上海市北中学2018学年度第一学期期末考试高二数学试卷（有答案）
文档属性
| 名称 | 上海市北中学2018学年度第一学期期末考试高二数学试卷（有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 796.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-21 12:34:54 | ||
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文档简介
市北中学2018学年度第一学期期末考试高二数学试卷
（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）
填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）
1、计算 / 。（为虚数单位）
2、已知向量与，则在方向上的投影为_______。
3、过点,且以为法向量的直线的点法向式方程为_______。
4、直线被圆所截得的弦长等于，则_______________。
5、已知直线和平行，则=___________。
6、椭圆上一点到两焦点的距离之积为，则最大时点的坐标为 。
7、以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_______________。
8、如图1，设线段的长度为1，端点在边长为2的正方形的四边上滑动．当沿着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若围成的面积为，则 。
9、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线：与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是________。
10、如图/2，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为 。
选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案）
11、直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
12、已知/，且/为虚数单位，则/的最大值是 （ ）
A、 B、 /C、 D、
13、曲线关于直线的对称曲线的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
14、已知点是直线上不同的三个点，点不在直线上，则关于的方程的解集为（ ）
B. C. D.
解答题（共5小题，满分54分，请将解答完成在答题卡方框内，解答要有详细的论证过程与运算步骤）
15、 （本小题满分10分）
在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，/记的轨迹为．又直线的一个方向向量且过点，若直线与交于两点，求的长．
（本小题满分10分）
已知/是复数，/均为实数（/为虚数单位），
（1）求复数/; (2) 求一个以/为根的实系数一元二次方程.
17、（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足，求t的值。
18、(本题满分12分)
已知等轴双曲线/的两个焦点/、/在直线/上，线段/的中点是坐标原点，且双曲线经过点/．
(1)、若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线/的方程：①/；
②/；③/．请推理判断哪个是等轴双曲线/的方程，并求出此双曲线的实轴长；
、现要在等轴双曲线/上选一处/建一座码头，向/、/两地转运货物．经测算，从/到/、从/到/修建公路的费用都是每单位长度/万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
19、(本题满分12分)
已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点.证明：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
市北中学2018学年度第一学期期末考试高二数学试卷参考答案
填空题
1、 2、 3、 4、 5、3 6、
7、 8、 9、②③ 10、
二、选择题
11、A 12、 B 13、 D 14、A
三、解答题
15、（本小题满分10分）
解 由抛物线的定义知，动点的轨迹是抛物线，方程． …4分
直线的方程为，即． …6分
设、，代入，整理，得．
所以． … 10分[来源:Zxxk.Com][
16、（本题满分10分）
解：(1)、设/，
/，由题意得 /. …2分
由题意得 /. ∴ /. …5分
(2)、若实系数一元二次方程有虚根/，则必有共轭虚根/ . …7分
/， …9分
/所求的一个一元二次方程可以是/. …10分
(本题满分10分)
/
/
(本题满分12分)
解：(1)、双曲线/的焦点在/轴上，所以①不是双曲线/的方程 ……1分
双曲线/不经过点/，所以②不是双曲线/的方程 …… 2分
所以③/是等轴双曲线/的方程 …… 3分
等轴双曲线/的焦点/、/在直线/上，所以双曲线的顶点也在直线/上，
联立方程/，解得双曲线/的两顶点坐标为/，/，所以双曲线/的实轴长为/ …… 6分
(2)、所求问题即为：在双曲线/求一点/，使/最小．
首先，点/应该选择在等轴双曲线的/中第一象限的那一支上 …… 7分
等轴双曲线的/的长轴长为/，所以其焦距为/
又因为双曲线的两个焦点/、/在直线/上，线段/的中点是原点，所以/是/的一个焦点， …… 8分
设双曲线的另一个焦点为/，由双曲线的定义知：/
所以/，要求/的最小值，只需求/的最小值，直线/的方程为/，所以直线/与双曲线/在第一象限的交点为/ …… 10分
所以码头应在建点//处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 12分
(本题满分12分：)
/
/
（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）
填空题（每小题3分，满分30分，请将正确答案直接填写在相应空格上）
1、计算 / 。（为虚数单位）
2、已知向量与，则在方向上的投影为_______。
3、过点,且以为法向量的直线的点法向式方程为_______。
4、直线被圆所截得的弦长等于，则_______________。
5、已知直线和平行，则=___________。
6、椭圆上一点到两焦点的距离之积为，则最大时点的坐标为 。
7、以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为_______________。
8、如图1，设线段的长度为1，端点在边长为2的正方形的四边上滑动．当沿着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若围成的面积为，则 。
9、下列四个命题：①直线的斜率，则直线的倾斜角；②直线：与以、两点为端点的线段相交，则或；③如果实数满足方程，那么的最大值为；④直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是.其中正确命题的序号是________。
10、如图/2，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为 。
选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案）
11、直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
12、已知/，且/为虚数单位，则/的最大值是 （ ）
A、 B、 /C、 D、
13、曲线关于直线的对称曲线的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
14、已知点是直线上不同的三个点，点不在直线上，则关于的方程的解集为（ ）
B. C. D.
解答题（共5小题，满分54分，请将解答完成在答题卡方框内，解答要有详细的论证过程与运算步骤）
15、 （本小题满分10分）
在直角坐标系中，设动点到定点的距离与到定直线的距离相等，/记的轨迹为．又直线的一个方向向量且过点，若直线与交于两点，求的长．
（本小题满分10分）
已知/是复数，/均为实数（/为虚数单位），
（1）求复数/; (2) 求一个以/为根的实系数一元二次方程.
17、（本题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足，求t的值。
18、(本题满分12分)
已知等轴双曲线/的两个焦点/、/在直线/上，线段/的中点是坐标原点，且双曲线经过点/．
(1)、若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线/的方程：①/；
②/；③/．请推理判断哪个是等轴双曲线/的方程，并求出此双曲线的实轴长；
、现要在等轴双曲线/上选一处/建一座码头，向/、/两地转运货物．经测算，从/到/、从/到/修建公路的费用都是每单位长度/万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
19、(本题满分12分)
已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点.证明：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
市北中学2018学年度第一学期期末考试高二数学试卷参考答案
填空题
1、 2、 3、 4、 5、3 6、
7、 8、 9、②③ 10、
二、选择题
11、A 12、 B 13、 D 14、A
三、解答题
15、（本小题满分10分）
解 由抛物线的定义知，动点的轨迹是抛物线，方程． …4分
直线的方程为，即． …6分
设、，代入，整理，得．
所以． … 10分[来源:Zxxk.Com][
16、（本题满分10分）
解：(1)、设/，
/，由题意得 /. …2分
由题意得 /. ∴ /. …5分
(2)、若实系数一元二次方程有虚根/，则必有共轭虚根/ . …7分
/， …9分
/所求的一个一元二次方程可以是/. …10分
(本题满分10分)
/
/
(本题满分12分)
解：(1)、双曲线/的焦点在/轴上，所以①不是双曲线/的方程 ……1分
双曲线/不经过点/，所以②不是双曲线/的方程 …… 2分
所以③/是等轴双曲线/的方程 …… 3分
等轴双曲线/的焦点/、/在直线/上，所以双曲线的顶点也在直线/上，
联立方程/，解得双曲线/的两顶点坐标为/，/，所以双曲线/的实轴长为/ …… 6分
(2)、所求问题即为：在双曲线/求一点/，使/最小．
首先，点/应该选择在等轴双曲线的/中第一象限的那一支上 …… 7分
等轴双曲线的/的长轴长为/，所以其焦距为/
又因为双曲线的两个焦点/、/在直线/上，线段/的中点是原点，所以/是/的一个焦点， …… 8分
设双曲线的另一个焦点为/，由双曲线的定义知：/
所以/，要求/的最小值，只需求/的最小值，直线/的方程为/，所以直线/与双曲线/在第一象限的交点为/ …… 10分
所以码头应在建点//处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 12分
(本题满分12分：)
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