第四章 图形的性质 第20节 直角三角形
■知识点一：直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■知识点二：直角三角形的判定
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■知识点三：直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.（2018年湖北省襄阳）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2.（2018年湖南省郴州）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
【考点】含30度角的直角三角形；作图—基本作图
【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=×60°=30°，
∴ME=OM=3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
3.（2018年重庆市） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．
【考点】翻折变化，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．
解：由题意可得，
DE=DB=CD=AB，
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，
∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴AC=DE，
∵AC∥DE，AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，
∴AC=，
∴AE=．
【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4.（2018年浙江省湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括5）．
【考点】全等三角形的判定；勾股定理；作图—应用与设计作图
【分析】当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．当DG=7，CG=4时，此时HG=3，四边形EFGH的面积为9．
解：当DG=，CG=2时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=，可得正方形EFGH的面积为13．
当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49
当DG=7，CG=4时，此时HG=3，四边形EFGH的面积为9．
故答案为13或49或9．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
◆变式训练
1.（2018年辽宁省大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
2.（2018年辽宁省葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= ．
3.( 2018年江苏省泰州) 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为 （用含α的式子表示）．
4（2018年吉林省）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．，， B．1，， C．6，7，8 D．2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.(2017长沙)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2.（2017年湖南益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
1.（2017?眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
A.1.25尺?? ??B.57.5尺 ? C.6.25尺?? ?D.56.5尺
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B．
2.（2017?包头）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE
∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形，菱形的判定与性质 【分析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题；
（1）解：∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD= ∠CAB=30°， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°， ∴AD=2CD=6． （2）解：∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠EAD=∠ADF=∠DAF， ∴AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， 在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°， ∴DE= =2 ， ∴四边形AEDF的周长为8 ．
◆变式训练
1. （2018年辽宁省盘锦）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 ．
2.（2018年江苏省常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
选择题
（2018年广西柳州市）如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2018年贵州省遵义市）已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为（ ）
A．35° B．55° C．56° D．65°
（2018年湖南省长沙市）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
（2018年山东省滨州市）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2018年青海省）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=300，B点的坐标为(0,2)，将?ABO沿着斜边AB翻折后得到?ABC，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
填空题
（2018年福建省（A卷））如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．
（2018年福建省（A卷））把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD= ．
（2018年四川省广安市）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
（2018年江苏省徐州市）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD= °．
解答题
（2018年浙江省杭州市临安市）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
一、 选择题
（2018年广西贺州市）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
（2018年湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
（2018年湖南省常德市）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
（2018年山东省淄博市）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
（2018年山东省青岛市）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B． C．3 D．
（2018年湖北省荆门市）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
（2018年山东省东营市）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、 填空题
（2018年四川省巴中市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD．若EF=2，则AB= ．
（2018年云南省）在△ABC中，AB=，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 ．
（2018年湖北省荆州市）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”）
（2018年湖南省湘潭市）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．
（2018年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.
（1）的大小为__________（度）；
（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
（2018年广西玉林市）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
三、 解答题
（2018年四川省广安市）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个一边长为2，面积为6的等腰三角形．
（2018年江苏省宿迁市）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ， 然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300 ， 设PQ垂直于AB，且垂足为C.
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， ）
第四章 图形的性质 第20节 直角三角形
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■知识点一：直角三角形的性质
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(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；
斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.
勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
■知识点二：直角三角形的判定
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(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
■知识点三：直角三角形的综合应用
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.
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■考点1.直角三角形的性质
◇典例：
1.（2018年湖北省襄阳）如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）
/
A．55° B．50° C．45° D．40°
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
解：
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∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2.（2018年湖南省郴州）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于/CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（ ）
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A．6 B．2 C．3 D．/
【考点】含30度角的直角三角形；作图—基本作图
【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．
解：过点M作ME⊥OB于点E，
由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，
则∠POB=/×60°=30°，
∴ME=/OM=3．
故选：C．
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【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．
3.（2018年重庆市） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于 ．
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【考点】翻折变化，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．
解：由题意可得，
DE=DB=CD=/AB，
∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，
∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
∴AC=DE，
∵AC∥DE，AC=CD，
∴四边形ACDE是菱形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，
∴AC=/，
∴AE=/．
【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4.（2018年浙江省湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为/，此时正方形EFGH的面积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为/时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 （不包括5）．
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【考点】全等三角形的判定；勾股定理；作图—应用与设计作图
【分析】当DG=/，CG=2/时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=/，可得正方形EFGH的面积为13．当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49．当DG=7，CG=4时，此时HG=3，四边形EFGH的面积为9．
解：当DG=/，CG=2/时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=/，可得正方形EFGH的面积为13．
当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为49
当DG=7，CG=4时，此时HG=3，四边形EFGH的面积为9．
/
故答案为13或49或9．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、全等三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
◆变式训练
1.（2018年辽宁省大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（ ）
/
A．45° B．60° C．90° D．135°
【考点】平行线的判定；等腰直角三角形；作图—复杂作图
【分析】先利用等腰直角三角形的性质得出∠1=45°，再利用平行线的性质即可得出结论；
解：如图，
/
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=45°，
∵l∥l'，
∴∠α=∠1=45°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，求出∠1=45°是解本题的关键．
2.（2018年辽宁省葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于/BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA= ．
/
【考点】含30度角的直角三角形；作图—基本作图
【分析】利用基本作图得到∠AOF=90°，再根据角平分线的定义得到∠EOF=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先求出OF，再求出OA的长．
解：由作法得AD⊥ON于F，
∴∠AOF=90°，
∵OP平分∠MON，
∴∠EOF=/∠MON=/×60°=30°，
在Rt△OEF中，OF=/EF=/，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，
∴OA=2OF=2/．
故答案为2/．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
3.( 2018年江苏省泰州) 如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为 （用含α的式子表示）．
/
【考点】角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．
解：∵∠ACD=90°，∠D=α，
∴∠DAC=90°﹣α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，
∵∠ABC=90°，E为AC的中点，
∴BE=AE=EC，
∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，
∴∠CEB=180°﹣2α，
∵E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CEF=∠D=α，
∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，
故答案为：270°﹣3α．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
4（2018年吉林省）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
/
【考点】勾股定理，坐标与图形性质
【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=/=5，
∴AC=AB=5，
∴OC=5﹣4=1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0），
【点评】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
■考点2.直角三角形的判定
◇典例
1.若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______三角形．
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x=180°， 解得x=18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形
的是（ ）
A．/，/，/ B．1，/，/ C．6，7，8 D．2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
解：A、（/）2+（/）2≠（/）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（/）2=（/）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
◆变式训练
1.(2017长沙)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为x，2x，3x， 依题意得2x+3x+x=180°， 解得x=30°． 故三角30°，60°，90°． 故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大内角的度数是解此题的关键．
2.（2017年湖南益阳）如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
/
【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定△ABC为直角三角形是解题的关键．
■考点3.直角三角形的综合应用
◇典例：
1.（2017?眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四
寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（?? ）
/
A.1.25尺?? ??B.57.5尺 ? C.6.25尺?? ?D.56.5尺
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据题意可知△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深． 解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD﹣AB=62.5﹣5=57.5尺． 故选：B． /
2.（2017?包头）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE
∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD=3．
/
(1)求AD的长；
(2)求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形，菱形的判定与性质 【分析】（1）首先证明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解决问题；（2）首先证明四边形AEDF是菱形，求出ED即可解决问题；
（1）解：∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD= /∠CAB=30°， 在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°， ∴AD=2CD=6． / （2）解：∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠EAD=∠ADF=∠DAF， ∴AF=DF， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， 在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°， ∴DE= /=2 /， ∴四边形AEDF的周长为8 /．
◆变式训练
1. （2018年辽宁省盘锦）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2/+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为 ．
/
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【分析】依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，
/
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2/+4，
∴∠C=30°，AB=/AC=/，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=/DN=/AN，
∴BN=/AB=/，
∴AN=2BN=/，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=/；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，
/
由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=/DN=/AN，BN=/BD，
又∵AB=/，
∴AN=2，BN=/，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=/AN=1，HN=/，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=/，
∴MN=/，
故答案为：/或/．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
2.（2018年江苏省常州）（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt△GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
/
【考点】作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质
【分析】（1）只要证明FC=FB即可解决问题；
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；
（1）证明：如图1中，
/
∵EK垂直平分线段BC，
∴FC=FB，
∴∠CFD=∠BFD，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠CFD．
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
/
②结论：Q是GN的中点．
理由：设PP′交GN于K．
∵∠G=60°，∠GMN=90°，
∴∠N=30°，
∵PK⊥KN，
∴PK=KP′=/PN，
∴PP′=PN=PM，
∴∠P′=∠PMP′，
∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°，
∴∠PMP′=30°，
∴∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，
∴QM=QN，QM=QG，
∴QG=QN，
∴Q是GN的中点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
/
选择题
（2018年广西柳州市）如图，图中直角三角形共有（ ）
/
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】直角三角形的定义
【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．
解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，
故选：C．
/
【点评】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．
（2018年贵州省遵义市）已知a∥b，某学生将一直角三角板放置如图所示，如果∠1=35°，那么∠2的度数为（ ）
/
A．35° B．55° C．56° D．65°
【考点】平行线的性质，直角三角形两锐角互余
【分析】利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及直角三角形两锐角互余求出所求角度数即可．
解：∵a∥b，
∴∠3=∠4，
∵∠3=∠1，
∴∠1=∠4，
∵∠5+∠4=90°，且∠5=∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=35°，
∴∠2=55°，
故选：B．
/
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
（2018年湖南省长沙市）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
【考点】数学常识；勾股定理的应用
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：/×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
（2018年山东省滨州市）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】勾股定理
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为/=5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2018年青海省）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB=300，B点的坐标为(0,2)，将?ABO沿着斜边AB翻折后得到?ABC，则点C的坐标是（ ）
/
A. B. C. D.
【考点】全等三角形的性质和判定,含直角三角形
【分析】过点C作轴，垂直为D，首先证明≌，从而可求得BC的长，然后再求得，接下来，依据在中，求得BD、DC的长，从而可得到点C的坐标．
解：，，，
≌．
，，
过点C作轴，垂直为D，则．
/
，．
．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
填空题
（2018年福建省（A卷））如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．
/
【考点】直角三角形斜边上的中线
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=/AB=/×6=3．
故答案为：3．
（2018年福建省（A卷））把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=/，则CD= ．
/
【考点】等腰直角三角形的性质，勾股定理
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=/AB=2，BF=AF=/AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF=/=/
∴CD=BF+DF﹣BC=1+/﹣2=/﹣1，
故答案为：/﹣1．
/
【点评】此题主要考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质,正确作出辅助线是解本题的关键
（2018年四川省广安市）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
/
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
故答案为：2．
/
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（2018年江苏省徐州市）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD= °．
/
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△BCD为等腰三角形，由等腰三角形的性质和角的互余求得答案．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴BD是中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BDC=∠C=55°，
∴∠ABD=90°﹣55°=35°．
故答案是：35．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．
解答题
（2018年浙江省杭州市临安市）阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【考点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
（3）根据题意可以写出正确的结论．
解：（1）由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
（3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
/
一、 选择题
（2018年广西贺州市）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
/
A．3/ B．3/ C．6 D．6/
【考点】直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质
【分析】由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC即可．
解：∵AD=ED=3，AD⊥BC，
∴△ADE为等腰直角三角形，
根据勾股定理得：AE=/=3/，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE=/BC，
则BC=2AE=6/，
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线，以及等腰直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解本题的关键．
（2018年湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）
/
A．2 B．3 C．4 D．2/
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理
【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=/，
故选：C．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=5．
（2018年湖南省常德市）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（ ）
/
A．6 B．5 C．4 D．3/
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．
解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CE=CD×cos∠C=3/，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（2018年山东省淄博市）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
/
A．4 B．6 C．/ D．8
【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（2018年山东省青岛市）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=/，则BC的长是（ ）
/
A．/ B．/ C．3 D．/
【考点】折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理
【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=/AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：
∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，
∴∠B=∠EAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∵点E为AB中点，
∴EF=/AB，EF=/，
∴AB=AC=3，
∵∠BAC=90°，
∴BC=/=3/，
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
（2018年湖北省荆门市）如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
/
A．/ B．/ C．1 D．2
【考点】等腰直角三角形；轨迹，直角三角形斜边上的中线性质，三角形中位线性质
【分析】连接OC，OM、CM，如图，利用斜边上的中线性质得到OM=/PQ，CM=/PQ，则OM=CM，于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
解：连接OC，OM、CM，如图，
∵M为PQ的中点，
∴OM=/PQ，CM=/PQ，
∴OM=CM，
∴点M在OC的垂直平分线上，
∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长=/AB=1．
故选：C．
/
【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．
（2018年山东省东营市）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
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A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【考点】全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；
解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、 填空题
（2018年四川省巴中市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别是边AB、AC的中点，点F在AB上，且EF∥CD．若EF=2，则AB= ．
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【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理
【分析】由E是AC中点且EF∥CD知CD=2EF=4，再根据Rt△ABC中D是AB中点知AB=2CD，据此可得．
解：∵E是AC中点，且EF∥CD，
∴EF是△ACD的中位线，
则CD=2EF=4，
在Rt△ABC中，∵D是AB中点，
∴AB=2CD=8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握中位线定理及直角三角形斜边上的中线的性质．
（2018年云南省）在△ABC中，AB=/，AC=5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为 ．
【考点】勾股定理
【分析】△ABC中，∠ACB分锐角和钝角两种：
①如图1，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；
②如图2，∠ACB是钝角时，同理得：CD=4，BD=5，根据BC=BD﹣CD代入可得结论．
解：有两种情况：
①如图1，∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=/=/=5，
CD=/=/=4，
∴BC=BD+CD=5+4=9；
②如图2，同理得：CD=4，BD=5，
∴BC=BD﹣CD=5﹣4=1，
综上所述，BC的长为9或1；
故答案为：9或1．
//
【点评】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．
（2018年湖北省荆州市）为了比较/+1与/的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得/+1 /．（填“＞”或“＜”或“=”）
/
【考点】三角形三边关系；勾股定理
【分析】依据勾股定理即可得到AD=/=/，AB=/=/，BD+AD=/+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到/+1＞/．
解：∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，
∴CD=2，AD=/=/，AB=/=/，
∴BD+AD=/+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴/+1＞/，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．
（2018年湖南省湘潭市）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．
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【考点】勾股定理的应用
【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．
故答案为：x2+32=（10﹣x）2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（2018年天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.
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（1）的大小为__________（度）；
（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________．
【考点】作图-应用与设计，勾股定理
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.
解：（1）∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=，BC=，AB=,
∵
∴
∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°
故答案为90；
（2）如图，即为所求.
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【点睛】本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.
（2018年广西玉林市）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 ．
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【考点】含30度角的直角三角形
【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
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在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=/AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．
【点评】本题考查勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题。
三、 解答题
（2018年四川省广安市）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．
（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．
（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．
（4）画一个一边长为2/，面积为6的等腰三角形．
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【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；作图—应用与设计作图
【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；
（2）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
（3）利用三角形面积求法以及等腰直角三角形的性质画出即可；
（4）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．
解：（1）如图（1）所示：/
（2）如图（2）所示：
（3）如图（3）所示；
（4）如图（4）所示．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．
（2018年江苏省宿迁市）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450 ， 然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300 ， 设PQ垂直于AB，且垂足为C.
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（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m， /）
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】(1）根据题意题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数.
（2）设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC= /x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°,由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ /x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.
（1）解：依题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC=60°,∠PCB=90°,
∴∠BPQ=30°,
（2）解：设CQ=x，
在Rt△QBC中，
∵∠QBC=30°,∠QCB=90°,
∴BQ=2x，BC= /x，
又∵∠PBC=60°,∠QBC=30°，
∴∠PBQ=30°,
由（1）知∠BPQ=30°,
∴PQ=BQ=2x，
∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ /x，
又∵∠A=45°，
∴AC=PC，
即3x=10+ /x，
解得：x= /,
∴PQ=2x= /≈15.8（m）.
答：树PQ的高度约为15.8m.
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