第四章 图形的性质 第22节 多边形与平行四边形■知识点一：多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．
2.多边形的内角和、外角和
(1) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■知识点二：平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：是中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三
形，即AB=BF.
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，
可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■知识点三：平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是?.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是?.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是?.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是?.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是?.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
1. （2008?杭州）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【考点】多边形的对角线．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．21cnjy.com
解：凸八边形的对角线条数应该是20． 理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线， ∴从一个顶点能引的对角线数为（n-3）条； ∵n边形共有n个顶点， ∴能引n（n-3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次， ∴能引条． ∴凸八边形的对角线条数应该是：×8×(8－3)＝20条2-1-
【点评】：能够从特殊中找到规律进行计算．-n-j-y
2.（2018年新疆乌鲁木齐市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】多边形的内角和定理
【分析】根据内角和定理180°?（n﹣2）即可求得．
解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°?（n﹣2），难度适中．
◆变式训练
1.（2018年上海市）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
2.（2018年内蒙古呼和浩特市）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2018年四川省宜宾）在?ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义
【分析】想办法证明∠E=90°即可判断．
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC，
∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠E=90°，
∴△ADE是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2018年江苏省泰州市）如图，?ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为 ．
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2018年四川省巴中市）如图，在?ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，AN===13．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2018年湖南省永州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．
选择题
1.（2018年福建省（A卷））一个n边形的内角和为360°，则n等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（2018年浙江省宁波市）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）如图，在?ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则?ABCD的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
4.（2018年海南省）如图，?ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
填空题
5.（2018年甘肃省定西市）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是 ．
6.（2018年黑龙江省绥化市）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC，AB∥CD
B．AB∥CD，AB=CD
C．AD∥BC，AB=DC
D．AB=DC，AD=BC
7.（2018年湖北省十堰市）如图，已知?ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为 ．
解答题
8.（2018年湖南省岳阳市）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
9.（2018年福建省（A卷））如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
10.（2018 年广西梧州市）.如图，在?ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
一、 选择题
1.（2018年浙江省台州市）正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
2.（2018年广西玉林市）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3.（2018年山东省济宁市）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
4.（2018年浙江省台州市）如图，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
5.（2018年江苏省苏州市）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
二、 、填空题
6.（2018年湖南省衡阳市）如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是 ．
7.（2018年山东省临沂市）如图，在?ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD= ．
8.（2018年江苏省南京市）如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2= °．
9.（2018年辽宁省抚顺市）如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
10.（2018年江苏省无锡市）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 ．
三、 、解答题
11.（2018年浙江省衢州市 ）如图，在?ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
12.（2018年湖北省恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
13.（2018年江苏省宿迁市）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.
14.（2018年浙江省温州市）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）当AB=6时，求CD的长．
15.（2018年浙江省杭州市临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
第四章 图形的性质 第22节 多边形与平行四边形■知识点一：多边形的有关知识
1.多边形的相关概念
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．21*cnjy*com
2.多边形的内角和、外角和
(1) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为
(3) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
■知识点二：平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示.
2.平行四边形的性质
（1）边：两组对边分别平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）对称性：是中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三
形，即AB=BF.
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.
（3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，
可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
注意：利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：
（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.
（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.
（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.
■知识点三：平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是?.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是?.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是?.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是?.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是?.
■考点1.多边形的有关知识
◇典例：
1. （2008?杭州）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
【考点】多边形的对角线．
【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．21cnjy.com
解：凸八边形的对角线条数应该是20． 理由：∵从一个顶点发出的对角线数目，它不能向本身引对角线，不能向相邻的两个顶点引对角线， ∴从一个顶点能引的对角线数为（n-3）条； ∵n边形共有n个顶点， ∴能引n（n-3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次， ∴能引条． ∴凸八边形的对角线条数应该是：×8×(8－3)＝20条2-1-
【点评】：能够从特殊中找到规律进行计算．-n-j-y
2.（2018年新疆乌鲁木齐市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】多边形的内角和定理
【分析】根据内角和定理180°?（n﹣2）即可求得．
解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°?（n﹣2），难度适中．
◆变式训练
1.（2018年上海市）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
【考点】三角形内角和定理;多边形的对角线;多边形内角与外
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．
解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°．
故答案为540．
【点评】本题考查了多边形内角与外角:多边的内角和定理:(n-2)·180(n≥3)且n为整数).此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n-3)条对角线,将n边形分制为(n-2)个三角形
2.（2018年内蒙古呼和浩特市）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形
【考点】多边形的内角与外角
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）?180=1080，
解得n=8．
∴这个多边形的边数是8．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
■考点2.平行四边形的性质
◇典例
（2018年四川省宜宾）在?ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义
【分析】想办法证明∠E=90°即可判断．
解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC，
∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠E=90°，
∴△ADE是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2018年江苏省泰州市）如图，?ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为 ．
【考点】平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=16，
∴OB+OC=8，
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，
故答案为14．
【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
■考点3.平行四边形的判定
◇典例：
（2018年四川省巴中市）如图，在?ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题；
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，AN===13．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
◆变式训练
（2018年湖南省永州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．
（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；
（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积．
【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．
（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；
（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．
在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=AB，BE=AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=AB=3，AC=BC=3，
∴S平行四边形BCFD=3×=9．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
选择题
1.（2018年福建省（A卷））一个n边形的内角和为360°，则n等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】多边形的内角和定理
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n．
解：根据n边形的内角和公式，得：
（n﹣2）?180=360，
解得n=4．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式．
2.（2018年浙江省宁波市）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】多边形内角与外角
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
3.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）如图，在?ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则?ABCD的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
【考点】平行四边形的性质
【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．
解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．
4.（2018年海南省）如图，?ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【考点】平行四边形的性质，三角形中位线定理
【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；
解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵OD=OB，DE=EC，
∴OE+DE=（BC+CD）=9，
∵BD=12，
∴OD=BD=6，
∴△DOE的周长为9+6=15，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
填空题
5.（2018年甘肃省定西市）若正多边形的内角和是1080°，则该正多边形的边数是 ．
【考点】多边形的内角与外角
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）?180=1080，
解得n=8．
∴这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6.（2018年黑龙江省绥化市）下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AD∥BC，AB∥CD
B．AB∥CD，AB=CD
C．AD∥BC，AB=DC
D．AB=DC，AD=BC
【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
解：A．由AD∥BC，AB∥CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
B、由AB∥CD，AB=CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
C、由AD∥BC，AB=DC不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意；
D、由AB=DC，AD=BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
7.（2018年湖北省十堰市）如图，已知?ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为 ．
【考点】平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
∴△OCD的周长=5+4+5=14，
故答案为14．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．
解答题
8.（2018年湖南省岳阳市）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质
【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB∥CD，且AB=CD，然后根据AE=CF，判断出BE=DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
又∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴BE∥DF且BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
9.（2018年福建省（A卷））如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
【点评】此题把全等三角形放在平行四边形的背景中，利用平行四边形的性质来证明三角形全等，最后利用全等三角形的性质解决问题．
10.（2018 年广西梧州市）.如图，在?ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
证明：∵?ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练 掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
一、 选择题
11.（2018年浙江省台州市）正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
【考点】多边形内角与外角
【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数．
解：∵一个十边形的每个外角都相等，
∴十边形的一个外角为360÷10=36°．
∴每个内角的度数为 180°﹣36°=144°；
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．
12.（2018年广西玉林市）在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【考点】平行四边形的判定
【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、③④．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定,平行四边形的判定方法共有五种,在四边形中如果有:1、四边形的两组对边分别平行;2、一组对边平行且相等;3、两组对边分别相等:4、对角线互相平分:5、两组对角分别相等,则四边形是平行四边形.本题利用了第1,2,3种来判定
13.（2018年山东省济宁市）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【分析】先根据五边形内角和求得∠ECD+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．
解：∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠ECD+∠BCD=240°，
又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=120°，
∴△CDP中，∠P=180°﹣（∠PDC+∠PCD）=180°﹣120°=60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n﹣2）?180 （n≥3且n为整数）．
14.（2018年浙江省台州市）如图，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图
【分析】只要证明BE=BC即可解决问题；
解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
15.（2018年江苏省苏州市）如图，在△ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EF∥CD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF．若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
【考点】平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF=EG=4．
解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG=AB==4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．
二、 、填空题
16.（2018年湖南省衡阳市）如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果△CDM的周长为8，那么?ABCD的周长是 ．
【考点】平行四边形的性质
【分析】根据题意，OM垂直平分AC，所以MC=MA，因此△CDM的周长=AD+CD，可得平行四边形ABCD的周长．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=MC．
∴△CDM的周长=AD+CD=8，
∴平行四边形ABCD的周长是2×8=16．
故答案为16．
【点评】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，根据线段垂直平分线的性质，证得AM=MC是解题的关键．
17.（2018年山东省临沂市）如图，在?ABCD中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则BD= ．
【考点】平行四边形的性质，勾股定理
【分析】由BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴AC==8，
∴OC=4，
∴OB==2，
∴BD=2OB=4
故答案为：4．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
18.（2018年江苏省南京市）如图，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1﹣∠2= °．
【考点】平行线的性质；多边形内角与外角
【分析】过B点作BF∥l1，根据正五边形的性质可得∠ABC的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得∠1﹣∠2的度数．
解：过B点作BF∥l1，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=108°，
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠3=180°﹣∠1，∠4=∠2，
∴180°﹣∠1+∠2=∠ABC=108°，
∴∠1﹣∠2=72°．
故答案为：72．
【点评】考查了多边形内角与外角，平行线的性质，关键是熟练掌握正五边形的性质，以及添加辅助线．
19.（2018年辽宁省抚顺市）如图，?ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是 ．
【考点】作图﹣基本作图线段垂直平分线，平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=7．
∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
20.（2018年江苏省无锡市）如图，已知∠XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是 ．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，∠EPH=30°，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
解：过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，
Rt△HEP中，∠EPH=30°，
∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
三、 、解答题
21.（2018年浙江省衢州市 ）如图，在?ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
22.（2018年湖北省恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．
证明：如图，连接BD，AE，
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．
23.（2018年江苏省宿迁市）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,根据平行线的性质得∠E=∠F,再结合已知条件可得AF=CE,根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.
证明：∵在□ABCD中,∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,
∴∠E=∠F,
又∵BE＝DF，
∴AD+DF=CB+BE，
即AF=CE,
在△CEH和△AFG中，
,
∴△CEH≌△AFG，
∴CH=AG.
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质,正确拿握平行线的性质是解题关键。
24.（2018年浙江省温州市）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．
（2）当AB=6时，求CD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质
【分析】（1）利用ASA即可证明；
（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=AB即可解决问题；
（1）证明：∵AD∥EC，
∴∠A=∠BEC，
∵E是AB中点，
∴AE=EB，
∵∠AED=∠B，
∴△AED≌△EBC．
（2）解：∵△AED≌△EBC，
∴AD=EC，
∵AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CD=AE，
∵AB=6，
∴CD=AB=3．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.（2018年浙江省杭州市临安市）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；
（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB．
证明：（1）∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．
又ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC．
∴∠DAF=∠BCE．
在△ADF与△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠DFA=∠BEC．
∴DF∥EB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
