2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二（上）期中数学试卷（解析版）

2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
数列1，-4，9，-16，25…的一个通项公式为（　　）
A.
??
??
=
??
2
B.
??
??
=(?1
)
??
??
2
C.
??
??
=(?1
)
??+1
??
2
D.
??
??
=(?1
)
??
(??+1
)
2
在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7=a8+5，则S11的值是（　　）
A. 55 B. 11 C. 50 D. 60
在正项等比数列{an}中，若a1，
1
2
??
3
，2a2成等差数列，则
??
5
??
3
=（　　）
A. 1+
2
B. 1?
2
C. 3+2
2
D. 3?2
2
若
1
??
＜
1
??
＜0，则下列不等式不成立的是（　　）
A.
1
?????
>
1
??
B. ??|??| D.
??
2
>
??
2
已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=1，b=
3
，则“A=30°“是“B=60°”的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
已知△ABC中，a=2，b=2
7
，B=60°，则△ABC的面积是（　　）
A. 3 B. 3
3
C. 6 D. 6
3
若a＞0，b＞0，2a+b=6，则
2??+??
????
的最小值为（　　）
A.
2
3
B.
4
3
C.
5
3
D.
8
3
设等差数列{an}满足3a8=5a15,且a1>0,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为( )
A.
??
23
B.
??
24
C.
??
25
D.
??
26
设x，y满足约束条件
??≥0
??≥??
4??+3??≤12
，则
??+2??+3
??+1
的取值范围是（　　）
A. [1,5] B. [2,6] C. [2,10] D. [3,11]
在△ABC中，若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC一定是（　　）
A. 锐角三角形 B. 正三角形C. 等腰直角三角形 D. 非等腰三角形
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足
????????
????????
=
1?????????
????????
．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（　　）
A.
8+5
3
4
B.
4+5
3
4
C. 3 D.
4+5
3
2
已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则
2
??
??
+16
??
??
+3
的最小值为（　　）
A. 4 B. 3 C. 2
3
?2 D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
若关于x的不等式ax2+2ax+2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围为______．
当0＜x＜4时，y=2x?（8-2x）的最大值为______．
在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为
3
，则
??+??
????????+????????
=______．
设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，2an+1=SnSn+1，则Sn=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b的值；（2）解不等式
??
2
?1
???????
＞0．
已知数列{an}满足a1=4，an+1=2an．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）设等差数列{bn}满足b7=a3，b15=a4，求数列{bn}的前n项和Tn．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bcosC+
3
bsinC=a+c．（1）求∠B的大小；（2）若b=
3
，求a+c的取值范围．
设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{
??
??
2??+1
}的前n项和．
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
??
3??+5
（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
已知数列{an}是首项为a1=
1
4
，公比q=
1
2
的等比数列，设bn=-2log2an-2，（n∈N*），数列{cn}满足cn=an?bn．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，不等式Tn≥
1
2
λ+2Sn-1恒成立，求λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：经观察分析数列的一个通项公式为：=（-1）nn2，故选：B．观察分析可得通项公式．本题考查数列的通项公式的写法，属于基础题．
2.【答案】A【解析】
解：由等差数列{an}的性质可得：a6=2a7-a8=5，则S11==11a6=55．故选：A．利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】C【解析】
解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1，，2a2成等差数列，∴=a1+2a2，∴=a1+2a1q，可得：q2-2q-1=0，解得q=，取q=1+，则=q2=3+2．故选：C．设正项等比数列{an}的公比为q＞0，由a1，，2a2成等差数列，可得=a1+2a2，化为q2-2q-1=0，解得q，即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】A【解析】
解：令a=-2，b=-1， 则A错误，B，C，D正确， 故选：A．取特殊值代入选项检验即可．本题考查了不等式的性质，特殊值方法的应用，是一道基础题．
5.【答案】C【解析】
解：∵a=1，b=，∠A=30°，∴由正弦定理得=，则sinB==，∵b＞a，∴B＞A，则B=60°或120°，故A=30°“是“B=60°”的充分不必要条件，故选：C．根据正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查正弦定理的应用，是一道基础题．
6.【答案】B【解析】
解：设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB，即28=c2+4-2×2×c×cos60°，c2-2c-24=0，又c＞0，∴c=6．S△ABC=AB?BCsinB=×=．故选：B．通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】B【解析】
解：=+=（2a+b）（+）=（2+2++）≥（4+2）=，故选：B．先变形为：=+=（2a+b）（+）=（2+2++），再用基本不等式．本题考查了基本不等式及其应用．属基础题，
8.【答案】C【解析】
解：设等差数列{an}的公差为d，∵3a8=5a15，∴3（a1+7d）=5（a1+14d），化为2a1+49d=0，∵，∴d＜0，∴等差数列{an}单调递减，Sn=na1+d=+d=（n-25）2-d．∴当n=25时，数列{Sn}取得最大值，故选：C．设等差数列{an}的公差为d，由3a8=5a15，利用通项公式化为2a1+49d=0，由，可得d＜0，Sn=na1+d=（n-25）2-d．利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】D【解析】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（0，4），B（3，0）==1+2×，设k=，则k=的几何意义为平面区域内的点到定点D（-1，-1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则BD的斜率k=1，AD的斜率为k=，即1≤k≤5，则2≤2k≤10，3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：D．==1+2×，设k=，利用z的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义结合分式的性质，利用数形结合是解决本题的关键．
10.【答案】B【解析】
解：在△ABC中，∵2a=b+c，sin2A=sinBsinC，∴由正弦定理可得 2a=b+c，且a2=bc．再由余弦定理可得，cosA====，∴A=．再根据（b-c）2=（b+c）2-4bc=4a2-4a2=0，可得b=c，故△ABC一定是等边三角形，故选：B．由条件利用正弦定理可得 2a=b+c，且a2=bc．再由余弦定理求cosA=，A=，再根据（b-c）2=（b+c）2-4bc=4a2-4a2=0，可得b=c，从而得到△ABC一定是等边三角形．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】A【解析】
解：∵△ABC中，=，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC为等边三角形；∴SOACB=S△AOB+S△ABC=|OA|?|OB|sinθ+×|AB|2×=×2×1×sinθ+（|OA|2+|OB|2-2|OA|?|OB|cosθ）=sinθ+（4+1-2×2×1×cosθ）=sinθ-cosθ+=2sin（θ-）+，∵0＜θ＜π，∴-＜θ-＜，∴当θ-=，即θ=时，sin（θ-）取得最大值1，∴平面四边形OACB面积的最大值为2+=．故选：A．依题意，可求得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得SOACB=2sin（θ-）+（0＜θ＜π），从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得SOACB=2sin（θ-）+是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于难题．
12.【答案】A【解析】
解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．∴===n+1+-2≥2-2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故选：A．a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．
13.【答案】[0，8）【解析】
解：①若a=0，则原不等式等价为2＞0，此时不等式恒成立，所以a=0．②若a≠0，则要使不等式ax2+2ax+2＞0恒成立，则有，解得 0＜a＜8．综上满足不等式ax2+2ax+2＞0在R上恒成立的实数a的取值范围0≤a＜8．故答案为：[0，8）．先对a进行讨论，当a=0时，不等式为2＞0，恒成立．当a≠0时，利用不等式恒成立的条件进行转化，然后求解．本题主要考查了不等式恒成立问题．对于在R上一元二次不等式恒成立的问题，要转化为抛物线开口方向和判别式来判断．
14.【答案】16【解析】
解：∵y=2x?（8-2x）=-4x2+16x的图象是开口朝下，且以直线x=2为对称轴的抛物线， ∴若0＜x＜4，则当x=2时，函数取最大16， 故答案为：16．由已知中的函数解析式，分析函数图象和性质，结合已知中x的取值范围，可得函数的最值．本题考查的知识点是二次函数的性质，其中分析出函数的图象和性质是解答的关键．
15.【答案】
2
39
3
【解析】
解：∵A=60°，b=1，由三角形的面积公式可得，S=∴c=4由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA==13∴a=则====故答案为：利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得a，进而根据正弦定理求得，而==可求本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．要求考生能利用正弦定理和余弦定理对解三角形问题中边，角问题进行互化或相联系．
16.【答案】-
2
??+1
【解析】
解：2an+1=SnSn+1，可得2（Sn+1-Sn）=SnSn+1，即有-=-，即有{}为首项为-1，公差为-的等差数列，可得=-1-（n-1）=，即有Sn=-，故答案为：-．运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求Sn．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）由已知得1，b是方程ax2-3x+6=4的两根，∴a-3+6=4，∴a=1，∴方程x2-3x+2=0其两根为x1=1，x2=2，∴b=2；（2）将a=1，b=2代入不等式
??
2
?1
???????
＞0得，
??
2
?1
???2
＞0，可转化为：（x+1）（x-1）（x-2）＞0，如图，由“穿针引线”法可得原不等式的解集为{x|-1＜x＜1或x＞2}．【解析】
（1）由一元二次不等式与对应方程的关系，即可求出a、b的值； （2）将a、b的值代入不等式，解不等式即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．
18.【答案】解：a1=4，由an+1=2an，知数列{an}是公比为2的等比数列，则
??
??
=4?
2
???1
=
2
??+1
．（1）Sn=
4(1?
2
??
)
1?2
=4(
2
??
?1)=2n+2-4；（2）设等差数列{bn}的公差为d，由b7=a3=16，b15=a4=32，得d=
??
15
?
??
7
15?7
=
32?16
8
=2，b1=4．∴bn=b1+（n-1）d=4+2（n-1）=2n+2．则
??
??
=
??(
??
1
+
??
??
)
2
=
??(4+2??+2)
2
=
??
2
+3??．【解析】
由已知求出等比数列的通项公式． （1）直接由等比数列的前n项和公式得答案； （2）由b7=a3，b15=a4求出等差数列{bn}的首项和公差，代入前n项和公式求解．本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是基础的计算题．
19.【答案】解：（1）由正弦定理，可得，bcosC+
3
bsinC=a+c即为sinBcosC+
3
sinBsinC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，即有
3
sinB-cosB=1，即2（
3
2
sinB-
1
2
cosB）=1，即有sin（B-
??
6
）=
1
2
，由于0＜B＜π，则有B-
??
6
=
??
6
，则B=
??
3
；（2）A+C=π-B=
2??
3
，则0＜C＜
2??
3
，则a+c=bcosC+
3
bsinC=
3
cosC+3sinC=2
3
（
1
2
cosC+
3
2
sinC）=2
3
sin（C+
??
6
），由于
??
6
＜C+
??
6
＜
5??
6
，则
1
2
＜sin（C+
??
6
）≤1，则a+c的取值范围是（
3
，2
3
]．【解析】
（1）运用正弦定理，将边化为角，再由两角和差的正弦公式，化简整理即可得到角B； （2）运用两角和的正弦公式，结合C的范围，由正弦函数的图象和性质即可得到范围．本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查两角和差的正弦公式，正弦函数的图形和性质，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n-3）an-1=2（n-1）．∴（2n-1）an=2．∴an=
2
2???1
．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴an=
2
2???1
．（2）
??
??
2??+1
=
2
(2???1)(2??+1)
=
1
2???1
-
1
2??+1
．∴数列{
??
??
2??+1
}的前n项和Sn=(1?
1
3
)+(
1
3
?
1
5
)+…+(
1
2???1
?
1
2??+1
)=1-
1
2??+1
?=
2??
2??+1
．【解析】
本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．?（1）利用数列递推关系即可得出．（2）==-．利用裂项求和方法即可得出．
21.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为??(??)=
??
3??+5
．再由C（0）=8，得k=40，因此??(??)=
40
3??+5
．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为??(??)=20??(??)+
??
1
(??)=20×
40
3??+5
+6??=
800
3??+5
+6??(0≤??≤10)（Ⅱ）??′(??)=6?
2400
(3??+5
)
2
，令f'（x）=0，即
2400
(3??+5
)
2
=6．解得x=5，??=?
25
3
（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为??(5)=6×5+
800
15+5
=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】
（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．
22.【答案】解：（I）数列{an}是首项为a1=
1
4
，公比q=
1
2
的等比数列，∴an=
1
4
×(
1
2
)
???1
=(
1
2
)
??+1
．∴bn=-2log2an-2=-2×（-n-1）-2=2n；（II）由（I）可得：cn=an?bn=??×(
1
2
)
??
．∴Tn=
1
2
+2×
1
2
2
+3×
1
2
3
+…+??×(
1
2
)
??
，∴
1
2
??
??
=
1
2
2
+2×
1
2
3
+…+（n-1）×
1
2
??
+n×
1
2
??+1
，相减可得：
1
2
??
??
=
1
2
+
1
2
2
+…+
1
2
??
-n×
1
2
??+1
=
1
2
(1?
1
2
??
)
1?
1
2
，可得：Tn=2-
??+2
2
??
．（Ⅲ）数列{an}的前n项和为Sn=
1
4
(1?
1
2
??
)
1?
1
2
=
1
2
(1?
1
2
??
)，对任意n∈N*，不等式Tn≥
1
2
λ+2Sn-1恒成立，即2-
??+2
2
??
≥
1
2
??+1-
1
2
??
-1，化为：2-
??+1
2
??
≥
1
2
??，令f（n）=
??+1
2
??
，可得f（n+1）-f（n）=
???
2
??+1
＜0，∴f（n）关于n单调递减，∴2?
2
2
≥
1
2
λ，解得λ≤2．∴λ的取值范围为（-∞，2]．【解析】
（I）数列{an}是首项为a1=，公比q=的等比数列，利用通项公式即可得出an．代入可得bn=-2log2an-2．（II）由（I）可得：cn=an?bn=．利用错位相减法可得Tn．（III）利用等比数列的求和公式可得数列{an}的前n项和为Sn，代入不等式Tn≥λ+2Sn-1，利用数列的单调性即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．