2018-2019学年第一学期期末考试试题(卷)
高二数学(理科)
考试时间:120分钟 满分:150分 题目数:22
一、选择题(将唯一正确答案填入答卷中,本题共12题,每题5分,共60分)
1.命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1
2.已知向量a＝(4,－2,－4)，b＝(6,－3,2),则下列结论正确的是( )
A. a＋b＝(10,－5,－6) B. a－b＝(2,－1,－6)
C. a·b＝10 D. |a|＝6
3.“1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为( )
A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
5.椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是( )
A．9 B．12或4 C．9或7 D．20
6.从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
7.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知p：lg x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A.0＜x＜1 B.－1＜x＜1 C.＜x＜ D.＜x＜2
9.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为（ ）
A. B. C. D.
10.椭圆＋＝1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍
11.如图过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
12.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y＝x－1与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为－,则此双曲线的方程是( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
二、填空题(本题5小题,每题5分,共计25分,将答案写在指定位置)
13.下列命题是真命题的有____________.(填序号)
①“若则互为相反数”的逆命题;
②“若则”的逆否命题;
③“若则”的否命题.
14.已知为椭圆的两个焦点,并且椭圆上点满足,则△的面积为 .
15.若平面的一个法向量为n=(3,3,0),直线的一个方向向量为b=(1,1,1),则与夹角的余弦值为__________.
16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点,若为的中点，则 .
17.已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB， CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
三、解答题(本部分共5大题,共计65分)
18.(本题12分)
已知c＞0,且c≠1,设p:函数y＝cx在R上单调递减; q:函数f(x)＝x2－2cx＋1在()上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围．
19.(本题13分)
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为，求抛物线方程．
20.(本题13分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC； (2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值.
21.(本题13分)
如图,设是圆上的动点,点是在轴上投影,为上一点,且．
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
22.(本题14分)
直线和双曲线的左支交于A，B两点,直线过点P (-2,0)和线段AB的中点.
(1)求的取值范围；
(2)是否存在值,使在轴上的截距为1,若存在,求值;若不存在,说明理由.
2018-2019学年第一学期期末考试
高二数学（理科）参考答案
选择题：(本题12小题,每题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
A
C
C
C
B
B
A
B
D
二、填空题：(本题5小题,每题5分,共25分)
13. ① 14. 1 15. 16. 6 17. 2
三、解答题:
18.(本题13分)
若p真则，若q为真则
由题意可知p,q命题一个是真命题，一个是假命题.
当p真，q假时
,则有
(2)当p假，q真时
,无解
综上可知,
19.(本题13分)
(1)证明:在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC.
又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
∴AA1⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知，
在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，
∴BC2＝AC2＋AB2，
∴AB⊥AC.
∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.
A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是
＝(4,0,0)，＝(0,3，－4)，＝(4，－3,0)，＝(0,0,4)．
设平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
∴?取向量n1＝(0,4,3)，
由?取向量n2＝(3,4,0)，
∴cos θ＝＝＝.
20.(本题12分)
设抛物线方程为 ,直线交曲线与A(),B(),则
整理得到
∴
=
∴. 解得或.
故所求抛物线方程为或
21.(本题13分)
（1）设点M的坐标是，P的坐标是，因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，
Ｍ为PD上一点，且，所以，且，
∵P在圆上，∴，整理得，
即C的方程是．
（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，
设此直线与C的交点为，，
将直线方程代入C的方程得：
，化简得，∴，，
所以线段AB的长度是
，即所截线段的长度是．
22.(本题14分)
(1)由方程消去y，整理得.
设直线和双曲线的交点为A(),B().
由题意知解得.
(2)设线段AB的中点为M,则点M().
假设存在直线,则M在直线上,故,
即,代入,得.
令则,解得或,而,故不存在.
