第四章 图形的性质 第16节 图形的认识
■知识点一：直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点 一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间， 最短．
■知识点二：角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝ ′，1′＝ ''，1°＝ ''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ °?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■知识点三：立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■知识点四：相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点 一条直线与已知直线垂直．
② 最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等
②内错角相等
③同旁内角互补 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点， 一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线 ．
■知识点五：.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21教育网
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.21·世纪*教育网
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.【出处：21教■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2017年福建省宁德）如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是（ ）
A．BM=AB B．AM+BM=AB C．AM=BM D．AB=2AM
【考点】 两点间的距离．
【分析】直接利用两点之间的距离定义结合线段中点的性质分别分析得出答案．
解：A、当BM=AB时，则M为AB的中点，故此选项错误；
B、AM+BM=AB时，无法确定M为AB的中点，符合题意；
C、当AM=BM时，则M为AB的中点，故此选项错误；
D、当AB=2AM时，则M为AB的中点，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了两点之间，正确把握线段中点的性质是解题关键．
◆变式训练
（2017年广西桂林）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB= ．
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2018年湖北省黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【考点】三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
◆变式训练
（2018年河北省）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2018年黑龙江省大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．庆 B．力 C．大 D．魅
【考点】正方体的表面展开图
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“建”与“力”是相对面，
“创”与“庆”是相对面，
“魅”与“大”是相对面．
故选：A．
【点评】此题考查了正方体的展开图，解题时要充分发挥学生的空间想象力，注意有“田”字格的展开图都不能围成正方体． 世纪*教育网
◆变式训练
（2018年江苏省无锡）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
1.（2018年湖南省邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角相等解答即可．
解：∵∠AOD=160°，
∴∠BOC=∠AOD=160°，
故选：D．
【点评】此题考查对顶角、邻补角，关键是根据对顶角相等解答．
2.（2018年湖南省郴州）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（ ）
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
【考点】平行线的判定
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．
解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；
由∠1=∠3，不能得到a∥b；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
◆变式训练
1.（2017年浙江省台州）如图，已知直线a∥b，∠1=70°，则∠2=________
（2018年湖南省湘潭）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2018年北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a= ，b= ，c= ．
【考点】命题与定理
【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．
解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），
∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，
故答案为：1；2；﹣1．
【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
◆变式训练
（2018年四川省眉山）下列命题为真命题的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
B．相似三角形面积之比等于相似比
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
一、 选择题
（2018年广西桂市）如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A. 120° B. 60° C. 45° D. 30°
（2018年浙江省丽水义乌金华市）如图，∠B的同位角可以是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
（2018年浙江省衢州市 ）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
（2018年湖北省江汉油田）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
（2018年四川省自贡市）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
（2018年湖南省益阳市）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD+∠BOD=180°
（2018年江苏省南京市）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：
①可能是锐角三角形；
②可能是直角三角形；
③可能是钝角三角形；
④可能是平行四边形．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
二、 填空题
（2018年山东省日照市）一个角是70°39′，则它的余角的度数是 19°21′ ．
（2018年辽宁省阜新市）如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为 ．
（2018年山东省淄博市）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2= 度．
解答题
下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= ，CB= ，
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
一、 选择题
（2018年重庆市（B卷））下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
（2018年新疆乌鲁木齐市）如图把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
（2018年河南省）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
（2018年广东省广州市）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（? ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
（2018 年广西梧州市）已知∠A=55°，则它的余角是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
（2018年湖南省益阳市）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD+∠BOD=180°
（2018年内蒙古赤峰市）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
（2018年四川省泸州市）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．70° C．80° D．110°
二、 填空题
（2018年浙江省杭州市）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2= ．
（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）若∠α=35°，则∠α的补角为 度．
（2018年云南省昆明市）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为 ．
（2018年青海省）如图，直线，直线EF与AB、CD相交于点E、F，的平分线EN与CD相交于点若，则______．
（2018年河南省）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 ．
（2018年浙江省杭州市临安市）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） ．
解答题
（2018年湖南省益阳）如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：AM∥CN．
（2018年重庆市）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
第四章 图形的性质 第16节 图形的认识
■知识点一：直线、线段、射线
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
■知识点二：角、角平分线
1..概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2.角的度量 1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
3.余角和补角
(1) 余角：∠1＋∠2＝ ?∠1与∠2互为余角；
(2) 补角：∠1＋∠2＝ °?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■知识点三：立体图形展开图
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■知识点四：相交线、平行线
1.三线八角 （1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.
2.对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3.垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
4.平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等 两直线平行
②内错角相等 两直线平行
③同旁内角互补 两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
■知识点五：.命题与证明
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.21cnjy.com
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.2-1-c-n-j-y
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.
■考点1.直线、线段、射线
◇典例：
（2017年福建省宁德）如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是（ ）
A．BM=AB B．AM+BM=AB C．AM=BM D．AB=2AM
【考点】 两点间的距离．
【分析】直接利用两点之间的距离定义结合线段中点的性质分别分析得出答案．
解：A、当BM=AB时，则M为AB的中点，故此选项错误；
B、AM+BM=AB时，无法确定M为AB的中点，符合题意；
C、当AM=BM时，则M为AB的中点，故此选项错误；
D、当AB=2AM时，则M为AB的中点，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了两点之间，正确把握线段中点的性质是解题关键．
◆变式训练
（2017年广西桂林）如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB= ．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据中点定义解答．
解：∵点C是线段AD的中点，若CD=1，
∴AD=1×2=2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB=2×2=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质．
■考点2.角、角平分线
◇典例
（2018年湖北省黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【考点】三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义
【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
◆变式训练
（2018年河北省）如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【考点】三角形内心，平移的性质，角平分线的定义
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
■考点3.立体图形展开图
◇典例：
（2018年黑龙江省大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（ ）
A．庆 B．力 C．大 D．魅
【考点】正方体的表面展开图
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“建”与“力”是相对面，
“创”与“庆”是相对面，
“魅”与“大”是相对面．
故选：A．
【点评】此题考查了正方体的展开图，解题时要充分发挥学生的空间想象力，注意有“田”字格的展开图都不能围成正方体． 世纪*教育网
◆变式训练
（2018年江苏省无锡）下面每个图形都是由6个边长相同的正方形拼成的图形，其中能折叠成正方体的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】展开图折叠成几何体
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．
解：能折叠成正方体的是
故选：C．
【点评】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，熟练正方体的展开图是解题的关键．
■考点4.相交线、平行线
◇典例：
1.（2018年湖南省邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角相等解答即可．
解：∵∠AOD=160°，
∴∠BOC=∠AOD=160°，
故选：D．
【点评】此题考查对顶角、邻补角，关键是根据对顶角相等解答．
2.（2018年湖南省郴州）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（ ）
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
【考点】平行线的判定
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．
解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；
由∠1=∠3，不能得到a∥b；
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
◆变式训练
1.（2017年浙江省台州）如图，已知直线a∥b，∠1=70°，则∠2=________
【考点】对顶角、邻补角，平行线的性质
【分析】根据a∥b得∠1=∠3=70°，再由∠2+∠3=180°，得出∠2=180°-70°=110°。
解： ∵a∥b,（如图）
∴∠1=∠3，
∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
?又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-70°=110°，
故答案为110°.
【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
（2018年湖南省湘潭）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）
【考点】平行线的判定
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．
解：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
■考点4.命题与证明
◇典例：
（2018年北京）用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a= ，b= ，c= ．
【考点】命题与定理
【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．
解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），
∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，
故答案为：1；2；﹣1．
【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
◆变式训练
（2018年四川省眉山）下列命题为真命题的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
B．相似三角形面积之比等于相似比
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
【考点】命题与定理
【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质、菱形的判定定理、中点四边形的性质判断即可．
解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，A是真命题；
相似三角形面积之比等于相似比的平方，B是假命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C是假命题；
顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，D是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
选择题
（2018年广西桂市）如图，直线a，b被直线c所截，a//b，∠1=60°，则∠2的度数是（ ）
A. 120° B. 60° C. 45° D. 30°
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质可得解.
详解：∵a//b
∴∠1=∠2
又∵∠1=60°，
∴∠2=60°
故选B.
【点睛】两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
（2018年浙江省丽水义乌金华市）如图，∠B的同位角可以是（ ）
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案．
解：∠B的同位角可以是：∠4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同位角的定义，正确把握定义是解题关键．
（2018年浙江省衢州市 ）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（ ）
A．112° B．110° C．108° D．106°
【考点】平行线的性质．
【分析】由折叠可得，∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．
解：∵∠AGE=32°，
∴∠DGE=148°，
由折叠可得，∠DGH=∠DGE=74°，
∵AD∥BC，
∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
（2018年湖北省江汉油田）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【考点】几何体的展开图
【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
（2018年四川省自贡市）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
【考点】平行线的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．
解：由题意可得：∠1=∠3=55°，
∠2=∠4=90°﹣55°=35°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
（2018年湖南省益阳市）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD+∠BOD=180°
【考点】对顶角、邻补角；垂线
【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．
解：A．∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；
C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；
D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．
（2018年江苏省南京市）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：
①可能是锐角三角形；
②可能是直角三角形；
③可能是钝角三角形；
④可能是平行四边形．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④
【考点】截一个几何体
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．
解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，而三角形只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了正方体的截面，注意：正方体的截面的四种情况应熟记．
二、 、填空题
（2018年山东省日照市）一个角是70°39′，则它的余角的度数是 19°21′ ．
【考点】余角，度分秒的换算
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
解：它的余角=90°﹣70°39′=19°21′．
故答案为：19°21′．
【点评】本题主要考查的是余角的定义以及度分秒的换算，掌握相关概念是解题的关键．
（2018年辽宁省阜新市）如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为 ．
【考点】平行线的性质，角平分线的定义
【分析】依据AB∥CD，∠EGF=64°，即可得到∠BEG=∠EGF=64°，再根据EG平分∠BEF，即可得到∠BEF=2∠BEG=128°，进而得出∠AEF=180°﹣128°=52°．
解：∵AB∥CD，∠EGF=64°，
∴∠BEG=∠EGF=64°，
又∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG=128°，
∴∠AEF=180°﹣128°=52°，
故答案为：52°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．
（2018年山东省淄博市）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2= 度．
【考点】平行线的性质．
【分析】由两直线平行同旁内角互补得出∠1+∠2=180°，根据∠1的度数可得答案．
解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=140°，
∴∠2=180°﹣∠1=40°，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补．
三、解答题
下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；
③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB= ，CB= ，
∴PQ∥l（ ）（填推理的依据）．
【考点】作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，三角形中位线定理
【分析】（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）利用三角形中位线定理证明即可；
（1）解：直线PQ如图所示；
（2）证明：∵AB=AP，CB=CQ，
∴PQ∥l（三角形中位线定理）．
故答案为：AP，CQ，三角形中位线定理；
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
一、 选择题
（2018年重庆市（B卷））下列命题是真命题的是（ ）
A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
【考点】命题与定理
【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．
解：A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．
（2018年新疆乌鲁木齐市）如图把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2=（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】平行线的性质，平角的定义
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵直尺对边互相平行，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=180°﹣50°﹣90°=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
（2018年河南省）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
【考点】正方体相对两个面上的文字
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“的”与“害”是相对面，
“了”与“厉”是相对面，
“我”与“国”是相对面．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
（2018年广东省广州市）如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（? ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角.
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.根据此定义即可得出答案.
解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，
故答案为：B.
（2018 年广西梧州市）已知∠A=55°，则它的余角是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【考点】角的余角
【分析】由余角定义得∠A 的余角为 90°减去 55°即可．
解：∵∠A=55°，
∴它的余角是 90°﹣∠A=90°﹣55°=35°， 故选：B．
【点评】本题考查了角的余角，由其定义很容易解得．
（2018年湖南省益阳市）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD+∠BOD=180°
【考点】对顶角、邻补角；垂线
【分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．
解：A．∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；
C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；
D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．
（2018年内蒙古赤峰市）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【考点】平行线的性质
【分析】依据AB∥CD，可得∠EHD=∠EGB=25°，再根据∠PHD=60°，即可得到∠PHG=60°﹣25°=35°．
解：∵AB∥CD，
∴∠EHD=∠EGB=25°，
又∵∠PHD=60°，
∴∠PHG=60°﹣25°=35°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的性质，三角形内角和定理解答．
解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠B=30°，
再根据角平分线的概念，得：∠BDE=∠ADB=30°，
再根据两条直线平行，内错角相等得：∠DEC=∠ADE=60°，
故选：B．
【点评】考查了平行线的性质、角平分线的概念，要熟练掌握．
（2018年四川省泸州市）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．70° C．80° D．110°
【考点】平行线的性质
【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠BAD=∠CAD=50°，进而得出答案．
解：∵∠BAC的平分线交直线b于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线a∥b，∠1=50°，
∴∠BAD=∠CAD=50°，
∴∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠BAD=∠CAD=50°是解题关键．
二、 填空题
（2018年浙江省杭州市）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2= ．
【考点】平行线的性质
【分析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．
解：∵直线a∥b，∠1=45°，
∴∠3=45°，
∴∠2=180°﹣45°=135°．
故答案为：135°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）若∠α=35°，则∠α的补角为 度．
【考点】余角和补角
【分析】根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可．
解：180°﹣35°=145°，
则∠α的补角为145°，
故答案为：145．
【点评】本题考查的是余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
（2018年云南省昆明市）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为 ．
【考点】度分秒的换算；角的计算
【分析】直接利用度分秒计算方法得出答案．
解：∵∠BOC=29°18′，
∴∠AOC的度数为：180°﹣29°18′=150°42′．
故答案为：150°42′．
【点评】此题主要考查了角的计算，正确进行角的度分秒转化是解题关键．
（2018年青海省）如图，直线，直线EF与AB、CD相交于点E、F，的平分线EN与CD相交于点若，则______．
【考点】平行线的性质，角平分线定义
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据平行线的性质即可得出的度数．
解：，，
．
平分，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线定义解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（2018年河南省）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为 ．
【考点】垂直的定义、互余以及互补的定义
【分析】直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义分析得出答案．
解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=50°，
∴∠BOD=40°，
则∠BOC的度数为：180°﹣40°=140°．
故答案为：140°．
【点评】此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．
（2018年浙江省杭州市临安市）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） ．
【考点】展开图折叠成几何体
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
解：，
故答案为：．
【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了．
解答题
（2018年湖南省益阳）如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：AM∥CN．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】只要证明∠AEM=∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明；
证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，
∵∠1=∠2，
∴∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．
（2018年重庆市）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．
解：∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点评】考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
