苏科版九年级下期末复习《第七章锐角三角函数》单元试卷含解析

期末复习：苏科版九年级数学下册 第七章锐角三角函数
一、单选题（共10题；共30分）
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=a，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（????）
A.?AB=a·sinθ；???????????????B.?AB=a·cosθ；???????????????C.?AB=a·tanθ；???????????????D.?AB=a·cotθ.
2.在Rt△ABC中，∠C=90o，AB=10，AC=8，则sinA的值是（ ）
A.?45??????????????????????????????????????????B.?35??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
3.cos30°的值为(?? )
A.12 B.22 C.32 D.33
4.三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（???）
A.?34??????????????????????????????????????????B.?43??????????????????????????????????????????C.?35??????????????????????????????????????????D.?45
5.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，则下列结论正确的是(?? )
A.?sinA=12??????????????????????????B.?tanA=12??????????????????????????C.?cosA=55??????????????????????????D.?sinB=255
6.在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，那么∠A的余弦值等于（　　）
A.?35??????????????????????????????????????????B.?45??????????????????????????????????????????C.?34??????????????????????????????????????????D.?43
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=12 ， 则tanB等于（　　）
A.?3??????????????????????????????????????B.?32???????????????????????????????????????C.?33??????????????????????????????????????D.?23
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosA=（????）
A.?513????????????????????????????????????????B.?512????????????????????????????????????????C.?1213????????????????????????????????????????D.?125?
9.在△ABC中，若|sinA﹣32|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（　　）
A.?45°??????????????????????????????????????B.?60°??????????????????????????????????????C.?75°??????????????????????????????????????D.?105°
10.一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是（? ? ?? ）m.
A.?230??????????????????????????????????????B.?240??????????????????????????????????????C.?250??????????????????????????????????????D.?260
二、填空题（共10题；共30分）
11.计算：（π﹣3.14）0+2cos60°=________．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列式子：①a=c?sinB，②a=c?cosB，③a=c?tanB，④a= ctanB ，必定成立的是________．
13.如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是________km．
14.如图，某数学兴趣小组为了测量河对岸l1的两棵古树A、B之间的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则古树A、B之间的距离为________?m．
15.计算：cot44°?cot45°?cot46°=________?
16.已知32＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是________?
17.如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是________．
18.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b=3a，则tanA=________．
19.在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA= 34 ，则BC的长是________．
20.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1︰ 3 ，堤坝高BC＝50m，则AB＝________m．
三、解答题（共8题；共60分）
21.计算 |2?2|?2cos45°+(?1)?2+8 ．
22.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=23 ， AD=4．
（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．
23.如图，为了求某条河的宽度，在它的对岸岸边任意取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=45°，∠ACB=30°，量得BC的长为40m，求河的宽度（结果保留根号）．
24.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据： 3 ≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）
25.如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1米）参考数据 2 ≈1.41， 3 ≈1.73．
26.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远?(结果用非特殊角的三角函数表示即可)
27.如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， 2 ≈1.41， 3 ≈1.73）
28.某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF（如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．因为：tanθ=ABAC=ABa,所以AB=a·tanθ.故选C.
2.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】
【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】
?
如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=AB2?AC2=102?82=6 ， ∴sinA=BCAB=610=35 ． 故答案为：B．
3.【答案】C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cos30°= 32 ．故答案为：C．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。
4.【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据三角函数的定义就可以解决．【解答】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，∴tana=34．故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．
5.【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，对各选项进行判断即可．
【解答】由题意得：AB=AC2+BC2=25，A、sinA=BCAB=255，故本选项错误；B、tanA=BCAC=2，故本选项错误；C、cosA=ACAB=55，故本选项正确；D、sinB=ACAB=55，故本选项错误．故选C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，掌握正弦、余弦、正切的定义是解答本题的关键．
6.【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=5，∴cosA=ACAB=35 ． 故选A．【分析】先根据勾股定理，求出AB的值，然后由余弦=邻边÷斜边计算即可．
7.【答案】C
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵，∠C=90°，cosA=12 ， ∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°=33?．故答案选：C．【分析】由cosA=12 ， 知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案．
8.【答案】C
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】
【分析】直接根据余弦的定义即可得到答案．
【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，∴cosA=ACAB=1213．故选C．
【点评】本题考查了余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值
9.【答案】C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵△ABC中，|sinA﹣32|+（1﹣tanB）2=0，∴sinA=32 ， tanB=1．∴∠A=60°，∠B=45°．∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°．故选C．【分析】根据两个非负数的和为0，求出sinA=32 ， tanB=1，由特殊角的三角函数值求出∠A，∠B的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠C的值．
10.【答案】C
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】此题考查了含30度角的直角三角形，根据在直角三角形中，已知斜边，求30度所对的直角边，即可得出答案．【解答】由30°所对的直角边是斜边的一半，得此山的高度=500÷2=250m．故选C．
二、填空题
11.【答案】2
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=1+2× 12 ，=1+1，=2.故答案为：2.【分析】根据0指数的意义，特殊锐角三角函数值分别化简，再按有理数的混合运算顺序算出答案。
12.【答案】②
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
∴sinB= bc ，
∴b=c?sinB，故①错误；
cosB= ac ，
∴a=c?cosB，故②正确；
tanB= ba ，
∴b=a?tanB，故③错误；
tanB= ba ，
∴a= btanB ，故④错误．
故答案为②．
【分析】根据锐角三角函数的意义可判断正误。
13.【答案】（20 3 ﹣20）
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ARL中，∵LR=AR?cos30°=40× 32 =20 3 （km），AL=AR?sin30°=20（km），在Rt△BLR中，∵∠BRL=45°，∴RL=LB=20 3 ，∴AB=LB﹣AL=（20 3 ﹣20）km，故答案为（20 3 ﹣20）km．【分析】分别在Rt△ALR，Rt△BLR中，求出AL、BL即可解决问题．
14.【答案】（50﹣ 5033 ）
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N． 则AB=MN，AM=BN．在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，∴CM=AM=50m．∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，∴CN= BNtan60° = 503 = 5033 （m），∴MN=CM﹣CN=50﹣ 5033 （m）．则AB=MN=（50﹣ 5033 ）m．故答案是：（50﹣ 5033 ）． 【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．
15.【答案】1
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：cot44°?cot45°?cot46°=cot44°?cot46°?cot45°=1?cot45°=1．【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．
16.【答案】20°＜∠A＜30°
【考点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵32＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．
17.【答案】1010
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意可知，AB=2，AO= 42+22 =2 5 ，BO= 22+22 =2 2 ， ∵S△ABO= 12 AB?h= 12 AO?BO?sin∠AOB，∴ 12 ×2×2= 12 ×2 5 ×2 2 ×sin∠AOB，∴sin∠AOB= 1010 ，故答案为： 1010 ．【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的长，再由S△ABO= 12 AB?h= 12 AO?BO?sin∠AOB可得答案．
18.【答案】23
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，
∴tanA= ab ，
∵2b=3a，
∴ ab = 23 ，
∴tanA= 23 ．
故答案为： 23 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA= ab ，然后根据题目所给2b=3a可求解．
19.【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵sinA= BCAB ，∴ BCAB=34 ，解得BC=6．【分析】根据三角函数值直接求出BC的长即可.
20.【答案】100
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】根据坡度可得：BC：AB=1：2，根据BC=50m，则AB=100m．【分析】由坡度的意义可得出两直角边的关系，进而求出斜边.
三、解答题
21.【答案】解：原式=2-2-2×22+1+22.?????????? ?? =3.
【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值，实数的绝对值
【解析】【分析】根据二次根式，负指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值等性质计算即可得出答案.
22.【答案】（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=， AD=4，∴AB=?∴BD=， ∴BC=BD+DC=（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=， ∴DE=CE-CD=， ∴tan∠DAE=．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=25 ， 然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
23.【答案】解：作AD⊥BC,垂足为D. 设AD= xm，∵∠ABC=45°，∴BD＝AD= xm，∵∠ACB=30°，∴DC＝ ADtan30° ＝ 3 xm，∵AD+DC=BC ,且BC＝40m，∴ x+3x=40 ，解得， x=203?20 ，答：则河的宽度为 (203?20) m
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作AD⊥BC,垂足为D.利用解直角三角形的知识进行求解即可。
24.【答案】解：如图， 在Rt△BDF中，∵∠DBF=60°，BD=4km，∴BF= BDcos60° =8km，∵AB=20km，∴AF=12km，∵∠AEB=∠BDF，∠AFE=∠BFD，∴△AEF∽△BDF，∴ AEAF = BDBF ，∴AE=6km，在Rt△AEF中，CE=AE?tan74°≈20.9km．故这艘轮船的航行路程CE的长度是20.9km．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】首先在Rt△BDF中，根据特殊锐角三角函数值和三角函数的定义可求得BF的长，进一步求出AF，然后，再证明△AEF∽△BDF，依据相似三角形的性质可求得AE的长，最后，在Rt△AEF中根据三角函数可求这艘轮船的航行路程CE的长度.
25.【答案】解：过点A作AM⊥CD于点M，则 四边形ABDM为矩形，AM=BD=6米，在Rt△ACM中，∵∠CAM=30°，AM=6米，∴CM=AM?tan∠CAM=6× =2 （米），∴CD=2 +1.5≈4.96（米），在Rt△CDE中，ED=6﹣2.3=3.7（米），∴CE= ≈6.2（米）．
【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AM⊥CD于点M，可得四边形ABDM为矩形，根据A处测得电线杆上C处得仰角为23°，在△ACM中求出CM的长度，然后在Rt△CDE中求出CE的长度．
26.【答案】解:如图,过点P作PD⊥AB于点D. 由题意知∠DPB=∠DBP=45°.在Rt△PBD中,sin 45°= PDPB = 22 ,∴PB= 2 PD.∵点A在点P的北偏东65°方向上,∴∠APD=90°-65°=25°.在Rt△PAD中,cos 25°= PDPA .∴PD=PAcos 25°=80cos 25°(海里),∴PB=80 2 cos 25°海里
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点P作PD⊥AB于点D，根据方位角，在Rt△PAD中，求出PD；然后在Rt△PBD中，求出PB。
27.【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠1= AEDE ， ∠1=30°，
∴AE=DE× tan∠1=40×tan30°=40× 33 ≈40×1.73× 13 ≈23.1
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2= BEDE ， ∠2=10°，
∴BE=DE× tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2
∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．
【考点】锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据已知底端B的俯角为10°，添加辅助线过点D作DE⊥AB于点E，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△DEB中，利用∠2的正切求出BE的长，然后根据AB=AE+BE，求出AB的长即可。
28.【答案】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，∴DA=3米，在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°= CAAD ，∴CA=3 3 ．∴BC=CA﹣BA=（3 3 ﹣3）米．答：路况显示牌BC是（3 3 ﹣3）米
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BC=AC﹣AB得解．