12.2 三角形全等的判定
基础闯关全练
拓展训练
1.如图(1)所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD.
/
(1)求证:GF=GE;
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动,变为图(2)时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.
2.如图,Rt△ABC中,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为斜边AB上的高,点E从点B出发沿直线BC以
2 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F.
(1)求证:∠A=∠BCD;
(2)点E运动多长时间时,CF=AB?并说明理由.
/
能力提升全练
拓展训练
1.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形与已知三角形不一定全等的是( )
A.两条边长分别为4,5,它们的夹角为β
B.两个角是β,它们的夹边长为4
C.三条边长分别是4,5,5
D.两条边长是5,它们的夹角是β
2.已知△ABC中,AB=7,AC=4,AD是BC边上的中线,则AD长的范围是 .?
3.(2018山西期中)问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C(不需要证明);
特例探究:如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;
归纳证明:如图3,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
拓展应用:如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 .?
/
三年模拟全练
拓展训练
1.(2018河北秦皇岛抚宁期末,6,★★☆)根据已知条件,能画出唯一△ABC的是( )
A.AC=4,AB=5,BC=10
B.AC=4,AB=5,∠B=60°
C.∠A=50°,∠B=60°,AB=2
D.∠C=90°,AB=5
2.(2018安徽月考,15,★★☆)如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,下面四个结论:①∠ABE=∠BAD;②△CEB≌△ADC;③AB=CE;④AD-BE=DE.其中正确的结论是 .(把所有正确结论的序号都写在横线上)?
/
3.(2018陕西西安莲湖月考,22,★★☆)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD于点F,若CE=BF,AE=EF+BF.试判断直线AC与BC的位置关系,并说明理由.
/
五年中考全练
拓展训练
1.(2016湖南永州中考,9,★★☆)如图,点D、E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,再添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是( )
/
A.∠B=∠C B.AD=AE
C.BD=CE D.BE=CD
2.(2016山东济宁中考,12,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H.请你添加一个适当条件: ,使△AEH≌△CEB.?
/
3.(2016河北中考,21,★★☆)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(9分)
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
/
核心素养全练
拓展训练
1.如图,点A的坐标为(8,0),点B为y轴的负半轴上的一个动点,分别以OB,AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBF,等腰Rt△ABE,连接EF交y轴于P点,当点B在y轴上移动时,PB的长度为( )
/
A.2 B.3
C.4 D.随点B的运动而变化
2.在△ABC中,AB=AC,点D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段CB上,且∠BAC=90°时,∠DCE= 度;?
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β.
①如图2,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图3,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图3补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系(不需证明).
/
12.2 三角形全等的判定
基础闯关全练
拓展训练
1.解析 (1)证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEF=∠BFE=90°.
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
????=????,
????=????,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,
∵
∠??????=∠??????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△BFG≌△DEG(AAS),
∴GF=GE.
(2)结论依然成立.
理由:∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF,
∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
????=????,
????=????,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,
∵
∠??????=∠??????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△BFG≌△DEG(AAS),
∴GF=GE.
2.解析 (1)证明:∵CD⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD.
(2)如图,当点E在射线BC上移动时,若E移动5 s,则BE=2×5=10(cm),
∴CE=BE-BC=10-3=7(cm).∴CE=AC.
在△CFE与△ABC中,
∠??????=∠??,
????=????,
∠??????=∠??????,
∴△CFE≌△ABC,∴CF=AB.
当点E在射线CB上移动时,若E移动2 s,则BE'=2×2=4(cm),∴CE'=BE'+BC=4+3=7(cm),
∴CE'=AC.
在△CF'E'与△ABC中,
∠??'????'=∠??,
????'=????,
∠????'??'=∠??????=90°,
∴△CF'E'≌△ABC,∴CF'=AB.
综上,当点E在直线CB上移动5 s或2 s时,CF=AB.
/
能力提升全练
拓展训练
1.D A符合三角形全等的判定定理SAS,能判定两三角形全等,故本选项不符合题意;B符合三角形全等的判定定理ASA,能判定两三角形全等,故本选项不符合题意;C符合三角形全等的判定定理SSS,能判定两三角形全等,故本选项不符合题意.故选D.
2.答案 1.5
解析 如图,延长AD至E,使DE=AD,
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
/
在△ADC和△EDB中,
????=????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=EB.
∵AC=4,∴EB=4.
∴7-4∴1.53.解析 特例探究:证明:∵CF⊥AE,BD⊥AE,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,
又∠MAN=90°,∠BAD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF.在△ABD和△CAF中,
∵
∠??????=∠??????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△ABD≌△CAF(AAS).
归纳证明:证明:∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA.
在△ABE和△CAF中,∵
∠??????=∠??????,
????=????,
∠??????=∠??????,
∴△ABE≌△CAF(ASA).
拓展应用:∵△ABC的面积为15,CD=2BD,
∴△ABD的面积是
1
3
×15=5,
由上证出△ABE≌△CAF,
∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和,即等于△ABD的面积5,故答案为5.
三年模拟全练
拓展训练
1.C 若想画出唯一的△ABC,只需找出给定条件能证出与另一三角形全等即可.A.AC+AB=4+5=9<10=BC,三边不能组成三角形,A不正确;B.∵AC=4,AB=5,∠B=60°,SSA不能证出两三角形全等,∴AC=4,AB=5,∠B=60°不能确定唯一的三角形,B不正确;C.∵∠A=50°,∠B=60°,AB=2,ASA能证出两三角形全等,∴∠A=50°,∠B=60°,AB=2能确定唯一的三角形,C正确;D.∵∠C=90°,AB=5,缺少证明两三角形全等的条件,∴∠C=90°,AB=5不能确定唯一的三角形,D不正确.故选C.
2.答案 ①②④
解析 如图,∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠BEF=∠ADF=∠ADC=90°.又∵∠BFE=∠AFD,
∴∠ABE=∠BAD,故①正确.∵∠ACB=90°,∴∠1+∠2=90°.∵∠ADC=90°,
∴∠2+∠CAD=90°.∴∠1=∠CAD.又∠E=∠ADC=90°,BC=AC,∴△CEB≌△ADC(AAS),故②正确.由△CEB≌△ADC,得CE=AD,BE=CD,∴AD-BE=CE-CD=DE,故④正确.∵∠ACB=90°,
∴BC⊥AC,∴AB>AC.∵AD⊥CE,∴AC>AD,∴AB>AD.又∵CE=AD,∴AB>CE,故③错误,因此填①②④.
/
3.解析 AC⊥BC,理由如下:
∵CE=BF,AE=EF+BF,CF=EF+CE,∴AE=CF.
在△ACE和△CBF中,
????=????,
????=????,
????=????,
∴△ACE≌△CBF(SSS),∴∠CAE=∠BCF.在Rt△ACE中,∵∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠ACE+∠BCF=90°,
∴AC⊥BC.
五年中考全练
拓展训练
1.D 选项A,∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C,所以△ABE≌△ACD(ASA),正确;选项B,AE=AD,∠A=∠A,AB=AC,所以△ABE≌△ACD(SAS),正确;选项C,由BD=CE及AB=AC可得AD=AE,因为AE=AD,∠A=∠A,AB=AC,所以△ABE≌△ACD(SAS),正确;选项D,BE=CD,AB=AC,∠A=∠A,SSA不能判定两个三角形全等,故选D.
2.答案 AE=CE(或HE=BE或AH=CB或∠BAC=45°)
解析 ∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°,∴∠B+∠EAH=∠B+∠ECB=90°,
∴∠EAH=∠ECB.∴添加条件AE=CE或∠BAC=45°,可根据“ASA”判定△AEH≌△CEB,添加条件AH=CB或HE=BE,可根据“AAS”判定△AEH≌△CEB.
3.解析 (1)证明:∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.
又∵AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF.
(2)AB∥DE,AC∥DF.
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴AB∥DE,AC∥DF.
核心素养全练
拓展训练
1.C 如图,作EN⊥y轴于N,
∵∠BOA=∠ABE=90°,
/
∴∠OBA+∠NBE=90°,∠OBA+∠OAB=90°,
∴∠NBE=∠BAO.
在△ABO和△BEN中,
∠??????=∠??????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△ABO≌△BEN(AAS),
∴OB=NE,又∵OB=BF,∴BF=NE.
又∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°,
∴在△BFP和△NEP中,
∠??????=∠??????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△BFP≌△NEP(AAS),∴BP=NP,又∵点A的坐标为(8,0),∴BN=OA=8,
∴BP=NP=4,故选C.
2.解析 (1)∵∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,
????=????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE,∵∠B+∠ACB=90°.
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,
故答案为90.
(2)①α+β=180°.
证明:∵∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,
∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,
????=????,
∠??????=∠??????,
????=????,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE,∵∠B+∠ACB=180°-α,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β,
∴α+β=180°.
②作出图形,如图所示,α=β.
/
12.3 角的平分线的性质
基础闯关全练
拓展训练
1.如图,△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为12,18,24,O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=( )
/
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
2.如图,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为点M,N,PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB= .?
/
3.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E.若BC=5 cm,DC=4 cm,则△DEB的周长为 cm.?
/
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=15,且BD∶DC=3∶2,则D到边AB的距离是 .?
/
能力提升全练
拓展训练
1.如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB,垂足为E.若PE=3,则两平行线AD与BC间的距离为( )
/
A.3 B.5 C.6 D.不能确定
2.如图,已知DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= .?
/
3.如图,已知∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,求∠EAB的度数.
/
三年模拟全练
拓展训练
1.(2018江苏无锡宜兴期中,16,★★☆)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,O为△ABC角平分线的交点,若△ABO的面积为20,则△ACO的面积为 .?
/
2.(2018河北邯郸期末,19,★★☆)如图所示,已知△ABC的周长是20,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,则△ABC的面积是 .?
/
3.(2018吉林延边安图期末,21,★★☆)如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB,点E为垂足,DF⊥AC,点F为垂足,求证:DE=DF.(7分)
/
五年中考全练
拓展训练
1.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
/
A.10 B.7 C.5 D.4
2.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD,下列结论中不正确的是( )
/
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
3.(在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是 .?
核心素养全练
拓展训练
1.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=8,对角线BD⊥CD,P是BC边上一动点,连接DP.若∠ADB=∠C,则DP长的最小值为 .?
/
2.三条公路l1,l2,l3两两相交于A,B,C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,问可供选择的地方有多少处?请画出图形并在图中找出来.
12.3 角的平分线的性质
基础闯关全练
拓展训练
1.C ∵O是△ABC三条角平分线的交点,AB、BC、AC的长分别为12,18,24,∴S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=AB∶CB∶AC=12∶18∶24=2∶3∶4.故选C.
2.答案 60°
解析 ∵PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,
∴∠AOC=∠BOC=30°,∴∠AOB=60°.
3.答案 5
解析 ∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,∠A=90°,
∴DE=DA.在Rt△CDE和Rt△CDA中,
????=????,
????=????,
∴Rt△CDE≌Rt△CDA,∴CE=CA,∴△DEB的周长=BE+BD+DE=BE+BD+DA=BE+BA=BE+AC=BE+CE=BC=5 cm.
4.答案 6
解析 ∵BC=15,BD∶DC=3∶2,∴CD=6.
∵∠C=90°,AD平分∠BAC,
∴D到边AB的距离=CD=6.
能力提升全练
拓展训练
1.C 如图,作PF⊥AD于F,PG⊥BC于G,
∵AP是∠BAD的平分线,PF⊥AD,PE⊥AB,
∴PF=PE=3,
∵BP是∠ABC的平分线,PE⊥AB,PG⊥BC,
∴PG=PE=3,
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6.
/
2.答案 150°
解析 ∵DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,
∴AD平分∠BAC,∵∠BAC=40°,
∴∠CAD=
1
2
∠BAC=20°,
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
3.解析 如图,过点E作EF⊥AD交AD于F,
∵DE平分∠ADC,EC⊥DC,EF⊥DA,且E是BC的中点,
∴CE=EB=EF,又∵∠B=∠AFE=90°,
∴AE平分∠DAB,∴∠EAB=∠EAF.
又∵∠CED=35°,∠C=90°,∴∠CDE=90°-35°=55°,
∴∠CDA=110°,∵∠B=∠C=90°,∴DC∥AB,
∴∠CDA+∠DAB=180°,
∴∠DAB=70°,∴∠EAB=35°.
/
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 16
解析 ∵点O是△ABC三条角平分线的交点,
∴点O到AB,AC的距离相等,
∴△AOB与△AOC面积的比=AB∶AC=10∶8=5∶4.
∵△ABO的面积为20,∴△ACO的面积为16.
2.答案 30
解析 如图,连接OA,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
/
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,
∴OE=OD,OF=OD,
∴OE=OF=OD=3,∵△ABC的周长是20,OD⊥BC于D,且OD=3,∴S△ABC=
1
2
×AB·OE+
1
2
×BC·OD+
1
2
×AC·OF=
1
2
×(AB+BC+AC)×3=
1
2
×20×3=30.
3.证明 在△ABD和△ACD中,
????=????,
????=????,
????=????,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
五年中考全练
拓展训练
1.C 作EF⊥BC于F,∵BE平分∠ABC,ED⊥BA,EF⊥BC,∴EF=DE=2,∴S△BCE=
1
2
BC·EF=
1
2
×5×2=5,故选C.
2.B ∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°,故A选项正确;
∵BD平分∠ABC,∴∠ABO=
1
2
∠ABC=
1
2
×50°=25°,
在△ABO中,∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°-70°-25°=85°,∴∠DOC=∠AOB=85°,故B选项错误;
∵CD平分∠ACE,∴∠ACD=
1
2
×(180°-60°)=60°,
∴∠BDC=180°-85°-60°=35°,故C选项正确;
由BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线易证AD是△ABC的外角平分线,
∴∠DAC=
1
2
×(180°-70°)=55°,故D选项正确.
3.答案 4∶3
解析 如图,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,由角平分线的性质可得DE=DF,
/
∵S△ABD=
1
2
AB·DE,S△ACD=
1
2
AC·DF,
∴
??
△??????
??
△??????
=
1
2
AB·DE
1
2
AC·DF
=
????
????
=
4
3
,即S△ABD∶S△ACD=4∶3.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 8
解析 根据垂线段最短知,当DP⊥BC时,DP的长度最小.∵BD⊥CD,即∠BDC=90°,又∠A=90°,∴∠A=∠BDC,又∠ADB=∠C,∴∠ABD=∠CBD,又DA⊥BA,∴当DP⊥BC时,AD=DP,又AD=8,∴DP长的最小值为8.
2.解析 先将实际问题转化为数学模型,要求超市到三条公路的距离相等,先观察△ABC的内部,实际上就是在△ABC内找一个点,使它到△ABC的三边的距离相等,这个点应该是△ABC的三条(或两条)角平分线的交点,但除此以外,还应考虑是否还有其他的点也符合要求,因为三条公路都是用直线来表示的,且三角形的互为同旁内角的两个外角的平分线的交点满足到三角形三边所在直线的距离相等,所以在△ABC的外部也存在满足题意的点.
如图,(1)作出△ABC的两个内角的平分线,取其交点为O1;
(2)作出△ABC所有外角(6个外角)的平分线,取其交点分别为O2,O3,O4,故满足条件的修建点有4处,即O1,O2,O3,O4处.
/
12.1 全等三角形
基础闯关全练
拓展训练
1.如图,已知△ABC≌△DCB,AB=10,∠A=60°,∠ABC=80°,那么下列结论中错误的是( )
/
A.∠D=60° B.∠DBC=40°
C.AC=DB D.BE=10
2.如图所示,△ABC≌△EDF,DF=BC,AB=ED,AE=20,AF=5,则AC的长为 .?
/
3.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,△ABE≌△ACD,∠C=42°,AB=9,AD=6,G为AB延长线上一点.
(1)求∠EBG的度数;
(2)求CE的长.
/
4.如图,△ABF≌△CDE,∠B和∠D是对应角,AF和CE是对应边.
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边;
(2)若∠B=30°,∠DCF=40°,求∠EFC的度数;
(3)若BD=10,EF=2,求BF的长.
/
能力提升全练
拓展训练
1.已知△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,若△DEF的周长为偶数,则EF的取值为( )
A.3 B.4
C.5 D.3或4或5
2.如果△ABC的三边长分别为7,5,3,△DEF的三边长分别为3x-2,2x-1,3,若这两个三角形全等,则x= .?
3.若A(2,0),B(0,4),C(2,4),D为坐标平面内一点,且△ABC与△ACD全等,则D点的坐标为 .?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2017内蒙古赤峰宁城期末,7,★☆☆)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=50°,∠ACB=100°.若△EDC≌△ABC,且A、C、D在同一条直线上,则∠BCE=( )
/
A.20° B.30° C.40° D.50°
2.(2017河南周口太康期中,12,★★☆)已知△ABC≌△DEF,BC=EF=5 cm,△ABC的面积是20 cm2,那么△DEF中EF边上的高是 cm.?
3.(2018吉林四平伊通期末,16,★★★)如图,A、C、N三点在同一直线上,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,若△MNC≌△ABC,则∠BCM∶∠BCN= .?
/
五年中考全练
核心素养全练
拓展训练
1.长为1的一根绳恰好可围成两个三边长都不相等的全等三角形,则其中一个三角形的最长边x的取值范围为( )
A.
1
6
≤x<
1
4
B.
1
8
≤x<
1
4
C.
1
6
1
4
D.
1
8
1
4
2.如图,△ABE≌△EDC,E在BD上,AB⊥BD,B为垂足.
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(1)试问:AE和EC相等吗?AE和CE垂直吗?
(2)分别将图中的△ABE绕点E按顺时针方向旋转,分别画出满足下列条件的图形并说出此时△ABE与△EDC中相等的边和角.
①使AE与CE重合;②使AE与CE垂直;③使AE与EC在同一直线上.
12.1 全等三角形答案
基础闯关全练
拓展训练
1.D ∵∠A=60°,∠ABC=80°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠ACB=40°,∵△DCB≌△ABC,∴∠D=∠A=60°,∠DBC=∠ACB=40°,BD=AC,故A,B,C正确,故选D.
2.答案 15
解析 ∵△ABC≌△EDF,DF=BC,AB=ED,AE=20,AF=5,∴AC=EF,EF=AE-AF=20-5=15,∴AC=15.
3.解析 (1)∵△ABE≌△ACD,
∴∠EBA=∠C=42°,
∴∠EBG=180°-42°=138°.
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴AB=AC=9,AE=AD=6,
∴CE=AC-AE=9-6=3.
4.解析 (1)其他对应角:∠BAF和∠DCE,∠AFB和∠CED;
其他对应边:AB和CD,BF和DE.
(2)∵△ABF≌△CDE,∠B=30°,∴∠D=∠B=30°,
∵∠DCF=40°,∴∠EFC=∠D+∠DCF=30°+40°=70°.
(3)∵△ABF≌△CDE,∴BF=DE,∴BF-EF=DE-EF,
∴BE=DF,∵BD=10,EF=2,∴DF=BE=4,∴BF=BE+EF=4+2=6.
能力提升全练
拓展训练
1.B ∵△ABC≌△DEF,∴EF=BC.∵AB=2,AC=4,∴4-22.答案 3
解析 ∵△ABC与△DEF全等,∴3x-2=7且2x-1=5,此时x=3,或3x-2=5且2x-1=7,此时不存在满足条件的x.故答案为3.
3.答案 (4,4)或(0,0)或(4,0)
解析 如图所示,仅D1(4,4),D2(0,0),D3(4,0)满足题意.
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三年模拟全练
拓展训练
1.A ∵△EDC≌△ABC,∴∠DCE=∠ACB=100°.∵A、C、D在同一条直线上,∴∠ACD=180°,∴∠BCE=∠ACB+∠DCE-∠ACD=20°.
2.答案 8
解析 ∵△ABC≌△DEF,BC=EF=5 cm,△ABC的面积是20 cm2,∴
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BC·h=20(h为△ABC中BC边上的高),∴h=8 cm,则△DEF中EF边上的高是8 cm.
3.答案 1∶4
解析 ∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠A=30°,∠ABC=50°,∠ACB=100°.∵△MNC≌△ABC,∴∠N=∠ABC=50°,∠M=∠A=30°,∴∠MCA=∠M+∠N=80°,∴∠BCM=20°,∠BCN=80°,∴∠BCM∶∠BCN=1∶4.
五年中考全练
核心素养全练
拓展训练
1.C 由题意可得两个三角形的周长相等,且为
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.设三角形中除最长边x外,另外两边为y,z,则x+y+z=
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,∵y+z>x,∴x<
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,又x>y,x>z,
∴x>
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.综上可得
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6
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,故选C.
2.解析 (1)AE和EC相等且垂直.
∵△ABE≌△EDC,∴AE=EC,∠A=∠CED,
∵AB⊥BD,∴∠A+∠AEB=90°,∴∠CED+∠AEB=90°,
∴∠AEC=180°-90°=90°,∴AE⊥CE.
(2)如图所示,相等的边有AB=ED,AE=EC,BE=DC;
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相等的角有∠BAE=∠DEC,∠ABE=∠EDC,∠AEB=∠ECD.
