人教版八年级上册数学《15.3分式方程》同步测试（含答案解析）

15.3　分式方程
基础闯关全练
拓展训练
1.当k等于　　　　时,
??
??-5
-2与
??+1
??
互为相反数(　　)?
A.
6
5
　　　　B.
5
6
　　　　C.
3
2
　　　　D.
2
3
2.是否存在实数x,使得代数式
??-2
??+2
-
16
??
2
-4
与代数式1+
4
??-2
的值相等?
3.一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥,从运输量来估算,若租两车合运,则10天可以完成任务,已知甲车的效率是乙车效率的2倍.
(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天?
(2)已知两车合运共需租金65 000元,甲车每天的租金比乙车每天的租金多1 500元.试问:租甲、乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中,哪一种租金最少?请说明理由.
能力提升全练
拓展训练
1.关于x的分式方程
??
??+3
=1的说法正确的是(　　)
A.方程的解是x=a-3
B.当a>3时,方程的解是正数
C.当a<3时,方程的解为负数
D.以上答案都不正确
2.若关于x的分式方程
??-1
??-1
=2的解不大于2,则m的取值范围是(　　)
A.m≤3　　　　 　B.m≠1
C.m<3且m≠-1　　　　　D.m≤3且m≠1
3.为响应“低碳生活,绿色出行”的号召,赵琦每天骑自行车或步行上学,已知赵琦家距离学校4千米,赵琦骑自行车的速度是步行速度的2.5倍(骑自行车和步行均是匀速),骑自行车上学比步行上学早到0.6小时.
(1)求赵琦步行上学的速度;
(2)若赵琦某次上学步行了0.5千米后发现没有带数学作业,于是他原速原路返回家拿数学作业,然后骑自行车去上学,他到家后开门、拿数学作业、取自行车等共用0.15小时,为了不迟到,赵琦以高于平时的骑自行车的速度匀速向学校行驶,若赵琦从步行出门到最后到学校共用了0.6小时,求赵琦这次骑自行车的速度.
4.某工厂计划在规定时间内生产24 000个零件.若每天比原计划多生产30个零件,则在规定时间内可以多生产300个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数;
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%.按此测算,恰好提前两天完成24 000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
三年模拟全练
拓展训练
1.(2018山东单县期末,18,★★★)对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中的较大值,如:max{2,4}=4,按照这个规定,方程max
-
1
??
,
1
??
=
2
3-??
的解为　　　　.?
2.(2018山东济宁任城期末,23,★★★)探索发现:
1
1×2
=1-
1
2
;
1
2×3
=
1
2
-
1
3
;
1
3×4
=
1
3
-
1
4
;……
根据你发现的规律,回答下列问题:
(1)
1
4×5
=　　　　,
1
??×(??+1)
=　　　　;?
(2)利用你发现的规律计算:
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
??×(??+1)
;
(3)灵活利用规律解方程:
1
??(??+2)
+
1
(??+2)(??+4)
+…+
1
(??+98)(??+100)
=
1
??+100
.
3.(2018江苏南京玄武期末,25,★★☆)某学校要添置一批圆珠笔和签字笔,计划用200元购买圆珠笔,用280元购买签字笔.已知一支签字笔比一支圆珠笔贵1元.该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同吗?
(1)根据题意,甲和乙两同学先假设该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同,并分别列出方程如下:
200
??
=
280
??+1
;
280
??
-
200
??
=1,根据两位同学所列的方程,请你分别指出未知数x,y表示的意义:x表示　　　　　;y表示　　　　　　;(2分)?
(2)任选其中一个方程说明该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能否相同.(5分)
五年中考全练
拓展训练
1.(2017贵州毕节中考,9,★★☆)关于x的分式方程
7??
??-1
+5=
2??-1
??-1
有增根,则m的值为(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
2.(2017重庆中考A卷,12,★★☆)若数a使关于x的分式方程
2
??-1
+
??
1-??
=4的解为正数,且使关于y的不等式组
??+2
3
-
??
2
>1,
2(??-??)≤0
的解集为y<-2,则符合条件的所有整数a的和为(　　)
A.10　　　　B.12　　　　C.14　　　　D.16
3.(2017四川攀枝花中考,14,★★☆)若关于x的分式方程
7
??-1
+3=
????
??-1
无解,则实数m=　　　　.?
核心素养全练
拓展训练
1.关于x的方程x+
1
??
=c+
1
??
的解是x1=c,x2=
1
??
;x-
1
??
=c-
1
??
的解是x1=c,x2=-
1
??
;x+
2
??
=c+
2
??
的解是x1=c,x2=
2
??
;x+
3
??
=c+
3
??
的解是x1=c,x2=
3
??
.
(1)请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x+
??
??
=c+
??
??
(m≠0)与它们的关系,猜想它的解是什么,并利用“方程的解”的概念进行验证;
(2)请用(1)中结论解关于x的方程x+
2
??-1
=a+
2
??-1
.
2.增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的,分式方程的增根不是分式方程的根,而是该分式方程化成的整式方程的根,所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为:
①去分母,化分式方程为整式方程;②将增根代入整式方程中,求出方程中字母的值.
阅读以上材料后,完成下列探究:
探究1:m为何值时,方程
3??
??-3
+5=
??
3-??
有增根?
探究2:m为何值时,方程
3??
??-3
+5=
??
3-??
的根是-1?
探究3:写出三个m的值,使对应的方程
3??
??-3
+5=
??
3-??
的三个根中两个根之和等于第三个根;
探究4:你发现满足“探究3”条件的m1、m2、m3(m1,m2对应的根的和等于m3对应的根)的关系是　　　　.?
15.3　分式方程
基础闯关全练
拓展训练
1.B　根据题意得
??
??-5
-2+
??+1
??
=0,
去分母得k2-2k(k-5)+(k+1)(k-5)=0,
整理得6k=5,解得k=
5
6
,经检验,k=
5
6
是分式方程的解.故选B.
2.解析　根据题意得
??-2
??+2
-
16
??
2
-4
=1+
4
??-2
,
去分母得x2-4x+4-16=x2-4+4x+8,
移项,合并同类项得-8x=16,
解得x=-2,
经检验,x=-2是分式方程的增根,∴分式方程无解,
则不存在满足题意的实数x.
3.解析　(1)设甲车单独完成任务需要x天,则乙车单独完成任务需要2x天,根据题意可得
1
??
+
1
2??
=
1
10
,
解得x=15,
经检验,x=15是原方程的解,则2x=30.
答:甲车单独完成需要15天,乙车单独完成需要30天.
(2)设甲车每天的租金为a元,乙车每天的租金为b元,则根据两车合运共需租金65 000元,甲车每天的租金比乙车每天的租金多1 500元可得
10??+10??=65 000,
??-??=1 500,
解得
??=4 000,
??=2 500.
①租甲、乙两车需要的费用为65 000元;
②单独租甲车需要的费用为15×4 000=60 000元;
③单独租乙车需要的费用为30×2 500=75 000元.
因为60 000<65 000<75 000,所以单独租甲车的租金最少.
能力提升全练
拓展训练
1.B　方程两边同乘(x+3),得a=x+3,解得x=a-3,
令x+3≠0,把x=a-3代入得a-3+3≠0,即a≠0,
∴当a≠0时,方程有解,故选项A错误;
令a-3>0,解得a>3(满足a≠0),则当a>3时,方程的解为正数,故选项B正确;
令a-3<0,解得a<3,则当a<3且a≠0时,方程的解为负数,故选项C错误;
显然选项D错误.故选B.
2.D　去分母得m-1=2x-2,解得x=
??+1
2
,∵x-1≠0,即x≠1,∴
??+1
2
≠1,∴m≠1,又根据题意得
??+1
2
≤2,解得m≤3,则m的取值范围为m≤3且m≠1,故选D.
3.解析　(1)设赵琦步行上学的速度为x千米/时,则赵琦骑自行车的速度为2.5x千米/时,
根据题意得
4
??
-
4
2.5??
=0.6,
解得x=4,经检验,x=4是原分式方程的根.
答:赵琦步行上学的速度为4千米/时.
(2)设赵琦这次骑自行车的速度为a千米/时,
根据题意得
1
4
+0.15+
4
??
=0.6,解得a=20,
经检验,a=20是原分式方程的解.
答:赵琦这次骑自行车的速度为20千米/时.
4.解析　(1)设原计划每天生产零件x个,
依题意有
24 000
??
=
24 000+300
??+30
,解得x=2 400,
经检验,x=2 400是原方程的根,且符合题意.
∴规定的天数为24 000÷2 400=10(天).
答:原计划每天生产零件2 400个,规定的天数是10天.
(2)设原计划安排的工人人数为y,依题意有
5×20×(1+20%)×
2 400
??
+2 400
×(10-2)=24 000,
解得y=480,
经检验,y=480是原方程的根,且符合题意.
答:原计划安排的工人人数为480.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案　x=1或x=-3
解析　当-
1
??
<
1
??
时,整理方程得
1
??
=
2
3-??
,
去分母得3-x=2x,解得x=1,经检验,x=1是分式方程的解且满足-
1
??
<
1
??
;
当-
1
??
>
1
??
时,整理方程得-
1
??
=
2
3-??
,
去分母得x-3=2x,解得x=-3,
经检验,x=-3是分式方程的解且满足-
1
??
>
1
??
.
故答案为x=1或x=-3.
2.解析　(1)
1
4
-
1
5
;
1
??
-
1
??+1
.
(2)原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
??
-
1
??+1
=1-
1
??+1
=
??
??+1
.
(3)原方程可化为
1
2
/
1
??
-
1
??+2
+
1
??+2
-
1
??+4
+…+
1
??+98
-
1
??+100
/=
1
??+100
,
即
1
2
1
??
-
1
??+100
=
1
??+100
,
1
??
-
1
??+100
=
2
??+100
,
1
??
=
3
??+100
,
解得x=50,经检验,x=50为原方程的根.
3.解析　(1)圆珠笔的单价;所购圆珠笔的数量.
(2)选第一个分式方程
200
??
=
280
??+1
,
去分母得200(x+1)=280x,解得x=
5
2
,
经检验,x=
5
2
为方程的解,符合题意.
答:该学校购买的圆珠笔和签字笔的数量能相同.
五年中考全练
拓展训练
1.C　方程两边都乘(x-1),得7x+5(x-1)=2m-1,∵原方程有增根,
∴x-1=0,解得x=1,
当x=1时,7=2m-1,解得m=4,所以m的值为4.故选C.
2.A　分式方程
2
??-1
+
??
1-??
=4的解为x=
6-??
4
,∵关于x的分式方程
2
??-1
+
??
1-??
=4的解为正数,∴
6-??
4
>0且
6-??
4
≠1,∴a<6且a≠2.
??+2
3
-
??
2
>1①,
2(??-??)≤0②.
解不等式①得y<-2;解不等式②得y≤a.
∵关于y的不等式组
??+2
3
-
??
2
>1,
2(??-??)≤0
的解集为y<-2,
∴a≥-2.∴-2≤a<6且a≠2.∵a为整数,
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5,(-2)+(-1)+0+1+3+4+5=10.故选A.
3.答案　3或7
解析　方程去分母得7+3(x-1)=mx,整理,得(m-3)x=4,当整式方程无解时,m-3=0,∴m=3;
当整式方程的解为分式方程的增根时,x=1,
∴m-3=4,∴m=7,∴m的值为3或7.
故答案为3或7.
核心素养全练
拓展训练
1.解析　(1)猜想:x+
??
??
=c+
??
??
(m≠0)的解是x1=c,x2=
??
??
.
验证:把x=c代入方程,得左边=c+
??
??
=右边,
把x=
??
??
代入方程,得左边=
??
??
+
??
??
??
=
??
??
+c=右边,
∴x1=c,x2=
??
??
是原方程的解.
(2)由x+
2
??-1
=a+
2
??-1
,得(x-1)+
2
??-1
=(a-1)+
2
??-1
,
∴x-1=a-1或x-1=
2
??-1
,
∴x1=a,x2=
??+1
??-1
.
2.解析　探究1:方程两边都乘(x-3),得3x+5(x-3)=-m.
原方程有增根,令x-3=0,解得x=3,
将x=3代入3x+5(x-3)=-m,解得m=-9,
故所求m的值是-9.
探究2:方程两边都乘(x-3),得3x+5(x-3)=-m.
将x=-1代入3x+5(x-3)=-m,解得m=23,
故所求m的值是23.
探究3:解3x+5(x-3)=-m,得x=
15-??
8
,易知满足条件的3个m值可为m1=7,m2=23,m3=15(结果不唯一).
探究4:
由题意知
15-
??
1
8
+
15-
??
2
8
=
15-
??
3
8
,
整理得m3=m1+m2-15,
故答案为m3=m1+m2-15.