江苏省苏州市2019届高三上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题（解析版）

苏州市2019届高三上学期期末学业质量阳光指标调研卷
数学2019．1
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4}，则集合AB＝ ．
答案：{3}
考点：集合的运算。
解析：取集合A、B的公共部分即可，所以，AB＝{3}
2．复数（i是虚数单位）的虚部是 ．
答案：－1
考点：复数的运算，复数的概念。
解析：，所以，虚部为－1。
3．某班级50名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则成绩在60~80分的学生人数是 ．

答案：25
考点：频率分布直方图。
解析：成绩在60~80分的频率为：1－（0.1－0.3－0.1）＝0.5，
成绩在60~80分的学生人数为：50×0.5＝25。
4．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为 ．
答案：
考点：古典概型。
解析：连续抛掷一颗骰子2次，共有36种可能，
点数之和为8的有（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）
所以，所求概率为：P＝
5．已知，则的值是 ．
答案：
考点：三角函数的诱导公式。
解析：化为，得：，
＝＝
6．如图所示的流程图中，若输入的a，b分别为4，3，则输出的n的值为 ．

答案：3
考点：程序框图。
解析：第1步：a＝6，b＝6，n＝2；第2步：a＝9，b＝12，n＝3，退出循环，所以，n＝3
7．在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点
(﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ．
答案：
考点：双曲线的性质。
解析：设双曲线方程为：，渐近线方程为：，
过点（－3,1），所以，，即，
离心率为：＝
8．曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
答案：
考点：函数的导数及其应用。
解析：切点为（0,2），求导，得：，切线的斜率为：k＝3
切线方程为：y＝3x+2，与两坐标轴交点为（0,2），（，0），
所以，三角形面积为：
9．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为 ．

答案：2
考点：正三棱锥的体积，几何之间的关系。
解析：底面正三角形的边长为：2×2×cos30°=2，
底面正三角形面积S＝，
三棱锥的高h＝2
正三棱锥体积为V＝＝2
10．在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线上的圆的标准方程为 ．
答案：
考点：圆的标准方程。
解析：设所求圆的圆心为（a，b），半径为R，则
，化为：，解得：，R2＝17
所以，圆的标准方程为
11．设是等比数列的前n项和，若，则＝ ．
答案：
考点：等比数列的通项公式，前n项和公式。
解析：，解得：，
＝＝。
12．设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是 ．
答案：（－2，2－2）
考点：分段函数的图象，数形结合的数学思想。
解析：依题意，得：方程有三个相异的实根，
如下图，与平行时，两图象只有2个交点，此时，k＝－2，

与相切时，两图象只有2个交点，
，即，△＝，解得：k＝2－2，
所以，实数k的取值范围是（－2，2－2）

13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且
BM＋DN＝MN，则的最小值是 ．

答案：8－8
考点：三角形的全等，三角恒等变换，平面向量。
解析：延长MB到E，使BE＝DN，连AE，则△ADN≌△ABE，AN＝AE
BM＋DN＝BM＋BE，所以，MN＝ME，AM＝AM
所以，△AMN≌△AME，所以，∠MAN＝∠EAM＝∠BAM+∠DAN＝45°，
以A为原点，建立如图所示直角坐标系，设∠BAM＝θ，
则A（0,0），M（2，2tanθ），N（2tan（45°－θ)，2），
＝4tan（45°－θ)＋4tanθ＝＝＝
＝＝＝，
当θ＝时，取到最小值8－8

14．设函数，若对任意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围 ．
答案：［0,1］
考点：函数图象，函数的导数及其应用，分类讨论的数学思想。
解析：（1）当a＝0时，，如下图：

对任意(，0)，总存在[2，)，使得
显然成立。
（2）当a＜0时，＝0，得唯一的零点：x＝＜0，
而[2，)时，总有＞0，所以，不是总成立的，故不符合；
（3）当a＞0时，f（x）有唯一的零点：x＝＞0，
①当≥2，即0＜时，显然符合题意；
②当0＜＜2，即时，因x>2或x＜0时，都有，所以，，
显然f（x）在［2，＋∞）递增，所以，f（x2）≥f（2）＝4a－1
x＜0时，＝0，得，
，
所以，，令，则，即，即
，所以，，即，
解得：，故有
综上，有

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求证：C1F//平面ABE．








16．（本题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知2bcosA＝2c﹣a．
（1）求B；
（2）设函数，求的最大值．

17．（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点A且斜率为的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标．

18．（本题满分16分）
如图，长途车站P与地铁站O的距离为千米，从地铁站O出发有两条道路l1，l2，经测量，l1，l2的夹角为45°，OP与l1的夹角满足tan＝（其中0＜θ＜)，现要经过P修条直路分别与道路l1，l2交汇于A，B两点，并在A，B处设立公共自行车停放点．
（1）已知修建道路PA，PB的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点A，B之间的距离；
（2）考虑环境因素，需要对OA，OB段道路进行翻修，OA，OB段的翻修单价分别为n元/千米和n元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定A，B点的位置．


19．（本题满分16分）
已知函数(a，bR)．
（1）当a＝b＝1时，求的单调增区间；
（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；
（3）当a＝0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．






20．（本题满分16分）
定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．
（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，，，且对于任意，均有成立．①求数列的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式成立．





















数学II（附加题）
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵M＝的逆矩阵M－1＝，求实数m，n．

B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在极坐标系中，圆C的方程为，在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．


C．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
设a，b，c都是正数，求证：


【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
已知知正四棱锥S-ABCD的底面边长和高均为2，从其五个顶点中任取三个，记这三个顶点围成的三角形的面积为。
（1）求概率P（＝2）；
（2）求的分布列和数学期望。



23．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，PA与平面PBC所成角的正弦值为。
（1）求侧棱PA的长；
（2）设E为AB中点，若PA≥AB，求二面角B－PC－E的余弦值．