3.1字母表示数
如图所示,搭一个正方形需要4根火柴棒.
按上面的方式,搭2个正方形需要___根火柴,
搭3个正方形需要___根火柴,搭7个正方形需要____根火柴.
(2)搭10个这样的正方形需要____根火柴.
7
10
22
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴,怎样得到的?
31
…
第1个
4根
第2个
第100个
3根
3根
第3个
3根
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴,怎样得到的?
…
先摆1根
第1个
3根
第100个
3根
第2个
3根
第3个
3根
…
第1个
2根
第2个
2根
第100个
2根
第3个
2根
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴,怎样得到的?
…
第1个
4根
第100个
4根
第2个
4根
第3个
4根
(4)如果用x表示所搭正方形的个数, 那么搭x个这样的正方形
需要多少根火柴?
…
第1个
4根
第2个
第100个
3根
3根
第3个
3根
根据你的计算方法，搭200个这样的正方形需要_____根火柴棒;
601
2.小明步行上学,速度为v米/秒,亮亮骑自行车上学,速度是小明的3倍,
则亮亮的速度可以表示为____米/秒.
3.如图, 用字母表示图中阴影部分的面积是_________.
m
n
p
q
3v
4.当用a，b分别表示某物体的长和宽，
h表示某物体的高，r表示圆的半径.则：
①长方形的周长C＝ ____； 长方形的面积S＝ ；
②长方体的体积V＝ __；
③圆的面积S＝ __； 圆的周长C＝ __；
④圆柱的侧面积S＝ ___； 圆柱的体积V＝ ___.
2a＋2b
ab
abh
πr2
2πr
πr2h
D
2πrh
5.如图，圆环的面积为( )
A.R2－r2 B.π(R2－r2)
C.πR2－2r3 D.πr2－πR2
B
D
D
C
D
3.2代数式
如4＋3(x－1)，x＋x＋(x－1)，a＋b，ab，2(m＋n)， ,a3 ……
这些式子你熟悉吗？它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，
像这样的一些式子都是代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式
判别下列哪些是代数式?
√
√
√
√
√
×
×
×
这里的运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方
下列代数式哪些写的不规范，请改正。
√
×
mn-3
×
2y
×
×
√
(am+bn)元
1.数字与数字相乘时,中间的乘号不能用“?”代替,更不能省略不写. 如：4乘5,写作4×5,不能写成4?5,更不能写成45
2.数字与字母相乘，字母与字母相乘时,中间的乘号可以省略不写,
并且数字放在字母的前面.如： a的5倍,写作：5a不要写成a 5.
3.含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号.
如： 5除以a写作： ，不要写成a÷5；c除以d写作： ，不要写成c÷d；
4.当字母和带分数相乘时，
要把带分数化成假分数.
如： 乘a写作 ；
5.如果代数式后面带有单位名称,是乘除运算
结果的直接将单位名称写在代数式后面,
若代数式是带加减运算且须注明单位的,
要把代数式括起来,后面注明单位.
B
C
C
例1 列代数式，并求值.
（1）某公园的门票价格是：成人票每张10元，学生票每张5元.
一个旅游团有成人x人、学生y人，该旅游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有37个成人，15个学生，那么门票费是多少呢？
解：（1）该旅游团应付的门票费是(10x＋5y)元.
因此，他们应付445元门票费。
（2）把x＝37，y＝15代入代数式10x＋5y，得
10×37＋5×15＝445.
代数式10x+5y还可以表示什么？
如果用x(m/s)表示小明跑步的速度，用y(m/s)表示小明走路的速度，
那么10x+5y表示他跑步10s和走路5s所经过的路程；
如果用x和y分别表示1元硬币和5角硬币的枚数，
那么10x+5y就表示x枚1元硬币和y枚5角硬币共是多少角钱。
代数式10x+5y还可以表示什么？
(1)如果用x(元/kg)表示大米的价格，用y(元/kg)表示食油的价格，
那么10x＋5y就表示小强的妈妈购买10kg大米和5kg食油所用的费用；
(2)如果用x(cm3/个)表示某种正方体的体积，用y(cm3/个)表示某种
长方体的体积，那么10x＋5y就表示10个这样的正方体和5个这样
的长方体的体积和；
(3)如果用x(kg)表示一张课桌的质量，用y(kg)表示一个凳子的质量，
那么10x＋5y就表示10张课桌和5个凳子的质量和.
现代营养学家用身体质量指数衡量人体胖瘦程度以及是否健康，
这个指数等于人体质量(千克)与人体身高(米)平方的商。对于成年人
来说，身体质量指数在18.5~24之间，体重适中；身体质量指数低于
18.5，体重过轻；身体质量指数高于24，体重超重.
（2）张老师的身高是1.75米，体重是65千克，他的体重是否适中？
（1）设一个人的体重为w(千克)，身高为h(米)，求他的身体质量指数.
身体质量指数
把w＝65，h＝1.75代入 ，得
张老师的体重适中
1.用代数式表示
(1)f的11倍再加上2可以表示为 ；
(2)数a的 与这个数的和可以表示为 ；
(3)一个教室有2扇门和4扇窗户，n个这样的教室有 扇门
和 扇窗户；
(4)产量由mkg增长15%后，达到 kg.
11f+2
2n
4n
(1+15%)m
2.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，
则这个两位数可表示为： .
3.一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
则这个三位数为： .
10x+y
100a+10b+c
用数位上的数字表示数的方法：个位上的数字×1，十位上的数字×10，
百位上的数字×100，以此类推，然后把它们加起来就表示一个多位数.
A
C
(x－y)2
B
D
C
和的平方
C
D
D
B
在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现
运算结果，就好像一个“数值转换机”，右面是一组“数值转换机”，
请填写下表，并写出图3-2的输出结果，写出图3-3的运算过程。
输出6x-3
-3
×6
x-3
解：当x=-2时，6x-3=6×(-2)-3=-12-3=-15
当x=-2时，6(x-3)=6×(-2-3)=6×(-5)=-30
注意添加运算
符号和括号
-15
-30
输出6(x-3)
-6 -3 -1.44 -1 12 24
-21 -18 -16.44 -16 -3 9
输入 -2 0 0.26 4.5
图3-2的输出
图3-2的输出
议一议：填表，看谁填得又快又准
11 16 21 26 31 36 41 46
1 4 9 16 25 36 49 64
（1）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先超过100.
（3）如果这两个代数式分别表示甲乙两家公司给一个打工者所发的
总工资(n代表他上班的总天数)，你将选择在哪家公司打工？
逐渐变大
的值先超过100.
选择在乙公司打工
n 1 2 3 4 5 6 7 8
5n+6
1.试一试：当n=-3时，分别求代数式n2和-n2的值.
解：当n=-3时，n2=(-3)2=9
当n=-3时，-n2=-(-3)2=-9
C
6n
36
-1
6%akg～7.5%akg
2.1kg～2.625kg
0 19.6 78.4 176.4 313.6 490
0 3.2 12.8 28.8 51.2 80
地球
t(地球)≈2s
t(月球)≈5s
2x+2x+2y+2y+2y=4x+6y
2x·2y-0.5xy=3.5xy
0.5x
46
77
3.用字母表示下列图①、②中阴影部分的面积.
4.根据图中的程序，当输入x＝5时，输出的结果y等于( )
A.13 B.20 C.0 D.－30
C
1
2 021
18
3.3整式
小芳房间的窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆
和一个半圆组成（它们的半径相同）。
（1）装饰物所占的面积是多少？
（2）窗户中能射进阳光部分的面积是多少？
（1）如图，一个十字形花坛铺上了草皮，
此花坛共有草地 平方米；
（2）当水结冰时，其体积大约会比原来增加 ，
x立方米的水结成冰后体积约为 立方米；
（3）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是a，b，c。
这个箱子露在外面的表面积是 ；
（4）某件商品的成本价为a元，按成本价提高15%后标价，
又以八折销售，此件商品的售价为 元。
像 等都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式
单独的一个数或者一个字母也是单项式
几个单项式的和叫做多项式
都是多项式
单项式和多项式统称整式.
B
D
3.下列式子中哪些是单项式,哪些是多项式?
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,
1+1=2次
2+3=5次
所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
C
C
5
0次
作为单项式，单独一个非零数的次数是0
2
2
C
B
－1
3
3
3
125
3
8.下面各题的判断是否正确？
的系数是7；( ) ② 与 没有系数；( )
③ 的次数是0＋3＋2；( ) ④ 的系数是－1；( )
⑤ 的次数是7；( ) ⑥ 的系数是 . ( )
×
×
×
×
×
√
单项式易错点：
①数写在字母的前面，系数是带分数的要化为假分数，
除法转化为乘法；
②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，
如 等；
③圆周率π是常数；
④单项式次数只与字母指数有关.
⑤单独一个非零数的次数是0
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,
一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
根据多项式的次数和项数命名，a?b-3a?+1叫做三次三项式
1.指出下列多项式的项和次数：
（1）a3–a2b+ab2–b2；
（2）3n4–2n2+1
项有： a3，–a2b，ab2，–b2，次数是3
项有：3n4，–2n2，1，次数是4
多项式中的不含字母的项叫做常数项，
注意：1.多项式的次数不是所有项的次数之和。
3.多项式的每一项都包括它前面的符号。
2.寻找多项式次数的方法：先计算出每一个单项式的次数，
再挑选哪一个单项式的次数高，次数最高项的次数就是多项式的次数。
小红和小兰房间的窗户的装饰物如图，它们分别是由两个四分之一圆
和四个半圆组成（半径分别相同）
（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）
（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？
(2)它们都是多项式，
它们的次数都是2次。
2.关于多项式3x2－2x－6，下面说法错误的是( )
A.项分别是3x2，2x，6 B.二次项的系数是3，常数项是－6
C.是二次三项式 D.最高次项是3x2，一次项是－2x
A
1.下列说法中,正确的是( )
D
C
4.多项式x+y-z是单项式___，___，___的和，它是___次___项式.
5.单项式-4ab2，3ab，-b2的和是_______________，它是___次___项式；
6.多项式3m3-2m-5+m2的常数项是____，二次项是_____，二次项的系数是___.
7.多项式a-5a2b3+3ab+1最高次项是_______，它的系数是____．
8.多项式2x-3πx3+8第二项是______，它的系数是_____．
x
y
-z
1
3
－4ab2＋3ab－b2
3
3
-5
m2
1
-5a2b3
-5
-3πx3
-3π
4
4
2
0
4
3
-π＋25
3.4整式的加减（第1课时）
图中的长方形由两个小长方形组成，求这个长方形面积。
理论依据：乘法分配律
即8n+5n=(8+5)n=13n
有两种表示方法：8n+5n
8n+5n与(8+5)n实际上表示的是同一组合长方形的面积。
-7a?b+2a?b=(-7+2)a?b=-5a?b
与此类似，根据乘法分配律可得
(8+5)n
像8n与5n，-7a?b与2a?b这样所含的字母相同，
并且相同字母的指数相等的项，叫做同类项.
多项式2a2-3b+a2-6a2-4b中：2a2、a2、-6a2与-3b、-4b也有这样的特点
D
B
x与y, a?b与ab?, -3pq与3pq, abc与ac, a?与a3是不是同类项？
8n和5n都含有字母n，
并且n的指数都是1，
-7a?b和2a?b都含有字母a?b，并且a，b的指数都是2和1
－2ab
－4
例如：8n+5n=13n
把同类型合并成一项叫做合并同类项
-7a?b+2a?b=-5a?b
方法是：（1）系数：各项系数相加作为新的系数
（2）字母以及字母的指数不变。
例1:根据乘法分配律合并同类项：
(1)-xy?+3xy? (2)7a+3a?+2a-a?+3 (3)6xy-10x?-5yx+7x?+5x
解：(1)-xy?+3xy?=(-1+3)xy?=2xy?
(2) 7a+3a?+2a-a?+3
=7a+2a+3a?-a?+3
=(7+2)a+(3-1)a?+3
=9a+2a?+3
(3) 6xy-10x?-5yx+7x?+5x
=6xy-5yx-10x?+7x?+5x
=(6-5)xy+(-10+7)x?+5x
=xy-3x?+5x
例2：合并同类项
（1）3x2－1－2x－5＋3x－x2 （2）－0.8a2b－6ab－1.2a2b＋5ab＋a2b
（3）x2－x2y＋xy2＋yx2－2y2x＋y2 （4）3a2b＋2ab2－5ab2＋6a2b＋ab－9a2b
解：原式＝3x2－x2－2x＋3x－5－1
＝2x2＋x－6
解：原式＝－0.8a2b－1.2a2b＋a2b＋5ab－6ab
＝－a2b－ab
解：原式＝x2＋y2－x2y＋x2y＋xy2－2xy2
＝x2＋y2－xy2
解：原式＝3a2b＋6a2b－9a2b＋2ab2－5ab2＋ab
＝－3ab2＋ab
（5）x3－2x2y＋y2x－yx2＋2xy2＋y3 （6）3am＋4am＋1－5am＋1＋2am
解：原式＝x3＋y3－2x2y－x2y＋xy2＋2xy2
＝x3＋y3－3x2y＋3xy2
解：原式＝3am＋2am＋4am＋1－5am＋1
＝5am－am＋1
注意：(1)合并同类项只是系数相加(注意符号)，字母与字母的指数不变。
(2)不是同类项的不能合并。
(3)没有同类项的始终照抄，不能省略．
1.下列各题合并同类项的结果对不对？不对的，指出错在哪里。
(1)a＋a＝2a
(2)3a＋2b＝5ab
(3)a＋a－5a＝3a
(4)3x2＋2x3＝5x5
(5)4x2y－5xy2＝－x2y
√
×
×
×
×
2.计算5x2－2x2的结果是( )
A.1 B.3x C.3x2 D.3x4
3.下列运算中结果正确的是( )
A.3a＋2b＝5ab B.5y－3y＝2
C.－3y＋5x＝－8x D.3x2y－2x2y＝x2y
C
D
C
5.代数式7a3－6a3b＋3a2b＋3a2＋6a3b－3a2b－10a3的值( )
A.与字母a,b都有关 B.只与a有关
C.只与b有关 D.与字母a,b都无关
B
－3a3＋3a2
2.求代数式：
的值，其中
3.当x＝－3时，求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值.
16a
C
6
0
1
4.已知4a2b6+mc5与3a2b4cn-1是同类项，则m=____，n=___.
4
－2
6
A
5.如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项,那么ab= .
8
m-1=5
3n=1
m=1
n=2
2-m=2
6+m=4
n-1=5
a+1=3
b=3
m=2
n+1=3
1.如果关于字母x的二次多项式－3x2＋mx＋nx2－x＋3的值与x的取值无关，
求(1)2m－3n的值. (2)(m＋n)(m－n)的值.
解：－3x2＋mx＋nx2－x＋3＝(n－3)x2＋(m－1)x＋3
(m+n)(m-n)=(1＋3)(1－3)=-8
在多项式的化简求值问题中,有时会出现因合并同类项而互相抵消的现象,
这就可能导致含某一字母的项不存在了,于是整个式子的值也与该字母的取值无关了.不存在某项或与某字母取值无关,实际是化简后该项(含该字母的项)系数为0.
∵关于字母x的二次多项式－3x2＋mx＋nx2－x＋3的值与x的取值无关，
∴n－3＝0，m－1＝0，
∴n＝3，m＝1，
∴2m－3n＝2×1－3×3＝2－9＝－7
B
2.若3x＋ax＋y－6y合并同类项后，不含有x项，则a的值为( )
A.2 B.－3 C.0 D.－1
B
5.多项式3x3+2mx2-5x+3与多项式8x2-3x+5相加后,不含二次项,则m等于( )
A.2 B.-2 C.-4 D.-8
4.多项式-4x3-2mx2+2x2-6合并同类项后是一个三次二项式，则m满足条件( )
A. m=－1 B. m≠－1 C.m=1 D. m≠1
C
C
因为(3x3+2mx2-5x+3)+(8x2-3x+5)=3x3+(2m+8)x2-8x+8中不含二次项,
即二次项的系数为0,所以2m+8=0,得m=-4.
(3＋a)x
3＋a=0
-2mx2+2x2=(-2m+2)x2
-4x3-6
-2m+2=0
6.对于代数式2x2+7xy+3y2+x2-kxy+5y2,老师提出了两个问题,第一个问题是:
当k为何值时,代数式中不含xy项,第二个问题是:在第一问的前提下,
如果x=2,y=-1,代数式的值是多少?
(1)小明同学很快就完成了第一个问题,也请你把你的解答写在下面吧.
(2)在做第二个问题时,马小虎同学把y=-1,错看成y=1,
可是他得到的最后结果却是正确
解:(1)因为2x2+7xy+3y2+x2-kxy+5y2
=(2x2+x2)+(3y2+5y2)+(7xy-kxy)
=3x2+8y2+(7-k)xy.
所以只要7-k=0,这个代数式就不含xy项,即k=7时,代数式中不含xy项.
(2)因为在第一问的前提下原代数式为:3x2+8y2.
当x=2, y=-1时,原式=3x2+8y2=3×22+8×(-1)2=12+8=20.
当x=2, y=1时,原式=3x2+8y2=3×22+8×12=12+8=20.
所以马小虎的最后结果是正确的.
在合并同类项时结果往往是一个多项式，通常把这个结果
写成按某一个字母的升幂或降幂的形式排列：
升幂排列：按照某字母的指数从小到大的顺序排列
降幂排列：按照某字母的指数从大到小的顺序排列
把多项式x2-x4-3x3+2-5x按x升幂排列，然后再按x降幂排列：
-x4-3x3+x2-5x+2
2-5x+x2-3x3+x4
升幂排列
降幂排列
1.将-10x2+13x3-2+3x3-4x2-3+5x2合并同类项的结果，
按字母x的升幂排列，得____________．
-5-9x2+16x3
3.4整式的加减（第2课时）
还记得用火柴棒搭正方形时，小明是怎么计算火柴棒的根数吗？
这三个代数式相等吗？
小明：4+3(x-1)
=4+3x-3
=3x+1
小颖：4x-(x-1)
=4x+(-1)(x-1)
=4x+(-1)x+(-1)(-1)
=4x-x+1
=3x+1
小刚：3x+1
因此，这三个代数式相等
小明：4+3(x-1)=4+3x-3
小颖：4x-(x-1)=4x-x+1
括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，
原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，
原括号里各项的符号都要改变；
去括号前后，括号里各项的符合有什么变化？
去括号法则口诀：去括号，看符号；是“＋”号，不变号；
是“－”号，全变号
例3：化简下列各式
（1）4a-(a-3b) （2）a+(5a-3b)-(a-2b)
（3）3(2xy-y)-2xy （4）5x-y-2(x-y）
解：（1）4a-(a-3b)=4a-a+3b=3a+3b
（2）a+(5a-3b)-(a-2b)=a+5a-3b-a+2b=5a-b
（3）3(2xy-y)-2xy=(6xy-3y)-2xy=4xy-3y
（4）5x-y-2(x-y)=5x-y-(2x-2y)=5x-y-2x+2y=3x+y
(5) 7(p3＋p2－p－1)－2(p3＋p)
解: 原式＝7p3＋7p2－7p－7
－2p3
－2p
＝5p3
＋7p2
－9p
－7
(3)(3a2+a-5)-(4-a+7a2) (4)3(4x-2y)-3(-y+8x)
解：原式=3a2+a-5-4+a-7a2
=3a2-7a2+a+a-5-4
=-4a2+2a-9.
解：原式=12x-6y+3y-24x
=12x-24x-6y+3y
=-12x-3y.
（7）3(a2－2a－3)－5(－5a2＋a－2)
（8）2x2－{－3x2－[4x2－(3x2－x)＋2(x－x2)]}
解：原式＝3a2－6a－9＋25a2－5a＋10
＝3a2＋25a2－6a－5a－9＋10
＝28a2－11a＋1
解：原式＝2x2－{－3x2－[4x2－3x2＋x＋2x－2x2]}
＝2x2－{－3x2－[－x2＋3x]}
＝2x2－{－3x2＋x2－3x}
＝2x2－{－2x2－3x}
＝2x2＋2x2＋3x}
＝4x2＋3x
1.化简: 2(2x-5)-3(1-4x)=______.
解：2(2x-5)-3(1-4x)=4x-10-3+12x=16x-13
6x-13
2.化简: 4x-4-(4x-5)=___.
解：4x-4-(4x-5)=4x-4-4x+5=1
1
4.计算: 3(-ab+2a)-(3a-b)= .
5.化简: 3a-[-(2a-b)]
解:原式=-3ab+6a-3a+b=-3ab+3a+b
-3ab+3a+b
解:原式=3a-(-2a+b)=3a+2a-b=5a-b
1.下列去括号正确的是( )
A. －(a＋b－c)＝－a＋b－c B. －(a＋b－3c)＝－a－b＋3c
C. －(－a－b－c)＝－a＋b＋c D. －(a－b－c)＝－a＋b－c
B
【解析】A项－(a＋b－c)＝－a－b＋c,故不对; C项－(－a－b－c)＝a＋b＋c,故不对;
D项－(a－b－c)＝－a＋b＋c,故不对.
2.下列各式去括号：①x＋(－y＋z)＝x－y＋z，②x－(－y＋z)＝x－y－z，
③x＋(－y－z)＝x＋y－z，④x－(－y－z)＝x＋y＋z，其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
D
D
5.下列运算正确的是( )
A. －2(3x－1)＝－6x－1 B. －2(3x－1)＝－6x＋1
C. －2(3x－1)＝－6x－2 D. －2(3x－1)＝－6x＋2
6.化简2(2x－1)－2(－1＋x)的结果为( )
A.2x＋1 B.2x C.5x＋4 D.3x－2
D
B
解: 2(2x－1)－2(－1＋x)4x－2＋2－2x＝2x.
4.下列去括号错误的是( )
A.3a2－(2a－b＋5c)＝3a2－2a＋b－5c C.2m2－3(m－1)＝2m2－3m－1
B.5x2＋(－2x＋y)－(3z－w)＝5x2－2x＋y－3z＋w
D.－(2x－y)－(－x2＋y2)＝－2x＋y＋x2－y2
B
7.当x＝－2时, －(x－3)＋(2－x)＋(3x－1)的值为 .
解:－(x－3)＋(2－x)＋(3x－1)＝－x＋3＋2－x＋3x－1
＝(－x－x＋3x)＋3＋2－1＝x＋4
当x＝－2时,x＋4＝－2＋4=2.
2
11.求 的值,其中a=-1,b=-3,c=
10.
12.已知A=4x2-4xy+y2，B=x2+xy-5y2，求(3A-2B)-(2A+B).
解：(3A-2B)-(2A+B)=3A-2B-2A-B=A-3B
=(4x2-4xy+y2)-3(x2+xy-5y2)
=4x2-4xy+y2-3x2-3xy+15y2=x2-7xy+16y2
15.已知A=a2+b2-c2,B=-4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0.
(1)求多项式C. (2)若a=1,b=-1,c=3,求A+2B的值.
解:(1)因为A+B+C=0,
所以C=-(A+B)=-(a2+b2-c2-4a2+2b2+3c2)
=-(-3a2+3b2+2c2)=3a2-3b2-2c2
(2)A+2B=a2+b2-c2+2(-4a2+2b2+3c2)=-7a2+5b2+5c2
将a=1,b=-1,c=3代入得原式=-7×12 +5×(-1)2+5×32=43
3.4整式的加减（第3课时）
按照下面的步骤做一做：
(1)任意写一个两位数；
(2)交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数；
(3)求这两个数的和。
两位数43
交换个位数和十位数之后为34
43+34=77
规律是两个数的和可以被11整除
再写几个两位数重复上面的过程，这些和有什么规律？
这个规律对任意一个两位数都成立吗？
如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，
那么这个两位数可以表示为10a+b。
交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是：10b+a.
这两个数相加：(10a+b)+(10b+a)=________.
或者说若两位数则个位和十位数字相同,
若三位数则百位+个位=十位.
10b+a+(10a+b)=11a+11b=11(a+b)
两位数26
交换个位数和十位数之后为62
26+62=88
=11×7
=11×8
11a+11b
任意写一个三位数
交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数
两个数相减
两个数相减后的结果有什么规律？
这个规律对任意一个三位数都成立吗？
设此数为100a+10b+c,倒过来为100c+10b+a
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)
规律是它们的差等于99倍的百位与个位的差,对于任意三位数均成立.
议一议 在上面的两个问题中，分别涉及整式的什么运算？
说一说你是如何运算的。
进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项。
三位数368
368-863=-495
交换百位数和个位数之后为863
=99×(-5)
1.若长方形长是2a+3b,宽为a+b,则其周长是( )
A.6a+8b B.12a+16b C.3a+8b D.6a+4b
3.已知三角形的第一边长为3a+2b,第二边比第一边长a-b,
第三边比第二边短2a,求这个三角形的周长.
因为长方形的周长为 2[(2a+3b)+(a+b)]=2(3a+4b)=6a+8b
A
2.一根铁丝正好可围成一个长方形，一边长2a＋b，
另一边比它长a－b，则长方形的周长是( )
A.5a＋b B.10a＋3b C.10a＋2b D.10a＋6b
C
另一边为(2a+b)+(a-b)=3a
解:第一边长为3a+2b,则第二边长为(3a+2b)+(a-b)=4a+b
第三边长为(4a+b)-2a=2a+b
所以长方形的周长为 2[(2a+b)+3a]=2(5a+b)=10a+2b
所以周长为(3a+2b)+(4a+b)+(2a+b)=3a+2b+4a+b+2a+b=9a+4b
5.七年级一班为建立“图书角”,各组同学踊跃捐书.一组捐x本书,
二组捐书是一组的2倍还多2本,三组捐书是一组的3倍少1本,
则三个小组共捐书 本.
6.一个两位数，个位数字为a＋2，十位数字为2a－1，
则这个两位数为 .
21a－8
7.某校组织若干师生到恩施大峡谷进行社会实践活动.
若学校租用45座的客车x辆，则余下20人无座位；
若租用60座的客车则可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，
请填空： ①学校租用45座的客车x辆，则余下20人无座位，
则参加社会实践的总人数为 _______人.
②租用60座的客车可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，
则已经坐满的客车上的人数为 _______人.
③乘坐最后一辆60座客车的人数为 _________人.
(45x＋20)
60(x－3)
(200－15x)
6x+1
x+(2x+2)+(3x－1)
10(2a－1)+a+2
8.已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明年龄的2倍少4岁，
小华的年龄比小红年龄的 多1岁，这三个人的年龄之和是多少？
解:由题意得，小红的年龄为(2m-4)岁，小华的年龄为 岁.
三个人的年龄之和为 m+(2m-4)+ =m+2m-4+m-2+1=4m-5.
答：这三个人的年龄之和是(4m-5)岁.
(2)解：显然，在买相同数量的运动服和运动鞋时，
先用买二送一再用打九折方式购买更省钱. 故可得，50a＋22.5b最省钱.
11.鼓楼商场的运动服每套标价a元，运动鞋每双标价b元，实际购买时都是按标价
九折付款；该商场又制定了更优惠的买二送一方式，即按标价购买两套运动服
时可赠一双运动鞋.光明中学七年级五班50名同学每人需要一套运动服和一双
运动鞋.第一种购买方案: 按打九折的方式直接购买50套运动服和50双运动鞋.
(1)还有其他购买方案吗?若有,用含a，b的式表示其中一种应支付的金额;
如果没有，请说明理由.
(2)当a=200,b=100 时,如何购买更省钱? 与第一种购买方案比较,能省多少钱?
直接打九折所需费用为: (50a＋50b)×90%=45a＋45b
把a=200,b=100分别代入得:50a＋22.5b=50×200＋22.5×100=12250(元)
45a＋45b=45×200＋45×100=13500(元)
13500-12250=1250(元),所以能省1250元.
(1)解:还可以先购买50套运动服获赠25双运动鞋，再购买25双鞋.
所需费用为:50a＋25b×90%=50a＋22.5b.
(1)2x2 -3x+1 与-3x2+5x-7的和
解：(1)(2x2 -3x+1)+(-3x2+5x-7)
=2x2 -3x+1-3x2+5x-7
=2x2-3x2-3x+5x+1-7
=-x2+2x-6
例4.计算：
例1.求整式3x+4y与2x-2y-1的和.
解：(3x+4y)+(2x-2y-1)
＝3x+4y+2x-2y-1
＝3x+2x+4y-2y-1
＝5x+2y-1
求整式3x+4y与2x-2y-1的差。
【总结提升】整式相加减的两点注意
(1)几个多项式相加,可以省略括号,直接写成加的形式.
(2)两个多项式相减,被减式可不加括号,但减式一定要添上括号,
然后去括号,合并同类项.
2.一个多项式A加上3x2-5x+2得到2x2-4x+3，求这个多项式A．
解：根据题意得：A=(2x2-4x+3)-(3x2-5x+2)
=2x2-4x+3-3x2+5x-2=-x2+x+1．
1.比2a2-3a-7少3-2a2的多项式是( )
A.-3a-4 B.-4a2+3a+10 C.4a2-3a-10 D.-3a-10
C
2.多项式 与m2+m-2的和是m2-2m.
由题意得:2a2-3a-7-(3-2a2)=2a2-3a-7-3+2a2=4a2-3a-10.
另一个多项式为 m2-2m-(m2+m-2)=m2-2m-m2-m+2=-3m+2.
-3m+2
3.李明在计算一个多项式减去3x2-2x+1时，误看成加上此式，
计算的错误结果是x2-4x-5。请你帮助他求出正确的答案。
解：设这个多项式为A，则A+(3x2-2x+1)=x2-4x-5?
正确答案是：(-2x2-2x-6)-(3x2-2x+1)=-2x2-2x-6-3x2+2x-1=-5x2-7
∴A=(x2-4x-5)-(3x2-2x+1)=x2-4x-5-3x2+2x-1=-2x2-2x-6
4.一个多项式A减去多项式2x2+5x-3,小明同学将减号抄成了加号,
运算结果得-x2+3x-7,则正确的运算结果应是 .
解析: 因为A=(-x2+3x-7)-(2x2+5x-3)=-3x2-2x-4
所以原式=(-3x2-2x-4)-(2x2+5x-3)=-5x2-7x-1
-5x2-7x-1
5.
6.计算：2x3-2xy+2(x3+xy-6)= .
4x3-10
= .
-12x2+5x+8
9.求10(a-b?)+2(a-b?)-9(a-b?)的值,其中a=1,b=2.
10.已知(x+3)2+|x-y+10|=0，
求代数式5x2y-[2x2y-(3xy-xy2)-3x2]-2xy2-y2的值。
解：∵(x+3)2+|x-y+10|=0，? ∴x+3=0且x-y+10=0， ∴x=-3且y=7，
5x2y-[2x2y-(3xy-xy2)-3x2]-2xy2-y2 =5x2y-2x2y+(3xy-xy2)+3x2-2xy2-y2 =3x2y+3xy-xy2+3x2-2xy2-y2? =3x2y-3xy2+3xy+3x2-y2?
当x=-3，y=7时， 原式=3×(-3)2×7-3×(-3)×72+3×(-3)×7+3×(-3)2-72? =3×9×7+9×49-9×7+3×9-49 =189+441-63+27-49=545。
探索与表达规律
(2)日历图中的套色方框中9个数之和与该框正中间的数字有什么关系？
(3)这个关系对其他这样方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
(4)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
9个数的和为中间数的9倍
解：任意框9个数，设中间的数为a，则左右两边数为a-1，a+1，上行邻数为(a-7)，
下行邻数为(a+7)，左右上角邻数为(a-8)，(a-6)，左右下角邻数为(a+6)，
(a+8)之和为: a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；
这个关系对任何一个月的日历都成立，
理由为任何一个日历表都具有这种排列规律．
2+3+4+9+10+11+16+17+18=90
6+7+8+13+14+15+20+21+22=126
14×9=126
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(5)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？
解：如图所示，设方框正中间的数为a，其余各数为a－8， a－7， a－6，
a－1， a＋1， a＋6， a＋7， a＋8．
第二行3个数的和＝(a－1)＋a＋(a＋1)＝3a ．
第二列3个数的和＝(a－7)＋a＋(a＋7)＝3a ．
对角线上3个数的和分别为(a－6)＋a＋(a＋6)＝3a ，
(a－8)＋a＋(a＋8)＝3a
由此可以发现：方框“十”字位上的3个数的和，
对角线上3个数的和相等，且都等于正中间数的3倍．
如果将方框改为十字型框或者 “H”型框，你能发现哪些规律？
“十”字形：5个数的和是中间这个数的5倍
“H”形：7个数的和是中间这个数的7倍
7+13+14+15+21=70
10+12+17+18+19+24+26=126
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
1.你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
a-10+a-2+a+6+a+a+8+a+2+a-4=7a
6个数的和是中间这个数的7倍
B
应为a＋d＝b＋c.
3.将连续奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表.
(1)十字框中的五个数字之和
与中间数15有什么关系？
(2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数字之和?
(3)十字框中的五个数之和能等于2012吗？能等于2015吗？
5个数的和是中间数15的5倍
解：设中间数为a，其余各数为a－10，a＋10，a－2，a＋2.
a+a-10+a+10+a-2+a+2=5a
由(2)知，由这样的十字框框住的5个数之和必为5的倍数，
所以这5个数之和不能为2012.
能等于2015.
2015÷5=403
5+13+15+17+25=75
1 3 5 7 9
11 13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39
41 43 45 47 49
用棋子摆成以下图案,并填写表格:
② 摆第n个图案需要 颗棋子.
11
17
23
29
6n-1
5
① 填写下表:
59
图案编号 (1) (2) (3) (4) (5) … (10)
棋子个数 …
1.按下图方式摆放餐桌和椅子：
（1）4张桌子可坐 人，5张桌子可坐 人，
n张桌子可坐 人。
（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成
1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐 人；
（3）在(2)中，若改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐 人.
12=(2×4+4)
(2n+4)
112
100
14=(2×5+4)
6
8
10
12
(2×8+4)×5=100
2.按下图方式摆放餐桌和椅子：
（1）1张餐桌可坐6人，2张餐桌可 人。
（3）15张餐桌这样排，可坐多少人？
10
解：当n=15，4n+2=4×15+2=62
答：可坐62人
（2）4张桌子可坐 人，5张桌子可坐 人，
n张桌子可坐 人。
18=(4×4+2)
(4n+2)
22=(4×5+2)
（4）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成
1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐 人；
（5）在(2)中，若改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐 人.
176
170
(4×8+2)×5=170
1.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是( )
A.2n＋2 B.4n＋4 C.4n－4 D.4n
D
2.如图，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，
按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是 _______.
（n＋2）
3.如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中
一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形
……则第⑩个图形中平行四边形的个数是( )
A.54 B.110 C.19 D.109
D
4.如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，
点的个数为 .
n2＋2
5.如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的
规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_________.
n(n＋2)
15
100
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘以2，然后加上3，再把所得新数乘以5，
最后把得到的新数加上个位数字,把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数.
你知道小明怎么算出来的吗?
设小亮想的数字是10x+y，x表示十位，y表示个位，根据小明的算法,
得到的数是(2x+3)×5+y=10x+y+15 ，再由小亮的结果即等于10x+y+15 ,
所以结果减15;就是这个数!
1.你在心里想好一个数，按照下列步骤进行运算：把这个数乘4，然后加8，
再把所得新数乘5，然后再加7，最后再把所得数乘5，把你的结果告诉我，
我就知道你心里想的两位数.
设这个数为a，根据算法,得到的数是[(4a+8)×5+7]×5=100a+235，
所以结果减235，然后再除以100，就是这个数!
2.一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位数字的和能不能被3整除，
这是为什么？四位数能否被3整除是否也有这样的规律？
你还能得到哪些结论？
设一个三位数是100a+10b+c，a表示百位，b表示十位，c表示个位，
则100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)，
9(11a+b)肯定能被3整除，只要(a+b+c)能被3整除，这个三位数能被3整除.
－10
5.已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2 187，38＝6 561，…，推测330的个位数字是( )
A.1 B.3 C.7 D.9
D
6.在下列2×2的方格中找出规律，你认为x应为( )
A.10 B.－2 C.2 D.0
B
3.6字母绝对值
2.如果a＝－(－2)2，b＝－(－3)3，c＝－(－4)2，
那么－[a－(b－c)]的值是( )
A.15 B.17 C.－39 D.47
A
3.设a＝－2×42，b＝－(2×4)2，c＝－(2－4)2，
则a，b，c的大小关系为( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a
B
D
1
6.若a＝8，b＝－2时，|a＋b|＝____．
6
1.已知：|a|＝7，|b|＝3，且a，b异号，求|a＋b|－|a－b|的值．
解：∵|a|＝7，|b|＝3，
∴a＝±7，b＝±3，
2.已知|x|＝3，|y|＝2，且x＜y，则x＋y=___________.
解：∵|x|＝3，|y|＝2
∴x＝±3，y＝±2
－1或－5
∵a，b异号，
∴①a＝7，b＝－3时，|a＋b|－|a－b|＝－6
②a＝－7，b＝3时，|a＋b|－|a－b|＝－6
∵x＜y
∴x不能为3
∴x＝－3，y＝2 或 x＝－3，y＝－2
∴x＋y＝－3＋2＝－1 或 x＋y＝－3－2＝－5.
－5
5.若|a－2|与|b＋5|互为相反数．求a＋b的值．
解：∵|a－2|与|b＋5|互为相反数，
∴|a－2|＋|b＋5|＝0，
∴a－2＝0，b＋5＝0，
∴a＝2，b＝－5，
∴a＋b＝2＋(－5)＝－3
6.已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|m|＝1，
求ab＋|c＋d|－m的值.
解：由题意得： ab＝1，c＋d＝0，
∵|m|＝1，∴m＝±1
①当ab＝1，c＋d＝0，m＝1时，原式＝1＋0－1＝0
②当ab＝1，c＋d＝0，m＝－1时，原式＝1＋0＋1＝2.
综上所述：ab＋|c＋d|－m的值为0或2
3.已知|m|＝15，|n|＝27，且|m＋n|＝m＋n，则m－n的值等于( )
A．－12 B．－12或42 C．－12或－42 D．－42
C
A
C
4.已知|a|＝15，|b|＝14，且a＞b，则a＋b的值等于( )
A．29或1 B．－29或1 C．－29或－1 D．29或－1
A
5.用“＞”或“＜”号填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a＋b____0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a＋b____0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a＋b____0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a＋b____0.
>
<
>
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6.当x＞0，y＜0时，x，x＋y，x－y，y中最大的是( )
A．x B．x＋y C．x－y D．y
C
B
D
10.若x的相反数是3，|y|＝5，则x＋y的值为_______.
11.若有理数a，b互为相反数，|x|＝3，则a＋b＋x＋(－2)的值为_______.
1或－5
－8
0
14.多项式4x|m|－(m－2)x＋7是关于x的二次三项式，则m的值是( )
A.2 B.－2 C.2或－2 D.3
B
A
2或－8
15.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
且|a|=1，|b|=2，|c|=4，则a-b+c=_____.
16.实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|b+c|-|b+a|+|a+c|．
解：|b+c|-|b+a|+|a+c|=-(b+c)-(-b-a)+(a+c)=-b-c+b+a+a+c=2a．
【解析】 ∵a，c在原点的左侧，b在原点的右侧，
∴b＞0，c＜0，a＜0，
∵|a|=1，|b|=2，|c|=4，
∴a=-1，b=2，c=-4，
∴a-b+c=-1-2-4=-7．
－7
