7.5 第1课时 三角形的内角和
知识点 三角形的内角和
如图7－5－1，因为DE∥BC，所以∠DAB＝∠______，∠EAC＝∠______．又∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，所以∠______＋∠______＋∠______＝180°.
图7－5－1
2．下列各组角中，哪一组是同一个三角形的内角( )
A．95°，80°，5° B．63°，70°，67°
C．34°，36°，50° D．25°，160°，15°
3．已知△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
4．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )
A．40° B．60° C．80° D．90°
5．2018·广东如图7－5－2，AB∥CD，∠DEC＝100°，∠C＝40°，则∠B的大小是( )
图7－5－2
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．2017·盐城月考在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
7．在△ABC中，若∠A＋∠B＝88°，则∠C＝________°，这个三角形是________三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”)．
8．如图7－5－3，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A等于________°.
图7－5－3
9．已知三角形三个内角的度数之比是2∶3∶4，则这个三角形中最大角的度数是________．
10. 在△ABC中，
(1)∠A＝52°，∠B＝118°，求∠C的度数；
(2)∠C＝90°，∠A与∠B的差为20°，求∠B的度数；
(3)∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶1∶7，求∠A，∠B和∠C的度数；
(4)∠A＝∠B＝∠C，求∠A，∠B和∠C的度数．
11．2018·淮安区期中如图7－5－4，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由．
图7－5－4
【能力提升】
12．2018·眉山将一副三角尺按图7－5－5所示的位置放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是( )
图7－5－5
A．45° B．60° C．75° D．85°
13．2017·姜堰区期末如图7－5－6，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC交BC于点E，若∠C＝80°，∠B＝40°，则∠DAE的度数为________°.
图7－5－6
14．如图7－5－7所示，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD＝158°，求∠EDF的度数．
图7－5－7
15．2017·兴化市期末如图7－5－8，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D，F，∠1＝∠2.
(1)DG与BA平行吗？为什么？
(2)若∠B＝51°，∠C＝54°，求∠CGD的度数．
图7－5－8
16．教材“复习巩固”第19题变式(1)如图7－5－9①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部的点A′处，此时∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？
请你继续探索：
(2)如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部的点A′处，如图②，此时∠A与∠1，∠2之间存在什么样的关系？
图7－5－9
教师详解详析
1．B C B BAC C
2．A [解析] 因为三角形的内角和是180°，95°＋80°＋5°＝180°，所以选A.
3．A [解析] 因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，且∠A＝∠B＋∠C，所以2∠A＝180°，所以∠A＝90°，
所以△ABC为直角三角形，故选A.
4．A [解析] 由题意，得∠B＝2∠A，∠C＝∠A＋20°，所以∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋2∠A＋∠A＋20°＝180°，解得∠A＝40°.故选A.
5．B [解析] 依据三角形内角和是180°，可得∠D＝40°，再根据平行线的性质，即可得到∠B＝∠D＝40°.
6．A [解析] 因为∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，
所以可设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
由三角形的内角和是180°可得3x＋4x＋5x＝180，解得x＝15，
所以∠A＝3x°＝45°，∠B＝4x°＝60°，∠C＝5x°＝75°，
所以△ABC为锐角三角形．
故选A.
7．92 钝角 [解析] 因为∠A＋∠B＝88°，所以∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝92°.因为∠C＞90°，所以△ABC是钝角三角形．
8．52 [解析] 根据垂直的定义知道∠ACO＝90°，再根据对顶角相等的性质可以知道∠AOC＝∠BOD＝38°，最后应用三角形的内角和是180°求∠A的度数．
9．80° [解析] 设三角形三个内角的度数分别是2x°，3x°，4x°，得出方程2x＋3x＋4x＝180，解得x＝20，所以最大角的度数为4x°＝80°.
10．解： (1)∠C＝180°－∠A－∠B＝10°.
(2)∠A－∠B＝20°，而∠A＋∠B＝180°－90°＝90°，于是可求得∠B＝35°.
(3)设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝7x，根据题意，得x＋x＋7x＝180°，解得x＝20°，
所以∠A＝20°，∠B＝20°，∠C＝140°.
(4)设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
于是有x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，
所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
11．解：AB∥CD.
理由：由EF⊥BD，得∠FED＝90°. 在△EFD中，∠D＝180°－∠FED－∠1＝40°，则∠2＝∠D，所以AB∥CD.
12．C [解析] 先根据三角形的内角和求得以30°角为内角的小钝角三角形的另一个锐角为45°，再利用三角形内角和与邻补角的定义可求得∠α的度数．
13．20 [解析] 根据三角形内角和是180°求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，然后根据三角形内角和定理求出∠BAD，最后根据∠DAE＝∠BAD－∠BAE代入数据进行计算即可得解．
14．解：因为FD⊥BC，
所以∠FDC＝90°.
因为∠AFD＋∠CFD＝180°，∠AFD＝158°，
所以∠CFD＝22°，
所以∠C＝180°－90°－∠CFD＝68°，
所以∠B＝∠C＝68°.
因为DE⊥AB，所以∠DEB＝90°，
所以∠BDE＝180°－90°－∠B＝22°.
又因为∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，
所以∠EDF＝180°－∠BDE－∠FDC＝180°－22°－90°＝68°.
15．解：(1)平行. 理由如下：
因为EF⊥BC，AD⊥BC，
所以∠BFE＝∠BDA＝90°，
所以EF∥AD(同位角相等，两直线平行)，
所以∠2＝∠BAD(两直线平行， 同位角相等)．
因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠BAD，
所以DG∥BA(内错角相等，两直线平行)．
(2)因为DG∥BA，所以∠CDG＝∠B＝51°(两直线平行， 同位角相等)．
因为∠C＋∠CDG＋∠CGD＝180°，
所以∠CGD＝180°－51°－54°＝75°.
16．解：(1) 2∠A＝∠1＋∠2.理由如下：
根据翻折的性质，得∠ADE＝(180°－∠1)，∠AED＝(180°－∠2)，
而∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，
则∠A＋(180°－∠1)＋(180°－∠2)＝180°，整理，得2∠A＝∠1＋∠2.
(2)2∠A＝∠1－∠2.理由如下：
根据翻折的性质，得∠ADE＝(180°－∠1)，∠AED＝(180°＋∠2)，
而∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，
则∠A＋(180°－∠1)＋(180°＋∠2)＝180°， 整理，得2∠A＝∠1－∠2.
第2课时 多边形的内角和
知识点 多边形的内角和
1．七边形的内角和是( )
A．180° B．360° C．900° D．1080°
2．教材练一练第3题变式已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( )
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
3．2017·泰兴期末如图7－5－10，在四边形ABCD中，如果∠A＋∠B＋∠C＝260°，那么∠D的度数为( )
图7－5－10
A．120° B．110°
C．100° D．90°
4．下列度数中，不可能是某个多边形的内角和的是( )
A．180° B．270° C．360° D．540°
5．2018·海南五边形的内角和的度数是________．
6．若四边形四个内角的度数之比为2∶3∶5∶8，则它们的度数分别是______________．
7．求出下列图形中x的值：
(1)根据图7－5－11①列方程：______________，解得x＝________；
(2)根据图7－5－11②列方程：______________，解得x＝________．
图7－5－11
8．已知在一个十二边形中，其中十一个内角的度数和是1680°，求这个十二边形另一个内角的度数．
【能力提升】
9．2018·镇江期末一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
10．2018·南长区模拟如图7－5－12，四边形纸片ABCD中，∠A＝70°，∠B＝80°，将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C′，D′处，折痕为MN，则∠AMD′＋∠BNC′＝( )
图7－5－12
A．50° B．60° C．70° D．80°
11．2018·聊城如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________．
12．如图7－5－13，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
图7－5－13
13．如图7－5－14，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于( )
图7－5－14
A．450°
B．540°
C．630°
D．720°
教师详解详析
1．C [解析] 当n＝7时，180·(n－2)＝900，
所以七边形的内角和为900°，故选C.
2．C [解析] 设这个多边形是n边形，则(n－2)·180°＝900°，解得n＝7.
3．C [解析] ∠D＝360°－(∠A＋∠B＋∠C)＝360°－260°＝100°.故选C.
4．B [解析] 多边形的内角和是180°的整数倍．
5．540° [解析] 五边形的内角和的度数为180°×(5－2)＝180°×3＝540°.
6．40°，60°，100°，160° [解析] 设四边形四个内角的度数分别为2k，3k，5k，8k，则2k＋3k＋5k＋8k＝360°，所以k＝20°，所以四个内角的度数分别是40°，60°，100°，160°.
7．(1)x＋x＋90＋140＝360 65
(2)2x＋x＋90＋150＋120＝540 60
8．解：因为十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1800°，其中十一个内角的度数和是1680°，
所以这个十二边形另一个内角的度数为1800°－1680°＝120°.
9．C [解析] 运用多边形内角和公式，列出关于边数的方程即可．
10．B [解析] 根据四边形的内角和得到∠D＋∠C＝360°－∠A－∠B＝210°.由折叠的性质得到∠MD′B＝∠D，∠NC′A＝∠C，得到∠MD′B＋∠NC′A＝210°，根据平角的定义得到∠AD′M＋∠BC′N＝150°，根据三角形的内角和即可得到结论．
11．540°或360°或180° [解析] n边形的内角和是(n－2)·180°.①边数增加1，则新的多边形的内角和是(4＋1－2)×180°＝540°；②所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是(4－2)×180°＝360°；③所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4－1－2)×180°＝180°.
12．解：不符合规定．
理由：设AB与CD的延长线交于点G，如图．
因为AE⊥EF，CF⊥EF，
所以∠E＝∠F＝90°.
因为∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，
所以∠G＝540°－(124°＋155°＋90°×2)＝540°－459°＝81°.
因为81°≠80°，
所以AB，CD的延长线相交成的角不符合规定．
13．B [解析] 如图．
因为∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.故选B.
第3课时 多边形的外角和
知识点 多边形的外角、外角和
1．2017·仪征一模如果一个多边形的每个外角都等于36°，那么它的边数是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
2．如图7－5－15，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠EAB＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于( )
图7－5－15
A．540° B．360°
C．300° D．240°
3．2018·溧阳月考一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
4．二十边形的外角和为________．
5．2018·邵阳如图7－5－16所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是________．
图7－5－16
6．若一个多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的，则这个多边形是________边形．
7．2017·泰州月考一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
【能力提升】
8．一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和( )
A．随着增加 B．随着减少
C．保持不变 D．无法确定
9．2018·玄武区模拟在如图7－5－17所示的七边形ABCDEFG中，∠1，∠2，∠3，∠4 四个角的外角的度数和为180°，∠5 的外角的度数为60°，BP，DP 分别平分∠ABC，∠CDE，则∠BPD 的度数是( )
图7－5－17
A．130° B．120° C．110° D．100°
10．一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，求它的边数和每个内角的度数．
11．教材习题7.5第12题变式如图7－5－18，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走的路程是________米．
图7－5－18
教师详解详析
1．B
2．C [解析] 如图，由题意得∠5＝180°－∠EAB＝60°，又因为多边形的外角和为360°，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠5＝300°.故选C.
3．C
4．360° [解析] 任意多边形的外角和都是360°.
5．40° [解析] 由∠ADE＝60°，得∠ADC＝120°，而AD⊥AB，则∠A＝90°，所以∠B＝360°－∠C－∠ADC－∠A＝40°.
6．八 [解析] 多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的，则每一个外角的度数为45°.
7．解：设这个多边形的边数为n，
依题意得(n－2)·180°＝360°，解得n＝9.
答：这个多边形的边数为9.
8．C
9．B [解析] 根据邻补角互补，得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝4×180°－180°＝540°，∠5＝180°－60°＝120°，利用多边形的内角和公式求出∠ABC＋∠CDE＝240°，根据角平分线的定义得出∠CBP＋∠CDP＝120°，然后根据四边形的内角和为360°求出∠BPD 的度数．
10．解：设每个内角的度数为n°，则每个外角的度数为(n－140)°，
由n＋(n－140)＝180，得n＝160.
即每个内角的度数为160°，从而每个外角的度数为20°.
由于360÷20＝18，
所以这个多边形为十八边形．
11．100 [解析] 因为每次小亮都是沿直线前进10米后向左转36°，所以他走过的路线组成一个正多边形，边数n＝360°÷36°＝10，所以他第一次回到出发点A时，一共走了10×10＝100(米)．
