人教B版必修四高一数学2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件（36张ppt)
文档属性
| 名称 | 人教B版必修四高一数学2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件（36张ppt) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-22 10:54:09 | ||
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文档简介
课件36张PPT。课程名称：向量数量积的物理背景与定义
学科：数学
年级：高一
版本：人民教育出版社B版
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.问题导学知识点一 向量的夹角思考1 平面中的两个向量夹角何种情形是直角？平面中的两个向量夹角何种情形是平角？答案答案 两个向量同向时夹角是直角.反向时夹角是平角。思考2 △ABC为正三角形，设 ＝a， ＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
则∠CBD＝120°，
故向量a与b的夹角为120°.两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，
则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的范围是
.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ .
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .梳理∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b知识点二 向量在轴上的正射影思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？答案答案 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；
当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；
当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图).
作 ＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量
叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在
上的数量或在 上的数量. ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.梳理轴l轴l的方向知识点三 向量的数量积(内积)思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？ 答案答案 W＝|F||s|cos θ.思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答案答案 a·b的运算结果是数量.
0·a＝0.向量数量积的定义
叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈 a，b 〉.梳理|a||b|cos〈 a，b 〉知识点四 向量数量积的性质思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？答案答案 a⊥b?a·b＝0.思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？答案 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；思考3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？答案答案 |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”.
所以|a·b|≤|a||b|.思考4a·b与向量a在b上的正射影数量有何关系？与向量b在a上的正射影数量有何关系？a·b答案a·b＝|a| |b|cos〈 a，b 〉a·b＝ | b| |a| cos〈 a，b 〉两个向量内积有如下重要性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ (a≠0).
(2)a⊥b?a·b＝ ，且a·b＝ ?a⊥b(a≠0，b≠0).
(3)a·a＝ 或|a|＝ .
(4)cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0).
(5)|a·b| |a||b|.梳理|a|cos〈a，e〉00|a|2≤题型探究类型一 求两向量的数量积例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°解答反思与感悟求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a|·|b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 答案解析解析 如图所示，由题意，
得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为 ，求|a＋b|，|a－b|.类型二 求向量的模解答反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.
解 ∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.解答例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.类型三 求向量的夹角解答解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2设a与b的夹角为θ，反思与感悟当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的正射影的数量为－3，b在a方向上的正射影的数量为－ ，求a与b的夹角θ.解答又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.当堂训练1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的正射影的数量为
A.4 B.－4
C.2 D.－2√答案23451解析解析 向量b在a方向上的正射影的数量为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.答案23451解析A.1 B.2
C.3 D.5√解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.23451答案解析3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
则(a＋2b－c)2＝_____.
解析 (a＋2b－c)2
＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°
＝11.11答案解析－25234515.已知正三角形ABC的边长为1，求：解答23451解答23451课堂总结：1.数学知识：1.内积的物理背景。
2.两个向量的夹角定义。
3.向量在轴上的正射影。2.数学思想方法：数形结合思想。
3.个性化错因。4.向量的数量积定义、性质。本课结束
学科：数学
年级：高一
版本：人民教育出版社B版
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义，理解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.问题导学知识点一 向量的夹角思考1 平面中的两个向量夹角何种情形是直角？平面中的两个向量夹角何种情形是平角？答案答案 两个向量同向时夹角是直角.反向时夹角是平角。思考2 △ABC为正三角形，设 ＝a， ＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
则∠CBD＝120°，
故向量a与b的夹角为120°.两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作 ＝a， ＝b，
则 称作向量a和向量b的夹角，记作 ，并规定它的范围是
.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ .
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .梳理∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π〈b，a〉a⊥b知识点二 向量在轴上的正射影思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？答案答案 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；
当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；
当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图).
作 ＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量
叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在
上的数量或在 上的数量. ＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.梳理轴l轴l的方向知识点三 向量的数量积(内积)思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？ 答案答案 W＝|F||s|cos θ.思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？答案答案 a·b的运算结果是数量.
0·a＝0.向量数量积的定义
叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈 a，b 〉.梳理|a||b|cos〈 a，b 〉知识点四 向量数量积的性质思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？答案答案 a⊥b?a·b＝0.思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？答案 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；思考3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？答案答案 |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”.
所以|a·b|≤|a||b|.思考4a·b与向量a在b上的正射影数量有何关系？与向量b在a上的正射影数量有何关系？a·b答案a·b＝|a| |b|cos〈 a，b 〉a·b＝ | b| |a| cos〈 a，b 〉两个向量内积有如下重要性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝ (a≠0).
(2)a⊥b?a·b＝ ，且a·b＝ ?a⊥b(a≠0，b≠0).
(3)a·a＝ 或|a|＝ .
(4)cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0).
(5)|a·b| |a||b|.梳理|a|cos〈a，e〉00|a|2≤题型探究类型一 求两向量的数量积例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a|·|b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°解答反思与感悟求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a|·|b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去. 答案解析解析 如图所示，由题意，
得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为 ，求|a＋b|，|a－b|.类型二 求向量的模解答反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.
解 ∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.解答例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.类型三 求向量的夹角解答解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2设a与b的夹角为θ，反思与感悟当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的正射影的数量为－3，b在a方向上的正射影的数量为－ ，求a与b的夹角θ.解答又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.当堂训练1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的正射影的数量为
A.4 B.－4
C.2 D.－2√答案23451解析解析 向量b在a方向上的正射影的数量为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.答案23451解析A.1 B.2
C.3 D.5√解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.23451答案解析3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，
则(a＋2b－c)2＝_____.
解析 (a＋2b－c)2
＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°
＝11.11答案解析－25234515.已知正三角形ABC的边长为1，求：解答23451解答23451课堂总结：1.数学知识：1.内积的物理背景。
2.两个向量的夹角定义。
3.向量在轴上的正射影。2.数学思想方法：数形结合思想。
3.个性化错因。4.向量的数量积定义、性质。本课结束