江苏省镇江市2019届高三上学期期末考试数学试题（小题解析版）

江苏省镇江市2018~2019学年第一学期期末试卷
高三数学
2019．1

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{﹣1，0，2，3}，则AB＝ ．
答案：{0，2}
考点：集合的运算。
解析：取集合A，B的公共部分，得：AB＝{0，2}
2．函数的定义域为 ．
答案：（－∞，2］
考点：函数的定义域，对数函数。
解析：由，得：，解得：
3．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是 ．
答案：
考点：古典概型。
解析：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数共有：＝10种，
和为6的有：15、24两种，故所求概率为：P＝
4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为 ．
答案：8
考点：算法初步。
解析：第1步：T＝3，i＝4；第2步：T＝7，i＝6；
第3步：T＝13，i＝8，退出循环，此时，i＝8
5．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为
．
答案：
考点：圆锥的侧面积与体积的计算。
解析：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
因为底面积为π，所以，R＝1，又侧面积为2π，
所以，，解得：l＝2，
所以，圆锥的高为h＝，体积为：V＝
6．抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 ．
答案：
考点：抛物线与双曲线的性质，点到直线的距离公式。
解析：抛物线的焦点为：F（2,0），
双曲线的一条渐近线为：，
距离为d＝＝
7．设是等比数列的前n项的和，若，则＝ ．
答案：
考点：等比数列的通项公式，前n项和公式。
解析：由得，
＝
8．已知函数，则满足的实数x的取值范围是 ．
答案：（2，3）
考点：函数的奇偶性、增减性，一元二次不等式。
解析：，所以，函数是奇函数，
又函数是减函数，
化为，
所以，，解得：。
9．若，(，)，则＝ ．
答案：
考点：换元法，倍角公式，三角函数的诱导公式。
解析：令，则，，
由得，，即，
解得：，所以，＝＝
10．已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则的值为 ．
答案：
考点：平面向量的三角形法则，平面向量的数量积。
解析：＝＝＝
＝＝＝
＝＝

11．已知等差数列的公差为d（d≠0），前n项和为，且数列也是公差为d的等差数列，则d＝ ．
答案：
考点：等差数列的通项公式，前n项和公式。
解析：数列也是公差为d的等差数列，设＝dn＋m
所以，＝＝
即：＝dn＋m，两边平方，得：
，则
，因为d≠0，解得：d＝
12．已知x＞0，y＞0，，则的最小值为 ．
答案：3
考点：基本不等式。
解析：因为＝＝9，
又x＞0，y＞0，所以，≥3
13．已知圆O：，圆M：．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为 ．
答案：［－2，2］
考点：圆的标准方程，两点之间距离公式。
解析：如下图，因为PA⊥PB，所以，PAOB为矩形，又OA＝OB，所以，PAOB为正方形，
OP＝，圆M的半径为，根据三角形两边之和大于第三边，得
｜OM｜≤2，即，解得：

14．设函数(a，b，cR，a≠0)．若不等式对一切xR恒成立，则的取值范围为 ．
答案：［－，＋∞）
考点：函数的导数，二次函数，综合应用数学知识的能力。
解析：因为，又，
所以，　（1）对一切xR恒成立，
由于三次函数在R上的值域为R，所以，有，又，所以，，
（1）式化为：在R上恒成立，
所以，，即，
＝

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若＝2，△ABC的面积为，求边b．






16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N．
（1）求证：BC⊥平面VCD；
（2）求证：AD∥MN．





17．（本小题满分14分）
某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．
（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；
（2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a（单位：元千米，a为常数）．记∠BDE＝，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．









18．（本小题满分16分）
已知椭圆C：的长轴长为4，两准线间距离为．设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△AEF的面积为，求直线l的方程；
（3）已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．




19．（本小题满分16分）
设数列是各项均为正数的等比数列，，．数列满足：对任意的正整数n，都有．
（1）分别求数列与的通项公式；
（2）若不等式对一切正整数n都成立，求实数的取值范围；
（3）已知k，对于数列，若在与之间插入个2，得到一个新数列．
设数列的前m项的和为，试问：是否存在正整数m，使得＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．




20．（本小题满分16分）
己知函数(a，bR)．
（1）若a＝l，b＝l，求函数的图像在x＝1处的切线方程；
（2）若a＝l，求函数的单调区间；
（3）若b＝l，己知函数在其定义域内有两个不同的零点，，且．不等式恒成立，求实数m的取值范围．
































参考答案


16、（1）ABCD是矩形，所以，BC⊥CD，
VD⊥平面ABCD，所以，VD⊥BC，
又VD交CD于D
所以，BC⊥平面VCD
（2）AD∥BC，得AD∥平面VBC，
平面ADMN交平面VBC于MN
所以，AD∥MN

17、