人教B版高中数学教材教学设计必修四第三章第一节
《两角和与差的余弦》
【课题】 3.1.1两角和与差的余弦
课标内容
让学生理解公式的推导过程，熟练掌握两角和与差的余弦公式，并能准确运用公式化简、求值。
课标分解
教学目标
【知识与技能】
1.理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟练掌握两角和与差的余弦公式。
2.能准确灵活运用两角和与差的余弦公式求值、证明。
【过程与方法】
牢固掌握两角和与差的余弦公式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决问题的思维能力。
【情感态度与价值观】
通过用数学知识解决问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。
教材分析
两角和与差的余弦公式是学习三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
教学重难点分析
【教学重点】
两角和与差的余弦公式的推导及应用。
【教学难点】
公式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养。
教学建议
从认知角度上看，学生已经比较熟练的掌握了三角函数和平面向量的知识，从方法上看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究能力较弱。
学生在学习三角函数和平面向量的过程中已经充分认识数形结合思想是研究三角函数的重要工具．本节课的难点是利用数量积、利用数形结合思想探究发现两角和与差的余弦公式，并应用公式解决问题．应用两角和与差的余弦公式进行求值、证明和化简这三类问题是学生第一次接触，本节课只学习求值这一应用，其他应用留作下节课学习。因此本节课具有承上启下作用，求值过程准确灵活运用公式是本节课的重点．通过解题探讨、分析、总结和后续的巩固来逐步巩固这些重点．
探究活动设计
本节教学共设计了两大探究活动：一是借助单位圆与数量积探究两角差的余弦公式；二是利用两角差余弦公式探究两角和余弦公式。
教学案例设计
运用两角和与差的余弦公式公式，能够更好的解决有关三角函数中恒等变换问题。教学过程中，主要是想通过教师的启发，发挥学生的主体作用，在学生已有知识的基础上，探求、发现新的知识，而不简单地把知识结果向学生灌输．从而使学生在探求新知识的过程中体会到发现的乐趣，进而培养学生的创新精神．
教学过程设计
教学环节
教学过程
学生活动
设计意图
复
习
引
入
1．如图：角(终边与单位圆交于点P，则
， ， .
2．两个向量的数量积:
定义： ， ；
坐标表示：
若、 ，
则 .
同桌之间坐在右侧的学生提问左侧的学生问题1、问题2.
激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛。
探
究
新
知
典
例
剖
析
课
堂
检
测
总
结
反
思
分
层
作
业
求值：
问题探究
问题1： 可以用哪两个特殊角表示？
问题2 ：
成立吗？
问题3 ：cos15 °能否用30°与45°的三角函数值表示呢？如果能又是什么形式呢？
（一）两角差的余弦公式的推导过程
探究结论
是否成立？
（二）两角和的余弦公式的推导过程
1、根据教师的引导，提问学生回答探究1；
2.小组合作、共同探究两个问题；
3.学生展示探究结果。
学生表述公式
学生独自思考公式推导方法；
学生口答
充分突出学生的主体地位，对知识的由来不是一味灌输而是通过适当引导学生主动探究公式。培养学生主动思考问题的能力和合作交流的能力。
通过提问学生公式推导方法，培养学生独自思考问题的能力和严谨的思维逻辑。问题的设置加强学生对公式的进一步理解。
公式应用 (一) 给角求值
例1.求的值.
练习1 求（1）求的值；
（2）证明:.
总结：
公式应用 (二) 公式逆用
例2．求值：
（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°
（2）cos20°cos25°-sin20°sin25°
练习2 求值和化简
（1）cos53°cos23°+sin53°sin23°
（2）
总结：
公式应用 (三) 给值求值
例3．已知
在第三象限，求的值.
总结：
当堂检测
1. cos30°cos30°-sin30°sin30°=
2.已知
1.知识：
2.方法与技巧：向量法、代换
3.数学思想：数形结合、分类讨论
转化与化归
必做：课本第135页，A2. B3 题
2. 选做：
3. 利用网络资源学习两角和与差余弦公式的多种证明方法！
1.学生板演练习1.其他学生完成后同桌间互对答案。
2.例2由学生互相提问口答。
3.通过多媒体展示学生的解题步骤。
4．小组长负责带领组员总结以上所完成的题型和具体解答时的注意事项。
学生独自定时完成课堂检测，巩固本节所学。
学生回答本节课所学，进一步强化学生对知识的理解，同时再次让学生明确基本公式的应用。
根据学生的程度不同而设置不同难度的作业题。
通过学生的板演，培养学生的动手实践能力。
角色互换，激发学生的学习兴趣和强化对公式的理解，同时让学生体验成为课堂主人的喜悦感。
多媒体辅助教学，提高了课堂的学习效率。
培养学生的自我总结问题的能力和团结合作的能力。养成学生独自思考问题的能力和培养学生的发散思维能力。
课堂检测题目的设置，巩固学生对本节知识的学习，使学生提高对知识的应用能力。
学生独自总结本节课的收获，再次体现以学生为主题的学习地位，培养学生总结能力。
分层作业的布置，使每个学生都能得到发展，开放式作业是课堂的延伸，培养学生发散思维的能力。
【板书设计】
两角和与差的余弦公式
一、公式 二、例题
1、 例1 例2
2、 略 略
注意：
【课堂评价】
本节教学较为成功的做法：
1、整个课堂中充分体现的是以学生为主体的教学方式，让学生真正成为了课堂的主人、学习的主人，对新知的处理方式是通过对旧知的复习，让学生自主探究新知，逐步的发现两角和与差的余弦公式，培养了学生自主探究问题的能力和合作交流的能力，同时也让学生在探究的过程中体会成功的感觉。激发了学生的学习兴趣，强化了学生对知识的理解和应用。
2、本节讲授注重知识的形成过程，以问题串的方式引导学生探究公式、应用公式，充分激发了学生主动思考问题的能力，培养学生团结合作的能力同时也活跃了课堂气氛，营造了一个和谐、积极、快乐的课堂氛围。通过用数学知识解决问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。
3、在教学中充分发挥教学评价的导向作用，以学习评价促进学生的发展。在本节教学中，我主要通过学生自评、互评与教师评价相结合的方式对学生的学习加以评价：
（1）用课堂活动评价记录表引导学生进行自评和互评。
学生自评和互评评价量规
评价指标
评价内容
评价
优（9—10）
良（8—9）
中（6—8）
自评
互评
公式的推导
（10分）
1、能主动积极与他人合作，积极参与小组讨论；
2、在对公式探究中善于思考，并能积极地表达自己的看法；
3、能准确的探究出两角差的余弦公式和明确适用条件。
1、能与他人合作，参与小组讨论；
2、在对知识探究中能听取别人的意见；
3、能准确的探究出两角差的余弦公式。
1、能在教师和小组内同学的督促下与他人合作，参与小组讨论；
2、能在他人帮助下，探究出两角差的余弦公式。
公式的理解
（10分）
1、能借助两角差的余弦公式得出两角和的余弦公式。
2、能自行总结两角和的余弦公式。
1、能在他人启发下借助两角差的余弦公式得出两角和的余弦公式。
2、能合作总结出两角和的余弦公式。
1、通过组内同学的指导用借助两角差的余弦公式得出两角和的余弦公式。
2、在组内同学的帮助下总结出两角和的余弦公式。
公式的应用
（10分）
1、能积极主动地参与小组讨论，发表自己的见解；
能熟练地应用公式解决例1例2求值化简问题。
3、能独立完成例3的求值问题并且步骤清楚合理。
1、能与他人合作，参与小组讨论；
2、能通过小组讨论应用关系式解决例1例2求值化简问题。
3、能通过小组讨论，完成例3的求值问题并且步骤清楚合理。
1、能与他人合作，参与小组讨论；
2、能通过小组讨论例1例2求值化简问题。
弄清例3的求值问题思路。
自评评语
互评评语
（2）教师对学生进行及时性的口头评价。
在整个教学过程中，对于“学生是否有浓厚的学习兴趣，是否能主动地参与学习，是否能在教师指导下自主学习课本容，是否能认真听讲，在课堂中是否能积极发言”等方面适时适度地对学生进行表扬，可以起到激励与促进的作用，让学生能在教师的评价中获得自信，体验到成功的喜悦感。
课件19张PPT。高中数学人教B版必修四第三章3.1.1 两角和与差的余弦 数学实力影响国家实力，世界强国必然是数学强国。
17-19世纪英国、法国，德国，
都是欧洲强国，也是数学强国。
20世纪中期前苏联成为世界数学
强国，于1958年成功发射了第一
颗人造地球卫星，震撼全世界。
当时美国决心要赶超苏联，于是大力发展数学，十年之后，美国成为数学超级强国，直至今天。…………
预测下一次科技革命将以人类三种新的“生存形式”为重要标志，即网络人、仿生人和再生人。预计这次科技革命大约将在2020-2050年到来。数学必将成为下一次科技革命最重要的推动力。 数学与国家实力节选自张恭庆院士应邀在中央办公厅举办的“数学与国家实力”专题讲座定义式：
坐标式：若
则 1．角?终边与单位圆交于点P，则
2．两个向量的数量积：复习回顾-11-11cos30°= cos60°= 情境引入cos45°= cos15°=？？ 问题2：cos15°= cos(45°- 30°)问题1：15°可以用哪两个特殊角表示? =cos45°- cos30°成立吗? cos15°=?问题3：cos15 °能否用30°与45°的三角函数值表示呢？如果能又是什么形式呢？合作探究PQ 问题4：如果用α、β代替上式中的 ， 能得到怎样的结论 ？ 合作探究QP合作探究两角差的余弦公式两角和的余弦公式？公式理解2.适用范围：余余正正号相反1.结构特点：C C S S 号相反例1、求cos15°的值．分析：知识运用（一）知角求值知识运用(1) cos80°cos20°+ sin80°sin20°例2 求值：知识运用（二）公式逆用(2) cos20°cos25°－ sin20°sin25° 练习2.求值和化简知识运用知识运用（三）知值求值所以cos(α-β)＝ cosαcosβ + sinαsinβ课堂小结知识题型、方法与技巧数学思想向量法代换当堂检测布置作业1. 课本135页： A 2. B 3 题
2.思考题：
3.利用网络资源学习两角和与差余弦公式的多种证明方法！
乐学
数
学
思
维
亦
韧
亦
柔善解
疑
难
心
中
有
勇
有
谋数学无敌谢谢同学们！
再见！
