苏科版九年级下期末复习《第六章图形的相似》单元试卷含解析

期末复习：苏科版九年级数学下册 第六章 图形的相似
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列四组图形中，一定相似的是（?? ）
A.?正方形与矩形???????????????/B.?正方形与菱形???????????????/C.?菱形与菱形???????????????/D.?正五边形与正五边形
2.若△ABC∽△DEF，且面积比为1 ：9，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A.?1 ：3??????????????????????????????????B.?1 ：9??????????????????????????????????C.?3 ：1??????????????????????????????????D.?1 ：81
3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ， 下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ /= /?；④AB2=BD?BC ． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（　　）
/
A.?1???????????????????????????????????????????/B.?2???????????????????????????????????????????/C.?3???????????????????????????????????????????/D.?4
4.将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（　　）
A.?2:1????????????????????????????????????/B.?
3
:1????????????????????????????????????/C.?
2
:1????????????????????????????????????/D.?1:1
5.如图，在?ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为（?? ） /
A.?
16
3
?????????????????????????????????????????/B.?8?????????????????????????????????????????/C.?10?????????????????????????????????????????/D.?16
6.已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（? ?）
A.?AB2=AC?BC?????????????????/B.?BC2=AC?BC?????????????????/C.?AC=
5
?1
2
BC?????????????????/D.?BC=
3?
5
2
AB
7.已知，直角坐标系中，点E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ? ? ）/
A.?（2，-1）或（-2，1）????????????B.?（8，-4）或（-8，4）????????????C.?（2，-1）????????????D.?（8，-4）
8.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P是AB上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有（?? ）/
A.?1个??????????????????????????????????????/B.?2个??????????????????????????????????????/C.?3个??????????????????????????????????????/D.?4个
9.给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（　　）
A.?1听???????????????????????????????????????B.?2听???????????????????????????????????????C.?3听???????????????????????????????????????D.?4听
10.在平面直角坐标系xoy中，已知A（4，2），B（2，－2），以原点O为位似中心，按位似比1:2把△OAB缩小，则点A的对应点A′的坐标为（????）
A.?（3，1）????????B.?（－2，－1）????????C.?（3，1）或（－3，－1）????????D.?（2，1）或（－2，－1）
二、填空题（共10题；共30分）
11.△ABC和△A′B′C′中，∠A=60°，∠B=40°，∠A’=60°，当∠C′=________?时，△ABC∽△A′B′C′．
12.晚上，身高1.6米的小华站在D处（如图），测得他的影长DE=1.5米，BD=4.5米，那么灯到地面的距离AB=________?米．/
13.若
??
?????
=
1
2
，则
??
??
＝________．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，BE、AD分别是边AC、BC上的高，CD=2，AC=6，那么CE=________．/
15.已知△ABC中的三边a=2，b=4，c=3，ha ， hb ， hc分别为a，b，c上的高，则ha：hb：hc=________．
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A(－1，1)，B(2，3)，C(0，3)．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为
2
3
.则点A的对应点A′的坐标为________.
/
17.在△ABC中，∠C=90°，c=25cm，a：b=3：4，则S△ABC=________．
18.如图，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲、乙两同学相距1m，甲身高1.8m，乙身高1.5m，则甲的影子是________m． /
19.如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．
/
20.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=________．/
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1 ， 请画出△A1B1C1；
（2）请画一个△A2B2C2 ， 使△A2B2C2∽△ABC，且相似比为2：1．
/
22.如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．/
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
23.如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．/
24.已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证:AC2=AD·AB/
25.如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．/?
26.如图，在?ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．?/
27.已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．/
28.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
/

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故A不符合题意；B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故B不符合题意；C、菱形与菱形，对应边成比例，但是对应角不一定相等，故C不符合题意；D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故D符合题意.故答案为：D.【分析】正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例所以一定相似.
2.【答案】A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】易知三角形面积比等于周长比的平方。故当S△ABC：S△DEF=1:9则C△ABC：C△DEF=1:3，选A。【点评】本题难度较低，主要考查学生对相似三角形性质知识点的掌握。分析其面积比与周长比的关系为解题关键。不清楚的可以列面积公式与周长公式建立比例化简求得。
3.【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解答：（1）∠B+∠DAC=90°，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC ， ∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；（3） /= /，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD?BC ，
∴ /= /，
∵∠B=∠B ，
∴△ABD∽△CBA ，
∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
故选 B
分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．
4.【答案】C
【考点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．【解答】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则????=
1
2
????=
1
2
??．又矩形DMNC与矩形ABCD相似．∴
????
????
=
????
????
，即
1
2
??
??
=
??
??
即
??
2
=
1
2
??
2
．∴??:??=
2
:1．故选C．【点评】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
5.【答案】C
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE：EA=2：3， ∴DE：DA=2：5，又∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴
????
????
=
????
????
，即
2
5
=
4
????
，解得AB=10，由平行四边形的性质，得CD=AB=10．故选C．【分析】由DE：EA=2：3得DE：DA=2：5，根据EF∥AB，可证△DEF∽△DAB，已知EF=4，利用相似比可求AB，由平行四边形的性质CD=AB求解．
6.【答案】D
【考点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴
????
????
=
????
????
=
5
?1
2
，即AC2=BC?AB，故A、B不符合题意；∴AC==
5
?1
2
AB，故C不符合题意；∴BC==
5
?1
2
???? =
3?
5
2
AB，故D符合题意；故答案为：D．【分析】点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，从而得出BC∶AC=AC∶AB=
5
?1
2
,根据等比性质即可一一作出判断。
7.【答案】A
【考点】位似变换
【解析】【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1)或（-2，1)．注意分两种情况计算．
【解答】∵E（-4，2)，位似比为1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1)或（-2，1)．故选A．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
8.【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC ， ∴∠B=90°．∵AD∥BC ， ∴∠A=180°﹣∠B=90°，∴∠PAD=∠PBC=90°．设AP的长为x ， 则BP长为12﹣x ． 若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC ， 则AP：BP=AD：BC ， 即x：（12﹣x）=4：9，解得：x=
48
13
；②若△APD∽△BCP ， 则AP：BC=AD：BP ， 即x：9=4：（12﹣x），解得：x=6．综上所述：满足条件的点P的个数是2个．故答案为：B【分析】根据图像的特点，p点有两个位置，一个靠近A侧，另一个靠近B侧
9.【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】解答：设小标牌的面积为S1 ， 大标牌的面积为S2 ， 则 /，故S2=4S1 ， ∵小标牌用漆半听，∴大标牌应用漆量为：4×0.5=2（听）．故选：B．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答．此题考查的是相似多边形的性质：相似多边形面积的比等于相似比的平方．
10.【答案】D
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【解析】【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题意即可得出答案．
【解答】∵A（4，2)，B（2，-2)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为
1
2
，∴对应点A′的坐标分别是：A′（2，1)或（-2，-1)．故选D．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，根据各点到位似中心的距离比也等于相似比是解决问题的关键．
二、填空题
11.【答案】80°
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠C=180°-60°-40°=80°，∵△ABC∽△A′B′C′∴∠C=∠C′=80°，∴当∠C′=80°时，△ABC∽△A′B′C′．故答案为：80°．【分析】利用两对对应角相等的三角形相似判定即可．
12.【答案】6.4
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意画出图形，列方程．设灯到地面的高度为h ， 根据相似三角形的性质可得到 /= /，即 /= /，解得h=6.4米．【分析】根据题意，可以得出△ABE∽△CDE ， 根据相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程求出灯到地面的高度即可．
13.【答案】-1
【考点】比例的性质
【解析】【解答】
??
?????
=
1
2
?,
∴ 2a=a-b
∴ a=-b
. ∴
??
??
=-1
故答案为:-1
【分析】根据两内项之积等于两外项之积，可得出a=-b，再代入代数式计算可求解。
14.【答案】
4
3

【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=2，∵BE、AD分别是边AC、BC上的高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ACD∽△BCE，∴
????
????
=
????
????
，∴
6
4
=
2
????
，∴CE=
4
3
，故答案为
4
3
.【分析】根据等腰三角形的性质，可得出BD=CD=2，再根据三角形高的定义及已知证明△ACD∽△BCE，得出对应边成比例，就可求得CE的长。
15.【答案】6：3：4
【考点】三角形的面积，比例线段
【解析】【解答】解：设△ABC的面积为S，则 S=
1
2
a?ha=
1
2
b?hb=
1
2
c?hc ， 则S=ha=2hb=
3
2
hc ， ∴ha=S，hb=
1
2
S，hc=
2
3
S故ha：hb：hc=6：3：4．故答案是：6：3：4．【分析】设△ABC的面积为S，根据面积相等可以列出
1
2
a?ha=
1
2
b?hb=
1
2
c?hc ， 由此易求ha：hb：hc的值．
16.【答案】（-
2
3
，
2
3
）或（
2
3
，-
2
3
）
【考点】位似变换
【解析】【解答】∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）
∴A'的坐标为：（-
2
3
，
2
3
）或（
2
3
，-
2
3
）．
【分析】根据位似图形的性质和已知条件可得A'的坐标为：（?
2
3
,
2
3
）或（
2
3
,?
2
3
）。
17.【答案】150cm2
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：设a=3xcm，则b=4xcm， ∵∠C=90°，∴a2+b2=c2 ， 即（3x）2+（4x）2=252 ， 解得：x=±5（负值舍去），∴x=5，∴a=3×5=15（cm），b=4×5=20（cm），∴S△ABC=
1
2
ab=
1
2
×15×20=150（cm2）；故答案为：150cm2 ． 【分析】设a=3xcm，则b=4xcm，由勾股定理得出方程，解方程求出a、b，S△ABC=
1
2
ab，即可得出结果．
18.【答案】6
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设甲的影长是x米， ∵BC⊥AC，ED⊥AC，∴△ADE∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，∵CD=1m，BC=1.8m，DE=1.5m，∴
1.5
1.8
=
???1
??
，解得：x=6．所以甲的影长是6米．故答案为：6．【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
19.【答案】
12
7

【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
/
∵△ABC的面积是6，
∴
1
2
BC?AH=6，
∴AH=
2×6
4
=3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
????
BC
=
????
????
，即
??
4
=
3???
??
，解得x=
12
7
，
即正方形DEFG的边长为
12
7
，
故答案为：
12
7
．
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，根据△ABC的面积是6，求得AH。设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，先判定△AGF∽△ABC，再根据相似三角形的性质得
????
????
=
????
????
， 代入求得GF。
20.【答案】3：1
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC＝AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴
????
????
=
3
4
，∵
????
????
=
????
?????????
=
3
4?3
=3 ．故答案为：3：1．【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得出DE∥AB，DC＝AB，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出
????
????
=
3
4
,再根据比例的性质即可得出答案。
三、解答题
21.【答案】解：（1）如图1：
/
（2）如图2：
/
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，将三个顶点分别向上平移三个单位即可；
（2）找到一个点，如点O为位似中心，使得对应点到位似中心的距离之比为2：1即可．
22.【答案】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，∴OE∥CD．∵△OEF∽△CDF，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
1
2
．∴G是BC的三等分点（2）解：依题意画图所示， /
【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形与矩形的性质，以及平行线分线段成比例定理求解。（2）连接DG，交AC于P点，做PR⊥BC交BC于R，R点为四等分点。
23.【答案】解：∵AD=10，AB=15，∴AD：AB=10：15=2：3，而AE：AC=2：3，∴AE：AC=AD：AB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
????
????
=
????
????
，即
8
????
=
2
3
，∴BC=12．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由已知条件计算可得比例式AE：AC=AD：AB，逆用平行线分线段成比例定理可得DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得比例式即可求解。
24.【答案】证明：∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴
????
????
=
????
????
，∴AC2=AD?AB.
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论.
25.【答案】解答：由已知得，DG∥BC∴△ADG∽△ABC ， ∵AH⊥BC∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）/＝ /，即DG＝ /＝50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF ， 此时有∠ADG=∠B ， ∠AGD=∠C ， 所以△ADG∽△ABC ， 利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
26.【答案】解：∵EF∥AB，∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
2
5
，又EF=4，∴AB=10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=10，∵FG∥ED，∴
????
????
=
????
????
=
2
5
，∴DG=4，∴CG=6．
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求出
????
????
=
????
????
=
2
5
， 得到AB的长，根据平行四边形的性质求出CD，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可．
27.【答案】解：作AM⊥BC于M，交DG于N，如图所示：/设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得：
??+?=100
1
2
???=1200
，解得：
??=60
?=40
，或
??=40
?=60
（不合题意，舍去），∴BC=60cm，AM=h=40cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴
????
????
=
????
????
，即
40???
40
=
??
60
，解得：x=24，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】作AM⊥BC于M，交DG于N，设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得出方程组求出BC和AM，再由平行线得出△ADG∽△ABC，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．
28.【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，
????
????
=
????
????
，即
2??
8
=
16?3??
16
，解得：t=
16
7
；
当△APQ∽△ACB时，
????
????
=
????
????
，即
2??
16
=
16?3??
8
，解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：
16
7
s或4s．
【考点】相似多边形的性质
【解析】【分析】由题意根据路程=速度×时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：①当△APQ∽△ABC时，可得比例式
????
????
=
????
????
，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；②当△APQ∽△ACB时，可得比例式
????
????
=
????
????
，代入可得关于t的方程，解方程即可求解。