第四章 图形的性质 第21节 解直角三角形
■知识点一：锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■知识点二：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■知识点三：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
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2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.（2018年黑龙江省齐齐哈尔市）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
【考点】勾股定理、锐角三角函数的定义
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
故答案为：17．
【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
2.（2018年浙江省丽水）计算：+（﹣2018）0﹣4sin45°+|﹣2|．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
解：原式=2+1﹣4×+2
=2+1﹣2+2
=3．
【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
◆变式训练
1.（2018年云南省）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
2.（2018年浙江省绍兴）（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1．
（2）解方程：x2﹣2x﹣1=0．
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2018年浙江省衢州市）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥的计算；解直角三角形．
【分析】先根据扇形的面积公式S=L?R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
解：设圆锥的母线长为R，由题意得
15π=π×3×R，
解得R=5．
∴圆锥的高为4，
∴sin∠ABC==，
故选：C．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．
◆变式训练
(2018年内蒙古赤峰)阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c?sinB
∴S△ABC=a?AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2018年贵州省安顺）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】在Rt△ABC、Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算DB、AB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论．
解：由题意知，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AB=BC=10米
在Rt△DBC中，∵∠CDB=30°，
∴DB==10（米）
∵DH=AH﹣DA
=AH﹣（DB﹣AB）
=10﹣10+10
=20﹣10
≈2.7（米）
∴建筑物需要拆除．
【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大．利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键．
2.（2018年天津市）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.
【考点】解直角三角形的应用--仰角俯角问题
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
解：如图，过点作，垂足为.
则.
由题意可知，，，，，.
可得四边形为矩形.
∴，.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∴ .
∴.
答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
3.( 2018年湖北省十堰市) 如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．
解：过C作CD⊥AB，
在Rt△ACD中，∠A=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=AC=50海里，
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=100海里≈141海里，
则此时船距灯塔的距离为141海里．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
◆变式训练
1.（2018年四川省甘孜）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
2.（2018 年广西梧州市）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m， GF=17.6m（注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．
（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
3.（2018年浙江省舟山）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
一、 选择题
（2018年广西柳州市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（ ）
A． B． C． D．
（2018年浙江省丽水义乌金华市）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
（2018年湖北省宜昌市）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
（2018年山东省淄博市）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A． 、B．C．D．
二、 填空题
（2018年青海省）在中，若，则的度数是______．
（2018年广东省广州市）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________．
（2018年浙江省湖州市）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 ．
三、 解答题
（2018年四川省遂宁市）计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|．
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=sin30°．
（2018年浙江省衢州市 ）“五?一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：≈1.414，≈1.732）
选择题
（2018年贵州省贵阳市）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
（2018年江苏省苏州市）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里
（2018年湖南省益阳市）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米
（2018年黑龙江省哈尔滨市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A. B．2 C．5 D．10
（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题
（2018年四川省巴中市）已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B= ．
（2018年湖北省黄石市）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是 米．（结果保留根号）
（2018年浙江省宁波市）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为 ．
（2018年浙江省宁波市）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
（2018年浙江省绍兴市）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．
（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；
（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．
（参考数据：≈1.732，≈2.449）
解答题
（2018年四川省绵阳市）（1）计算：﹣sin60°+|2﹣|+
（2）解分式方程：+2=
（2018年浙江省台州市）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
（2018年四川省达州市）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
（2018年辽宁省抚顺市）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（2018年浙江省嘉兴市）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
第四章 图形的性质 第21节 解直角三角形
■知识点一：锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
2.特殊角的三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
■知识点二：解直角三角形
1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.
■知识点三：解直角三角形的应用
1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）
(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）
(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）
21世纪教育网版权所有
2.解直角三角形实际应用的一般步骤
(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
■考点1. 锐角三角函数的定义
◇典例：
1.（2018年黑龙江省齐齐哈尔市）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
【考点】勾股定理、锐角三角函数的定义
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切的定义分别求出AH、BH，根据勾股定理求出HD，得到BD，根据勾股定理计算即可．
解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD=，
∴=，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD==5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴=，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD==17，
故答案为：17．
【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握解直角三角形的一般步骤、理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
2.（2018年浙江省丽水）计算：+（﹣2018）0﹣4sin45°+|﹣2|．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】根据零指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
解：原式=2+1﹣4×+2
=2+1﹣2+2
=3．
【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
◆变式训练
1.（2018年云南省）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为==3，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
2.（2018年浙江省绍兴）（1）计算：2tan60°﹣﹣（﹣2）0+（）﹣1．
（2）解方程：x2﹣2x﹣1=0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程﹣配方法；特殊角的三角函数值
【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂，然后再计算加减即可；
（2）首先计算△，然后再利用求根公式进行计算即可．
解：（1）原式=2﹣2﹣1+3=2；
（2）a=1，b=﹣2，c=﹣1，
△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
x===1，
则x1=1+，x2=1﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算和一元二次方程的解法，关键是熟练掌握特殊角的三角函数、二次根式的化简、零次幂、负整数指数幂以及一元二次方程的求根公式．
■考点2：解直角三角形
◇典例
（2018年浙江省衢州市）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面半径，已知BC=6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥的计算；解直角三角形．
【分析】先根据扇形的面积公式S=L?R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．
解：设圆锥的母线长为R，由题意得
15π=π×3×R，
解得R=5．
∴圆锥的高为4，
∴sin∠ABC==，
故选：C．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比．
◆变式训练
(2018年内蒙古赤峰)阅读下列材料：
如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：
S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，sinB=
∴AD=c?sinB
∴S△ABC=a?AD=acsinB
同理：S△ABC=absinC
S△ABC=bcsinA
∴S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA
（1）通过上述材料证明：
==
（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=20，求AC的长度．
（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．
（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
【考点】三角形的面积；解直角三角形
【分析】（1）根据材料中的S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA，化为比例式可得结论；
（2）根据公式，直接代入可得结论；
（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABC=AC×BC×sin∠ACB可得结论．
解：（1）∵absinC=acsinB，
∴bsinC=csinB，
∴=，
：同理得：=，
∴==；（4分）
（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，
∴，即，
∴，
∴AC=40×0.3=12；（8分）
（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，
∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，
由==得：=，
∴AC=6，
∴S△ABC=AC×BC×sin∠ACB=×6×18×0.7≈38．
【点评】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA解决问题．
■考点3：解直角三角形的应用
◇典例：
1.（2018年贵州省安顺）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】在Rt△ABC、Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算DB、AB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论．
解：由题意知，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AB=BC=10米
在Rt△DBC中，∵∠CDB=30°，
∴DB==10（米）
∵DH=AH﹣DA
=AH﹣（DB﹣AB）
=10﹣10+10
=20﹣10
≈2.7（米）
∴建筑物需要拆除．
【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大．利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键．
2.（2018年天津市）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.
【考点】解直角三角形的应用--仰角俯角问题
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
解：如图，过点作，垂足为.
则.
由题意可知，，，，，.
可得四边形为矩形.
∴，.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∴ .
∴.
答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
3.( 2018年湖北省十堰市) 如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．
解：过C作CD⊥AB，
在Rt△ACD中，∠A=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD=AC=50海里，
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=100海里≈141海里，
则此时船距灯塔的距离为141海里．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
◆变式训练
1.（2018年四川省甘孜）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】在Rt△ABC中，根据AB=4米，∠ABC=45°，求出AC的长度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．
解答：在Rt△ABC中，AC=AB?sin45°=4×=2，
∵∠ABC=45°，
∴AC=BC=2，
在Rt△ADC中，AD=2AC=4，AD﹣AB=4﹣4≈1.66．
答：改善后滑板会加长1.66米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．
2.（2018 年广西梧州市）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m， GF=17.6m（注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．
（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题
【分析】过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，在 Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN 的长度， 再在 Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出 BN、AN 的长度，结合 AB=AN+BN 即可求出瀑布 AB 的高度．
解：过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，如
图所示．
在 Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，
∴CM=CD?cos40°≈15.4m，DM=CD?sin40°≈12.8m，
∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．
在 Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，
∴BN=DN?tan10°≈10.8m．
在 Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，
∴AN=DN?tan30°≈34.6m．
∴AB=AN+BN=45.4m．
答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通 过解直角三角形求出 AN、BN 的长度是解题的关键．
3.（2018年浙江省舟山）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）只要证明△CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；
（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；
解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，
如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．
∵∠BEP1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，
∴∠AP1E=115°，
∴∠CP1E=65°，
∵∠DP1E=20°，
∴∠CP1F=45°，
∵CF=P1F=1m，
∴∠C=∠CP1F=45°，
∴△CP1F是等腰直角三角形，
∴P1C=m，
∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，
即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．
（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．
∵P2E∥AB，
∴∠CP2E=∠CAB=90°，
∵∠DP2E=20°，
∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，则CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，
∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
一、 选择题
（2018年广西柳州市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数
【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．
解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinB==，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是正确计算出AB的长．
（2018年浙江省丽水义乌金华市）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
解：在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
（2018年湖北省宜昌市）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
（2018年山东省淄博市）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A． 、B．C．D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
解：sinA===0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
二、 填空题
（2018年青海省）在中，若，则的度数是______．
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】先根据非负数的性质求出，，再由特殊角的三角函数值求出与的值，根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：在中，，
，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
（2018年广东省广州市）如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________．
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.
解：在Rt△ABC中，
∵高AB=8m，BC=16m，
∴tanC= = = .
故答案为： .
【点评】此题考查解直角三角形的应用,关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答。
（2018年浙江省湖州市）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
三、 解答题
（2018年四川省遂宁市）计算：（）﹣1+（﹣1）0+2sin45°+|﹣2|．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：原式=3+1+2×+2﹣
=4++2﹣
=6．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
（2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=sin30°．
【考点】分式的化简求值，特殊角的三角函数值
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
解：当a=sin30°时，
所以a=
原式=?
=?
=
=﹣1
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
（2018年浙江省衢州市 ）“五?一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头D处（精确到1米）（备用数据：≈1.414，≈1.732）
【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】根据题意表示出AD，DC的长，进而得出等式求出答案．
解：如图所示：可得：∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200m，
则设BD=x，故DC=x，
∵AD=DC，
∴200+x=x，
解得：x=100（+1）≈273，
答：小明还需沿绿道继续直走273米才能到达桥头D处．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=DC是解题关键．
选择题
（2018年贵州省贵阳市）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
解：连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
（2018年江苏省苏州市）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】首先证明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，求出PA即可解决问题；
解：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，
∴PB=2AB，
由题意BC=2AB，
∴PB=BC，
∴∠C=∠CPB，
∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，
∴∠C=30°，
∴PC=2PA，
∵PA=AB?tan60°，
∴PC=2×20×=40（海里），
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明PB=BC，推出∠C=30°．
（2018年湖南省益阳市）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB?sinα=300sinα米．
故选：A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．
（2018年黑龙江省哈尔滨市）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A. B．2 C．5 D．10
【考点】菱形的性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
（2018年广西南宁、北海、钦州、防城港市北部经济湾区）如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以，解直角三角形
【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．
解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4，CP=EP．
在△OEF和△OBP中，，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP．
设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，
∴AF=AB﹣BF=1+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，
解得：x=，
∴DF=4﹣x=，
∴cos∠ADF==．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．
填空题
（2018年四川省巴中市）已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B= ．
【考点】二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案．
解：由题意可知：sinA=，tanB=，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠A+∠B=90°
故答案为：90°
【点评】本题考查特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数值，本题属于基础题型．
（2018年湖北省黄石市）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是 米．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100，然后计算AD+BD即可．
解：如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD中，∵tanA=，
∴AD==100，
在Rt△BCD中，BD=CD=100，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：A、B两点间的距离为100（1+）米．
故答案为100（1+）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
（2018年浙江省宁波市）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为 ．
【考点】菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解直角三角形
【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．
解：延长DM交CB的延长线于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，
∴∠ADM=∠H，
∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，
∴△ADM≌△BHM，
∴AD=HB=2，
∵EM⊥DH，
∴EH=ED，设BE=x，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，
∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，
∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），
∴cosB==，
故答案为．
【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
（2018年浙江省宁波市）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 米（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．
解：由于CD∥HB，
∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B=
∴HB==
==1200（米）．
∴AB=HB﹣HA
=1200﹣1200
=1200（﹣1）米
故答案为：1200（﹣1）
【点评】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH的式子表示出AH和BH．
（2018年浙江省绍兴市）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．
（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；
（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．
（参考数据：≈1.732，≈2.449）
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可以解答本题；
（2）根据锐角三角函数和题意可以求得AB的长，从而可以解答本题．
解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴∠DFB=∠CAB，
∵∠CAB=85°，
∴∠DFB=85°；
（2）作CG⊥AB于点G，
∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，
∴CG=，AG=10，
∵BD=40，CD=10，
∴CB=30，
∴BG==，
∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，
即A、B之间的距离为34.5cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
解答题
（2018年四川省绵阳市）（1）计算：﹣sin60°+|2﹣|+
（2）解分式方程：+2=
【考点】实数的运算；解分式方程；特殊角的三角函数值
【分析】（1）根据算术平方根、特殊角的三角函数、绝对值进行计算即可；
（2）先去分母，再解整式方程即可，注意检验．
解：（1）原式=×3﹣×+2﹣+
=+2﹣
=2；
（2）去分母得，x﹣1+2（x﹣2）=﹣3，
3x﹣5=﹣3，
解得x=，
检验：把x=代入x﹣2≠0，所以x=是原方程的解．
【点评】本题考查了实数的运算以及解分式方程，掌握算术平方根、特殊角的三角函数、绝对值是解题的关键，分式方程一定要验根．
（2018年浙江省台州市）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【考点】解直角三角形的应用
【分析】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．
解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，
易得四边形AHEF为矩形，
∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，
∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，
在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，
∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，
∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
（2018年四川省达州市）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，由∠CBD=45°知BD=CD=x米，根据tanA=列出关于x的方程，解之可得．
解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
设CD=x米，
∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=x米，
∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，
∴tanA=，即=，
解得：x=2+2，
答：该雕塑的高度为（2+2）米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
（2018年辽宁省抚顺市）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题；
解：（1）延长DC交AN于H．
∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
∵∠CBH=30°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BC=CD=10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，
∴DH=15，
在Rt△ADH中，AH===20，
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
（2018年浙江省嘉兴市）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．
（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）
（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）只要证明△CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；
（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；
解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，
如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．
∵∠BEP1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，
∴∠AP1E=115°，
∴∠CP1E=65°，
∵∠DP1E=20°，
∴∠CP1F=45°，
∵CF=P1F=1m，
∴∠C=∠CP1F=45°，
∴△CP1F是等腰直角三角形，
∴P1C=m，
∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，
即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．
（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．
∵P2E∥AB，
∴∠CP2E=∠CAB=90°，
∵∠DP2E=20°，
∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，则CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，
∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，
即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
