实数（基础）巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1．下列说法错误的是（ ）
A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D．是近似值，无法在数轴上表示准确
2. 下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数
3.估计的大小应在（ ）
A．7～8之间 B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间 D．9～10之间
4.如图，数轴上点表示的数可能是（ ）.
A． B． C． D．
5. 实数和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（ ）
A．4～5之间 B．5～6之间
C．6～7之间 D．7～8之间
二.填空题
7.在，，，，这五个实数中，无理数是_________________．
8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．
9.｜3.14－π｜＝______； ______．
10. 的整数部分是________，小数部分是________．
11.已知为整数，且满足，则________．
12.的相反数是________，绝对值是_________，平方等于_________.
三.解答题
13．计算：（1）． （2）．
14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）
15. 已知求的值．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.
2. 【答案】A；
【解析】根据无理数的定义作答.
3. 【答案】C；
【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.
4. 【答案】B；
【解析】2＜＜3
5. 【答案】C；
【解析】.
6. 【答案】A；
【解析】.
二.填空题
7． 【答案】，；
8. 【答案】；
【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.
9. 【答案】π－3.14；.
【解析】负数的绝对值等于它的相反数.
10.【答案】2；；
【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.
11.【答案】 －1, 0, 1；
12.【答案】
【解析】.
三.解答题
13．【解析】
解：（1）
＝3＋（）
＝
（2）
＝
＝
＝．
14.【解析】
解：设广场的边长为，由题意得：
440000
＝≈663.
答：它的边长约为663m.
15.【解析】
解：∵
∴－2＝0且＝0
解得＝2，＝－3，
∴＝2－3＝－1.
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实数（基础）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
1、指出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】有理数有
无理数有……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
举一反三：
【变式】下列说法错误的是（ ）
①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；
③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.
A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C；
类型二、实数大小的比较
2、比较和0.5的大小．
【答案与解析】
解：作商，得．
因为，即，所以．
【总结升华】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.
举一反三：
【变式】比较大小
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
3、如图，数轴上点表示的数可能是
A. B. C. D.
【答案】B；
【解析】－3＜＜－2.
【总结升华】关键是估计出的大小.
类型三、实数的运算
4、化简：
(1) (2) (3)
【答案与解析】
解：
.
【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
5、若，则________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知：，即，∴ ．
【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .
举一反三：
【变式】已知，求的值．
【答案】
解：由已知得，解得．
∴＝.
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实数（提高）巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1．代数式，，||，，中，一定是正数的有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2. 三个数，－3，的大小顺序是（ ）．
A． B．
C． D．
3. 要使，的取值范围是（ ）．
A．≤3 B．≥3 C．0≤≤3 D．一切实数
4. 估算的值在（ ）．
A．7和8之间 B．6和7之间 C．3和4之间 D．2和3之间
5. 若，、互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对是（ ）
A. B.与 C.与 D.与
6. 实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．＞0 B．＜0 C． D．
二.填空题
7．，3.33……，， ，，，， ，中，无理数的个数是 个.
8. ＜0时，化简＝________.
9. 计算：＝__________．
10.已知互为相反数,互为倒数,,则的值 .
11. 若，求的值.
12. 当 时,有最大值,最大值是 ________.
三.解答题
13．已知实数、在数轴上的位置，如图所示．试化简．
14.已知实数、、满足，求的值；
15. 已知是的算术平方根，是的立方根，求B－A的平方根．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
【解析】仅＞0，其余可以为0，还可为负数．
2. 【答案】B；
【解析】．
3. 【答案】D；
【解析】本题主要考查立方根的性质，即．因为，所以可取一切实数．
4. 【答案】D；
【解析】，，所以选D.
5. 【答案】C；
【解析】＋＝0，＝－，所以 ，所以 ＋＝0.
6. 【答案】B；
【解析】从数轴上可以看出－3＜＜－2，－2＜＜－1，0＜＜1，所以很明显
＜0.
二.填空题
7. 【答案】4；
【解析】， ，，为无理数.
8. 【答案】0；
【解析】∵ ，∴ ．
9. 【答案】；
【解析】．
10.【答案】－4；
【解析】原式＝.
11.【答案】1；
【解析】 ∴，∴.
12.【答案】±2；3；
【解析】当时，有最大值3.
三.解答题
13.【解析】
解：由图所示可得，且．
∴ 原式＝||＋||－|－|－|＋|
＝－＋＋(－)－(＋)＝－－．
14.【解析】
解：∵ ，，．
由题意，得方程组
， 解得．
∴＝.
15.【解析】
解：∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，
解得
∴A＝1，B＝2，B－A＝1
∴B－A的平方根＝±1．
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实数（提高）
【学习目标】
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
【要点梳理】
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
要点四、实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【典型例题】
类型一、实数概念
1、把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
【答案与解析】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
举一反三：
【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.
类型二、实数大小的比较
2、比较与的大小．
【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．
【答案与解析】
解：因为，．
所以＜
【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.
举一反三：
【变式】已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简：
．
【答案】由图知，，．
∴ ，，，．
∴
．
类型三、实数的运算
3、求的值．
【答案与解析】
解：（1）当≥0时，，，
所以．
（2）当＜0时，，，
所以．
即值为0或2．
【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．
举一反三：
【变式】若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：解得
∴ 为．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
类型四、实数的综合运用
4、已知，且，求的值．
【答案与解析】
解：∵ ，且，．
∴ ，即，．
解得 ＝3，＝5，得＝64．
∴ ．
【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．
举一反三：
【变式】已知，求的值．
【答案】
解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
5、如图所示：在平行四边形ABCO中，点A、C的坐标分别是，．
（1）写出点B的坐标；
（2）将平行四边形ABCO向左平移个单位长度，求所得平行四边形四个顶点的坐标；
（3）求平行四边形ABCO的面积．
【思路点拨】（1）由C点坐标可知，由于AB＝OC，所以B点坐标是纵坐标与A点坐标相同，横坐标即将A点坐标右移．（2）平行四边形向左平移个单位后，四个顶点的纵坐标不变，横坐标分别减去．（3）平行四边形的面积用OC为底边，A点或B点的纵坐标为高来求的．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）将四个顶点、、、的横坐标分别减去得：，、、．
（3）．
【总结升华】有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，在实数范围内，加、减、乘、除、乘方五种运算同有理数一样.
无理数集合
…
有理数集合
…
PAGE
