16.3可化为一元一次方程的分式方程
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．3x－2y＝1
2．若分式方程有增根，则增根为（ ）
A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝±1 D．x＝0
3．若关于x的方程＝2的解为0，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．任意实数
4．解分式方程+1＝0，正确的结果是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C． x＝2 D．无解
5．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是（ ）
A．x－2＝2x B．x2－2x＝2x C．x－2＝x D．x＝2x－4
6．某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？设安排x人加工A零件，由题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．方程的解是x＝____________．
8．若分式方程的一个解是x＝1，则a＝_____________．
9．若方程有解x＝1，则k＝________ ．
10．已知分式方程有增根，则m的值为_________________．
11．对于非零实数a、b，规定a?b＝．若2?（2x－1）＝1，则x的值为________．
12．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．若设A型机器每小时加工零件x个，则可列方程为_______________________．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）解方程．
14．（本题满分14分）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－3和 ，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．
15．（本题满分14分））从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】B．
【解析】A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，故选B．
2．【答案】B．
解析：∵原方程有增根，∴最简公分母x－1＝0，解得x＝1，故选B．
3．【答案】C．
【解析】当x＝0时，方程为＝2，解得m＝－1．故选C．
4．【答案】A．
【解析】去分母得：1＋x－1＝0，解得：x＝0，故选A．
5．【答案】A．
【解析】去分母，得x－2＝2x，故选A．
6．【答案】A．
【解析】设安排x人加工A零件，由题意列方程得：．故选：A．
二、填空题：
7．【答案】－2．
【解析】两边都乘以x－3，得：2x－1＝x－3，解得：x＝－2，检验：当x＝－2时，x－3＝－5≠0，故方程的解为x＝－2，故答案为：－2．
8．【答案】0．
【解析】把x＝1代入原方程得，，去分母得2＝2＋2a，解得，a＝0．
9．【答案】2.5．
【解析】把x＝1代入原方程得，＝2，去分母得，3＝2k－2．解得，k＝2.5．
10．【答案】－0.6．
【解析】去分母得：x＋x－3＝－5m，由分式方程有增根，得到x－3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：3＋3－3＝－5m，解得：m＝－0.6，故答案为：－0.6．
11．【答案】．
【解析】根据题意得：2?（2x－1）＝，去分母得：2－（2x－1）＝4x－2，去括号得：2－2x＋1＝4x－2，移项合并得：6x＝5，解得：x＝，经检验是分式方程的解．故答案是：．
12．【答案】．
【解析】设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x－20）个．根据题意列方程得：，．故答案为：．
三、解答题：
14．【答案】．
【解析】依题意可得：＝3，去分母得：1－x＝3（2－x），去括号得：1－x＝6－3x，移项得：－x＋3x＝6－1，解得：x＝，经检验，x＝是原方程的解．答：x的值是．
15． 【答案】300千米/时．
【解析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，依题意，得，解得：x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，则2.5x＝300．答：高铁行驶的平均速度是300千米/时．
课件31张PPT。数学华师大版 八年级下可化为一元一次方程的分式方程新知导入什么叫做一元一次方程？只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数是1次，这样的方程叫做一元一次方程．解方程： ．解：去分母，得3x－2（x－3）=6，
去括号，得3x－2x＋6=6，
移项、合并同类项，得
x＝0．新知导入轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则顺水速度为________千米/时；逆水速度为______千米/ 时；顺水航行80千米需________小时；逆水航行60千米需________小时；
根据题意，得_________．这个方程有何特点？轮船在顺水中的速度＝轮船在静水中的速度+水流速度
轮船在逆水中的速度＝轮船在静水中的速度－水流速度(x＋3)(x－3)新知讲解分式方程的主要特征：
（1）含有分式
（2）分母中含有未知数方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．分式方程的概念新知讲解判断下列各式中哪个是分式方程？
（1）x＋y＝5；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．√√×××新知讲解怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
（1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
（2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 新知讲解两边都乘以最简公分母 (x+3)(x-3) 得方程解这个整式方程得x＝21分式方程整式方程两边乘以最简公分母答：轮船在静水中的速度为21千米/时．80(x－3)＝60(x＋3)新知讲解 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．新知讲解例1 解方程： ． 解：方程两边同乘以(x2－1)，约去分母，得
x＋1＝2，
解这个方程，得
x＝1．新知讲解把x=1代入原方程检验，当x=1原分式方程左边和右边的分母(x－1)与(x2－1)都 是0，方程中出现的两个分式都没有意义．∴ x=1不是原方分式程的解，应当舍去．所以原分式方程无解．新知讲解 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根．
因此，在解分式方程时必须进行检验．验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为0．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为0．如果为0，即为增根．新知讲解例2 解方程： ．解：方程两边都乘以x(x－7)，约去分母，得
100(x－7）＝30x，
解这个方程，得
x＝10．
检验：把x ＝10代入x(x －7)，得10×(10-7)≠0．
所以， x ＝10是原方程的解．新知讲解解分式方程的步骤①去分母：先确定最简公分母，它是指方程两边所有分母的最简公分母，确定方法与通分进确定最简公分母的方法一致；②解：去分母后得到的整式方程；③检验：验根是解分式方程的必要步骤，把整式方程的根代入最简公分母，值为零时，为增根，否则为原方程的根；④下结论．新知讲解例3 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致．两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？分析：两个等量关系：
甲的输入速度＝乙的输入速度的2倍；
乙输入2640个数据所用的时间－甲输入2640个数据所用的时间＝2小时.新知讲解264026402x个/分x个/分设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据题意填写下表：新知讲解解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据题意，得
．
解得 x＝11．
经检验， x＝11是原方程的解 ．并且，当x＝11时，2x＝2×11＝22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用了120分钟，符合题意．
答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据 ．列分式方程解应用题的一般步骤：1、审：分析题意，找出数量关系和相等关系．
2、设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．
3、列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．
4、解：认真仔细．
5、验：有两次检验．
6、答：注意单位和语言完整且答案要生活化．
两次检验是：
（1）是否是所列方程的解；
（2）是否满足实际意义．新知讲解1、下列方程是分式方程的是（ ）
A． B． C．x2－1＝3 D．2x＋1＝3x
2、若x＝4是分式方程 的根，则a的值为( )
A．6 B．－6 C．4 D． －4
3、关于x的方程 有增根，则增根是（ ）
A．1 B．－1 C．±1 D． 0课堂练习BAC课堂练习4、解下列方程：
（1） ； （2） ．解：（1）方程两边同乘以x（x+1），得：
2（x+1）＝3x，
解这个方程，得
x＝2．
经检验x＝2是原分式方程的解．
所以原分式方程的解是x＝2．课堂练习（2）方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：解得：x=5检验：将x=5代入最简公分母（x-5）（x+5）的值为0，相应分式无意义．所以x=5不是原分式方程的解．原分式方程无解．拓展提高5、甲、乙两地相距240千米，一辆小轿车的速度是货车速度的2倍，走完全程，小轿车比货车少用2小时，求小轿车的速度．解：设货车的速度是x千米/小时，根据题意，得
，
解得 x＝60，
经检验x＝60是分式方程的解，且符合题意，
则2x＝2×60＝120（千米/小时）．
答：小轿车的速度是120千米/小时．1、【2018 ? 海南】分式方程 的解是（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．无解
2、 【2018 ? 哈尔滨】方程 的解为（ ）
A．x＝－1 B． x＝0 C． D． x＝1
3、 【2018 ? 济南】若代数式 的值是2，则x＝________．中考链接BD6课堂总结4、 【2018 ?青海】某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．B中考链接5、【 2018 ?广西】解分式方程： ．解：方程两边同乘以3（x－1），得
3x－3（x － 1）＝2x，
解这个方程，得
x＝1.5，
经检验x＝1.5是原分式方程的解，
所以，原分式方程的解为x＝1.5．中考链接6、 【 2018 ?云南】某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？中考链接解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据题意，得
，
解得 x＝50，
经检验， x＝50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．课堂总结解分式方程的一般步骤：分式方程整式方程a是分式
方程的解x=aa不是分式
方程的解去分母解整式方程检验目标最简公分母不为0最简公分母为0列分式方程解应用题的一般步骤：板书设计方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．例1 解：方程两边同乘以(x2－1)，约去分母，得
x＋1＝2，
解这个方程，得
x＝1．
经检验， x=1不是原方分式程的解．所以原分式方程无解．例3 解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据题意，得
．
解得 x＝11．
经检验， x＝11是原方程的解 ．并且，当x＝11时，2x＝2×11＝22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用了120分钟，符合题意．
答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据 ．作业布置教材第12页，1题、2题、3题．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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华师大版数学八年级16.3可化为一元一次方程的分式方程
教学设计
知识
课题
16.3可化为一元一次方程的分式方程
单元
第十六章分式
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识目标
1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．
2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．
3、使学生领会
“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解．
能力目标
培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力．
情感目标
通过转化思想的渗透以及转化时产生培根的原因，让学生感受到全面分析，整体思考的作用．
重点
使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程．
难点
使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程必须验根，掌握验根的方法．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：以前我们学习了一元一次方程，请同学们回顾什么叫做一元一次方程？
生：只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数是1次，这样的方程叫做一元一次方程．
师：请同学解方程：．
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水中航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．
师：你能找出题中的两个等量关系吗？
生：轮船在顺水中的速度＝轮船在静水中的速度+水流速度．
轮船在逆水中的速度＝轮船在静水中的速度－水流速度．
师：请同学们填一填．
解：设轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则顺水速度为________千米/时；逆水速度为______千米/ 时；顺水航行80千米需________小时；逆水航行60千米需________小时；
根据题意，得_________．
师：请同学们观察所列的方程与以前所学的方程有何不同？这个方程有何特点？
回顾一元一次方程的概念及解法．
找出题中所含的等量关系．
完成填空．
通过对一元一次方程概念及解法的回顾为探究分式方程的解法奠定基础．
通过完成问题情境的探究为引出分式方程的概念奠定基础．
讲授新课
1、分式方程的概念
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．
师：请同学们说一说分式方程的主要特征是什么？
生：（1）含有分式；
（2）分母中含有未知数．
请同学们判断下列各式中哪个是分式方程？
（1）x＋y＝5；（2）；
（3）； （4）；
（5）．
2、师：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
（1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
（2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
生：讨论：类似于解一元一次方程的去分母，把分式方程两边同时乘以最简公分母(x+3)(x-3)约去分母得80(x－3)＝60(x＋3)，解这个整式方程得x＝21．
归纳：上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．
例1 解方程：．
生：解分式方程．
师：x＝1是原方程的根吗？
讨论：把x＝1代入原方程检验，当x＝1原分式方程左边和右边的分母(x－1)与(x2－1)都 是0，方程中出现的两个分式都没有意义．∴ x＝1不是原方分式程的解，应当舍去．所以原分式方程无解．
因此，在解分式方程时必须进行检验．
验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为0．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为0．如果为0，即为增根．
例2 解方程：．
3、分式方程的应用
例3 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致．两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？
师：请同学们找出题中的两个等量关系．
生：甲的输入速度＝乙的输入速度的2倍；
乙输入2640个数据所用的时间－甲输入2640个数据所用的时间＝2小时．
师：请同学们完成下面的表格．
输入数据总数
输入数据的速度
输入数据所用时间
甲
乙
师：列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审：分析题意，找出数量关系和相等关系．
（2）设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．
（3）列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．
（4）解：认真仔细．
（5）验：有两次检验．两次检验是：（1）是否是所列方程的解；（2）是否满足实际意义．
（6）答：注意单位和语言完整且答案要生活化．
分析方程的特点，归纳出分式方程的概念．
对下列方程做出判断．
讨论分式方程的解法．
完成例1．
对 x＝1是否为原方程的根进行讨论．
了解增根产生的原因及验根的方法．
完成例2．
阅读题目找出题中的两个等量关系．
完成填表．
归纳列分式方程解应用题的一般步骤．
通过问题情境观察所列方程的特征引入分式方程的概念．
巩固分式方程的概念．
通近探究活动使学生理解分式方程的解法．
通过对例1的解答初步了解解分式方程的方法．
引出增根的概念，了解增根产生的原因，知道验根的方法．
通过例2的解答熟练掌握分式方程的解法．
通过例3的解答，使学生掌握分式方向的应用．
通过填表掌握分析问题的方法．
理解列分式方程解应用题的一般步骤．
课堂练习
1、下列方程是分式方程的是（ ）
A． B．
C．x2－1＝3 D．2x＋1＝3x
2、若x＝4是分式方程的根，则a的值为( )
A．6 B．－6 C．4 D． －4
3、关于x的方程 有增根，则增根是（ ）
A．1 B．－1 C．±1 D． 0
4、解下列方程：
（1）； （2）．
拓展提高
5、甲、乙两地相距240千米，一辆小轿车的速度是货车速度的2倍，走完全程，小轿车比货车少用2小时，求小轿车的速度．
中考链接
1、【2018?海南】分式方程的解是（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．无解
2、【2018 ? 哈尔滨】方程的解为（ ）
A．x＝－1 B．x＝0 C． D．x＝1
3、 【2018 ? 济南】若代数式的值是2，则x＝________．
4、 【2018 ?青海】某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
5、【2018?广西】解分式方程：．
6、 【 2018 ?云南】某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
完成练习．
通过对问题的解答使学生掌握解分式方程和列分式方程解应用题的一般步骤，提高学生解答问题的能力．
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
列分式方程解应用题的一般步骤：
对本节课的知识进行总结．
通过对知识的回顾，使学生系统掌握本节课的知识．
板书
方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程．
例1
例3 解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据题意，得
．
解得 x＝11．
经检验， x＝11是原方程的解 ．并且，当x＝11时，2x＝2×11＝22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用了120分钟，符合题意．
答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据 ．
