2018-2019学年江西省南昌八中、二十三中、十三中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

2018-2019学年江西省南昌八中、二十三中、十三中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
椭圆
??
2
9
+
??
2
4
=1的离心率是（　　）
A.
13
3
B.
5
3
C.
2
3
D.
5
9
抛物线y=2x2的准线方程是（　　）
A. ??=
1
2
B. ??=?
1
2
C. ??=
1
8
D. ??=?
1
8
若直线l1：ax+y-1=0与l2：3x+（a+2）y+1=0平行，则a的值为（　　）
A. ?3 B. 1 C. 0或?
3
2
D. 1或?3
在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，点M（2，
??
6
）的直角坐标是（　　）
A. (2,1) B. (
3
,1) C. (1,
3
) D. (1,2)
已知实数x，y满足的约束条件
?????+5≥0
??+??≥0
??≥3
，则z=4x-2y的最小值是（　　）
A. ?15 B. ?4 C. 6 D. 18
圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（-3，0）和B（1，0）的圆的方程为（　　）
A. (??+1
)
2
+(???1
)
2
=5 B. (???1
)
2
+(??+1
)
2
=
5
C. (???1
)
2
+(??+1
)
2
=5 D. (??+1
)
2
+(???1
)
2
=
5
已知椭圆C：
??
2
??
2
+
??
2
??
2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
1
3
已知方程
??
2
??
2
+??
-
??
2
3
??
2
???
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）
A. (?1,3) B. (?1,
3
) C. (0,3) D. (0,
3
)
一条光线从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y-2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）
A. ?
5
3
或?
3
5
B. ?
3
2
或?
2
3
C. ?
5
4
或?
4
5
D. ?
4
3
或?
3
4
以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|????|=4
2
，|????|=2
5
，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
过椭圆
??
2
6
+
??
2
5
=1内的一点P（2，-1）的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）
A. 5???3???13=0 B. 5??+3???13=0 C. 5???3??+13=0 D. 5??+3??+13=0
双曲线
??
2
??
2
?
??
2
??
2
=1(??＞0，??＞0)的右焦点为F（2，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为
3
7
7
，则双曲线的离心率为（　　）
A. 4 B. 2 C.
5
D.
3
二、填空题（本大题共1小题，共4.0分）
（1）如图，棱长为2的正方体OABC-D'A'B'C'中，点M在B'C'上，且M为B'C'的中点，若以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为______．（2）过点（-1，2）且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______．（3）椭圆
??
2
9
+
??
2
2
=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，|PF2|=______；∠F1PF2的小大为______．（4）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
已知直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．
直线3x-4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为
21
且过点（1，
1
2
），求弦AB所在直线的方程．
已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|????|=
15
．（1）求m的值；（2）设P是x轴上的点，且△ABP的面积为
9
3
2
，求点P的坐标．
已知双曲线C：
??
2
??
2
-
??
2
??
2
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±
3
x，O为坐标原点，点M（
5
，
3
）在双曲线上．（1）求双曲线C的方程．（2）若斜率为1的直线l与双曲线交于P，Q两点，且
????
?
????
=0，求直线l方程．
（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，直线l的参数方程为
??=?1+
3
5
??
??=?1+
4
5
??
t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为??=
2
??????(??+
??
4
)．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C所截得的弦长．
答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为：=．故选：B．直接利用椭圆的简单性质求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
2.【答案】D【解析】
解：根据题意，抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，其焦点在y轴上，且2p=，则p=，则抛物线的准线方程为：y=-；故选：D．根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析抛物线的焦点以及p的值，由抛物线的准线方程即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程．
3.【答案】B【解析】
解：∵a=-2时，l1不平行l2，∴l1∥l2?解得：a=1故选：B．利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．本题考查两直线平行条件，体现了转化的数学思想，属于基础题．
4.【答案】B【解析】
解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，可得点M（2，）的直角坐标为（，1），故选：B．根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把点M（2，）化为直角坐标．本题主要考查利用公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把点的极坐标化为直角坐标，属于基础题．
5.【答案】B【解析】
解：由约束条件，得到可行域如图：由，解得B（3，8）z=4x-2y变形为y=2x-，当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为4×3-2×8=-4；故选：B．首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最小值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常规方法．
6.【答案】A【解析】
解：由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，∴圆心M的坐标为（-1，1），又A（-3，0），半径|AM|==，则圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=5．故选：A．要求圆的标准方程，先求圆心坐标：根据圆心在直线上设出圆心坐标，根据圆的定义可知|OA|=|OB|，然后根据两点间的距离公式列出方程即可求出圆心坐标；再求半径：利用利用两点间的距离公式求出圆心O到圆上的点A之间的距离即为圆的半径．然后根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线的交点坐标，以及垂径定理，根据题意得出圆心在直线x=-1上是解本题的关键．
7.【答案】A【解析】
解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．故选：A．以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】A【解析】
解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2-n），解得：m2=1，∵方程-=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2-n）＞0，可得：（n+1）（3-n）＞0，解得：-1＜n＜3，即n的取值范围是：（-1，3）．当焦点在y轴上时，可得：-4=（m2+n）+（3m2-n），解得：m2=-1，无解．故选：A．由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2-n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2-n）＞0，从而可求n的取值范围．本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】D【解析】
解：点A（-2，-3）关于y轴的对称点为A′（2，-3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x-2），化为kx-y-2k-3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y-2）2=1相切，∴圆心（-3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或-．故选：D．点A（-2，-3）关于y轴的对称点为A′（2，-3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x-2），利用直线与圆相切的性质即可得出．本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
10.【答案】B【解析】
【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：，，，，，，|OD|=|OA|，，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为4．故选B．
11.【答案】A【解析】
解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则，且x1+x2=4，y1+y2=-2，∴（x1-x2）-（y1-y2）=0，∴kA1A2==．∴弦所在直线方程为y+1=（x-2），即5x-3y-13=0．故选：A．设过点P的弦与椭圆交于A1，A2两点，并设出他们的坐标，代入椭圆方程联立，两式相减，根据中点P的坐标可知x1+x2和y1+y2的值，进而求得直线A1A2的斜率，根据点斜式求得直线的方程．本题主要考查了椭圆的简单性质和直线与椭圆的位置关系．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．
12.【答案】B【解析】
解：由题意可知：设A（x0，y0），B（-x0，-y0），由右焦点F（2，0），则c=2∵以MN为直径的圆过原点O，∴OM⊥ON，又∵OM∥BF，ON∥AF，∴AF⊥BF，=（2-x0，-y0），=（2+x0，y0），∴=（2-x0）（2+x0）-y02，∴4-x02-y02=0，即x02+y02=4，由kAB=，∴y02=x02，∴x02+x02=4，解得：x02=，y02=，代入双曲线方程得：=1，∴7b2-9a2=4a2b2，由b2=c2-a2=4-a2，∴7（4-a2）-9a2=4a2（4-a2），解得：a2=1或a2=7（舍），∴a=1，∴e=2，故选：B．由题意可知：以MN为直径的圆过原点O，则OM⊥ON，则AF⊥BF，=（2-x0，-y0），=（2+x0，y0），由向量数量积的坐标表示求得x02+y02=4，由kAB=，代入即可求得x02=，y02=，代入双曲线方程得：=1，求得a2=1，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的标准方程及简单几何形状，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】（1，2，2） ? 2x+y=0或x+y-1=0 ? 2 ? 120° ? （x+1）2+（y-
3
）2=1【解析】
解：（1）设M（x，y，z），由图形可知，M在正方体的上底面上，∴M点在z轴上对应的值同D′在z轴上对应的值相同，即z=2，又M在面BCC′B′上，∴y=2，∵C′M=MB′，∴x=1，则M（1，2，2）．故答案为（1，2，2）；（2）当直线过原点时，方程为y=-2x，即2x+y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y-k=0．把（-1，2）代入直线的方程可得：k=1，故直线方程是x+y-1=0．综上，所求的直线方程为2x+y=0或x+y-1=0．故答案为：2x+y=0或x+y-1=0；（3）由椭圆的性质可得：|PF1|+|PF2|=2a，且a=3，b=，c=．∵|PF1|=4，|PF2|=2，在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2==．∴∠F1PF2的小大为120°．故答案为：2，120°；（4）由题意知，此抛物线的焦点为（1，0），直线方程为x=1，由题意可设圆的圆心为（-1，y），其半径为1，∵∠FAC=120°，∠CAO=90°，∴∠FAO=120°-90°=30°，故，即该圆的圆心坐标为（-1，），故此圆的方程为：．故答案为：．（1）直接由图形可得点的坐标；（2）分直线过原点与不过原点，当直线过原点时，直接写出直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为x+y-k=0，把（-1，2）代入直线的方程可得k，则直线方程可求；（3）由已知结合椭圆定义求得|PF2|=2，再由余弦定理求解∠F1PF2的大小；（4）由题意知抛物线的焦点为（1，0），直线方程为x=1，可设圆的圆心为（-1，y），其半径为1，由已知可得∠FAO，求得y，则圆的方程可求．本题是综合题，考查空间向量下点的坐标的求法，考查直线与圆、椭圆及抛物线的简单性质，是中档题．
14.【答案】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，令x=0，得y=-
??
4
；令y=0，得x=-
??
3
．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
1
2
×|-
??
4
|×|-
??
3
|=6，解得m=±12．∴直线l的方程为3x+4y±12=0．【解析】
可设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别找出直线与x，y轴的交点，然后代入三角形的面积公式可求m，进而可求直线方程本题主要考查了直线方程的求解，属于基础试题．
15.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，A（0，3）B（-4，0）AB的中点（-2，
3
2
）为圆的圆心，直径AB=5以线段AB为直径的圆的方程（x+2）2+（y-
3
2
）2=
25
4
；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为
21
，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y-
1
2
=k（x-1），即kx-y-k+
1
2
=0，所以
|?3???1|
??
2
+1
=1，所以k=0或-
3
4
，所以弦AB所在直线的方程为y=
1
2
或3x+4y-5=0．【解析】
（1）由题意可得，A（0，3）B（-4，0），AB的中点（-2，）为圆的圆心，直径AB=5，从而可利用圆的标准方程求解；（2）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y-=k（x-1），利用点到直线的距离公式，即可求弦AB所在直线的方程．本题主要考查了由圆的圆心及圆的直径求解圆的方程，圆的标准方程的应用，属于基本方法的应用．
16.【答案】解：（1）将直线方程代入抛物线方程
??
2
=4??
??=2??+??
，整理得4x2+4（m-1）x+m2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=1-m，
??
1
??
2
=
??
2
4
．于是|????|=
1+
??
2
|
??
1
?
??
2
|=
1+
2
2
(1???
)
2
?4×
??
2
4
=
5(1?2??)
．因为|????|=
15
，所以
5(1?2??)
=
15
，解得m=-1．∴m的值-1；（2）设P（a，0），P到直线AB的距离为d，因为lAB：2x-y+m=0，由点到直线的距离公式得??=
|2???1|
5
，又
??
△??????
=
1
2
|????|???，所以??=
2
??
△??????
|????|
，于是
|2???1|
5
=
2×
9
3
2
15
，解得a=5或a=-4，故点P的坐标为（5，0）或（-4，0）．【解析】
（1）将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及弦长公式可知．即可求得m的值；（2）由直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得，利用三角形的面积公式，即可求得点P的坐标．本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）双曲线C的渐近线方程为y=±
3
x，∴b=
3
a，双曲线的方程可设为3x2-y2=3a2．∵点M（
5
，
3
）在双曲线上，可解得a=2，∴双曲线C的方程为
??
2
4
-
??
2
12
=1．（2）设直线PQ的方程为y=x+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为2x2-2mx-m2-12=0∴x1+x2=m，x1x2=
?
??
2
?12
2
由
????
?
????
=0得x1x2+y1y2=0，把y1=x1+m，y2=x2+m代入上式可得2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴2?
?
??
2
?12
3?
??
2
+m?
2????
3?
??
2
+m2=0，化简得m2=12．直线方程??=??+2
3
或??=???2
3
．【解析】
（1）由渐近线方程可得关于a、b的一个方程，再把点M（，）代入双曲线的方程又得到关于a、b的一个方程，将以上方程联立即可解得a、b的值；（2）利用且?=0得x1x2+y1y2=0、一元二次方程的根与系数的关系，即可求出直线方程．本题考查了掌握待定系数法求圆锥曲线，一元二次方程的根与系数的关系、属于中档题
18.【答案】解：（1）由??=
2
??????(??+
??
4
)得：ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴x2+y2-x-y=0，即(???
1
2
)
2
+(???
1
2
)
2
=
1
2
．（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t2-21t+20=0，∴
??
1
+
??
2
=
21
5
，
??
1
??
2
=4．∴|????|=|
??
1
?
??
2
|=
(
??
1
+
??
2
)
2
?4
??
1
??
2
=
41
5
．【解析】
（1）曲线的极坐标方程即ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ，再根据直角坐标与极坐标的互化公式求得C的直角坐标方程． （2）将直线参数方程代入圆C的方程，利用根与系数的关系和弦长公式求得直线l被曲线C所截得的弦长．本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程，弦长公式的应用，属于基础题．