第1讲 相交线、垂线
【知识扫描】
知识点一 邻补角与对顶角
1. 两直线相交：在同一平面内，如果两条直线有一个公共点，则这两条直线相交。
2. 邻补角：如果两个角具有相同的顶点，有一条公共边且这两个角的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。这两个角的位置关系是相邻，大小关系是互补。
3. 对顶角：如果两个角有公共的顶点，且这两个角的两边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。
4. 对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角与对顶角的对比说明
数量关系
位置关系
特别说明
互为邻补角
两个角的和为180°
①有公共顶点；②有一条公共边；③两角的另一边互为反向延长线
“互为”指两个角之间的关系；“邻补”突出了本质特征。即若∠1与∠2互为邻补角，则一定有∠1＋∠2＝180°；反之，若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2不一定是邻补角。
互为对顶角
两个角相等
①有公共顶点；
②角的两边互为反向延长线
“互为”指两个角之间的关系；“对顶”突出了本质特征。即若∠1与∠2是对顶角，则一定有∠1＝∠2；反之，若∠1＝∠2，则∠1与∠2不一定是对顶角。
知识点二 垂线
1. 垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3. 点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
“垂线”与“垂线段”的区别与联系
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是线段，可以度量长度。
联系：具有垂直于已知直线的共同特性。
【典型例题】
考点一 邻补角、补角、对顶角概念
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的角一定是对顶角 B．互补的两个角一定是邻补角
C．互为邻补角的两个角一定不相等 D．两个不相等的角一定不是对顶角
【变式】下列说法正确的是（ ）
①相等的角是对顶角 ②相等且互补的两个角是直角
③不相等的两个角不是对顶角 ④一个角的两个邻补角是对顶角
⑤若两个角不是对顶角，则这两个角不相等
⑥如果这两个角有一组公共边，且它们的和是180°，则这两个角互为邻补角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二 邻补角、对顶角的性质
【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE是一条射线，∠1：∠3＝2：7，∠2＝70°
（1）求∠1的度数；
（2）试说明OE平分∠COB
【变式】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OD平分∠BOF，若∠EOF＝α，则∠EOB＝（ ）
A．α－90° B．360°－2α
C．2α－180° D．180°－α
考点三 垂直定义与性质
【例3】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有( )
①BC与AC互相垂直； ②AC与CD互相垂直；
③点A到BC的垂线段是线段BC；
④点C到AB的垂线段是线段CD；
⑤线段BC是点B到AC的距离；
⑥线段AC的长度是点A到BC的距离
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( )
A．点B到AC的垂线段是线段CA
B．CD和AB互相垂直
C．AC与BC互相垂直
D．线段AC的长度是点A到BC的距离
【例4】如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB于点O，若∠1＝65°，则∠2＝( )
A．27° B．17°
C．25° D．23°
【变式】如图所示，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB＝40°，求∠EOF、∠COE的度数
考点四 垂线段最短
【例5】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路。根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是____________________________；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是_________________
考点五 点到直线的距离
【例6】若直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为2cm，3cm，4cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．2cm B．不超过2cm C．3cm D．大于4cm
【变式】如图所示，点A到直线l的距离是（ ）
A．线段AD的长度 B．线段AE的长度
C．线段AB的长度 D．线AC段的长度
第1讲 相交线、垂线（巩固练习）
一、选择题
1. 如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
2. 下面四个图中，∠1＝∠2是对顶角的是（ ）
3. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD＝70°，则∠AOF等于（ ）
A．35° B．45°
C．55° D．65°
4. 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝40°时，∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．130° C．50°或 90° D．50°或 130°
5. 如图，点A，B在直线m上，点P在直线m外，点Q是直线m上异于点A，B的任意一点，则下列说法或结论正确的是（ ）
A．射线AB和射线BA表示同一条射线
B．线段PQ的长度就是点P到直线m的距离
C．连接AP，BP，则AP＋BP＞AB
D．不论点Q在何处，AQ＝AB－BQ或AQ＝AB＋BQ
二、填空题
6. 已知∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互为补角，那么∠1＝________
7. 如图，直线BE和CF相交于点O，OA，OD是射线，且OA⊥EB，OD⊥CF，则与∠BOC相等的角有_____个，互余的角有_____个
8. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝30°，∠BOC＝2∠AOC，则∠DOF＝_______
9. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE＝40°，则∠AOD等于________度。
10. 如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝10cm，CD＝8cm，CF＝12cm，则点C到AB的距离是_______
三、解答题
11. 如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF平分∠BOD．
（1）直接写出∠AOC的补角；
（2）若∠AOC＝40°，求∠EOF的度数．
12. 如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝28°，
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）求∠DOE的度数．
13. 如图所示，某村庄计划将河水引到水池C中用于农田灌溉，怎样挖渠道最短？请说明理由．
14. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，∠1＝∠BOC，∠1＝∠2。
求∠2及∠AOC的大小．
第1讲 相交线、垂线
【知识扫描】
知识点一 邻补角与对顶角
1. 两直线相交：在同一平面内，如果两条直线有一个公共点，则这两条直线相交。
2. 邻补角：如果两个角具有相同的顶点，有一条公共边且这两个角的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。这两个角的位置关系是相邻，大小关系是互补。
3. 对顶角：如果两个角有公共的顶点，且这两个角的两边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。
4. 对顶角的性质：对顶角相等。
邻补角与对顶角的对比说明
数量关系
位置关系
特别说明
互为邻补角
两个角的和为180°
①有公共顶点；②有一条公共边；③两角的另一边互为反向延长线
“互为”指两个角之间的关系；“邻补”突出了本质特征。即若∠1与∠2互为邻补角，则一定有∠1＋∠2＝180°；反之，若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2不一定是邻补角。
互为对顶角
两个角相等
①有公共顶点；
②角的两边互为反向延长线
“互为”指两个角之间的关系；“对顶”突出了本质特征。即若∠1与∠2是对顶角，则一定有∠1＝∠2；反之，若∠1＝∠2，则∠1与∠2不一定是对顶角。
知识点二 垂线
1. 垂线：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
3. 点到直线的距离：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
“垂线”与“垂线段”的区别与联系
区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是线段，可以度量长度。
联系：具有垂直于已知直线的共同特性。
【典型例题】
考点一 邻补角、补角、对顶角概念
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的角一定是对顶角 B．互补的两个角一定是邻补角
C．互为邻补角的两个角一定不相等 D．两个不相等的角一定不是对顶角
【解答】解：（1）平行线同位角相等，但不是对顶角，故A错误；
（2）两角和为180°即为互补，不一定是邻补角，故B错误；
（3）直角的邻补角为直角，故C错误；
（4）对顶角一定相等，所以不相等的角一定不是对顶角，故D正确；
故选：D．
【变式】下列说法正确的是（ ）
①相等的角是对顶角 ②相等且互补的两个角是直角
③不相等的两个角不是对顶角 ④一个角的两个邻补角是对顶角
⑤若两个角不是对顶角，则这两个角不相等
⑥如果这两个角有一组公共边，且它们的和是180°，则这两个角互为邻补角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，此说法错误；
②相等且互补的两个角是直角，此说法正确；
③不相等的两个角不是对顶角，此说法正确；
④一个角的两个邻补角是对顶角，此说法正确；
⑤若两个角不是对顶角，则这两个角不一定相等，此说法错误；
⑥如果两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，则这两个角互为邻补角，此说法错误；
故选：C．
考点二 邻补角、对顶角的性质
【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE是一条射线，∠1：∠3＝2：7，∠2＝70°
（1）求∠1的度数；
（2）试说明OE平分∠COB
【解答】解：（1）∵∠1：∠3＝2：7，
又∵∠1＋∠3＝180°，
∴∠1＝180°×＝40°；
（2）∵∠1＋∠COE＋∠2＝180°，
∴∠COE＝180°－∠1－∠2＝180°－40°－70°＝70°，
又∵∠2＝70°，
∴∠2＝∠COE，
∴OE平分∠COB．
【变式】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OD平分∠BOF，若∠EOF＝α，则∠EOB＝（ ）
A．α－90° B．360°－2α
C．2α－180° D．180°－α
【解答】解：∵OE⊥CD于O，∠EOF＝α，
∴∠DOF＝α－90°，
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD＝∠FOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝∠FOD，
∴∠AOC＝α－90°，
∴∠BOE＝180°－∠COE－∠AOC＝180°－90°－(α－90°)＝180°－α
故选：D．
考点三 垂直定义与性质
【例3】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有( )
①BC与AC互相垂直； ②AC与CD互相垂直；
③点A到BC的垂线段是线段BC；
④点C到AB的垂线段是线段CD；
⑤线段BC是点B到AC的距离；
⑥线段AC的长度是点A到BC的距离
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；
AC与DC相交不垂直，故②错误；
点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；
点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；
线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；
线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．
故选：B
【变式】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( )
A．点B到AC的垂线段是线段CA
B．CD和AB互相垂直
C．AC与BC互相垂直
D．线段AC的长度是点A到BC的距离
【解答】解：A、∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴点B到AC的垂线段是线段BC，故本选项错误；
B、∵CD⊥AB，
∴CD和AB互相垂直，故本选项正确；
C、∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴AC与BC互相垂直，故本选项正确；
D、∵AC⊥BC，
∴线段AC的长度是点A到BC的距离．
故选：A．
【例4】如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB于点O，若∠1＝65°，则∠2＝( )
A．27° B．17°
C．25° D．23°
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠COB＝90°－∠1＝25°
∴∠2＝∠COB＝25°，
故选：C．
【变式】如图所示，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线，若∠AOB＝40°，求∠EOF、∠COE的度数
【解答】解：∵AO⊥OD且∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝90°－40°＝50°，
∴∠EOF＝50°，
又∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOD＝50°，
∴∠COE＝180°－50°－50°＝80°．
考点四 垂线段最短
【例5】如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路。根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是____________________________；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是______________________
【解答】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；
考点五 点到直线的距离
【例6】若直线l外一点P与直线l上三点的连线段长分别为2cm，3cm，4cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．2cm B．不超过2cm C．3cm D．大于4cm
【解答】解：由垂线段最短，得
点P到直线l的距离小于或等于2cm，
故选：B．
【变式】如图所示，点A到直线l的距离是（ ）
A．线段AD的长度 B．线段AE的长度
C．线段AB的长度 D．线AC段的长度
【解答】解：点A到直线l的距离是线段AD的长，
故选：A
第1讲 相交线、垂线（巩固练习）
一、选择题
1. 如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间线段最短
D．三角形两边之和大于第三边
【解答】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，
故选：B
2. 下面四个图中，∠1＝∠2是对顶角的是（ ）
【解答】解：
A、不具备一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，故不是对顶角；
B、不具备一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，故不是对顶角；
C、不具备一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，故不是对顶角；D、是对顶角，故此选项正确；
故选：D
3. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD＝70°，则∠AOF等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【解答】解：∵∠B0C＝∠AOD＝70°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝35°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°．
∴∠AOF＝180°－∠EOF－∠BOE＝55°
故选C
4. 在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝40°时，∠BOD的度数是（ ）
A．50° B．130° C．50°或 90° D．50°或 130°
【解答】解；根据题意画图如下；
（1）
（2）
5. 如图，点A，B在直线m上，点P在直线m外，点Q是直线m上异于点A，B的任意一点，则下列说法或结论正确的是（ ）
A．射线AB和射线BA表示同一条射线
B．线段PQ的长度就是点P到直线m的距离
C．连接AP，BP，则AP＋BP＞AB
D．不论点Q在何处，AQ＝AB－BQ或AQ＝AB＋BQ
【解答】解：A、射线AB和射线BA表示不同的射线，故A不符合题意；
B、PQ⊥AB时，线段PQ的长度就是点P到直线m的距离，故B不符合；
C、连接AP，BP，则AP＋BP＞AB，故C符合题意；
D、Q在A的右边时，AQ＝AB－BQ或AQ＝AB＋BQ，故D不符合题意；
故选：C．
二、填空题
6. 已知∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互为补角，那么∠1＝________
【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1与∠2互为补角，
∴∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠2＝90°，
故答案为90°
7. 如图，直线BE和CF相交于点O，OA，OD是射线，且OA⊥EB，OD⊥CF，则与∠BOC相等的角有_____个，互余的角有_____个
【解答】解：∵∠BOC和∠EOF是对顶角，
∴∠BOC＝∠EOF，
∵OA⊥EB，OD⊥CF，
∴∠DOC＝∠AOB＝90°，
∴∠BOC＋∠DOE＝90°，∠BOC＋∠AOF＝90°，
则与∠BOC相等的角有1个，是∠EOF，
互余的角有2个，分别是∠DOE和∠AOF，
故答案为：1，2．
8. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝30°，∠BOC＝2∠AOC，则∠DOF＝_______
【解答】解：设∠AOC＝α，
∴∠BOC＝2α，
∴2α＋α＝180°，
∴α＝60°，
∵∠AOE＝30°，
∴∠COE＝α－∠AOE＝30°，
∴∠DOF＝∠COE＝30°，
故答案为：30°
9. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，如果∠COE＝40°，则∠AOD等于________度。
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝40°，
∴∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－40°＝50°，
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°．
故答案为：130
10. 如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE＝10cm，CD＝8cm，CF＝12cm，则点C到AB的距离是_______
【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD＝8cm，
∴点C到AB的距离是CD＝8cm
三、解答题
11. 如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF平分∠BOD．
（1）直接写出∠AOC的补角；
（2）若∠AOC＝40°，求∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∠AOC的补角是∠AOD，∠BOC；
（2）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF＝20°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠EOF＝90°－20°＝70°．
12. 如图，直线AB，CD相交于O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝28°，
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）求∠DOE的度数．
【解答】解：（1）图中与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD；
（2）∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∠AOC＝28°，
∴∠AOD＝152°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝76°．
13. 如图所示，某村庄计划将河水引到水池C中用于农田灌溉，怎样挖渠道最短？请说明理由．
【解答】解：先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，能使所开的渠道最短．
理由：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短
14. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，MO⊥AB，∠1＝∠BOC，∠1＝∠2。
求∠2及∠AOC的大小．
【解答】解：∵OM⊥AB，∠1＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，∠1＝30°；
∠2＝∠1＝30°
又∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°．
