.
故答案为：1.
【分析】利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半来求可得.
12.【答案】15
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故答案为：15． 【分析】先根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义得到三角形的三个边，再计算等腰三角形的周长即可.
13.【答案】4
【考点】含30度角的直角三角形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， 根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4. 故答案为：4. 【分析】先利用直角三角形30°角的性质求得斜边的长，然后再利用中心对称的性质求BB′的长。
14.【答案】-6；35
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：(1)过P点作x轴的垂线段PA,垂足为A，在Rt△PAO中，∵角α的正切值是 43 ,∴ PAOA = 43 ,∵PA=8,∴OA=6,即x=-6.( 2 )在Rt△OPA中,PA=8,OA=6,∴OP=10.∴cos α= OAOP = 610 = 35 故答案为：-6；35 【分析】以角α为一角构造一个直角三角形，过P点作x轴的垂线段PA,根据角α的正切值，求出OA的值，即可求出x的值；由勾股定理可得OP的长度，再根据余弦函数的定义，可得cosα的值。
15.【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinB=23 ， ∴AB=6． 故答案是：6． 【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．
16.【答案】16
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵ 建筑物的高建筑物的影子长=旗杆高旗杆影长 ，
即 建筑物的高20=45 ，
∴设建筑物的高是x米．则 x20=45
解得：x=16．
故该建筑物的高为16米．
【分析】根据物长：影长可得比例式求解。
17.【答案】37.5
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan﹣10.7667≈37.5°．
故答案为：37.5．
【分析】直接利用计算求出答案．
18.【答案】4
【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G． ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE， ∵∠DAE=∠ADE=15°， ∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°， ∴∠DEG=15°×2=30°， ∴ED=AE=8， ∴在Rt△DEG中，DG=12DE=4， ∴DF=DG=4． 故答案为：4． 【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
19.【答案】1
【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点E作EH垂直BC于H。 ∵∠CBD=90°，∠D=60°， ∴∠BCD=30°， ∴∠ACE=60°， ∵AC=BC= 3 +1， ∴BD= 3+13 ，AB= 2 （ 3 +1）， ∵∠AEC=∠BED， ∴△BDE∽△ACE， ∴ BDAC = BEAE ， ∴ 3+133+1 = BE2(3+1)?BE ， ∴BE= 2 ，AE= 6 ， ∵∠ACB=90°， ∴△BHE∽△BCA， ∴ EHAC = AEAB ， ∴ EH3+1 = 62(3+1) ， ∴EH=1， 故答案为1． 【分析】过点E作EH垂直BC于H。AC=BC=3+1，∠D=60°，根据特殊锐角的三角函数值可以求出BD,AB的长，进而判断出△BDE∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出BE,AE的长，再判断出△BHE∽△BCA，根据对应边成比例得出EH的长。
20.【答案】m＞﹣ 52
【考点】三角形三边关系，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】方法一：
解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，
∴a最小是2，
∵y1＜y2＜y3 ，
∴﹣ m2×12 ＜2.5，
解得m＞﹣2.5．
方法二：
解：当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3 ，
即 {y1<y2y2<y3 ，
∴ {12a2+ma<12b2+mb12b2+mb<12c2+mc ，
∴ {m>?12(a+b)m>?12(b+c) ，
∵a，b，c恰好是一个三角形的三边长，a＜b＜c，
∴a+b＜b+c，
∴m＞﹣ 12 （a+b），
∵a，b，c为正整数，
∴a，b，c的最小值分别为2、3、4，
∴m＞﹣ 12 （a+b）≥﹣ 12 （2+3）=﹣ 52 ，
∴m＞﹣ 52 ，
故答案为：m＞﹣ 52 ．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可．
三、解答题
21.【答案】解：过点A作AD⊥BC于D，根据题意得 ∠ABC=30°，∠ACD=60°， ∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°， ∴CA=CB． ∵CB=50×2=100（海里）， ∴CA=100（海里）， 在直角△ADC中，∠ACD=60°， ∴CD= 12 AC= 12 ×100=50（海里）． 故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD= 12 AC=50海里．
22.【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，
由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM= AMtan45° =60米，DN= BNtan60°=603 = 203 米，∴AB=CD+DN﹣CM= 100+203?60 =（ 40+203 ）米，即A、B两点的距离是（ 40+203 ）米．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可分别求出CM、DN的长，由于AB=CN-CM，从而可以求得AB的长。
23.【答案】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1： 3 ，
∴BN=15，DN=15 3 ，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BN=15，BM=CN=60 3 -15 3 =45? 3 ，
在Rt△ABM中，tan∠ABM=AMBM=43，
∴AM=60 3 ，
∴AC=AM+CM=15+60 3 ≈118.9米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】要求楼房AC的高度，需将AC放在直角三角形中即可求解。由题意可作辅助线，作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，结合已知条件可得四边形CMBN是矩形，由矩形的性质可得CM=BN，BM=CN；解直角三角形ABM可求得AM的长，则AC=AM+CM可求解。
24.【答案】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形． ∴CE=AB=12m． 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BECE， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123． 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
25.【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M， 由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°， 在Rt△DFB中，sin80°= DFBD ，则DF=BD?sin80°， AM=AC﹣CM=1890﹣1800?sin80°， 在Rt△AME中，sin29°= AMAE ， 故AE= AMsin29° = 1890?1800?sin80°sin29° ≈242.1（m）， 答：斜坡AE的长度约为242.1m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，进而表示出DF、AM的长，再利用AE= AMsin29° ，求出答案．
26.【答案】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD． ∴∠CEF=90°． 设CE=x， 在Rt△CEF中， tan∠CFE= CEEF ， 则EF= CEtan∠CFE=xtan21°=83 x． 在Rt△CEG中， tan∠CGE= CEGE ， 则GE= CEtan∠CGE=xtan37°=43x ． ∵EF=FG+EG， ∴ 83x=50+43 x， x=37.5． ∴CD=CE+ED=37.5+1.5=39（米）． 答：古塔的高度约是39米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG=EF﹣GE=50，构造方程关系式求解．
27.【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°. ?????? 又∵BF=DH, ?????? ∴AD+DH=BC+BF ?????? 即AH=CF. ?????? 在Rt△AEH中，EH=AE2+AH2. ?????? 在Rt△CFG中，FG=CG2+CF2. ?????? ∵AE=CG， ?????? ∴EH=FG. ?????? 同理得，EF=HG. ?????? ∴四边形EFGH为平行四边形. （2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1. ?????? 设AE=x，则BE=x+1. ?????? ∵在Rt△BEF中，∠BEF=45°. ?????? ∴BE=BF. ?????? ∵BF=DH, ?????? ∴DH=BE=x+1. ?????? ∴AH=AD+DH=x+2. ?????? ∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=2， ?????? ∴AH=2AE. ?????? ∴2+x=2x. ?????? ∴x=2. ?????? 即AE=2.
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.根据BF=DH,得出AH=CF.根据勾股定理 EH=AE2+AH2.FG=CG2+CF2. ?由AE=CG得出EH=FG.EF=HG；从而证明四边形EFGH为平行四边形. （2）在正方形ABCD中，AB=AD=1； 设AE=x，则BE=x+1；在Rt△BEF中，∠BEF=45°.得出BE=BF=DH=x+1；AH=AD+DH=x+2. 在Rt△AEH中，利用正切即可求出AE的长.
28.【答案】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F ， 则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF ． 在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE= BC= ×1000=500米； 在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米， ∴CF= CD=500 米， ∴DA=BE+CF=（500+500 ）米， 故拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米 ． ?
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F ， 则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF ． 解Rt△BCE ， 求出BE= BC= ×1000=500米；解Rt△CDF ， 求出CF= CD=500 米，则DA=BE+CF=（500+500 ）米 ． ?
一、单选题（共10题；共30分）
1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?? ）
A.?34??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?45??????????????????????????????????????????D.?43
2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（? ?）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?18?????????????????????????????????????????D.?19
3.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（??? ）
A.?120m??????????????????????????????????B.?67.5m??????????????????????????????????C.?40m??????????????????????????????????D.?30m
4.等腰三角形的周长为20cm，腰长为x cm，底边长为y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（??? ）
A.?y=20﹣x（0＜x＜10）???????????????????????????????????????B.?y=20﹣x（10＜x＜20） C.?y=20﹣2x（10＜x＜20）??????????????????????????????????D.?y=20﹣2x（5＜x＜10）
5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：3 ， 坝高BC=6m，则坡面AB的长度（ ）
A.?12m????????????????????????????????????B.?18m????????????????????????????????????C.?63????????????????????????????????????D.?123
6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（?? ）米．
A.?300??????????????????????????????????B.?900??????????????????????????????????C.?300 2??????????????????????????????????D.?300 3
7.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ ）
A.?4.5米?????????????????????????????????????B.?6米?????????????????????????????????????C.?7.2米?????????????????????????????????????D.?8米
8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?16
9.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 5 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（?? ）
A.?5米?????????????????????????????????B.?6米?????????????????????????????????C.?8米?????????????????????????????????D.?（3+ 5 ）米
10.如图，在□ABCD中，AB∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于（???）
A.?3?66???????????????????????????????B.?3+326???????????????????????????????C.?3+66???????????????????????????????D.?3+226
二、填空题（共10题；共33分）
11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米．
12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．
13.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．
14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 43 ?,则x=________,cosα=________. ?
15.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=23 ， 那么AB=________?
16.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m.
17.tan________ °=0.7667．
18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________． ?19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= 3 +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．
20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= 12 x2+mx对应的函数值分别为y1 ， y2 ， y3 ， 若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3 ， 则实数m的取值范围是________．
三、解答题（共8题；共57分）
21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？
22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．
23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 3 米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l： 3 的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 ° ，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 ° = 45 , cos53 ° = 35 , tan53 ° = 43 ， 3 ≈1.732，结果精确到0.1米）
24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3=1.7）．
25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）
26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度． （参考数据：sin37°≈ 35 ，tan37°≈ 34 ，sin21°≈ 925 ，tan21°≈ 38 ）
27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解． 如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值） ． ?
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠C=90°， ∵AC=4，BC=3， ∴AB= 32+42 =5． ∴sinA= 35 ， 故答案为：B． 【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。
2.【答案】D
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7， 即4＜a＜10， ∵a为整数， ∴a的最大值为9， 则三角形的最大周长为9+3+7=19． 故答案为：D． 【分析】三角形的三边关系为：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边.
3.【答案】A
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△DCE,
∴ ABCD=BECE .
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴ AB=90×6045=120(m) ?
故答案为：A.
【分析】根据对对顶角相等和直角都相等可得∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△DCE,可得比例式求解。
4.【答案】D
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵2x+y=20∴y=20﹣2x，即x＜10 ∵两边之和大于第三边 ∴x＞5 故答案为：D 【分析】本题先由等腰三角形周长20=2x+y，易得y与x的函数关系式，再利用两腰之和大于底且腰、底必须是正列出x的不等式组，通过解不等式组即可确定自变量x的取值范围。
5.【答案】A
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为i=1：3 ， 坝高BC=6m， ∴BCAC=13 即 6AC=13 解得AC=63 ， ∴AB= AC2+BC2= 632+62=108+36=144=12m， 故选A． 【分析】根据迎水坡AB的坡度为i=1：3 ， 坝高BC=6m，可以求得AC的长度，从而得到AB的长度，本题得以解决．
6.【答案】D
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∠A=30°，∠PBC=60°， ∴∠APB=60°﹣30°， ∴∠APB=∠A， ∴AB=PB． 在Rt△BCP中，∠C=90°，∠PBC=60°，PC=450米， 所以PB= 450sin60°=9003=3003 ． 所以AB=PB=300 3 ． 故选D． 【分析】过P作AB的垂线，垂足是C，根据两个俯角的度数可知△ABP是等腰三角形，AB=BP，在直角△PBC中，根据三角函数就可求得BP的长．
7.【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵MC∥AB， ∴△DCM∽△DAB， ∴DCDB=MCAB ， 即1.5AB=1BC+1①， ∵NE∥AB， ∴△FNE∽△FAB， ∴NEAB=EFBF ， 即1.5AB=2BC+3+2②， ∴1BC+1=2BC+3+22 ， 解得BC=3， ∴1.5AB=11+3解得AB=6， 即路灯A的高度AB为6m． 故选B． 【分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DAB，根据相似三角形的性质得1.5AB=1BC+1同理可得1.5AB=2BC+3+2然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．
8.【答案】C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．则该三角形的周长是14． 故选：C． 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
9.【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设CD=x，则AD=2x， 由勾股定理可得，AC= x2+(2x)2 = 5 x， ∵AC=3 5 米， ∴ 5 x=3 5 ， ∴x=3米， ∴CD=3米， ∴AD=2×3=6米， 在Rt△ABD中，BD= 102?62 =8米， ∴BC=8﹣3=5米． 故选A． 【分析】设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长．
10.【答案】A
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设AD=2x,则AB=3x,过点D作DE⊥AB于点E,过点A作AF⊥DB于点F,因为∠ADB=60°,所以DF=x,AF=3x, 在△ABF中，BF=6x,根据三角形的面积公式S=12BD×AF=12AB×DE,所以有DE=6+13x, 在△ADE中，由勾股定理得AE=3?63x，所以cos∠DAB=3?66, 故选A. ????
二、填空题
11.【答案】1
【考点】含30度角的直角三角形
【解析】【解答】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
∴他下降 12 ×2=1米.
故答案为：1.
【分析】利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半来求可得.
12.【答案】15
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故答案为：15． 【分析】先根据三角形的三边关系和等腰三角形的定义得到三角形的三个边，再计算等腰三角形的周长即可.
13.【答案】4
【考点】含30度角的直角三角形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， 根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4. 故答案为：4. 【分析】先利用直角三角形30°角的性质求得斜边的长，然后再利用中心对称的性质求BB′的长。
14.【答案】-6；35
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：(1)过P点作x轴的垂线段PA,垂足为A，在Rt△PAO中，∵角α的正切值是 43 ,∴ PAOA = 43 ,∵PA=8,∴OA=6,即x=-6.( 2 )在Rt△OPA中,PA=8,OA=6,∴OP=10.∴cos α= OAOP = 610 = 35 故答案为：-6；35 【分析】以角α为一角构造一个直角三角形，过P点作x轴的垂线段PA,根据角α的正切值，求出OA的值，即可求出x的值；由勾股定理可得OP的长度，再根据余弦函数的定义，可得cosα的值。
15.【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinB=23 ， ∴AB=6． 故答案是：6． 【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．
16.【答案】16
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵ 建筑物的高建筑物的影子长=旗杆高旗杆影长 ，
即 建筑物的高20=45 ，
∴设建筑物的高是x米．则 x20=45
解得：x=16．
故该建筑物的高为16米．
【分析】根据物长：影长可得比例式求解。
17.【答案】37.5
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan﹣10.7667≈37.5°．
故答案为：37.5．
【分析】直接利用计算求出答案．
18.【答案】4
【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形
【解析】【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G． ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠ADE， ∵∠DAE=∠ADE=15°， ∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°， ∴∠DEG=15°×2=30°， ∴ED=AE=8， ∴在Rt△DEG中，DG=12DE=4， ∴DF=DG=4． 故答案为：4． 【分析】作DG⊥AC，根据DE∥AB得到∠BAD=∠ADE，再根据∠DAE=∠ADE=15°得到∠DAE=∠ADE=∠BAD，求出∠DEG=15°×2=30°，再根据30°的角所对的直角边是斜边的一半求出GD的长，然后根据角平分线的性质求出DF．
19.【答案】1
【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点E作EH垂直BC于H。 ∵∠CBD=90°，∠D=60°， ∴∠BCD=30°， ∴∠ACE=60°， ∵AC=BC= 3 +1， ∴BD= 3+13 ，AB= 2 （ 3 +1）， ∵∠AEC=∠BED， ∴△BDE∽△ACE， ∴ BDAC = BEAE ， ∴ 3+133+1 = BE2(3+1)?BE ， ∴BE= 2 ，AE= 6 ， ∵∠ACB=90°， ∴△BHE∽△BCA， ∴ EHAC = AEAB ， ∴ EH3+1 = 62(3+1) ， ∴EH=1， 故答案为1． 【分析】过点E作EH垂直BC于H。AC=BC=3+1，∠D=60°，根据特殊锐角的三角函数值可以求出BD,AB的长，进而判断出△BDE∽△ACE，根据相似三角形对应边成比例得出BE,AE的长，再判断出△BHE∽△BCA，根据对应边成比例得出EH的长。
20.【答案】m＞﹣ 52
【考点】三角形三边关系，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】方法一：
解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，
∴a最小是2，
∵y1＜y2＜y3 ，
∴﹣ m2×12 ＜2.5，
解得m＞﹣2.5．
方法二：
解：当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3 ，
即 {y1<y2y2<y3 ，
∴ {12a2+ma<12b2+mb12b2+mb<12c2+mc ，
∴ {m>?12(a+b)m>?12(b+c) ，
∵a，b，c恰好是一个三角形的三边长，a＜b＜c，
∴a+b＜b+c，
∴m＞﹣ 12 （a+b），
∵a，b，c为正整数，
∴a，b，c的最小值分别为2、3、4，
∴m＞﹣ 12 （a+b）≥﹣ 12 （2+3）=﹣ 52 ，
∴m＞﹣ 52 ，
故答案为：m＞﹣ 52 ．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可．
三、解答题
21.【答案】解：过点A作AD⊥BC于D，根据题意得 ∠ABC=30°，∠ACD=60°， ∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°， ∴CA=CB． ∵CB=50×2=100（海里）， ∴CA=100（海里）， 在直角△ADC中，∠ACD=60°， ∴CD= 12 AC= 12 ×100=50（海里）． 故船继续航行50海里与钓鱼岛A的距离最近．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于D，则垂线段AD的长度为与钓鱼岛A最近的距离，线段CD的长度即为所求．先由方位角的定义得出∠ABC=30°，∠ACD=60°，由三角形外角的性质得出∠BAC=30°，则CA=CB=100海里，然后解直角△ADC，得出CD= 12 AC=50海里．
22.【答案】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，
由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM= AMtan45° =60米，DN= BNtan60°=603 = 203 米，∴AB=CD+DN﹣CM= 100+203?60 =（ 40+203 ）米，即A、B两点的距离是（ 40+203 ）米．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可分别求出CM、DN的长，由于AB=CN-CM，从而可以求得AB的长。
23.【答案】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1： 3 ，
∴BN=15，DN=15 3 ，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BN=15，BM=CN=60 3 -15 3 =45? 3 ，
在Rt△ABM中，tan∠ABM=AMBM=43，
∴AM=60 3 ，
∴AC=AM+CM=15+60 3 ≈118.9米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】要求楼房AC的高度，需将AC放在直角三角形中即可求解。由题意可作辅助线，作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，结合已知条件可得四边形CMBN是矩形，由矩形的性质可得CM=BN，BM=CN；解直角三角形ABM可求得AM的长，则AC=AM+CM可求解。
24.【答案】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形． ∴CE=AB=12m． 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BECE， ∴BE=CE?cot30°=12×3=123． 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°， 得DE=BE=123． ∴CD=CE+DE=12（3+1）≈32.4． 答：楼房CD的高度约为32.4m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
25.【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M， 由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°， 在Rt△DFB中，sin80°= DFBD ，则DF=BD?sin80°， AM=AC﹣CM=1890﹣1800?sin80°， 在Rt△AME中，sin29°= AMAE ， 故AE= AMsin29° = 1890?1800?sin80°sin29° ≈242.1（m）， 答：斜坡AE的长度约为242.1m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，进而表示出DF、AM的长，再利用AE= AMsin29° ，求出答案．
26.【答案】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD． ∴∠CEF=90°． 设CE=x， 在Rt△CEF中， tan∠CFE= CEEF ， 则EF= CEtan∠CFE=xtan21°=83 x． 在Rt△CEG中， tan∠CGE= CEGE ， 则GE= CEtan∠CGE=xtan37°=43x ． ∵EF=FG+EG， ∴ 83x=50+43 x， x=37.5． ∴CD=CE+ED=37.5+1.5=39（米）． 答：古塔的高度约是39米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG=EF﹣GE=50，构造方程关系式求解．
27.【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°. ?????? 又∵BF=DH, ?????? ∴AD+DH=BC+BF ?????? 即AH=CF. ?????? 在Rt△AEH中，EH=AE2+AH2. ?????? 在Rt△CFG中，FG=CG2+CF2. ?????? ∵AE=CG， ?????? ∴EH=FG. ?????? 同理得，EF=HG. ?????? ∴四边形EFGH为平行四边形. （2）解：在正方形ABCD中，AB=AD=1. ?????? 设AE=x，则BE=x+1. ?????? ∵在Rt△BEF中，∠BEF=45°. ?????? ∴BE=BF. ?????? ∵BF=DH, ?????? ∴DH=BE=x+1. ?????? ∴AH=AD+DH=x+2. ?????? ∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=2， ?????? ∴AH=2AE. ?????? ∴2+x=2x. ?????? ∴x=2. ?????? 即AE=2.
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）在矩形ABCD中，AD=BC，∠BAD=∠BCD=90°.根据BF=DH,得出AH=CF.根据勾股定理 EH=AE2+AH2.FG=CG2+CF2. ?由AE=CG得出EH=FG.EF=HG；从而证明四边形EFGH为平行四边形. （2）在正方形ABCD中，AB=AD=1； 设AE=x，则BE=x+1；在Rt△BEF中，∠BEF=45°.得出BE=BF=DH=x+1；AH=AD+DH=x+2. 在Rt△AEH中，利用正切即可求出AE的长.
28.【答案】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F ， 则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF ． 在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE= BC= ×1000=500米； 在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000米， ∴CF= CD=500 米， ∴DA=BE+CF=（500+500 ）米， 故拦截点D处到公路的距离是（500+500 ）米 ． ?
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F ， 则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF ． 解Rt△BCE ， 求出BE= BC= ×1000=500米；解Rt△CDF ， 求出CF= CD=500 米，则DA=BE+CF=（500+500 ）米 ． ?