江苏省无锡市2019届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

无锡市2019届高三上学期期末考试
数 学2019.01
一、填空题：
1、设集合 A =｛x｜x＞0｝，B =｛x｜－2＜x＜1｝，则 A∩B＝　　　　．
答案：｛x｜0＜x＜1｝
考点：集合的运算。
解析：取集合A，B的公共部分，得：A∩B＝｛x｜0＜x＜1｝
2、设复数 z 满足 (1+ i)z = 1－3i（其中 i 是虚数单位），则 z 的实部为　　　　．
答案：－1
考点：复数的运算，复数的概念。
解析：z＝＝＝，所以，实部为－1。
3、有 A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5, 现用分层抽样的方法招募 n 名志愿者，若在 A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么 n =　　　　．
答案：36
考点：分层抽样方法。
解析：设A，B，C三所学校学生人数为：3x，4x，5x，则总人数为：12x，
所以，，解得：n＝36
4、史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为　　　　．
答案：
考点：古典概型。
解析：设田忌的上中下等马分别为：A、B、C，齐王的上中下等马分别为：1、2、3，
双方各先一匹马，所以可能为：A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3，共9种，
田忌的马获胜的可能有：A2、A3、B3，共3种，
所以，概率为：P＝。

5、执行如图的伪代码，则输出 x 的值为　　　　．

答案：25
考点：算法初步。
解析：第1步：x＝1，x＝1；第2步：x＝2，x＝4；第3步：x＝5，x＝25；退出循环结果为25。
6、 已知 x，y 满足约束条件，则z = x+y 的取值范围是　　　　．
答案：［0,3］
考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图，

当目标函数z = x+y 经过点O（0,0）时，取到最小值为：0
经过点A（1,2）时，取到最大值：3，所以，范围为［0,3］
7. 在四边形 ABCD 中，已知 ，，，其中，是
不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是　　　　．
答案：梯形
考点：平面向量的三角形法则，共线向量的概念。
解析：＝
所以，，即AD∥BC，且AD＝2BC
所以，四边形ABCD是梯形。

8. 以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是　　　　．
答案：
考点：双曲线与抛物线的标准方程与性质。
解析：双曲线中，c＝＝3，所以，右焦点为F（3,0），
抛物线的焦点也为（3,0），所以，，p＝16，
抛物线的标准方程为：
9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6，则该圆锥的体积等于　　　　．
答案：3
考点：圆锥的侧面积、体积的计算。
解析：设圆锥的底面半径为R，因为轴截面是等边三角形，所以母线长为2R，高为，
侧面积S＝，解得：R＝，
所以，圆锥的体积为：V＝＝3。
10. 设公差不为零的等差数列｛｝ 满足 a3＝7，且 a1－1，a2－1，a4－1 成等比数列，则 a10 等于　　　　．
答案：21
考点：等差数列、等比数列。
解析：依题意，有：（a2－1）2＝（a1－1）（a4－1），即
，即：，
化为：＝0，因为公差不为0，所以，d＝2，
＝7+14＝21
11. 已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为　　　　．
答案：
考点：同角三角函数，诱导公式，两角和的正弦函数。
解析：依题意，有：sinθ＝－，
＝＝＝
12. 已知直线y＝a(x+2)(a > 0) 与函数 y ＝｜cosx｜的图像恰有四个公共点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 其中 x1 < x2 < x3 < x4，则
x4＋＝　　　　．
答案：－2
考点：函数的导数及其应用，一次函数和余弦函数的图象，数形结合的数学思想方法。
解析：直线y＝a(x+2)过定点（－2,0），如下图所示，

由图可知，直线与余弦函数图象在x4处相切，且x4∈，
即a(x4+2)＝－cosx4，所以，a＝
又，即直线的斜率为：a＝，
因此a＝＝，即
x4＋＝x4＋＝x4－x4＋2＝2
13. 已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(y－a+2)2 ＝1 上， A，B 为圆 C： x2 +(y-4)2 ＝4 上两动点，
且 AB ＝2, 则 的最小值是　　　　．
答案：19－12
考点：圆的标准方程，平面向量的三角形法则、数量积。
解析：取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，
所以，＝≥19－12。
C（0,4），M（a，a－2）
当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，
｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝
所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12

14. 在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为　　　　．
答案：
考点：正弦定理，三角函数，基本不等式。
解析：由正弦定理，得：，
如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为，所以，，化简，得：
，解得：x＝3y


，，，
＝＝
＝＝

二、 解答题：
15. (本小题 14 分)
在 △ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知向量 = (a，sinC－sinB)，
= (b + c，sinA + sinB)，且
(1) 求角 C 的大小
(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周长的取值范围.
考点：平面向量的线性关系，正弦定理，余弦定理，三角恒等变换。
答案：（1）由，得：a（sinA + sinB）＝（b + c）（sinC－sinB）
由正弦定理，得：a（a+ b）＝（b + c）（c－b）
化为：a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理，得：cosC＝－，
所以，C＝
（2）因为C＝，所以，B＝－A，由B＞0，得：0＜A＜，
由正弦定理，得：，
△ABC 的周长为：a+ b＋c＝＝
＝＝，
由0＜A＜，得：，
所以，周长C＝∈

16. (本小题 14 分)
在四棱锥 P - ABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，AB⊥AD，
AB⊥BC。
(1) 求证：BC∥平面 PAD；
(2) 平面 PAD⊥ 平面 ABCD．

考点：线面平行，线面垂直，面面垂直的判定。
答案：（1）四边形ABCD中，因为AB⊥AD，AB⊥BC，
所以，BC∥AD，BC在平面PAD外，
所以，BC∥平面PAD
（2）作DE⊥PA于E，
因为平面PAD⊥平面PAB，而平面PAD∩平面PAB＝AB，
所以，DE⊥平面PAB，
所以，DE⊥AB，又AD⊥AB，DE∩AD＝D
所以，AB⊥平面PAD，
AB在平面ABCD内
所以，平面PAD⊥平面ABCD

17. (本小题 14 分)
十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至 2020 年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户 100 家，他们均从事水果种植， 2017 年底该村平均每户年纯收入为 1 万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2018 年初开始，若该村抽出 5x 户（ x ∈Z，1 ≤x ≤ 9) 从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 (3－x) 万元（参考数据： 1.13 = 1.331，1.153 ≈ 1.521，1.23 = 1.728).
(1) 至 2020 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元），至少抽出多少户从事包装、销售工作？
(2) 至 2018 年底，该村每户年均纯收人能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由。
考点：不等式，应用数学知识解应用题的能力。
答案：（1）至 2020 年底，种植户平均收入＝，
即，即，
由题所给数据，知：，所以，，
所以，x的最小值为4，5x≥20
即至少抽出20户从事包装、销售工作。
（2）至 2018 年底，假设能达到 1.35 万元，
每户的平均收为：，
化简，得：，因为x ∈Z，1 ≤x ≤ 9
解得：x∈｛4，5，6｝
所以，当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能。



18. (本小题 14 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的离心率为，
且过点 (，)，点 P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交 y 轴于点 C,
PB 交 x 轴于点 D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 求 △PCD 面积的最大值.

考点：椭圆的标准方程，综合应用数学知识的能力，计算能力。
答案：（1），即，即，
所以，椭圆方程为：，过点 (，)，
所以，，解得：b＝1，所以，a＝2，
椭圆方程为：

19. (本小题 16 分)
已知函数 f(x) = －ax(a > 0).
(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x > 0，都有 f(x) > 0 成立；
(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证：< ln a.
考点：函数的导数及其应用，分类讨论的数学思想。
答案：


20. (本小题 16 分)
设等比数列｛｝的公比为 q(q > 0，q ?= 1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3 = a4，数列｛｝的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.
(1) 求数列 ｛｝，｛｝的通项公式；
(2) 是否存在常数 t，使得 {Sn+ } 为等比数列？说明理由；
(3) 设 cn =，对于任意给定的正整数 k(k ≥2), 是否存在正整数 l，m(k < l < m), 使得 ck，c1，cm 成等差数列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，说明理由.
考点：等比数列，应用数学知识解决问题的综合能力。
答案：