5.1 认识一元一次方程 第1课时
如果设小彬的年龄为x岁，那么“乘2再减5”就是_____，
所以得到等式： .
2x-5
2x-5=21
x=13
小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40 cm，
栽种后每周树苗长高约5 cm，大约几周后树苗长高到1m？
如果设x周后树苗升高到1m，那么可以得到方程： .
40+5x=100
甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每时比原计划多行走1km，因此提前12min到达乙地，张叔叔原计划每时行走多少千米？
设张叔叔原计划每时行走xkm，可以得到方程：
根据第六次全国人口普查统计数据，截至2010年11月1日0时，
全国每10万人中具有大学文化程度的人数为8930人，
比2000年第五次全国人口普查时增长了147.30%. 2000年第五次
全国人口普查时每10万人中约有多少人具有大学文化程度？
如果设2000年第五次全国人口普查时每10万人中约有x人具有大学文化程度，那么可以得到方程： .
x(1+147.30%)=8 930
某长方形操场的面积为5 850 m2，长和宽之差为25 m，
这个操场的长与宽分别是多少米？
如果设这个操场的宽为x m，那么长为(x+25)m.
由此可以得到方程： .
上面得到的方程2x-5=21，40+5x=100，x(1+147.30%)=8 930
有什么共同点？
在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解.
判断下列各式是不是方程, 手势表示。
(1) -2+5=3 ( ) (2) 3x-1=7 ( )
(3) m=0 ( ) (4) x﹥3 ( )
(5) x+y=8 ( ) (6) 2x2-5x+1=0 ( )
(7) 2a+b ( ) (8) ( )
√
ｘ
√
ｘ
√
√
ｘ
ｘ
②③⑤
A
3.方程xm-1＋5=0是一元一次方程，则代数式m=___.
4.已知等式5xm＋2＋3＝0是关于x的一元一次方程，则m＝____.
5.方程3xm-2＋5=0是一元一次方程，则代数式4m-5=___.
6.关于x的方程x|m|＋9＝0是一元一次方程，则m＝____．
7.方程(k-2)x+21=0是关于x的一元一次方程，则k_____.
8.关于x的方程(k－1)x|k|－9＝0是一元一次方程，则k＝____．
9.关于x的方程(m＋2)x|m|－1＋9＝0是一元一次方程，则m＝___．
10.方程2x＝ax2＋1是关于x的一元一次方程，则a=___。
11.方程(a+6)x2+3x-8=7是关于x的一元一次方程，则a=_____。
12.已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，则m＝___．
2
－1
2
－6
－1
7
±1
≠2
0
1
解：设“它”为x，则 x+ x=19
甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得了22 分，甲队胜了多少场？平了多少场？
解：设甲队胜了x场，则平了(10－x)场.
3x+(10－x)=22
2.在一次有12个队参加的足球循环赛(每两队之间需比赛一场)中，
规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队在这次循环
赛中所胜场数比所负场数多两场，结果积18分，则该队负了几场？
设该队所负场数为x场，则所胜场数为_____场，平 _ _场，
根据题意列方程为 _ _ ___ ．
x＋2
11－(2x＋2)
3(x＋2)＋11－(2x＋2)＝18
3.小明准备为希望工程捐款，他现在有20元，以后每月打算存10元，
若设x月后他能捐出100元，则下列方程中能正确计算出x的是( )
A．10x＋20＝100 B．10x－20＝100
C．20－10x＝100 D．20x＋10＝100
A
B
D
B
7.甲、乙两人分别用20元和10元买了一本同样的书，结果营业员找给
甲的零钱是找给乙的零钱的6倍，求这本书的价格．
设这本书的价格为x，列方程得：________________．
20－x＝6(10－x)
9.小颖的爸爸今年44岁，是小颖年龄的3倍还大2岁，
设小明今年x岁， 则可列出方程：__________.
10.3年前，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，3年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，求父子今年各是多少岁？
设3年前儿子年龄为x岁，则可列出方程： .
3x＋2＝44
4x+3＝3(x+3)
11.甲车队有60辆汽车，乙车队有50辆汽车，如果要使乙车队车辆数比甲车队
车辆数的2倍还多5辆，那么应从甲车队调多少辆车到乙车队？
本题可设 ，这时列出的方程为 ．
12.七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，
到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人，
设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为 ．
从甲车队调x辆车到乙车队
2(60－x)＋5＝50＋x
2x＋56＝589－x
方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
如何判断一个数是否是某方程的解？
将数值代入方程中，看左右两边的值是否相等.
随堂练习2题：x=2 是下列方程的解吗？
（1）3x+(10-x)=20； （2）2x2+6=7x
解：（1）3×2+(10-2)=6+8=14≠20
（2）2×22+6=8+6=14
1.解为x＝2的方程是( )
A．2x＝6 B．(x－3)(x＋2)＝0 C．x2＝3 D．3x－6＝0
2.下列方程中解为x＝－2的是( )
A．3x－2＝2x B．4x－1＝3 C．2x＋1＝x－1 D．x－4＝0
3.方程x－1＝1的解是( )
A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
C
D
D
C
解：(1)由一元一次方程的特点得m＋4＝1，解得m＝－3.
故原方程可化为－6x＋18＝0，解得x＝3.
7.已知关于x的方程(m－3)xm＋4＋18＝0是一元一次方程．
试求：(1)m的值及方程的解； (2)2(3m＋2)－3(4m－1)的值．
6.已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值是___．
1
(2)2(3m＋2)－3(4m－1)＝6m＋4－12m＋3＝－6m＋7
把m＝－3代入上式，原式＝－6×(－3)＋7＝18＋7＝25.
5.1 认识一元一次方程 第2课时
探究等式性质1
a=b
a+a=b+b
2a=2b
a+a+a=b+b+b
3a=3b
5x=3x+4
2x=4
x=2
1.如图,下列四个天平中,相同形状的物体的质量是相等的,其中第①个天平
是平衡的,根据第①个天平,后三个天平仍然平衡的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两台天平保持平衡，
如果要使第三台天平也保持平衡，那么“?”处应放“■”的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
A
C
等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式。
等式的基本性质1：
等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数)，
所得结果仍是等式。
（c为常数，且c≠0）
（c为常数）
等式的基本性质2：
C
A
C
C
根据等式性质一我们来解一元一次方程。
例1 解下列方程：
(1)x+2=5; (2) 3=x-5
解 : (1)方程两边同时减去2，得
x+2-2=5-2
于是 x=3
(2)方程两边同时加上5，得
3+5=x-5+5
于是 8=x
习惯上，我们写成x=8.
把求得的结果代入方程，
可以检验方程是否正确。
检验：
左边=3+2=5
右边=5
所以x=3是方程x+2=5的解
把x=3代入方程x+2=5，得：
左边=右边
(3) -y+3=5； (4) 6-m=-3
解：方程两边同时减去 3，
得 -y+3-3=5-3
-y=2
于是 y=-2
解：方程两边同时减去6，
得 6-m-6=-3-6
-m=-9
于是 m=9
例2. 解下列方程：
解：方程两边同时除以–3，得
化简，得 x=－5
解：方程两边同时加上2，得
方程两边同时乘-3，得
n=－36.
利用等式的性质解下列方程并检验
解：两边减2，得：
化简得：
两边乘-4，得：
方程
检验：
左边
右边
，得：
所以
是方程的解
把
代入
解：两边减4，得：
化简得：
两边除以5，得：
方程
检验：
左边
右边
，得：
所以
是方程的解
把
代入
利用等式的基本性质应注意的几点问题
1.利用等式的基本性质1时，应注意不要漏加或漏减，且是同一个整式.
2.利用等式的基本性质2时，应注意不要漏乘或漏除，
且必须是同一个数(除数不能是0).
4.由方程-2x=4，两边同时 ，得 x=-2.
5.在等式5y-4=6中，两边同时 ，可得到5y=10，
再两边同时 ，可得到y=2。
加上4
除以5
同时加1
同时除以2
2.由4x=-2x+1可得出4x+ = 1 .
3.由等式3x+2=6的两边都 ，得 3x=4.
2x
减去2
除以-2
1.解下列方程：
(1) x–9=8 ; (2) 5–y=-16
2.小红编了一道这样的题：我是4月出生的,我的年龄的2倍加上8，正好
是我出生那一月的总天数。你猜我有几岁？请你求出小红的年龄.
解：设小红的年龄为x岁，那么“乘2再加8”就是_____，
所以得到等式： .
2x+8
2x+8=30
5.2解方程（第1课时）
等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式。
等式的基本性质1：
等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数)，
所得结果仍是等式。
（c为常数，且c≠0）
（c为常数）
等式的基本性质2：
解:方程两边同时加上2,得
5x–2 =8
即 5x =
10
两边同除以5,得:
x=2.
解方程: 5x–2=8
把原求解的书写格式改成：
5x–2 = 8
5x = 8+2
这个变形相当于把 ①中的“–2”这一项
“–2”这项从左边移到了右边的过程中,有些什么变化?
改变了符号
把原方程中的–2改变符号后，从方程的一边移到另一边，
这种变形叫移项 ．
从左边移到了右边.
解方程: 5x－2=8
解: 移项，得：
5x=8+2
化简，得：
5x=10
两边同时除以5，得：
x=2.
解方程: 5x－2=3x－10
解: 移项，得：
5x－3x=－10+2
化简，得：
2x=－8
两边同时除以5，得：
x=－4.
解方程的基本思想:是经过对方程一系列的变形,
含未知数的项宜向左移、常数项往右移,
最终把方程转化为“x=d”的形式.
①等号左、右分别都只有一项，且左边是未知数项，右边是常数项；
②未知数项的系数为1．
解: 移项，得：
2x=1-6
化简，得：
2x=-5
两边同时除以2，得：
x=-2.5
例1 解下列方程：
(1) 2x+6=1 (2) 3x+3=2x+7
3x–2x=7–3
合并同类项 ,得
x=4;
解: 移项，得：
解下列方程：
(1) 2x+7=0 (2) x-10=-3x
(3) 7x+4=2x-6 (4) 3x+6=7x-2
解: 移项，得：
2x=-7
两边同时除以2，得：
x=-3.5
解: 移项，得：
x+3x=10
合并同类项，得：
4x=10
两边同时除以4，得：
x=2.5
解: 移项，得：
7x-2x=-6-4
合并同类项，得：
5x=-10
两边同时除以5，得：
x=-2
解: 移项，得：
3x-7x=-2-6
合并同类项，得：
-4x=-8
两边同时除以-4，得：
x=2
解: 移项，得：
合并同类项，得：
x=5
解: 移项，得：
合并同类项，得：
B
D
3.方程4x－2＝3－x解答过程的顺序是( )
①合并同类项，得5x＝5；②移项，得4x＋x＝3＋2；
③系数化为1，得x＝1.
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．③①②
C
D
D
6.方程2x－1＝3x＋2的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝－3 D．x＝3
C
D
B
A
x=2
A
D
19.若4m－9与3m－5互为相反数，则m2－2m＋1的值为__．
1
4
2
5
9
5.2解方程（第2课时）
1听果奶饮料多少钱呢？
设1听果奶饮料x元，
(1)上面这个方程列的对吗？为什么？你还能列出不同的方程吗？
可列出方程：4(x+0.5)+x=10-3
设1听可乐饮料y元，
(2)怎样解所列的方程？
可列出方程：4y+(y-0.5)=10-3
1听可乐饮料(x+0.5)元，
例3 解方程：4(x+0.5)+x=7
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
方程两边同除以5,得
4x+2+x=7
4x+x=7-2
5x=5
x=1
例4 解方程: -2(x-1)=4.
解法一：去括号，得
移项，得
方程两边同除以-2，得
-2x+2=4
-2x=4-2
x=-1
化简，得
-2x=2
解法二：
移项，得
化简，得
方程两边同除以-2，得
x-1=-2
x=-2+1
x=-1
1.解方程：
(1) x-6(2x-1)=4 (2) 3x－2(10－x)＝5
解:去括号,得 3x－20＋2x＝5
移项,得 3x＋2x＝5＋20
合并同类项,得 5x＝25
方程两边同除以5,得 x＝5
解:去括号,得 3－2x＋3＝2x＋6
移项,得 －2x－2x＝6－3－3
合并同类项,得 －4x＝0
方程两边同除以－4,得 x＝0
解:去括号,得 8x－20－3x－9＝6
移项,得 8x－3x＝6＋20＋9
合并同类项,得 5x＝35
方程两边同除以5,得 x＝7
A
解：错在第①步，
正确的解法：去括号得 x＋1－2x＋2＝1－3x
移项，得 x－2x＋3x＝1－2－1
合并同类项得 2x＝－2
系数化为1，得 x＝－1
D
4.解方程(3x＋2)＋2[(x－1)－(2x＋1)]＝6，得x等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
D
6.若式子3(x＋3)与2(x－1)的差为2，则x＝____.
－9
C
8.设A＝3y－2，B＝2y＋4，当y＝____时，A＝2B.
－10
0
C
B
－2
10－14(1－x)＝18
5.2解方程（第3课时）
解方程:
解法二:去分母,得 4(x+14)=7(x+20)
首先找所有分母的最小公倍数,然后根据等式的性质二,
把方程两边同乘以这个最小公倍数,从而消去分母.
解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、
未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程”转化”成x=a的形式.
去括号,得 4x+56=7x+140
移项,得 4x-7x=140-56
合并同类项, 得 -3x=84
系数化为1, 得 x=-28
各分母的最小公倍数为30，
方程两边同乘以30，
解:去分母得：6(x+2)+3x-2(2x-1)-24=0
去括号得：6x+12+3x-4x+2-24=0
移项得： 6x+3x-4x=24-12-2
合并同类项得： 5x=10
系数化为“1”得： x=2
解:去分母得：3(200+x)-2(300-x)=1080
去括号得：600+3x-600+2x=1080
移项得： 3x+2x=1080-600+600
合并同类项得： 5x=1080
系数化为“1”得： x=216
C
D
C
B
①⑤
C
B
A
x=1
－4
2
5
1
C
B
分式的基本性质
等式性质2
去括号法则
移项
等式性质1
合并同类项
系数化为1
等式性质2
A
5.3 我变高了
（1）长方形的周长= 面积= 长方体的体积=
（2）正方形的周长= 面积= 正方体的体积=
（3）圆的周长= 圆的面积= 圆柱的体积=
abc
4a
a2
a3
2 πr
πr2
πr2 h
（4）V圆锥= S梯形= S三角形= .
常见的体积、面积公式
知识点 知识点要素 梳理知识要点
等积变形 体积、
面积相等 等积变形,即物体的外形或形态发生变化,
但变化前后的体积(或面积)不变
等长变形 周长相等 等长变形,即物体(通常是指铁丝等)围成不同的图形,图形的形状变化了,但图形的周长没变
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱
形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶
原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径
由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，
水箱的高度将由原先的4m增高为多少米?
解：设水箱的高变为 xm，填写下表：
2m
1.6m
4m
xm
等量关系：
旧水箱的容积＝新水箱的容积
根据等量关系，列出方程：
解方程得 x=6.25
因此，高变成了 厘米
6.25
=
旧水箱 新水箱
底面半径
高
体 积
1.将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，
锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，
则锻压后圆柱的高变成了多少？
解：设高变成了x厘米，
根据题意得 π×102×9＝π×52·x，
解得x＝36，则高变成了36厘米
D
2.内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm，内高为32mm的圆柱形
玻璃杯容纳同样多的水，则内径为120mm的玻璃杯的内高为( )
A．150 mm B．200 mm
C．250 mm D．300 mm
B
B
4.如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，
内部底面积分别为80cm2，100cm2，且甲容器装满水，
乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，
则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，甲的容积为( )
A．1 280 cm3 B．2 560 cm3 C．3 200 cm3 D．4 000 cm3
C
5.把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径
为4cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水)，水面将增高多少？(不外溢)
相等关系：水面增高体积=长方体体积
6.将内直径为20厘米的圆柱形水桶中的水(未知水位高度)倒入一个
长、宽、高分别为30厘米、20厘米、80厘米的长方体铁盒中，
刚好倒满，求圆柱形水桶内水的高度．(π取3.14)
B
(1)在一个底面直径为3cm，高为22cm的量筒内装满水，再将筒内的水倒入
底面直径为7cm，高为9cm的烧杯内，能否完全装下？
若装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度。
(2)若将烧杯中装满水倒入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还剩水多高？
解：
所以，能装下。
设杯内水面的高度为x厘米,
杯内水面的高度为4.04厘米.
因为
所以，不能装下.
设杯内还剩水的高度为y厘米,
因此，杯内还剩水的高度为4.96厘米。
B
C
解：设长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m，
2(x+1.4+x)=10.
解得 x=1.8.
长为：1.8+1.4=3.2（m）;
答：长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
等量关系：
(长+宽)×2=周长.
例：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)使得该长方形的长比宽多1.4m，
此时长方形的长、宽各是多少米呢？
由题意得
(2)使得该长方形的长比宽多0.8m，
此时长方形的长、宽各为多少米？
它所围成的长方形与(1)所围成的
长方形相比，面积有什么变化？
解：设长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m.
由题意得 2(x+0.8+x)=10
解得 x=2.1
长为：2.1+0.8=2.9
长方形的长为2.9m，宽为2.1m. 面积为2.9×2.1=6.09(m2)
(1)中长方形面积为3.2×1.8=5.76(m2)
面积增加了：6.09-5.76=0.33(m2)
(3)使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，
此时正方形的边长是多少米？
围成的面积与(2)所围成的面积相比，又有什么变化？
解：设正方形的边长为xm.
由题意得 4x=10.
解得 x=2.5.
边长为：2.5m；
面积为：2.5×2.5=6.25(m2).
面积增加：6.25-6.09=0.16(m2).
(4)如果把这根长为10m的铁丝围成一个圆，
这个圆的半径是多少？面积是多少？
解：设圆的半径为xm.
由题意得 2πx=10.
解得 x≈1.59.
面积为：π×1.592=7.94(m2).
答：这个圆的半径是1.59m，面积是7.94m2.
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
10
10
10
10
6
6
？
分析：等量关系是 变形前后周长相等
解：设长方形的长是x厘米，则
解得
因此小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。
1.把一个用铁丝围成的长方形改制成一个正方形，
则这个正方形与原来的长方形比较( )
A．面积与周长都不变化 B．面积相等，但周长发生变化
C．周长相等，但面积发生变化 D．面积与周长都发生变化
C
3.用一根铁丝围成一个长24、宽12的长方形，若将它改制成一个正方形，
这个正方形的面积是( )
A．81 B．18 C．324 D．326
B
C
B
7.已知一梯形的高为8cm，上底长为14cm，下底长比上底长的2倍少6cm，
若把这个梯形改成与其面积相等的正方形，则这个正方形的周长为___cm.
48
C
1.用长为20 m的铁丝沿墙围成一个长方形(墙的一面为长方形的长，
不用铁丝)，长方形的长比宽长2m．求长方形的面积．
解：设宽为x m，则长为(x＋2)m，
根据题意得 2x＋(x＋2)＝20，解得x＝6，
所以x＋2＝8，故长方形的面积为6×8＝24(m2)
2.一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14m，其他三边用竹篱笆围成，
现有长为35m的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5m；
小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2m．
你认为谁的设计符合实际，按照他的设计，鸡场面积是多少？
解：设长为x m，依题意得 x＋2(x－5)＝35，x＝15＞14，
∴小王的设计不符合实际，舍去；
x＋2(x－2)＝35，x＝13＜14，
∴小赵的设计符合实际，面积为11×13＝143(m2)
墙壁
解：设大正方形的边长为x厘米，
有方程x－2－1＝4＋5－x，
解得x＝6，
所以大正方形面积为36平方厘米
4.如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，
再从剩下的纸片上剪下一条宽为8 cm的长条．如果两次剪下的
长条面积正好相等，则原正方形的边长是( )
A．20 cm B．24 cm
C．48 cm D．144 cm
6x＝8(x－6)
B
3.如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、
宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形的纸板，
恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？
5.某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．
如果长方体盒子的长比宽多4cm，
求这种药品包装盒的体积．
解：设长方体的宽为xcm，则长为(x＋4)cm，高为(7－x)cm，
由题意得 (x＋4)＋2(7－x)＝13，解得x＝5，
x＋4＝9，7－x＝2，9×5×2＝90(cm3)，
则这种药品包装盒的体积为90 cm3
6.图1是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的
长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，
则它的体积是_____cm3.
高为xcm，则宽为2xcm
2x＋x＋2x＋x＝30
8.如图是由7个大小相同的小长方形拼成的花坛，
已知每个小长方形的周长为14 m，
那么这个花坛的周长为____m.
34
7.小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，
请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，
它的高度约是( )
A．106 cm B．110 cm C．114 cm D．116 cm
A
(14-9)÷(8-3)=1
9-2+99=106
小长方形长为xm，则宽为(7-x)m
2x=5(7-x)
x=5
5.4打折销售
打折销售现场
进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价).
售价：在销售商品时的售出价(有时称成交价，卖出价).
标价：在销售时标出的价(有时称原价，定价).
利润：在销售商品的过程中的纯收入(利润＝售价—进价)
利润率：利润占进价的百分率，
进价
减利润
售价
加提高价
标价
乘以打折数
商品利润=商品售价—商品进价
进价、标价、售价之间关系
商品售价＝成本+利润＝成本(1+利润率)
＝进价×利润率
所谓打折，就是商品以标价为基础，按一定的比例降价出售，
它是商家们的一种促销行为。
例如：一个滑板标价200元，若以九折出售，
则实际售价为 200×0.9＝180（元），
若打七折，则实际售价为 200×0.7＝140（元）。
打折是怎么回事？
(1)原价100元的商品打8折后价格为 元； (2)原价100元的商品提价40%后的价格为 元； (3)进价100元的商品以150元卖出，利润是 元，利润率是 ；
80
140
50
50%
(4)某件商品现在的售价为34元，比原价降低了15%，
则原来的售价是 元；
40
(1－15%)x＝34
设每件衣服的成本价为x元,
那么每件衣服标价为__________元；
每件衣服的实际售价为______________元；
每件衣服的利润为__________________元。
由此，列出的方程：___________________
解方程，得x=_____
因此每件服装的成本价是____元。
(1+40%)x
(1+40%) x·80%
(1+40%) x·80%－x
(1+40%) x·80%－x=15
125
125
一家商店将某种服装按成本价
提高40%后标价，又以8折优惠卖出，
结果每件仍获利15元，
这种服装每件的成本是多少元？
1.一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，
每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？
解：设每件夹克的成本价是x元，则：
(1+50%)x·80%=60
2.某商店有一套运动服，按标价的8折出售仍可获利20元，
已知这套运动服的成本价为100元，问这套运动服的标价是多少元？
解：设这套运动服的标价是x元，
则有 0.8x＝100＋20，解得x＝150，
则这套运动服的标价是150元
解得， x=50
答：这批夹克每件的成本价是50元。
3.五一节期间，某电器按进价提高30%后标价，再打8折销售，售价为2080元.
设该电器的进价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A．x(1＋30%)×80%＝2080 B．x·30%·80%＝2080
C．2080×30%×80%＝x D．x·30%＝2080×80%
A
4.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，
结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？
若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为( )
A．45%×(1＋80%)x－x＝50 B．80%×(1＋45%)x－x＝50
C．x－80%×(1＋45%)x＝50 D．45%×(1－80%)x－x＝50
B
5.某商店一套服装的进价为200元，若按标价的80%销售可获利72元，
则该服装的标价为_____元．
340
0.8x－200＝72
6.服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，
仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多____元．
120
0.8×300－y＝60
y＝180
7.某商场将一件家用电器加价40%后打9折，商场获利390元，
这件家用电器的进价是_____元．
1500
0.9×(1＋40%)x－x＝390
8.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，
决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．
在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，
这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是(500－x)元，
根据题意，得 90%(1＋50%)x＋90%(500－x)(1＋40%)＝500＋157
解得 x＝300.
所以乙服装的成本是500－300＝200(元)
答：甲、乙两件服装的成本分别为300元、200元
9.甲商品进价1000元，按标价1200元的8.5折出售，乙商品进价为400元，
按标价600元的7.5折出售，则甲、乙两商品的利润( )
A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法比较
B
甲 0.85×1200－1000＝20
乙 0.75×600－400＝50
10.某时装标价为650元，某女士以5折又少30元购得，店家净赚50元，
那么此时装进价为( )
A．275元 B．295元 C．245元 D．325元
C
0.5×650－30＝x＋50
11.某商场因换季准备处理一批羊绒衫，若每件羊绒衫按标价的六折
出售将亏110元，若按标价的八折出售，每件将赚70元．
每件羊绒衫的标价是多少元？进价是多少元？
解：设每件羊绒衫的标价为x元，根据题意得
0.6x＋110＝0.8x－70，解得x＝900，
所以进价为 900×0.6＋110＝650(元)，
因此，该羊绒衫每件的标价为900元，进价为650元
12.试根据图中信息，解答下列问题：
(1)购买6根跳绳需_____元，
购买12根跳绳需____元；
(2)小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，
你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；
若没有，请说明理由．
解：有这种可能，设小红买了x根跳绳，则 25×0.8·x＝25(x－2)－5
解得x＝11，则小红买了11根跳绳
150
240
13.小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：
“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了
数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤
就是按标价，还比你多花了3元呢！”小王购买豆角的数量是____斤.
30
3×0.8·x＝3(x－5)－3
某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%，
此商品的进价为1800元，那么商品的原价是多少？
解：设商品的原价是x元，根据题意，得
解得， x=2475
答：这商品的原价是2475元。
1.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的
成本价. 设这种服装的成本价为x元，则得到方程( )
A．x＝150×25% B．25%·x＝150
C．x(1＋25%)＝150 D．150－x＝25%
C
2.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按8折优惠出售，
已知某种皮鞋进价为60元一双，8折出售后商家所获利润率为40%，
问这种皮鞋标价是多少？优惠价是多少？
解：设皮鞋标价为x元，依题意得 0.8x＝60×(1＋40%)，
解得x＝105， 优惠价为 0.8x＝84(元)
5.书店里每本定价100元的书，成本是80元，为了促销，
书店决定让利10%给读者，问：该书应打几折？
7.某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定
将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，
则该服装标价是( )
A．350元 B．400元 C．450元 D．500元
B
B
800
9.某商场的老板销售一种商品，他要以不低于20%的利润才能出售，
但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下
标价为360元的这种商品，最多降价____元时商店老板才能出售．
120
10.某商店有2个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利60%，
另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店是赚了还是亏了，
还是不赚也不亏？
分析：商店盈利还是亏本是相对于成本价而言的.从题目可知两个
计算器共卖了160元，要知道商店是赚了还是亏了，需要知道
两个计算器的进价是多少，然后与160相比就知道盈亏情况了，
求进价时要用到进价×(1+利润率)=售价这个等量关系.
解：设盈利60%的计算器进价为x元，根据题意得 x(1+60%)=80
解这个方程，得 x=50
设亏本20%的计算器进价为y元，根据题意得 y(1-20%)=80
解这个方程，得 y=100
此时2个计算器成本为 50+100=150，售价为 80×2=160，
利润为160-150=10.
因此，在这次买卖中这家商店赚了10元.
11.某服装商店以135元的价格售出两件衣服，按成本计算，
第一件盈利25%，第二件亏损25%，
则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？
解：设第一件衣服的成本价是x元，
则由题意得：x(1+25%)=135
解这个方程，得：x=108。
则第一件衣服赢利：135－108=27。
设第二件衣服的成本价是y元，
由题意得：y(1－25%)=135
解这个方程，得：y=180。
则第二件衣服亏损：180－135=45
总体上约亏损了：45－27=18（元）
因此，总体上约亏损了：18元。
1.某商场上月的营业额是a万元，本月比上月增长15%，
那么本月的营业额是( )
A、15%a万元 B、a(1+15%)万元
C、15%(1+a)万元 D、(1+15%)万元
B
D
C
(1－10%)(1－10%)(1＋20%)a
(1－20%)x=a
5.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，
甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，
在哪家超市购买同种商品更合算( )
A、甲 B、乙 C、同样 D、与商品价格相关
6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续
两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，
第二次降价10%，那么顾客在哪家超市购买这种商品更合算( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样
B
7.一件商品提价25%后发现销路不是很好，
欲恢复原价，则应降价( )
A.40% B.20% C.25% D.15%
B
B
(1＋25%)(1－x)a=a
甲(1－10%)(1－10%)=0.81
甲(1－20%)(1－20%)=0.64
丙(1－30%)(1－10%)=0.63
1.某超市为加快资金回笼，特推出如下优惠方案：
(1)一次性购物不超过100元，不享受优惠；
(2)一次性购物超过100元，但不超过300元，一律9折；
(3)一次性购物超过300元，一律8折．
某人两次购物分别付款80元、252元，
如果他将这两次所购商品一次性购买， 则应付款多少元？
解：设第二次购物原价为x元．
①若100＜x≤300，则0.9x＝252，解得x＝280，
则一次性购买为280＋80＝360(元)，应付款360×0.8＝288(元)
②若x＞300，则0.8x＝252，解得x＝315，
则一次性购买为315＋80＝395(元)，应付款395×0.8＝316(元)
2.某书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；
②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；
③一次性购书超过200元一律打八折．如果小明同学一次性购书付款162元，
那么他所购书的原价一定为( )
A．180元 B．202.5元
C．180元或202.5元 D．180元或200元
C
3.某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，
超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算，
某同学第一次购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，
他查看所买书的定价，发现两次共节省了34元，
则该学生第二次购书实际付款____元．
204
72÷0.9=80
x=230
100＜x≤200，则0.9x＝162，
x＝180，
x＞200，则0.8x＝162，
x＝202.5
34-8=26
230-26=204
4.某超市“十一”期间搞促销，一次性购物不超过200元不优惠；超过200元，
但不超过500元，按九折优惠；超过500元，超过部分按八折优惠，
其中的500元仍按九折优惠．某人两次购物分别用了134元和466元．问：
(1)此人两次购物，若物品不打折，值多少钱？
(2)此人两次购物共节省多少钱？
(3)若将两次购物的钱合起来，一次购买相同物品，是否更节省？说明理由.
解：(1)因为200×0.9＝180＞134，所以购134元的商品未优惠，
又500×0.9＝450＜466，故购466元的商品有两项优惠，
设其售价为x元，依题意得500×0.9＋(x－500)×0.8＝466，
解得x＝520. 故如果不打折，则分别值134元和520元，共值654元
(2)节省654－(134＋466)＝54(元)
(3)是，654元的商品优惠价为500×0.9＋(654－500)×0.8＝573.2(元)，
可节省(134＋466)－573.2＝26.8(元)
5.某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表，
若商店计划销售完这批商品后能获利1100元(注：获利＝售价－进价)
问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
解：设甲种商品应购进x件，则乙种商品应购进(160－x)件，
依题意得(20－15)x＋(45－35)(160－x)＝1100，
解得x＝100，则160－x＝60，
即购进甲种商品100件，乙种商品60件
甲 乙
进价(元/件) 15 35
售价(元/件) 20 45
6.某工厂出售一种产品，其成本价为每件28元，如果直接由厂家
门市部出售，每件产品售价是35元，每月还要支付其他费用2100元；
如果委托商店销售，那么出厂价为每件32元．
(1)求这两种销售方式下，每月销售多少件时，所得利润相等？
(2)若每月销售量达1000件时，采用哪种销售方式获利较多？
解：(1)设每月销售x件时，两种方式的销售利润相等，
由题意得(35－28)x－2100＝(32－28)x，
解得x＝700，即每月销售700件时所得利润相等
(2)当x＝1000时，
方式一的利润是(35－28)×1000－2100＝4900(元)；
方式二的利润是(32－28)×1000＝4000(元)，
所以按厂家直销方式获利较多
7.某商场用2500元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，
这两种台灯的进价、标价如下表所示．
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，
那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？
解：(1)设A新型节能台灯购进x盏，则B新型节能台灯购进(50－x)盏，
根据题意得 40x＋65(50－x)＝2500
解得x＝30，则50－x＝20
所以购进A，B两种新型节能台灯分别为30盏，20盏
(2)台灯全部售出后，商场获利为
30×0.9×60＋20×100×0.8－2500＝720(元)
300
5x＋0.7?5x＝2550
类型 ? ?
价格 A型 B型
进价(元/盏) 40 65
标价(元/盏) 60 100
9.为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，
具体执行方案如表：
例如：一户居民7月份用电420度，
则需缴电费420×0.85＝357(元)．
某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元．
已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度.
问该户居民5，6月份各用电多少度？
解：当5月份用电量为x度≤200度，6月份用电(500－x)度，
由题意得 0.55x＋0.6(500－x)＝290.5，解得x＝190，
∴6月份用电500－x＝310(度)；
当5月份用电量为x度＞200度，6月份用电量为(500－x)度，
由题意得 0.6x＋0.6(500－x)＝290.5，300≠290.5，原方程无解，
则该居民5月份用电190度，6月份用电310度
档次 每户每月用电数(度) 执行电价(元/度)
第一档 小于等于200 0.55
第二档 大于200小于400 0.6
第三档 大于等于400 0.85
分析：要求该用户四月份应交电费多少元，需要知道该用户四月份共用了
多少度电.从题中“某用户四月份的电费平均每度0.5元”可知用电
一定是超过了140度.那么该用户四月份的电费可以按计价方式算，
也可以用平均每度0.5元算，而这个等量关系是题中隐含的.
解：设该用户四月份用电x度，根据题意得 140×0.43+0.57(x-140)=0.5x
解得 x=280. 此时，280×0.5=140.
所以，该该用户四月份应交电费140元.
10.为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费，用电不超过140度，
按每度0.43元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费.
若某用户四月份的电费平均每度0.5元，问该用户四月份应交电费多少元？
解这个方程，得 y=140.
所以，该该用户四月份应交电费140元.
11.参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司
制定的报销细则如下表．某人住院治疗后得到的保险公司报销金额
是1 000元，那求此人住院的医疗费．
解：由表可知，
当住院的医疗费是1000元时，
应报销(1000－500)×60%＝300(元)；
当住院的医疗费为3000元时，
应报销300＋(3000－1000)×80%＝1900(元)．
由于此人的报销金额为1 000元，大于300元而又小于1 900元，
故此人住院的医疗费应在1 000元以上，3 000元以下．
设此人住院的医疗费是x元，
由题意，可得300＋(x－1 000)×80%＝1 000.
解得x＝1 875.所以此人住院的医疗费为1 875元．
住院医疗费(元) 报销率(%)
不超过500元的部分 0
500～1000元的部分 60
1000～3000元的部分 80
… …
12.王大爷存入银行2500元，定期一年到期后扣除20%的利息税后
得到本息和为2650元，问这种储蓄的年利率是多少？
分析：有关储蓄问题常常要涉及以下四个量，本金，利息，利息税，
本息和.这四个量之间的等量关系是：
本金+利息(扣除利息税以后)=本息和.
在这个题中可用的等量关系有两个，
本金+利息(扣除利息税以后)=本息和，
或者不除利息税的本息和-利息税=实际得到的本息和.
解：设这种储蓄的年利率是x，根据题意得
2500(1+x)-2500x×20%=2650 或 2500+2500x(1-20%)=2650
所以，这种储蓄的年利率是7.5%.
5.5“希望工程”义演
审——通过审题找出等量关系；
设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；
列——依据找到的等量关系，列出方程；
解——求出方程的解（对间接设的未知数切记继续求解）；
检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题；
答——注意单位名称．
例：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，成人票８元，学生票５元.
（1）成人票卖出600张，学生票卖出300张，共得票款多少元？
分析：总票款=成人票数×成人票价＋学生票数×学生票价.
解：8×600＋5×300=4800＋1500=6300（元）
答：共得票款6300元．
（2）成人票款共得6400元，学生票款共得2500元，
成人票和学生票共卖出多少张？
分析：票数=总票款÷票价.
解：
答：成人票和学生票共卖出1300张．
（3）如果本次义演共售出1000张票，筹得票款6950元，
成人票与学生票各售出多少张？
例：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，成人票８元，学生票５元．
分析：本题中存在2个等量关系：1000=成人票数＋学生票数；
6950=成人票款＋学生票款.
方法(1)分析：列表
解：设学生票为x张，据题意得 5x＋8(1000－x)=6950.
x
1000-x
5x
8(1000-x)
解得 x=350
此时，1000－x=1000－350=650(张).
答：售出成人票650张，学生票350张．
学生 成人
票数(张)
票款(元)
解：设学生票款为y元，
据题意得
方法(2)分析：列表
解得 y=1750，
1000－350=650(张).
答：售出成人票650张，学生票350张．
（3）如果本次义演共售出1000张票，筹得票款6950元，
成人票与学生票各售出多少张？
例：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，成人票８元，学生票５元．
y
6950-x
学生 成人
票数(张)
票款(元)
答：因为x= 不符合题意，所以如果票价不变，
解：设售出学生票为x张，
据题意得 5x＋8(1000－x)=6930
解得 x=
变式：如果票价不变，那么售出1000张票所得的票款可能是6930元吗？
例：某文艺团体为“希望工程”募捐义演，成人票８元，学生票５元．
分析：列表
售出1000张票所得票款不可能是6930元．
6932
5x＋8(1000－x)=6932
解得 x=356
学生 成人
票数(张) x 1000-x
票款(元) 5x 8(1000－x)
1.初一(1)班举办了一次集邮展览，展出的邮票数若以平均每人3张
则多24张，以平均每人4张则少26，这个班级有多少学生？
一共展出了多少张邮票？
分析：列表
解：设这个班有学生x人，
据题意得 3x＋24=4x－26
解得 x=50
此时,3x＋24=150+24=174(张).
答：共有学生50人，邮票174张．
等量关系：邮票总张数相等
学生人数 邮票张数
方案1 x 3x＋24
方案2 x 4x－26
2.某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2 000件．
已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件．
求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水各多少件？
解：设该企业捐给乙学校的矿泉水为x件，
则捐给甲学校的矿泉水是(2x－400)件；
根据题意，得 2x－400＋x＝2 000
解得 x＝800
2x－400＝2×800－400＝1 200(件)
答：该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水是1 200件、800件．
3.某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的
3倍还多1人，第三车间人数是第一车间人数的一半还少1人，
三个车间各有多少人？
解: 设第一车间有x人，则第二车间有(3x＋1)人，
第三车间有(0.5x－1)人
据题意得 x＋3x＋1＋0.5x－1=180
解得 x=40
此时，3x＋1=3×40＋1=121(人)
0.5x－1=0.5×40－1=19(人)
答：第一、二、三车间分别有40人，121人，19人．
B
C
6.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好
用去14元．如果设水性笔的单价为x元，那么下列方程正确的是( )
A．5(x－2)＋3x＝14 B．5(x＋2)＋3x＝14
C．5x＋3(x＋2)＝14 D．5x＋3(x－2)＝14
A
D
D
B
10.学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出，共购得8张甲票，4张乙票，
总计用了112元，已知每张甲票比乙票贵2元．
则甲票、乙票的票价分别是( )
A．甲票10元/张，乙票8元/张 B．甲票8元/张，乙票10元/张
C．甲票12元/张，乙票10元/张 D．甲票10元/张，乙票12元/张
A
11.王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，
乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，
则甲种药材买了____千克．
5
8x＋4(x－2)=112
20x＋60(x－2)=280
12.现有面值为2元和5元的人民币共39张，币值共计111元，
则面值2元的人民币有____张，面值5元的人民币有____张．
28
11
2x＋5(39－x)=111
13.光明中学学生为“希望工程”捐款，甲、乙两班共捐款425元，
已知甲班有50人，乙班比甲班少5人，
而乙班比甲班平均每人多捐1元，则乙班平均每人捐款___元．
5
50x＋45(x＋1)=425
14.将一摞笔记本分给若干名同学，每个同学6本，则剩下9本；
每个同学8本，又差了3本，问共有___本笔记本, __个同学.
45
6
6x＋9=8x－3
15.甲、乙两工厂某种原料共有247吨，现在甲工厂每天用原料17吨，
乙工厂每天用原料12吨，7天后两厂剩下原料相等，
甲工厂原有原料____吨，乙工厂原有原料_____吨．
141
106
x－17×7=247－x－12×7
1.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制作方桌的
桌面50个或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请你设计一下，
用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
解：设用x m3木料做桌面，那么桌腿用木料(5－x)m3，
根据题意，得 4×50x＝300(5－x)，
解得 x＝3. 所以5－x＝2(m3)，50x＝150(张)．
答：用3 m3木料做桌面，用2 m3木料做桌腿，恰好配成方桌150张．
2.红星服装厂生产某种型号的学生服装，已知每3米布料可做上衣2件
或裤子3条(一件上衣和一件裤子为一套)，计划用600米布料生产
这批学生服装，那么应分别用多少布料生产上衣或裤子恰好配套？
一共能生产多少套？
解：设用x米布料生产上衣，依题意，得 2x＝3(600－x)，
解得x＝360. 则600－x＝240，360÷3×2＝240(套)
答:用360米布料生产上衣，用240米布料生产裤子，一共能生产240套
4.某车间有26名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，
设有x名工人生产螺栓，每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套，
则所列方程正确的是( )
A．12x＝18(26－x) B．18x＝12(26－x)
C．2×12x＝18(26－x) D．2×18x＝12(26－x)
C
3.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成．每个工人每天
可以加工A部件1000个或B部件600个，现有工人16名，
应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
解：设安排x人生产A部件，根据题意得1000x＝600(16－x)，
解得x＝6，所以16－x＝10，
即应安排6人生产A部件，10人生产B部件，
才能使每天生产的A部件和B部件配套
5.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售．
该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨．
现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，
几天粗加工？
解：设应安排x天精加工，则有(15－x)天粗加工．
依题意得6x＋16(15－x)＝140.∴x＝10.
答：10天精加工，5天粗加工
6.在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械
每小时能挖土18 m3或运土12 m3，为了使挖出的土能及时运走，
安排x台机械挖土，则可列方程( )
A．18x－12x＝15 B．18x＝12(15－x)
C．12x＝18(15－x) D．18x＋12x＝15
B
7.某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件或裤子10条，
应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？
设x人做上衣，则做裤子的人数为________人，
根据题意，可列方程为______________，解得x＝___．
(54－x)
8x＝10(54－x)
30
C
45吨
11.已知甲仓库储粮35吨，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨给两仓库，
则应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食质量
是乙仓库的两倍？
B
48
3.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和为11，
如果把十位上的数字与个位上的数字对调，
则所得新数比原来大63，求原两位数．
品名 西红柿 豆角
批发价(单位：元/kg) 1.2 1.6
零售价(单价：元/kg) 1.8 2.5
2.某班将举行演讲比赛，班长安排小明购买奖品，
如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
请根据上面的信息解决问题．
(1)试计算两种笔记本各买了多少本；
(2)请你解释：小明为什么不可能找回68元？
3.在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，
下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话，
试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，
用哪种方式购票更省钱？说明理由．
解：(1)因为103＞100，所以每张门票按4元收费，
所以总票额为103×4＝412(元)，可节约486－412＝74(元)
(2)因为甲、乙两班共103人，甲班人数＞乙班人数，所以甲班多于50人，
乙班有两种情形：①若乙班少于或等于50人，设乙班有x人，
则甲班有(103－x)人，依题意得 5x＋4.5(103－x)＝486.解得x＝45，
所以103－45＝58.即甲班有58人，乙班有45人．
②若乙班超过50人，设乙班有x人，则甲班有(103－x)人，
则 4.5x＋4.5(103－x)＝486.因为此等式不成立，所以这种情况不存在.
故甲班有58人，乙班有45人．
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 5元 4.5元 4元
5.某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，
但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，
且其余客车恰好坐满．已知45座客车每日租金为每辆220元，
60座客车每日租金为每辆300元，试求：
(1)七年级有多少人？原计划租用45座客车多少辆？
(2)若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？
解：(1)设原计划租用45座客车x辆，
根据题意，得 45x＋15＝60(x－1)．解得x＝5，
所以 45x＋15＝240.
因此，七年级有240人，原计划租用45座客车5辆
(2)全部租用45座客车所需租金为 220×(5＋1)＝1 320(元)，
全部租用60座客车所需租金为 300×(5－1)＝1 200(元)．
因为1 320＞1 200，所以租用60座客车更合算
工程问题：工作量=工作效率×时间
一件工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要12天完成，
丙单独做要15天完成，甲、乙先合做了3天后，甲因事离去，
由乙和丙继续合做，问还需几天才能完成？
工程问题满足这样的关系式：甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1
1.用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵5小时可抽完，
单开乙泵2.5小时便能抽完．
(1)如果两台水泵同时抽水，多长时间能把水抽完？
(2)如果甲泵先抽2小时，剩下的由乙泵来抽，乙泵用多少时间才能把水抽完？
D
3.某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，
需要6小时完成；如果让八年级学生单独工作，需要4小时完成．
现在由七年级、八年级学生一起工作x小时，完成了任务．
根据题意，可列方程为__________，解得x＝___．
4.一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做15天可以完成，
两队合作x天可以完成列方程得：__________.
7.收割一块小麦，第一组需要5小时收割完，第二组需要7小时收割完。
第一组收割1小时后再增加第二组一起收割，
两组共同收割完用了x小时列方程得：____________.
6.一项工程，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成．现在甲先做了3天，余下
的工作由乙继续完成，则从开始到结束这一工程共需的天数为( )
A．3天 B．4天 C．6天 D．7天
D
8.甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，
合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1 000元，
甲、乙两人经商量后签订了该合同．
(1)正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
(2)现两人合作了这项工程的75%，因别处有急事，必须调走1人，
问调走谁更合适些？为什么？
9.一项工程要在规定的时间完成，若让甲工程队单独做要6天完成，每天需付
工钱1.2万元；若让乙工程队单独做要9天完成，每天需付工钱0.6万元．
招投标小组经过研究决定采取如下三套方案：
方案①：甲工程队单独完成； 方案②：乙工程队单独完成；
方案③：甲、乙两工程队合做2天，剩下的由乙工程队单独做，
恰好在规定时间完成．
(1)求规定时间是多少天？(2)在不耽误工期的情况下，选择哪种方案省钱？
10.某配件厂原计划每天生产60件产品，改进技术后，工作效率提高20%，
这样不仅提前5天完成了生产任务，并且比原计划多生产了48件产品，
求原计划要生产多少件产品？
11.某车间接到x件零件加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，
而实际加工每天多做40件，结果提前6天完成.
列方程得：________________.
50
5.6能追上小明吗
（1）从时间考虑：速度慢的用时－速度快的用时＝多用的时间
（2）从路程考虑：速度快的行程－速度慢的行程＝两者的距离
一、行程问题中的基本等量关系为：路程=速度×时间
二、一般可从下面两个方面寻找追及问题中的等量关系：
1.会借线段图分析行程问题.
2.各种行程问题中的规律及等量关系.
相向的相遇问题：甲路程＋乙路程＝总路程； 甲时间＝乙时间.
同向追及问题：①同时不同地——甲路程＋路程差＝乙路程；
甲时间＝乙时间.
②同地不同时——甲时间＋时间差＝乙时间；
甲路程＝乙路程.
小明早晨要在7：50以前赶到距家1000m的学校上学，一天，
小明以80m/min的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，
于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．
(1)爸爸追上小明用了多长时间？ (2)追上小明时，距离学校还有多远？
分析：等量关系：小明所用时间=5+爸爸所用时间；
小明走过的路程=爸爸走过的路程.
线段图：
解：（1）设爸爸追上小明用了x分钟，
据题意得 80×5＋80x=180x
解，得 x=4
答：爸爸追上小明用了4分钟．
（2）180×4=720（米） 1000-720=280（米）
答：追上小明时，距离学校还有280米．
家
学校
爸爸
小明
5分钟
x分钟
x分钟
1.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m。
(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
相等关系是：
小彬跑的路程+小强跑的路程=100m
解：设x秒后两人能相遇，依题意列方程，得
4x+6x=100
解得： x=10
答：经过10秒后两人能相遇。
(2)如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，
两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？
相等关系是：
小强跑的路程=小彬跑的路程+10m
解：设小强y秒后追上小彬，依题意列方程，得
6y=10+4y
解得： y=5
答：小强5秒后追上小彬．
1.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行，小明每小时走4千米，
3小时后两人相遇，设小刚的速度为x千米/时，列方程得( )
A．4＋3x＝25.2 B．3×4＋x＝25.2
C．3(4＋x)＝25.2 D．3(x－4)＝25.2
C
2.A，B两站间的距离为670km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55km，
慢车行驶1小时后，另一列快车从B站开往A站，每小时行驶85km，
设快车行驶了x小时后与慢车相遇，则可列方程为( )
A．55x＋85x＝670 B．55(x－1)＋85x＝670
C．55x＋85(x－1)＝670 D．55(x＋1)＋85x＝670
D
3.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时后相遇，
若甲比乙每小时多行2.5千米，则乙的速度为( )
A．12.5千米/时 B．15千米/时 C．17.5千米/时 D．20千米/时
B
2(x＋2.5)＋2x＝65
4.甲骑摩托车，乙骑自行车同时从相距150千米的两地相向而行，
经过5小时相遇，已知甲每小时行驶的路程是乙每小时行驶的
路程的3倍少6千米，求乙骑自行车的速度.
解：设乙骑自行车的速度为x千米/时，
据题意得 5(3x－6)+5x=150
解得 x=9
答：乙骑自行车的速度为9千米/时．
B
45x+36x=108
6.甲、乙两站间的路程为450 km，一列慢车从甲站开出，
每小时行驶65 km，一列快车从乙站开出，每小时行驶85 km.
(1)两车同时开出相向而行，多少小时相遇？
(2)快车先开1.5小时，两车相向而行，慢车行驶多少小时两车相遇？
8.A，B两地相距200千米，甲车以每小时48千米的速度从A地驶向B地，
乙车以每小时32千米的速度从B地驶向A地，若两车同时出发，
几小时后两车相距40千米？
解：设x小时后两车相距40千米．当两车相遇前相距40千米，
则有 48x＋40＋32x＝200，解得x＝2；
当两车相遇后相距40千米，则有 48x＋32x＝200＋40，
解得 x＝3.
即2小时或3小时后两车相距40千米．
A
120x＋50＋80x＝450
120x＋80x＝450＋50
1.甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，
一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米．设两车同时开出，同向而行，
则快车几小时后追上慢车？
解：设快车x小时追上慢车，
据题意得 85x=450+65x
解得 x=22.5
答：快车22.5小时追上慢车．
2.甲乙两人相距40千米，甲在后乙在前，两人同向而行，甲先出发1.5小时后
乙再出发，甲的速度为每小时8千米，乙的速度为每小时6千米，
甲出发几小时后追上乙？
解：设甲出发x小时后追上乙，
据题意得 8(x+1.5)=40+6x
解得 x=14
答：甲出发x14小时后追上乙．
3.甲从A地以6千米/时的速度向B地行驶，40分钟后，乙从A地以
8千米/时的速度追甲，结果乙在离B地还有5千米的地方追上了甲，
则A，B两地的距离是多少千米．
4.A，B两地相距250千米，甲开车从A地出发，每小时行驶60千米，
乙骑摩托车从B地出发，每小时行驶40千米．
(1)甲、乙二人同时出发，相向而行，x小时后相遇，
则列方程为______________；
(2)甲、乙二人同时出发，同向而行，x小时后甲追上乙，
则列方程为______________；
(3)甲、乙二人同时出发，背向而行，x小时后两人相距350千米，
则列方程为___________________；
(4)甲、乙二人同时出发，相向而行，经过多少小时后两人相距50千米？
解：设经过x小时后两人相距50千米，
依题意得 60x＋40x＝250－50或 60x＋40x＝250＋50，
解得 x＝2或x＝3，
即经过2小时或3小时后两人相距50千米3
60x＋40x＝250
60x－40x＝250
60x＋40x＋250＝350
（1）从时间考虑：速度慢的用时－速度快的用时＝多用的时间
（2）从路程考虑：速度快的行程－速度慢的行程＝两者的距离
一、行程问题中的基本等量关系为：路程=速度×时间
二、一般可从下面两个方面寻找追及问题中的等量关系：
1.会借线段图分析行程问题.
2.各种行程问题中的规律及等量关系.
相向的相遇问题：甲路程＋乙路程＝总路程； 甲时间＝乙时间.
同向追及问题：①同时不同地——甲路程＋路程差＝乙路程；
甲时间＝乙时间.
②同地不同时——甲时间＋时间差＝乙时间；
甲路程＝乙路程.
6.父子在同一工厂工作，父亲从家走到工厂需用30分钟，儿子走这段路
只需20分钟，父亲比儿子早5分钟动身，儿子追上父亲需要的时间为( )
A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟
B
C
B
10.小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车，去家乡看望爷爷.
在行驶了一半路程时，小张向司机询问到达火车站的时间，司机估计
继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出，根据司机的建议，
小张和父亲随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车
开车前15分钟到达火车站。已知公共汽车的平均速度是30千米/时，
问小张家到火车站有多远？
1.某体育场的环形跑道长400米，甲、乙两人在跑道上练习，
甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，
现在两人同时同地同向出发，经过多长时间两人才能再次相遇？
解：设经过x分钟后甲、乙两人再次相遇，则甲跑的路程是250x米，
乙跑的路程为290x米，依题意得290x－250x＝400，解得x＝10，
则经过10分钟后两人再次相遇
解：设经过x分钟后，两人第一次相遇．
由题意得：100x－80x＝400－100，解得x＝15.
答：经过15分钟后，两人第一次相遇．
4.从A地到B地，先下坡然后走平路，某人骑自行车以每小时12千米的速度下坡，
然后以每小时9千米的速度通过平路，到达B地共用55分钟．
回来时以每小时8千米的速度通过平路，而以每小时4千米的速度上坡，
回到A地共用1.5小时．从A地到B地有多少千米？
3.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路
每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，
从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.请问小华家离学校多远？
解：设平路所用时间为x min，依题意得60x＋80(10－x)＝60x＋40(15－x)，
解得x＝5，故小华家离学校 60×5＋80×(10－5)＝700(m)
答：小华家离学校700m .
问题1：后队追上前队用了多长时间 ？
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？
根据上面的事实提出问题并尝试去解答.
解：设后队追上前队用了x小时，根据题意列方程，得
6x=4x+4
解方程得：x=2
答：后队追上前队时用了2小时。
解：由问题1得后队追上前队用了2小时，
因此联络员共行进了12×2=24（千米）
答：后队追上前队时联络员行了24千米。
1.育红学校七年级学生步行到郊外旅行.(1)班的学生组成前队，步行速度
为4km/h，(2)班的学生组成后队，速度为6km/h。前队出发1h后，
后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回
进行联络，他骑车的速度为km/h.
问题3：联络员在前队出发多少时间后第一次追上前队？
问题4：当后队追上前队时，前、后队行走了多少路程？
解：设联络员第一次追上前队时用了y小时，根据题意列方程，得
12y=4y+4
解方程得：y=0.5
答：联络员在前队出发后1.5小时后第一次追上前队.
解：设当后队追上前队时，他们已经行进了x千米，
根据题意列方程，得
答：当后队追上前队时，他们已经行进12千米.
解方程，得 x=12
1+0.5=1.5小时
4x=12(x-1)
x=1.5
1.育红学校七年级学生步行到郊外旅行.(1)班的学生组成前队，步行速度
为4km/h，(2)班的学生组成后队，速度为6km/h。前队出发1h后，
后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回
进行联络，他骑车的速度为km/h.
2.一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35km/h的速度前进.
突然，1号队员以45km/h的速度独自行进，行进10km后掉转车头，
仍以45km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，
1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了多长时间？
解：设1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了x小时.
据题意得 35x＋45x=20
解得 x=0.25
答：1号队员从离队开始到与队员重新会合，经过了0.25小时.
3.七年级一班列队以每小时6千米的速度去甲地.王明从队尾以
每小时10千米的速度赶到队伍的排头后又以同样的速度返回排尾，
一共用了7.5分钟，求队伍的长.
分析：追及问题：队尾追排头； 相遇问题：排头回队尾.
解：7.5分钟＝0.125小时
设王明追上排头用了x小时，则返回用了(0.125－x)小时，
据题意得 10x－6x=10(0.125－x)＋6(0.125－x)
解得 x=0.1
此时，10×0.1－6×0.1=0.4(千米)=400(米).
答：队伍长为400米．
4.某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动，以4km/h的速度行进，
走完1km时，一个学生奉命回学校取一件东西，他以5km/h的速度跑回
学校，取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍，结果在距农场
1.5km的地方追上队伍，求学校到农场的距离.(队伍的长度不计)
5.一列长30米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，
队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，
这位同学走的路程为___米，速度是___米/分．
90
90
1.一艘轮船航行在A，B两个码头之间，已知该船在静水中每小时
航行12 km，轮船顺水航行需用6 h，逆水航行需用10 h，
求水流速度和A，B两码头间的航程．
航行问题中常用的等量关系：
(1)顺水船速＝静水船速＋_____；(2)逆水船速＝静水船速－_____；
(3)顺水航程＝_________．
水速
水速
逆水航程
解：设水流速度为xkm/h，根据题意得 6(12＋x)＝10(12－x)
解得 x＝3
A，B两码头间的航程 6×(12＋x)＝90
答：水流速度为3 km/h，A，B两码头间的航程为90 km
2.某船顺流航行的速度为20千米/时，逆流航行的速度为16千米/时，
则水流速度为( )
A．2千米/时 B．4千米/时 C．18千米/时 D．36千米/时
3.一轮船在甲、乙两码头间航行，顺流需4小时，已知甲、乙间的路程是
80千米，水流速度是2千米/时，则轮船在静水中的速度为____千米/时.
A
18
4.一只船航行于A，B两个码头之间，顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，
已知水流速度为4千米/时，则两码头之间的距离为____千米．
C
60
4(x＋2)＝80
3(x＋4)＝5(x－4)
x＝16
6.一架飞机在两城市之间飞行，风速为24千米/时，
顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时．
求无风时飞机的飞行速度和两城之间的航程．
7.已知船在静水中的速度是24千米/时，水流速度是2千米/时，
该船在甲、乙两地间行驶一个来回共用了24小时，
求从甲到乙(顺水)及从乙到甲(逆水)航行各用了多少时间？
甲、乙两地的距离是多少？
8.某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，
共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，
水流速度为每小时2.5千米，若A，C两地的距离为10千米，
求A，B两地的距离．
9.在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地
时接到通知，需立即返回C地执行任务，甲船继续航行．已知甲、乙
两船在静水中的速度都是7.5千米/时，水流的速度是2.5千米/时，
A，C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到C地共用4小时，
问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？
1.甲、乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米．
(1)两列车相向而行，从相遇到完全错开需9秒，问两车的速度各是多少？
(2)若同向而行，甲车的车头从乙车的车尾追到甲车到完全超过乙车，
需要多少秒？
解：(1)设乙车的速度为x米/秒，则甲车的速度为(x＋4)米/秒，
依题意得9x＋9(x＋4)＝180＋144，解得x＝16，x＋4＝20，
则甲车速度为20米/秒，乙车速度为16米/秒
(2)设需要y秒，则有20y－16y＝180＋144，解得y＝81，
则甲车追上乙车到超过要81秒
2.在一段双轨铁道上，两列火车迎头驶过，A列车车速为20米/秒，
B列车车速为25米/秒．若A列车全长200米，B列车全长160米，
两列车错开需要的时间为___秒.
8
20x＋25x＝200＋160
3.某铁路桥长1200m，现在有一列火车从桥上通过，测得火车
从上桥到完全过桥共用50s，整列火车完全在桥上的时间为30s，
求火车的车身长和速度．
4.一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道
共用了26秒，隧道顶部的一盏固定小灯的灯光在列车上照了10秒，
则这列火车的长为_____米．
200
5.76秒
x(26-10)=320
x=20
x(26-10)=320
