江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末调研考试数学文试题
文档属性
| 名称 | 江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末调研考试数学文试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 201.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-18 15:50:38 | ||
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文档简介
南京市2018－2019学年度第一学期期末调研
高二数学（文科） 2019.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．已知命题 p：x＞0，ex ≥ex ，写出命题p的否定： ▲ ．
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为 ▲ ．
3．已知 f(x)＝ex·sinx，则f ′(0) 的值为 ▲ ．
4．已知复数z满足 (z－2)i＝1＋i (i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．
5．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：＋y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为 ▲ ．
6．已知实数x，y满足 则z＝x＋2y的最小值为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的 ▲ 条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线 －y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为 ▲ ．
9．已知函数 f(x)＝＋a在 (0，＋∞) 上的最小值为2e，则实数a的值为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点B(0，2)，平面内点P满足 ·＝15，则PO的最大值是 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－a)2＋(y－a－2)2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，则实数a的取值范围是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－1)2＋y2＝1，点A(3，1)，P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA＋PB的最小值是 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝x3－3a2x－6a2＋4a (a＞0) 只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
（1）若n＝1，z1为纯虚数，求 |z1＋z2| 的值；
（2）若z1＝()2，求m，n的值．
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）经过点A(4，0)，其离心率为 eq \f(,2)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y轴的距离．
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2－x－6与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点P(－2，5) 的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．
18．（本小题满分16分）
如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．
（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝alnx＋，a∈R．
（1）若a＝2，且直线y＝x＋m是曲线y＝f(x)的一条切线，求实数m的值；
（2）若不等式f(x)＞1对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
20．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，F1??，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．
（1）若点A的坐标为 (0，)，求点B坐标；
（2）点M(4，0)，设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0；
（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．
南京市2018－2019学年度第一学期期末调研
高二数学（文科）参考答案 2019．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．x＞0，ex＜ex 2．x＝－ 3．1 4．3 5．eq \f(4,3)
6．1 7．必要不充分 8．eq \f(2,5) 9．e 10．3
11．－1 12．[－2，1] 13．3 14．(1，2)
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15．（本题满分14分）
解（1）因为z1＝m－2i为纯虚数，所以m＝0． ………………… 2分
又n＝1，
所以z1＝－2i，z2＝1－i，从而z1＋z2＝1－3i． ………………… 5分
因此 |z1＋z2|＝＝． ………………… 7分
（2）因为z1＝()2，所以m－2i＝(1＋ni)2，
即m－2i＝(1－n2)＋2ni． ………………… 9分
又m，n为实数，
所以 ………………… 12分
解得 ………………… 14分
16．（本题满分14分）
解（1）因为椭圆E：＋＝1经过点A(4，0)，
所以 ＝1，解得a＝4． ………………… 2分
又椭圆E的离心率e＝＝eq \f(,2)，所以c＝2． ………………… 4分
所以b2＝a2－c2＝4．
因此椭圆E的方程为 ＋＝1． ………………… 6分
（2）方法一：由椭圆E的方程＋＝1，知F1(－2，0)，F2(2，0)．设P(x，y)．
因为∠F1PF2＝，所以·＝0，所以x2＋y2＝12． ………………… 10分
由eq \b\lc\{(\a\al (＋＝1，,x2＋y2＝12，))解得x2＝． ………………… 12分
所以 |x|＝ eq \f(4,3)，即P到y轴的距离为 eq \f(4,3)． ………………… 14分
方法二：由椭圆E的方程＋＝1，知c＝2．设P(x，y)．
因为∠F1PF2＝，O为F1F2的中点，
所以OP＝c＝2，从而x2＋y2＝12． ………………… 10分
由eq \b\lc\{(\a\al (＋＝1，,x2＋y2＝12，))解得x2＝． ………………… 12分
所以 |x|＝ eq \f(4,3)，即P到y轴的距离为 eq \f(4,3)． ………………… 14分
方法三：由椭圆E的方程＋＝1，知c＝2，F1F2＝4．设P(x，y)．
因为∠F1PF2＝，所以PF＋PF＝F1F＝48． ………………… 8分
由椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a＝8，
所以2PF1·PF2＝(PF1＋PF2)2－(PF＋PF)＝16，
所以三角形的面积S＝PF1·PF2＝4． ………………… 10分
又S＝F1F2·|y|＝2|y|，所以2|y|＝4，所以|y|＝ eq \f(2,3)．
代入＋＝1得，x2＝． ………………… 12分
所以 |x|＝ eq \f(4,3)，即P到y轴的距离为 eq \f(4,3)． ………………… 14分
17．（本题满分14分）
解（1）方法一：抛物线y＝x2－x－6与坐标轴的三个交点坐标为(－2，0)，(3，0)，（0，－6）．
………………… 2分
设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则 ………………… 4分
解得
所以圆C的方程为x2＋y2－x＋5y－6＝0． ………………… 6分
方法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．
因为圆C经过抛物线y＝x2－x－6与x轴的交点，
所以 x2＋Dx＋F＝0与方程x2－x－6＝0同解，
所以D＝－1，F＝－6． ………………… 4分
因此圆C：x2＋y2－x＋Ey－6＝0．
因为抛物线y＝x2－x－6与y轴的交点坐标为(0，－6)，
又所以点(0，－6)也在圆C上，所以36－6E－6＝0，解得E＝5．
所以圆C的方程为x2＋y2－x＋5y－6＝0． ………………… 6分
（2）由（1）可得，圆C：(x－)2＋(y＋)2＝，
故圆心C(，－)，半径r＝ eq \f(5,)．
因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝．
所以C到直线l的距离d＝ eq \f(5,)× eq \f(,2)＝． ………………… 10分
① 当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，符合题意； ………………… 11分
② 当直线l的斜率存在时，设l：y－5＝k(x＋2)，即kx－y＋(2k＋5)＝0，
所以 eq \f(|k＋＋2k＋5|,)＝，解得k＝－，
所以直线l：y－5＝－(x＋2)，即4x＋3y－7＝0．
综上，所求直线l的方程为x＝－2和4x＋3y－7＝0． ………………… 14分
18．（本题满分16分）
解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．
因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．
因为 2πr1＝2，所以r1＝，
同理2πr2＝2，即r2＝． ………………… 4分
所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f(x)＝(πr＋πr)·x＝(60x－5x3) ．
因为0＜2x＜r＝，所以x的取值范围是(0，)． ………………… 8分
（2）由f(x)＝(60x－5x3)，得f ′(x)＝(60－15x2)，
令f ′(x)＝0，因为x∈(0，)，故x＝2． ………………… 11分
当x∈(0，2)时，f ′(x)＞0；当x∈(2，)时，f ′(x)＜0，
所以f(x)在(0，2)上为增函数，在(2，)上为减函数， ………………… 13分
所以当x＝2时，f(x)取得极大值，也是最大值．
因此f(x)的最大值为f(2)＝．
答：两个圆柱体积之和V的最大值为 ． ………………… 16分
19．（本小题满分16分）
解（1）当a＝2时，f(x)＝2lnx＋，f ′(x)＝－． ………………… 2分
设直线y＝x＋m与曲线y＝f(x)相切于点 (x0，2lnx0＋)，
则 － EQ \F(1,x)＝1，即x－2x0＋1＝0， ………………… 5分
解得 x0＝1，即切点为(1，1)，
因为切点在y＝x＋m上，所以1＝1＋m，解得m＝0． ………………… 7分
（2）不等式f(x)＞1可化为alnx＋－1＞0．
记g(x)＝alnx＋－1， 则g(x)＞0对任意x∈(1，＋∞)恒成立．
考察函数g(x)＝alnx＋－1，x＞0，g′(x)＝－＝．
当a≤0时，g′(x)＜0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，
所以g(2)＜g(1)＝0，不合题意； ………………… 9分
当a＞0时，x∈(0，)，g′(x)＜0；x∈(，＋∞)，g′(x)＞0，
所以g(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，………………… 11分
若≤1，即a≥1时，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0，符合题意； ………………… 13分
若＞1，即0＜a＜1时，g(x)在[1，)上单调递减，
所以当x∈(1，)时，g(x)＜g(1)＝0，不符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为[1，＋∞)． ………………… 16分
20．（本题满分16分）
解（1）因为直线l经过点F2??(1，0)，A(0，)，
所以直线l的方程为y＝－(x－1)． ………………… 2分
由eq \b\lc\{(\a\al( y＝－(x－1)，, \f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\al (x＝0，,y＝，))或eq \b\lc\{(\a\al (x＝，,y＝－，))
所以B(，－)． ………………… 4分
（2）因为直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty＋1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， ………………… 6分
因为A，B在直线l上，所以x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1，
所以k1＝＝，k2＝＝，
从而 k1＋k2＝＋＝ ． ………………… 8分
因为2ty1y2－3(y1＋y2)＝2t·(－)－3·(－)＝0，
所以k1＋k2＝0． ………………… 10分
（3）方法一：△AF1B的面积S＝| F1??F2|·| y1－y2|＝| y1－y2|＝．
由（2）知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
故S＝＝12 ………………… 12分
＝12＝12
设函数f(x)＝9x＋ (x≥1)．
因为f'(x)＝9－＞0，所以f(x)＝9x＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t2＋1＝1，即t＝0时，9(t2＋1)＋取最小值10．
即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．
………………… 16分
方法二：△AF1B的面积S＝| F1??F2|·| y1－y2|＝| y1－y2|＝．
由（2）知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
故S＝＝4× ………………… 12分
＝4×＝4×eq \r( ,－()2＋)
＝4×eq \r( ,－(－)2＋)，
因为3t2＋4≥4，所以0＜≤，
所以＝，即t＝0时，△AF1B的面积取最大值．
因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．………………… 16分
（第20题图）
O
y
x
M(4，0)
B
A
F2
F1
（第18题图）
A1
B1
B
A
x
x
高二数学（文科） 2019.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．已知命题 p：x＞0，ex ≥ex ，写出命题p的否定： ▲ ．
2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2x的准线方程为 ▲ ．
3．已知 f(x)＝ex·sinx，则f ′(0) 的值为 ▲ ．
4．已知复数z满足 (z－2)i＝1＋i (i为虚数单位)，则z的实部为 ▲ ．
5．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆C：＋y2＝1上一点．若点P到椭圆C的右焦点的距离为2，则它到椭圆C的右准线的距离为 ▲ ．
6．已知实数x，y满足 则z＝x＋2y的最小值为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，“m＞0”是“方程x2＋my2＝1表示椭圆”的 ▲ 条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线 －y2＝1的顶点到它的渐近线的距离为 ▲ ．
9．已知函数 f(x)＝＋a在 (0，＋∞) 上的最小值为2e，则实数a的值为 ▲ ．
10．在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点B(0，2)，平面内点P满足 ·＝15，则PO的最大值是 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，点F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点．若∠AF1B＝90°，则该椭圆的离心率的值是 ▲ ．
12．在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x－a)2＋(y－a－2)2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－3＝0有公共点，则实数a的取值范围是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－1)2＋y2＝1，点A(3，1)，P为抛物线y2＝2x上任意一点（异于原点），过点P作圆M的切线PB，B为切点，则PA＋PB的最小值是 ▲ ．
14．已知函数f(x)＝x3－3a2x－6a2＋4a (a＞0) 只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知复数z1＝m－2i，复数z2＝1－ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
（1）若n＝1，z1为纯虚数，求 |z1＋z2| 的值；
（2）若z1＝()2，求m，n的值．
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）经过点A(4，0)，其离心率为 eq \f(,2)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知P是椭圆E上一点，F1，F2为椭圆E的焦点，且∠F1PF2＝，求点P到y轴的距离．
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线y＝x2－x－6与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）经过点P(－2，5) 的直线l与圆C相交于A，B两点，若圆C在A，B两点处的切线互相垂直，求直线l的方程．
18．（本小题满分16分）
如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以AB，A1B1为母线卷成两个高均为x的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之和为V．
（1）将V表示成x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求两个圆柱体积之和V的最大值．
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝alnx＋，a∈R．
（1）若a＝2，且直线y＝x＋m是曲线y＝f(x)的一条切线，求实数m的值；
（2）若不等式f(x)＞1对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
20．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，F1??，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点．动直线l过点F2，且与椭圆C相交于A，B两点（直线l与x轴不重合）．
（1）若点A的坐标为 (0，)，求点B坐标；
（2）点M(4，0)，设直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0；
（3）求△AF1B面积最大时的直线l的方程．
南京市2018－2019学年度第一学期期末调研
高二数学（文科）参考答案 2019．01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．x＞0，ex＜ex 2．x＝－ 3．1 4．3 5．eq \f(4,3)
6．1 7．必要不充分 8．eq \f(2,5) 9．e 10．3
11．－1 12．[－2，1] 13．3 14．(1，2)
二、解答题（本大题共6小题，共90分）
15．（本题满分14分）
解（1）因为z1＝m－2i为纯虚数，所以m＝0． ………………… 2分
又n＝1，
所以z1＝－2i，z2＝1－i，从而z1＋z2＝1－3i． ………………… 5分
因此 |z1＋z2|＝＝． ………………… 7分
（2）因为z1＝()2，所以m－2i＝(1＋ni)2，
即m－2i＝(1－n2)＋2ni． ………………… 9分
又m，n为实数，
所以 ………………… 12分
解得 ………………… 14分
16．（本题满分14分）
解（1）因为椭圆E：＋＝1经过点A(4，0)，
所以 ＝1，解得a＝4． ………………… 2分
又椭圆E的离心率e＝＝eq \f(,2)，所以c＝2． ………………… 4分
所以b2＝a2－c2＝4．
因此椭圆E的方程为 ＋＝1． ………………… 6分
（2）方法一：由椭圆E的方程＋＝1，知F1(－2，0)，F2(2，0)．设P(x，y)．
因为∠F1PF2＝，所以·＝0，所以x2＋y2＝12． ………………… 10分
由eq \b\lc\{(\a\al (＋＝1，,x2＋y2＝12，))解得x2＝． ………………… 12分
所以 |x|＝ eq \f(4,3)，即P到y轴的距离为 eq \f(4,3)． ………………… 14分
方法二：由椭圆E的方程＋＝1，知c＝2．设P(x，y)．
因为∠F1PF2＝，O为F1F2的中点，
所以OP＝c＝2，从而x2＋y2＝12． ………………… 10分
由eq \b\lc\{(\a\al (＋＝1，,x2＋y2＝12，))解得x2＝． ………………… 12分
所以 |x|＝ eq \f(4,3)，即P到y轴的距离为 eq \f(4,3)． ………………… 14分
方法三：由椭圆E的方程＋＝1，知c＝2，F1F2＝4．设P(x，y)．
因为∠F1PF2＝，所以PF＋PF＝F1F＝48． ………………… 8分
由椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝2a＝8，
所以2PF1·PF2＝(PF1＋PF2)2－(PF＋PF)＝16，
所以三角形的面积S＝PF1·PF2＝4． ………………… 10分
又S＝F1F2·|y|＝2|y|，所以2|y|＝4，所以|y|＝ eq \f(2,3)．
代入＋＝1得，x2＝． ………………… 12分
所以 |x|＝ eq \f(4,3)，即P到y轴的距离为 eq \f(4,3)． ………………… 14分
17．（本题满分14分）
解（1）方法一：抛物线y＝x2－x－6与坐标轴的三个交点坐标为(－2，0)，(3，0)，（0，－6）．
………………… 2分
设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则 ………………… 4分
解得
所以圆C的方程为x2＋y2－x＋5y－6＝0． ………………… 6分
方法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．
因为圆C经过抛物线y＝x2－x－6与x轴的交点，
所以 x2＋Dx＋F＝0与方程x2－x－6＝0同解，
所以D＝－1，F＝－6． ………………… 4分
因此圆C：x2＋y2－x＋Ey－6＝0．
因为抛物线y＝x2－x－6与y轴的交点坐标为(0，－6)，
又所以点(0，－6)也在圆C上，所以36－6E－6＝0，解得E＝5．
所以圆C的方程为x2＋y2－x＋5y－6＝0． ………………… 6分
（2）由（1）可得，圆C：(x－)2＋(y＋)2＝，
故圆心C(，－)，半径r＝ eq \f(5,)．
因为圆C在A，B两点处的切线互相垂直，所以∠ACB＝．
所以C到直线l的距离d＝ eq \f(5,)× eq \f(,2)＝． ………………… 10分
① 当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，符合题意； ………………… 11分
② 当直线l的斜率存在时，设l：y－5＝k(x＋2)，即kx－y＋(2k＋5)＝0，
所以 eq \f(|k＋＋2k＋5|,)＝，解得k＝－，
所以直线l：y－5＝－(x＋2)，即4x＋3y－7＝0．
综上，所求直线l的方程为x＝－2和4x＋3y－7＝0． ………………… 14分
18．（本题满分16分）
解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．
因为半圆形铁皮的面积为15π，所以πr2＝15π，即r2＝30．
因为 2πr1＝2，所以r1＝，
同理2πr2＝2，即r2＝． ………………… 4分
所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f(x)＝(πr＋πr)·x＝(60x－5x3) ．
因为0＜2x＜r＝，所以x的取值范围是(0，)． ………………… 8分
（2）由f(x)＝(60x－5x3)，得f ′(x)＝(60－15x2)，
令f ′(x)＝0，因为x∈(0，)，故x＝2． ………………… 11分
当x∈(0，2)时，f ′(x)＞0；当x∈(2，)时，f ′(x)＜0，
所以f(x)在(0，2)上为增函数，在(2，)上为减函数， ………………… 13分
所以当x＝2时，f(x)取得极大值，也是最大值．
因此f(x)的最大值为f(2)＝．
答：两个圆柱体积之和V的最大值为 ． ………………… 16分
19．（本小题满分16分）
解（1）当a＝2时，f(x)＝2lnx＋，f ′(x)＝－． ………………… 2分
设直线y＝x＋m与曲线y＝f(x)相切于点 (x0，2lnx0＋)，
则 － EQ \F(1,x)＝1，即x－2x0＋1＝0， ………………… 5分
解得 x0＝1，即切点为(1，1)，
因为切点在y＝x＋m上，所以1＝1＋m，解得m＝0． ………………… 7分
（2）不等式f(x)＞1可化为alnx＋－1＞0．
记g(x)＝alnx＋－1， 则g(x)＞0对任意x∈(1，＋∞)恒成立．
考察函数g(x)＝alnx＋－1，x＞0，g′(x)＝－＝．
当a≤0时，g′(x)＜0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，
所以g(2)＜g(1)＝0，不合题意； ………………… 9分
当a＞0时，x∈(0，)，g′(x)＜0；x∈(，＋∞)，g′(x)＞0，
所以g(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，………………… 11分
若≤1，即a≥1时，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝0，符合题意； ………………… 13分
若＞1，即0＜a＜1时，g(x)在[1，)上单调递减，
所以当x∈(1，)时，g(x)＜g(1)＝0，不符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为[1，＋∞)． ………………… 16分
20．（本题满分16分）
解（1）因为直线l经过点F2??(1，0)，A(0，)，
所以直线l的方程为y＝－(x－1)． ………………… 2分
由eq \b\lc\{(\a\al( y＝－(x－1)，, \f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\al (x＝0，,y＝，))或eq \b\lc\{(\a\al (x＝，,y＝－，))
所以B(，－)． ………………… 4分
（2）因为直线l与x轴不重合，故可设直线l的方程为x＝ty＋1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， ………………… 6分
因为A，B在直线l上，所以x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1，
所以k1＝＝，k2＝＝，
从而 k1＋k2＝＋＝ ． ………………… 8分
因为2ty1y2－3(y1＋y2)＝2t·(－)－3·(－)＝0，
所以k1＋k2＝0． ………………… 10分
（3）方法一：△AF1B的面积S＝| F1??F2|·| y1－y2|＝| y1－y2|＝．
由（2）知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
故S＝＝12 ………………… 12分
＝12＝12
设函数f(x)＝9x＋ (x≥1)．
因为f'(x)＝9－＞0，所以f(x)＝9x＋在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t2＋1＝1，即t＝0时，9(t2＋1)＋取最小值10．
即当t＝0时，△AF1B的面积取最大值，此时直线l的方程为x＝1．
………………… 16分
方法二：△AF1B的面积S＝| F1??F2|·| y1－y2|＝| y1－y2|＝．
由（2）知，y1＋y2＝－，y1y2＝－，
故S＝＝4× ………………… 12分
＝4×＝4×eq \r( ,－()2＋)
＝4×eq \r( ,－(－)2＋)，
因为3t2＋4≥4，所以0＜≤，
所以＝，即t＝0时，△AF1B的面积取最大值．
因此，△AF1B的面积取最大值时，直线l的方程为x＝1．………………… 16分
（第20题图）
O
y
x
M(4，0)
B
A
F2
F1
（第18题图）
A1
B1
B
A
x
x
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