2018-2019学年江西省赣州市十四县市高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

2018-2019学年江西省赣州市十四县市高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
与直线l：3x-4y+5=0平行且过点（-1，2）的直线方程为（　　）
A. 4???3??+10=0 B. 4???3???11=0 C. 3???4???11=0 D. 3???4??+11=0
若一组数据x1，x2，…，xn的方差为1，则2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的方差为（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
已知cos（
??
2
+??）=-
3
5
，且α∈（
??
2
，??），则tan（α-π）=（　　）
A. ?
3
4
B. ?
4
3
C.
3
4
D.
4
3
若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且a1=2a5-1，则S17=（　　）
A. ?17 B. ?
17
2
C.
17
2
D. 17
直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）
A.
30
°
B.
45
°
C.
60
°
D.
90
°

在等比数列{an}中，a1+a4+a7=2，a3+a6+a9=8，则{an}的前9项和S9=（　　）
A. 6 B. 14 C. 6或18 D. 6或14
半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（　　）
A.
3
3
??
??
3
B.
3
6
??
??
3
C.
3
24
??
??
3
D.
1
6
??
??
3
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　）
A. 28+6
5
B. 30+6
5
C. 56+12
5
D. 60+12
5
平面内与点A（2，3）距离为3，且与点B（-1，-1）距离为2的直线的条数为（　　）
A. 4 B. 3 C. 1 D. 1
已知两点M（-2，0），N（2，0），若直线y=k（x-3）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（　　）
A. [?2,2] B. [?
4
5
,
4
5
]C. [?
2
5
,0)∪(0,
2
5
] D. [?
2
5
5
,0)∪(0,
2
5
5
]
已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且满足
????
?
????
=0，
????
?
????
=0，
????
?
????
=0，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为（　　）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2
3
，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（　　）
A. [2
6
,6
6
]B. [2
6
,18]C. [3
6
,18]D. [3
6
,6
6
]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知|
??
|=1，|
??
|=2，
??
?（
??
-
??
）=0，则向量
??
与
??
的夹角为______
设变量x，y满足约束条件
??≥0
??≥0
4??+3??≤12
，则Z=
??+1
??+1
的取值范围是______．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，点M是BC1的中点，P是BB1上的一动点，则AP+MP的最小值为______．
已知△ABC为锐角三角形，角?A，B，C的对边分别是?a，b，c，其中?c=2，acosB+bcosA=
3
??
2????????
，则△ABC周长的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知函数f（x）=2sin（2x+
??
6
）-4cos2x+2，（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若x∈[
3??
4
，π]求函数f（x）的值域．
如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，????=????=
2
3
????=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P-BEFC的体积．

第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日-21日在巴西里约热内卢举行．如表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）．
第30届伦敦
第29届北京
第28届雅典
第27届悉尼
第26届亚特兰大
中国
38
51
32
28
16
俄罗斯
24
23
27
32
26
（1）根据表格中两组数据在答题卡上完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）如表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y（从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数）随时间x变化的数据：
时间x（届）
26
27
28
29
30
金牌数之和y（枚）
16
44
76
127
165
作出散点图如图1：由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程，并预测从第26届到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线
??
∧
=
??
∧
x+
??
∧
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
??
∧
=
??=1
??
(
??
??
?
??
)(
??
??
?
??
)
??=1
??
(
??
??
?
??
)
2
=
??=1
??
??
??
??
??
???
??
??
??=1
??
??
??
2
???
??
2
．
已知数列{an}满足：
1
??
1
+
1
??
2
+…+
1
??
??
=
??
2
2
（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=anan+1，Sn为数列{bn}的前n项和，对于任意的正整数n，Sn＞2λ-
1
3
恒成立，求实数λ的取值范围．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1；（2）设AB=2
2
??
??
1
，AC=BC，在线段A1B1上是否存在点M，使得BM⊥CB1？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．

如图，已知定圆C：x2+（y-3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当|????|=2
3
时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=
????
?
????
，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．

答案和解析
1.【答案】D【解析】
解：与直线l：3x-4y+5=0平行的直线的斜率为：．与直线l：3x-4y+5=0平行且过点（-1，2）的直线方程为：y-2=（x+1）．即：3x-4y+11=0．故选：D．求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．本题考查直线方程的求法，直线与直线的平行关系的应用，考查计算能力．
2.【答案】C【解析】
解：∵一组数据x1，x2，…，xn的方差为1， ∴2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的方差为：22×1=4． 故选：C．由D（aX+b）=a2（DX），能求出结果．本题考查方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3.【答案】A【解析】
解：∵cos（）=-，∴-sin，则sin，又α∈（），∴cosα=-．∴tan（α-π）=tanα=．故选：A．由已知求得sinα，进一步得到cosα，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式求tan（α-π）的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
4.【答案】D【解析】
解：数列{an}为等差数列中，a1=2a5-1，∴a1=2（a1+4d）-1∴a1+8d=1，∴a9=1，S17==17a9=17．故选：D．由已知结合等差数列通项公式可求a9，然后代入等差数列的求和公式S17==17a9，可求．本题主要考查了等差数列的通项公式，性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．
5.【答案】C【解析】
解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．
6.【答案】D【解析】
解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若a1+a4+a7=2，则a3+a6+a9=q2（a1+a4+a7）=8， 解可得：q2=4，即q=±2； 当q=2时，有a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=4， 此时S9=（a1+a4+a7）+（a3+a6+a9）+（a2+a5+a8）=14， 当q=-2时，有a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=-4， 此时S9=（a1+a4+a7）+（a3+a6+a9）+（a2+a5+a8）=6， 故S9=14或6； 故选：D．根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得a3+a6+a9=q2（a1+a4+a7）=8，解得q=±2，据此分2种情况讨论，求出S9的值，综合即可得答案．本题考查等比数列的前n项和的性质，关键是分析q的值，属于基础题．
7.【答案】C【解析】
解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选：C．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．本题考查旋转体，即圆锥的体积，考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识．
8.【答案】B【解析】
解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．
9.【答案】B【解析】
解：平面内与点A（2，3）距离为3，且与点B（-1，-1）距离为2的点的轨迹分别为圆：（x-2）2+（y-3）2=9，（x+1）2+（y+1）2=2．∵|AB|==5=3+2．∴上面两个圆外切，因此满足平面内与点A（2，3）距离为3，且与点B（-1，-1）距离为2的直线的条数为3条公切线．故选：B．利用两圆的位置关系及其公切线即可判断出结论．本题考查了两圆的位置关系及其公切线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】D【解析】
解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角，∴k≠0，如图所示，△MNP是直角三角形，有三种情况：当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；当N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，则≤2，解得-≤k≤，且k≠0．∴实数k的取值范围是[-，0）∪（0，]．故选：D．当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0．△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
11.【答案】C【解析】
解：∵=0，=0，=0，∴PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．∴16=PA2+PB2+PC2，则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA?PB，PA2+PC2≥2PA?PC，PB2+PC2≥2PB?PC，即16=PA2+PB2+PC2≥PA?PB+PB?PC+PA?PC则三棱锥P-ABC的侧面积S=（PA?PB+PB?PC+PA?PC）≤8，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为8，故选：C．由已知可知PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值．本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．
12.【答案】D【解析】
解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴ymin=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴ymax=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选：D．求出正方体的对角线长，根据x∈[1，5]，可得x=1或5时，三角形的周长最小；x=2或4时，三角形的周长最大，从而可得结论．本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形周长取最大、最小时的位置是关键．
13.【答案】
??
3
【解析】
解：∵||=1，||=2，?（-）=0，∴=||?||cos＜＞-=1×2×cos＜）-1=0，解得cos＜＞=，∴＜＞=．故答案为：．推导出=||?||cos＜＞-=1×2×cos＜）-1=0，从而cos＜＞=，由此能求出向量与的夹角．本题考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
14.【答案】[
1
4
，5]【解析】
解：其平面区域如下图：目标函数z=，可看成过阴影内的点（x，y）与点（-1，-1）的直线的斜率k，∵≤k≤=4，∴z∈．故答案为：作出平面区域，将目标函数Z=看成直线斜率的即可．本题考查了线性规划，同时考查了特定目标函数的几何意义，属于中档题．
15.【答案】
10
2
【解析】
解：根据题意可得：可以把平面BCC1B1展开，若AP+MP取最小值，则A，P，M三点共线，所以AP+MP的最小值为AM，因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，所以|AM|==，所以AP+MP的最小值为．故答案为：．根据题意可得：可以把平面BCC1B1展开，根据图象可得AP+MP取最小值，则A，P，M三点共线，所以AP+MP的最小值为AM，再结合题意求出答案即可．本题主要考查空间中点之间的距离，解决此题的关键是能够把空间问题转化为平面问题．
16.【答案】（4，6]【解析】
解：由acosB+bcosA=，得sinAcosB+sinBcosA=，即sin（A+B）=sinC=，因为角C是锐角，所以C=，所以A+B=，2R===，所以三角形周长l=a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC）=（sinA+sin（-A）+sin）=4sin（A+）+2，又因为?0＜A＜，所以：A+∈（，），所以：sin（A+）∈（，1]，所以：周长l=a+b+c=4sin（A+）+2∈（4，6]．故答案为：（4，6]．利用正弦定理求出C，求出三角形的外接圆的半径，然后利用两角和的正弦函数公式以及正弦定理求出a+b+c的取值范围．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法，考查了转化思想，属于基础题．
17.【答案】解：f（x）=2sin（2x+
??
6
）-4cos2x+2=2（sin2x?
3
2
+cos2x?
1
2
）-2cos2x=
3
sin2x-cos2x=2sin（2x-
??
6
）…（3分）（1）由2kπ+
??
2
≤2x-
??
6
≤2kπ+
3??
2
（k∈Z）得：kπ+
??
3
≤x≤kπ+
5??
6
（k∈Z），即函数f（x）的单调减区间为[kπ+
??
3
，kπ+
5??
6
]（k∈Z）…（5分）（2）x∈[
3??
4
，π]?2x-
??
6
∈[
4??
3
，
11??
6
]，-2≤2sin（2x-
??
6
）≤-1．所以，f（x）的值域为[-2，-1]…（12分）【解析】
利用三角恒等变换，化简可求得f（x）=2sin（2x-）；（1）利用正弦函数的单调性质，解不等式组2kπ+≤2x-≤2kπ+（k∈Z）即可求得函数f（x）的单调减区间；（2）由x∈[，π]可得：2x-∈[，]，利用正弦函数的单调性质，可求得其值域．本题考查正弦函数的单调性质，考查三角恒等变换的应用，求得f（x）=2sin（2x-）是关键，属于中档题．
18.【答案】解：（1）证明：∵????=????=
2
3
????=4，∴DE=
1
3
AD=
1
2
AB=2，∵F为CD边的中点，∴DE=DF，又DE⊥DF，∴∠DEF=45°，同理∠AEB=45°，∴∠BEF=45°，即EF⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，EF?平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF；（2）取BE的中点O，连接OP，∵PB=PE，∴PO⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，即PO为棱锥P-BEFC的高，PO=2
2

??
????????
=
??
????????
?
??
??????
?
??
??????
=6×4?
1
2
×4×4?
1
2
×2×2=14，则??=
1
3
?
??
????????
??=
1
3
×14×2
2
=
28
2
3
．【解析】
（1）利用折叠前的图形可判断BE⊥EF，由面面垂直的性质可得EF⊥平面PBE，再由线面垂直得面面垂直； （2）取BE的中点O，连接OP，可证PO为棱锥的高，求出棱锥的底面四边形BCFE的面积与高PO，代入公式计算．本题利用折叠问题考查了面面垂直的证明，考查了棱锥的体积计算，解答折叠性问题要利用好折叠前图形的性质与数量关系．
19.【答案】解：（1）根据表中数据，填写茎叶图如图所示；由图形可知，中国代表团获得的金牌数的平均数大于俄罗斯代表团的金牌平均数；且俄罗斯代表团获得的金牌数教集中，中国代表团获得的金牌数较分散；（2）计算
??
=28，
??
=85.6，
??=1
5
（xi-
??
）（yi-
??
）=381，
??=1
5
(
??
??
?
??
)
2
=10，∴
??
∧
=
??=1
??
(
??
??
?
??
)(
??
??
?
??
)
??=1
??
(
??
??
?
??
)
2
=
381
10
=38.1，
??
∧
=
??
-
??
∧
??
=85.6-38.1×28=-981.2，∴其回归直线为
??
∧
=38.1x-981.2；x=32时，
??
∧
=38.1×32-981.2=238，预测从第26届到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238．【解析】
（1）根据表中数据，填写茎叶图，利用茎叶图中数据得出统计结论；（2）计算平均数与回归系数，写出回归直线方程，利用方程计算x=32时的值．本题考查了茎叶图与线性回归方程的应用问题，是基础题．
20.【答案】解：（1）由题意得，当n=1时，
1
??
1
=
1
2
，则a1=2，当n≥2时，
1
??
1
+
1
??
2
+…+
1
??
??
=
??
2
2
，则
1
??
1
+
1
??
2
+…+
1
??
???1
=
(???1
)
2
2
，两式相减得，
1
??
??
=
??
2
2
?
(???1
)
2
2
=
2???1
2
，即an=
2
2???1
，当n=1时，也符合上式，则an=
2
2???1
；（2）由（1）得，bn=anan+1=
2
2???1
?
2
2(??+1)?1
=
4
(2???1)(2??+1)
=2（
1
2???1
?
1
2??+1
），所以Sn=2[（1-
1
3
）+（
1
3
?
1
5
）+（
1
5
?
1
7
）…+（
1
2???1
?
1
2??+1
）]=2（1-
1
2??+1
），则n越大，
1
2??+1
越小，Sn越大，即当n=1时，Sn最小为S1=
4
3
，因为对于任意的正整数n，Sn＞2λ-
1
3
恒成立，所以
4
3
＞2λ-
1
3
，解得??＜
5
6
，故实数λ的取值范围是（-∞，
5
6
）．【解析】
（1）由题意和数列前n项和与通项公式的关系式，求出，即可求出an；（2）把an代入bn=anan+1化简，利用裂项相消法求出Sn，根据数列的单调性求出Sn的最小值，由恒成立的条件列出不等式，求出实数λ的取值范围．本题是数列与函数、不等式结合的题目，考查数列前n项和与通项公式的关系式，裂项相消法求出数列的和，以及恒成立问题的转化，属于中档题．
21.【答案】（本小题满分12分）证明：（1）连结C1B，设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1．……（2分）∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．?……（5分）（2）在线段A1B1上存在点M且
??
1
??=
1
4
??
1
??
1
．使得BM⊥CB1．……（6分）证明如下：在线段A1B1上取点M且
??
1
??=
1
4
??
1
??
1
，连结BM．∵AA1⊥底面ABC，CD?底面ABC，∴AA1⊥CD．……（7分）由已知AC=BC，D为线段AB的中点，∴CD⊥AB．??又AA1∩AB=A，∴CD⊥平面AA1B1B．……（8分）∵BM?平面AA1B1B，∴CD⊥BM．……（9分）由已知????=2
2
??
??
1
得????=
2
??
??
1
，
??
1
??=
2
2
??
??
1
，在Rt△BB1M中，??????∠????
??
1
=
??
??
1
??
??
1
=
2
2
同理??????∠
??
1
????=
2
2
，∴∠
??
1
????+∠??
??
1
??=∠????
??
1
+∠??
??
1
??=
??
2
即B1D⊥BM．又CD∩B1D=D，∴BM⊥平面B1CD．又B1C?平面B1CD，∴BM⊥CB1．……（12分）【解析】
（1）连结C1B，设CB1与C1B的交点为E，连结DE，则DE∥AC1，由此能证明AC1∥平面CDB1．（2）在线段A1B1上取点M且，连结BM．推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，从而CD⊥平面AA1B1B．进而CD⊥BM．再求出B1D⊥BM．从而BM⊥平面B1CD，进而BM⊥CB1，由此得到在线段A1B1上存在点M且．使得BM⊥CB1．本题考查线面平行的证明，考查满足线线垂直的点是不存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）由已知
??
??
=?
1
3
，故kl=3，所以直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（3分）（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意；（4分）当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于|????|=2
3
，所以|CM|=1．由|????|=
|???+3|
??
2
+1
=1，解得??=
4
3
．故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．（8分）（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（-1，3），??(?1，?
5
3
)，又A（-1，0）则
????
=(0，3)，
????
=(0，?
5
3
)，故
????
?
????
=?5．即t=-5．（10分）当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2-6k）x+k2-6k+5=0．则
??
??
=
??
1
+
??
2
2
=
?
??
2
+3??
1+
??
2
，
??
??
=??(
??
??
+1)=
3
??
2
+??
1+
??
2
，即??(
?
??
2
+3??
1+
??
2
，
3
??
2
+??
1+
??
2
)，
????
=(
3??+1
1+
??
2
，
3
??
2
+??
1+
??
2
)．又由
??+3??+6=0
??=??(??+1)
得??(
?3???6
1+3??
，
?5??
1+3??
)，则
????
=(
?5
1+3??
，
?5??
1+3??
)．故t=
????
?
????
=
?15???5
(1+
??
2
)(1+3??)
+
?5??(3
??
2
+??)
(1+
??
2
)(1+3??)
=
?5(1+3??)(1+
??
2
)
(1+3??)(1+
??
2
)
=?5．综上，t的值为定值，且t=-5．（14分）另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|?|AN|=|AC|?|AR|．由|????|=
10
，|????|=
5
10
，得|AM|?|AN|=5．故??=
????
?
????
=?|
????
|?|
????
|=?5．（14分）另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得??=
????
?
????
=?|????|?|????|=?|????|?|????|=?5．（14分）【解析】
（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）过A（-1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，求解一般．（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．（3）涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二次方程，再充分利用“两根之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不求”．