2018-2019学年江西省赣州市十四县市高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

2018-2019学年江西省赣州市十四县市高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A.
1
??
<
1
??
B. ????<
??
2
C. ???????
2
D. ?
1
??
1
??
直线l：xsin30°-ycos30°+1=0的斜率是（　　）
A.
3
3
B.
3
C. ?
3
D. ?
3
3
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝15，则S7＝（）
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（　　）
A. 若??⊥??，??⊥??，??⊥??，则??⊥??B. 若??//??，??//??，则??//??C. 若??⊥??，??⊥??，??∩??=??，则??⊥??D. 若??//??，??//??，??∩??=??，则??//??
若直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（　　）
A.
10
4
B.
10
5
C.
7
10
10
D.
7
10
20
为了让大家更好地了解我市的天气变化情况，我市气象局公布了近年来我市每月的日平均最高气温与日平均最低气温，现绘成雷达图如图所示，下列叙述不正确的是（　　）
A. 各月的平均最高气温都不高于25度B. 七月的平均温差比一月的平均温度小C. 平均最高气温低于20度的月份有5个D. 六月、七月、八月、九月的平均温差都不高于10度
平行于直线x-2y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）
A. ???2??+5=0或???2???5=0 B. ??+2??+5=0或??+2???5=0C. ???2??+
5
=0或???2???
5
=0 D. 2??+??+5=0或2??+???5=0
已知圆C：（x+2）2+（y+2）2=10，若直线l：y=kx-2与圆交于P，Q两点，则弦长|PQ|的最小值是（　　）
A.
5
B. 4 C. 2
5
D. 2
6
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为（? ? ? ）?
A. 10000立方尺 B. 11000立方尺 C. 12000立方尺 D. 13000立方尺
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B上一动点，则AP+D1P的最小值为（　　）
A. 2B.
6
+
2
2
C. 2+
2
D.
2+
2

若将函数f（x）=2sinxcosx-2
3
sin2x+
3
向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，所得的函数图象关于原点对称，则角φ的终边可能过以下的哪个点（　　）
A. (?
3
,1) B. (1,
3
) C. (
3
,?1) D. (?1,
3
)
已知点A（-5，0），B（-1，-3），若圆C：x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是（　　）
A. (1,
5
) B. (1,5) C. (2,5) D. (2,
5
)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知向量
??
=（1，2），
??
=（2，-2），
??
=（1，λ）．若
??
∥（2
??
+
??
），则λ=______．
（文科）已知α∈（
??
2
，π），sinα=
3
5
，则tan(??+
??
4
)=______．
在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=3，BC=4，PA=5，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______．
圆
??
1
：
??
2
+
??
2
+4????+4
??
2
?4=0和圆
??
2
：
??
2
+
??
2
?2????+
??
2
?1=0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则
1
??
2
+
1
??
2
的最小值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设
??
??
=
1
??
??
??
??+1
，??∈
??
?
，求数列{bn}的前n项和Sn．
柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
x
4
5
7
8
y
2
3
5
6
（1）请画出上表数据的散点图（画在答题卡所给的坐标系内）；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
??
=
??
??+
??
；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．参考公式：
??
=
??=1
??
??
??
??
??
???
??
??
??=1
??
??
??
2
???
??
2
，
??
=
??
?
??
??
，其中
??
，
??
为数据x，y的平均数．
如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=
??
3
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值．

已知函数??(??)=2????
??
2
???2????
??
2
(???
??
6
)，??∈??．（1）求函数y=f（x）的对称中心；（2）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且??(
??
2
+
??
6
)=
??+??
2??
，△??????的外接圆半径为
3
，求△ABC周长的最大值．
如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，点M为线段AB的中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求点B到平面CDM的距离．
已知圆M与圆N：（x-
5
3
）2+（y+
5
3
）2=r2关于直线y=x对称，且点D（-
1
3
，
5
3
）在圆M上（1）判断圆M与圆N的位置关系（2）设P为圆M上任意一点，A（-1，
5
3
）．B（1，
5
3
），
????
与
????
不共线，PG为∠APB的平分线，且交AB于G，求证△PBG与△APG的面积之比为定值．
答案和解析
1.【答案】D【解析】
解：由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，可得?=-1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得-ab=-2，-a2=-4，∴-ab＞-a2，故C不正确．故选：D．由于a＜b＜0，不妨令a=-2，b=-1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．
2.【答案】A【解析】
解：直线l：xsin30°-ycos30°+1=0的斜率k=-=tan30°=．故选：A．直线l：xsin30°-ycos30°+1=0的斜率k=-，即可得出．本题考查了直线的斜率、三角函数计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C【解析】
解：根据题意，设等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，若6a3+2a4-3a2=15，即6（a1+2d）+2（a1+3d）-3（a1+d）=5a1+15d=15，变形可得：a1+3d=3，即a4=3，则S7==7a4=21，故选：C．根据题意，设等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，由等差数列的通项公式可得6（a1+2d）+2（a1+3d）-3（a1+d）=5a1+15d=15，进而可得a1+3d=3，即a4=3，结合等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和以及通项公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】B【解析】
解：对于A，若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b是正确的， 因为两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的； 对于B，若α∥β，a∥α，则a∥β是错误的， 因为a也可能在β内； 对于C，若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α是正确的， 因为由面面垂直与线面垂直的性质与判定，即可得出a⊥α； 对于D，若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥b是正确的， 因为线面平行的性质定理转化为线线平行，得出a∥b． 故选：B．根据空间中的线线、线面与面面之间的位置共线，对选项中的命题判断正误即可．本题利用命题真假的判断，考查了空间中的平行与垂直的应用问题，是中档题．
5.【答案】D【解析】
解：直线3x+y-3=0与直线6x+my+1=0平行，所以m=2，则直线6x+2y-6=0与直线6x+2y+1=0之间的距离为：=．故选：D．通过直线平行求出m，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．本题考查平行线之间的距离的求法，基本知识的考查．
6.【答案】C【解析】
解；通过题目的统计图，可以知道平均最高气温低于20度的月份有 一月，二月，十一月，十二月共计四个，所以答案C说是5个，是错误的． 故选：C．本题主要考查用样本估计总体，通过识图，可以知道平均最高气温低于20度的月份有一月，二月，十一月，十二月共计四个．本题主要考查用样本估计总体，属于中档题型．
7.【答案】A【解析】
解：设平行于直线x-2y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是x-2y+a=0，则圆心O（0，0）到直线x-2y+a=0的距离d==，解得a=±5，∴平行于直线x-2y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是x-2y+5=0或x-2y-5=0．故选：A．设平行于直线x-2y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是x-2y+a=0，则圆心O（0，0）到直线x-2y+a=0的距离d==，由此能求出结果．本题考查满足条件的直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与圆相切的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D【解析】
解：根据题意，圆C：（x+2）2+（y+2）2=10，其圆心C（-2，-2），半径r=，直线l：y=kx-2，过定点（0，-2），设M（0，-2），若直线l：y=kx-2与圆交于P，Q两点，当MC与PQ垂直时，弦长|PQ|最小，此时PQ的方程为x=0，对于（x+2）2+（y+2）2=10，令x=0可得：y1=-2+，y2=-2-；此时|PQ|=|y1-y2|=2；故选：D．根据题意，求出圆C的圆心与半径，由直线的方程分析可得直线l过定点（0，-2），设M（0，-2），据此分析可得当MC与PQ垂直时，弦长|PQ|最小，计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长|PQ|取得最小值的条件，属于基础题．
9.【答案】A【解析】
【分析】由题意，将楔体分割为一个三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积.本题考查几何体体积的计算，正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是关键．【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选：A．?
10.【答案】D【解析】
解：把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1，则在△AA1D中，AD1==为所求的最小值．故选：D．把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1并求出，根据平面内两点之间线段最短，可知就是最小值．本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查考查棱柱的结构特征，考查平面内两点之间线段，最短考查计算能力，空间想象能力，是基础题．
11.【答案】A【解析】
解：把函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+=sin2x+cos2x=2sin（2x+） 向右平移φ（0＜φ＜π）个单位，可得函数y=2sin（2x-2φ+）的图象，根据所得的函数图象关于原点对称，则-2φ+=kπ，即φ=-+，k∈Z．令k=0，可得φ=，或令k=-1，φ=，即φ=或φ=．∴当φ=时，tanφ=tan=，角φ的终边可能过（，1）．当φ=时，tanφ=tan=-tan=-，角φ的终边可能过（-，1），故选：A．利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的值，可得结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．
12.【答案】B【解析】
解：根据题意，点A（-5，0），B（-1，-3），则|AB|==5，直线AB的方程为y-0=（x+5），即3x+4y+15=0，圆C：x2+y2=r2（r＞0），其圆心C（0，0），圆心到直线AB的距离d==3，若△MAB和△NAB的面积均为5，则M、N到直线AB的距离为2，若圆C：x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则有，解可得：1＜r＜5，则r的取值范围为（1，5）；故选：B．根据题意，由A、B的坐标求出直线AB的方程以及|AB|=5，又由△MAB和△NAB的面积可得两点M，N到直线AB的距离为2，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式的应用，属于综合题．
13.【答案】
1
2
【解析】
解：∵向量=（1，2），=（2，-2），∴=（4，2），∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案为：．利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】
1
7
【解析】
解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=-，∴tanα=-．∴tan==，故答案为：．利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．本题考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，求出tanα=-，是解题的关键．
15.【答案】50π【解析】
解：∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=3，BC=4，PA=5，∴以AB，BC，PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，∴三棱锥P-ABC的外接球的半径R==，∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为：S=4πR2=4π×（）2=50π．故答案为：50π．以AB，BC，PA为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，由此能求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
16.【答案】9【解析】
解：圆的圆心为C1（-2a，0），半径r1=2．圆的圆心为C2（0，b），半径r2=2．∵圆C1与圆C2相内切，∴|C1C2|=|r2-r1|=1，即=1，化简得4a2+b2=1．因此，=（4a2+b2）（）=5+（），∵≥=4，∴≥5+4=9，可得：当且仅当时，即a2=且b2=时，的最小值等于9故答案为：9由题意，圆C1与圆C2的圆心距等于它们半径差的绝对值，求出两圆的圆心C1、C2的坐标和它们的半径，利用两点间的距离公式化简等式|C1C2|=1，得4a2+b2=1．再利用基本不等式加以计算，可得当a2=、b2=时，的最小值等于9．本题给出含有参数a、b的两圆相内切，求的最小值．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
17.【答案】解：（1）设数列{an}的公差为d，则
??
??
=2+(???1)??，??∈
??
?
．由a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，得(
??
2
+1
)
2
=(
??
1
+1)(
??
4
+1)即（3+d）2=3（3+3d），得d=0（舍去）或d=3．所以数列{an}的通项公式为
??
??
=3???1，??∈
??
?
．（2．因为
??
??
=
1
??
??
??
??+1
=
1
(3???1)(3??+2)
=
1
3
[
1
3???1
?
1
3??+2
]．所以
??
??
=
1
3
[
1
2
?
1
5
]+
1
3
[
1
5
?
1
8
]+…+
1
3
[
1
3???1
?
1
3??+2
]=
1
3
[
1
2
?
1
3??+2
]=
??
2(3??+2)
．【解析】
（1）首先利用已知条件建立等量关系式，求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.【答案】解：（1）散点图如图所示：…………………（2分）（2）
??=1
4
??
??
??
??
=4×2+5×3+7×5+8×6=106，…………………………………………（4分）
??
=
4+5+7+8
4
=6，
??
=
2+3+5+6
4
=4，…………………………………………（5分）
??=1
4
??
??
2
=
4
2
+
5
2
+
7
2
+
8
2
=154，………………………………………………………（6分）
??
=
106?4×6×4
154?4×
6
2
=1，…………（7分），
??
=
??
?
??
??
=4?6=?2，…………………（8分）故线性回归方程为
??
=???2．………………………………………………………………（9分）（3）由（2），当x=9时，
??
=7，即预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7．……………（12分）【解析】
（1），结合数据画出散点图即可； （2）求出回归系数，从而求出回归方程即可； （3）代入x的值，求出函数值即可．本题考查了散点图，考查回归方程以及函数求值问题，是一道基础题．
19.【答案】（1）证明：取OB中点E，连结ME，NE，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD，又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD，∴MN∥平面OCD．（2）∵AB∥CD，∴AB与直线MD所成的角为CD与MD所成的角∠MDC，∵AD=AB=BC=1，∠ABC=
??
3
，∴AC=1，∵M为OA的中点，∴AM=1，∵OA⊥AD∴MD=MC=
2
，cos∠MDC=
1+2?2
2×1×
2
=
2
4
，∴异面直线AB与MD所成角的余弦值为
2
4
．【解析】
（1）取OB中点E，连结ME，NE，由已知条件推导出平面MNE∥平面OCD，由此能证明MN∥平面OCD． （2）由AB∥CD，得AB与直线MD所成的角为∠MDC，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与MD所成角的余弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20.【答案】解：由??(??)=1???????2???[1???????2(???
??
6
)]=??????(2???
??
3
)???????2??=
1
2
??????2??+
3
2
??????2?????????2??=
3
2
??????2???
1
2
??????2??=??????(2???
??
6
)．（1）令2x-
??
6
=????（k∈Z），得x=
????
2
+
??
12
（k∈Z）．∴函数y=f（x）的对称中心为（
????
2
+
??
12
，0），k∈Z；（2）由f（
??
2
+
??
6
）=
??+??
2??
，得sin（B+
??
6
）=
??+??
2??
，可得
3
2
????????+
1
2
????????=
??+??
2??
，则
3
????????????????+????????????????=????????+?????????
3
????????????????=????????+????????????????．又∵sinB≠0，∴
3
?????????????????=1，即sin（A-
??
6
）=
1
2
．由0＜A＜π，得?
??
6
＜A-
??
6
＜
5??
6
，∴A-
??
6
=
??
6
，即A=
??
3
．又△ABC的外接圆的半径为
3
，∴a=2
3
sinA=3．由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc≥(??+??
)
2
?
3
4
(??+??
)
2
=
(??+??
)
2
4
，即b+c≤6，当且仅当b=c时取等号，∴周长的最大值为9．【解析】
利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）求出函数的零点，可得函数y=f（x）的对称中心；（2）由f（）=，得sin（B+）=，化边为角，可得A，进一步求得a，然后利用余弦定理结合基本不等式可得△ABC周长的最大值．本题考查三角函数的图象和性质，考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．
21.【答案】（I）证明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2
2
，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．取AC的中点N，连接DN，MN，BN，∵AD=CD，∴DN⊥AC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DN?平面ACD，∴DN⊥平面ABC，∵BN=
??
??
2
+??
??
2
=
10
，DN=
1
2
AC=
2
，∴BD=
??
??
2
+??
??
2
=2
3
，∵CD=2，BC=2
2
，∴CD2+BC2=BD2，∴BC⊥CD，又BC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD．（II）解：∵AC⊥BC，M是AB的中点，∴CM=AM=
1
2
AB=2，又MN=
1
2
BC=
2
，∴DM=
??
??
2
+??
??
2
=2，∴△CDM是等比三角形，∴S△CDM=
3
4
×4=
3
．设B到平面CDM的距离为h，则VB-CDM=
1
3
S△CDM?h=
3
?
3
．又VB-CDM=VD-BCM=
1
3
??
△??????
?????=
1
3
×
1
2
×2×2×
2
=
2
2
3
．∴h=
2
6
3
．即B到平面CDM的距离为
2
6
3
．【解析】
（I）利用勾股定理的逆定理证明BC⊥AC，BC⊥CD，于是BC⊥平面ACD； （II）根据VB-CDM=VD-BCM列方程求出B到平面CDM的距离．本题考查了线面垂直，空间距离的计算，属于中档题．
22.【答案】解：（1）由于点N（
5
3
，-
5
3
）关于直线y=x对称点M（-
5
3
，
5
3
），故圆M的方程为：（x+
5
3
）2+（y-
5
3
）2=r2．把点D（-
1
3
，
5
3
）在圆M上，可得r2=
16
9
，故圆M的方程为：（x+
5
3
）2+（y-
5
3
）2=
16
9
．可得圆N：（x-
5
3
）2+（y+
5
3
）2=
16
9
，N（
5
3
，-
5
3
），根据|MN|=
(?
5
3
?
5
3
)
2
+(
5
3
+
5
3
)
2
=
10
2
3
＞
8
3
，故两圆相离．（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，∴
??
△??????
??
△??????
=
1
2
?????????????????∠??????
1
2
?????????????????∠??????
=
????
????
．设点P（x，y），则（x+
5
3
）2+（y-
5
3
）2=
16
9
．PA2=（x+1）2+（y-
5
3
）2 =（x+1）2+
16
9
-（x+
5
3
）2=
?4
3
x；PB2=（x-1）2+（y-
5
3
）2 =（x-1）2+
16
9
-（x+
5
3
）2=-
16
3
x；∴
??
??
2
??
??
2
=4，∴
????
????
=2，即
??
△??????
??
△??????
=2．【解析】
（1）先求得点N关于直线y=x对称点M的坐标，可得圆M的方程，再根据圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆相离．（2）设∠PAB=2α，则∠APG=∠BPG=α，可得==．设点P（x，y），求得PA2和?PB2的值，可得的值，即为△PBG与△APG的面积之比．本题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．