不等式及其性质（基础）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列式子：①5＜7；②2x＞3；③y≠0；④x≥5；⑤2a+l；⑥；⑦x＝1．其中是不等式的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列不等式表示正确的是 ( )
A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5
C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0
3．下列说法中，正确的是 ( )
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
4．(四川凉山州)已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜0
5．(浙江温州)把不等式x+2＞4的解集表示在数轴上，正确的是( )
6．下列变形中，错误的是（ ）
A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若，则
C．若，则x＞-5 D．若，则
二、填空题
7．用“＞”或“＜”填空：
(1)-10.8________10.4； (2)________；
(3)________ (4)0________；
(5)(-2)3________ (6)________；
(7) ________0.66； (8)-1.11________
8．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系：
(1)a的绝对值与它本身的差是非负数________；
(2)x与-5的差不大于2________；
(3)a与3的差大于a与a的积________；
(4)x与2的平方差是—个负数________．
9．在-l，，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________是不等式-x＞0的解．
10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空
(1)a-1________b-1； (2)2a______2b；
(3)_______； (4)a+l________b+1．
11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空．
(1)2a________a+b (2)_______
(3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|
12.若a＞0，则关于x的不等式ax＞b的解集是________；
若a＜0，则关于x的不等式以ax＞b的解集是_______．
三、解答题
13．已知x与1的和不大于5，完成下列各题．
(1)列出不等式；(2)写出它的解集；(3)将它的解集在数轴上表示出来.
14．判断(正确的在括号内画“√”，错误的在括号内画“×”)．
(1)不等式x＜2的解一定是不等式x≤2的解． ( )
(2)负数都是不等式x＜2的解． ( )
(3)不等式x＜5的解集又可以写成x＜4． ( )
(4)不等式x＜1的解集就是0和全体负数的集合． ( )
(5)不等式x-1＞0有无数个解． ( )
15．已知x＜y，比较下列各对数的大小．
(1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】①②③④⑥均为不等式。
2. 【答案】D；
【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；
x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。
3. 【答案】A ；
4. 【答案】D；
【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D．
5. 【答案】B；
【解析】根据不等式的性质，在不等式的两边都加上-2，得x+2-2＞4-2，所以x＞2．在数轴上表示不等式的解集，应从表示2的点向右画，并且不包含2的点，即表示2的点画空心圆圈，故选B．
6. 【答案】B；
【解析】B错误，应改为：，两边同除以，可得：。
二、填空题
7. 【答案】 (1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞ (5)＜ (6)＜ (7)＜ (8)＞；
【解析】根据大小进行判断．
8.【答案】 (1)|a|-a≥0 (2)x-(-5)≤2 (3) (4)；
9.【答案】2； -1、
【解析】一一代入验证.
10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞；
11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜；
【解析】利用不等式的性质进行判断。
12.【答案】，；
【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数，不等号改变方向.
三、解答题
13.【解析】
解： (1)x+1≤5．
(2)不等式x+1≤5的解集是x≤4．
(3)把x≤4表示在数轴上如图所示
14.【解析】
解： (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
15.【解析】
解： (1)∵ x＜y ∴ 8x＜8y， ∴ 8x-3＜8y-3．
(2)∵ x＜y，∴ ，
∴ ．
(3)∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，
∴ x-2＜y-1．
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不等式及其性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
【高清课堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性质】
要点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x与-3的和是负数；
(2)x与5的和的28％不大于-6
(3)m除以4的商加上3至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案与解析】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)≤5．
【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x是非负数，则x≥0；若x是非正数，则x≤0；若x大于y，则有x-y＞0；若x小于y，则有x-y＜0等．
举一反三：
【变式】的值一定是（ ）．
A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零
【答案】D
类型二、不等式的解及解集
2. (上海奉贤区二模)对于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】根据不等式解的定义作答．
【答案】D
【解析】
解：当x＝5时，4x+7(x-2)＝41＞8，
当x＝4时，4x+7(x-2)＝30＞8，
当x＝3时，4x+7(x-2)＝19＞8，
当x＝2时，4x+7(x-2)＝8．
故知x＝2不是原不等式的解．
【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．
3. (宁波)不等式x＞1在数轴上表示正确的是 ( )
【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．
【答案】C
【解析】
解：∵不等式x＞1
∴在数轴上表示为:
故选C．
【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点”，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向”，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．
【高清课堂：一元一次不等式370042 练习2】
举一反三：
【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．
A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4
【答案】B
类型三、不等式的性质
4. (上海)如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．
【答案】A
【解析】
解：A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；
B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；
C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；
D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？
【答案】
解：如图，设为任意一个三角形的三条边，则：
移项可得：
即：三角形两边的差小于第三边．
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不等式及其性质（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．下列不等式中，一定成立的有 ( )
①5＞-2；②；③x+3＞2；④+1≥1；⑤．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．关于不等式-2x+a≥2的解集如图所示，则a的值是 ( )
A．0 B．2 C．-2 D．-4
3．若a＜b，则下列不等式：①；②；③．其中成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4．若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是 ( )
A． B． C． D．
5. 不等式2x+1＞-3的解集在数轴上表示正确的是 ( )
6．如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是 ( )
A．a+c＞b-c B．a-c＜b-c C． D．-a＜-b
二、填空题
7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m，则用不等式表示图中标志的意义为________．
8．(1)若，则a_________b；
(2)若m＜0，ma＜mb，则a_________b．
9．已知，若y＜0，则m________．
10．已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________．
11．下列结论：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ac＞bc，则a＞b；③若a＞b，且c＝d，则ac＞bd；④若ac2＞bc2，则a＞b，其中正确的有_________．(填序号)
12．如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________．
三、解答题
13．用不等式表示：
(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个，请写出满足条件的x的关系式；
(2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄．
14．已知不等式(m-1)x＞m-1的解集是x＜1，则m应满足什么条件?
15．已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．
16．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．
(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；
(2)比较a+b与a-b的大小；
(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B；
【解析】一定成立的是：①④⑤；
2. 【答案】A；
【解析】根据不等式的性质可得，不等式的解集为，由图可得，不等式的解集为：，因为它们是一个解集，所以，解得.
3. 【答案】A ；
【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立.
4. 【答案】C；
【解析】∵0＜x＜1，∴ x2≤x≤.
5.【答案】Ｃ；
【解析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“＞”与“≥”、“＜”与“≤”的区别，大于号向右画，小于号向左画，有等号需画实心圆点，无等号需画空心圆圈．
6. 【答案】D；
二、填空题
7. 【答案】x≤4；
8. 【答案】(1)＜， (2)＞；
【解析】（1）两边同乘以（）；（2）两边同除以；
9. 【答案】＞8；
【解析】由已知可得：x＝4，y＝2x-m＝8-m＜0，所以m＞8；
10．【答案】
11.【答案】④
12.【答案】9≤m＜12；
【解析】3x-m≤0，x≤，3≤＜4，∴ 9≤m＜12
三、解答题
13.【解析】
解：(1)16×6+(31-16-3)x＞198
(2)3(x+1)+6(y+1)＞m+1
14.【解析】
解：m-1＜0，即m＜1．
15.【解析】
解： ∵ -2＜a＜3，∴ a-3＜0．当3a+6≥0，即a≥-2时，3a+6就为非负数．
又∵ -2＜a＜3，3a+6≥0．∴ 原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-7
16.【解析】
解：(1)．
∴ ．
(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b＝2b，当b＞0时，a+b-(a-b)＝2b＞0，a+b＞a-b；
当b＝0时，a+b-(a-b)＝2b＝0，a+b=a-b；
当b＜0时，a+b-(a-b)＝2b＜0，a+b＜a-b．
(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；
当a＝b时，3a+2b＝2a+3b；
当a＜b，3a+2b＜2a+3b．
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不等式及其性质（提高）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.
2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.
3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
知识点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点二、不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
要点诠释：
不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
要点诠释：
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
知识点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要点诠释： 不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是 ( )
【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．
【答案】D
【解析】
解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于克故D选项对．
【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．
举一反三：
【变式】
【答案】
类型二、不等式的解及解集
2.若关于的不等式x≤a只有三个正整数解，求的取值范围.
【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范围．
【答案】3≤a＜4
【解析】
解：∵不等式x≤a只有三个正整数解，
∴三个正整数解为：1，2，3，
∴3≤a＜4，
【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．
3.如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )
A．-3≤x＜2 B．-3＜x≤2 C．-3≤x≤2 D．-3＜x＜2
【思路点拨】x表示-3右边的数，即大于-3，并且是2以及2左边的数，即小于或等于2的数．
【答案】B
【解析】
解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；
C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点；
D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点；
故选B．
【总结升华】在数轴上 表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，“＞”，“≥”向右画；“＜”，“≤”向左画．
举一反三：
【变式】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．
【答案】4
提示：由程序图可知，计算求值时所使用的数学表达式为．把x＝1输入求值，若求得的结果大于0，则直接得到输出值y；若求得的结果小于0，则需要把得到的结果作为输入值再代入计算，循环往复，直到使最终的结果大于0为止．
类型三、不等式的基本性质
4.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．
【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y的值．因为x+y＜2，故可以构建关于a的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a的取值范围．
【答案】a＜4
【解析】
解：将两方程相加得：4x+4y＝4+a．
将方程的两边同除以4得 ．
依题意：．
将不等式的两边同乘以4得4+a＜8．
将不等式的两边同时减去4得a＜4．
故a的取值范围是a＜4．
【总结升华】解关于x的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x＞a或x＜a的形式，化简的依据是不等式的性质．
举一反三：
【变式1】关于x的不等式ax＞b的解集是，那么a的取值范围是 ( )
A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞0
【答案】B
提示：解不等式ax＞b时，两边同时除以a，不等号的方向改变了，根据不等式的性质3，可知除以的是一个负数，即a＜0．故应选B．
【变式2】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．
A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b
【答案】D
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