专题一 有理数与数轴的数形结合
要点归纳
1．像2，，0．25，π，30%等这样大于零的数叫做________；像－20，－，－0．25，－30%等这样在正数前面加上负“－”的数叫做________．
2．用正、负数可以表示具有相反意义的量，若一个相反意义的量中一个“意义”规定用“＋”表示，则另一个“意义”必定用“_______”表示．
3．有理数按性质可分为_______、_______、______；整数和_______统称为有理数．
4．我们把规定了_______、_______、______的直线叫数轴，这条直线上的任意数轴一个点表示一个数，原点左边的数都是______数，原点右边的数都是______数，在实际问题中，一个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．
5．数轴上的点与有理数之间的关系：所有的______都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不都表示有理数．
典例讲解
经典再现
一、正、负数的识别及应用
例1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
＋0．007，－200，，－，0．666…，－9，20．5，0，－
【思路点拨】由正、负数的定义进行判断．
解：整数：＋0．007，，0．666…，20．5；负数：－200，－，－9，－．
【方法规律】正数前面可以加“＋”号，也可以不加“＋”号；负数前面的“－”号不可以省略．判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“－”号，而不是看它是不是带有“－”号，特别注意 ，“－a”不一定是负数，如－（－5）数不是负数．
例2 课桌的高度比标准高度高2cm记作＋2cm，那么比标准高度低3cm记作什么？现有5 张课桌，小明测量了它们的高度，记录如下：＋1cm，0cm，－1cm，＋3cm，－1．5cm．若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过2cm，问上述5张课桌有几张合格？
【思路点拨】具有相反意义的量可以分别用“＋”、“－”数来表示，与标准高相差2cm，是指可以高2cm，也可以低2cm．
解：比标准高度低3cm记作－3cm，这5张课桌中，合格的有：比标准高度：＋1cm、0cm、－1cm、－1．5cm，共4张．
【方法规律】如果超过标准高度记为“＋”，那么不是（或低于）标准高度记为“－”，在判断几张桌子合格的问题中，我们不管超过还是低于标准高度，不看数前面的“＋”、“－”号，只看符号后面数是否小于或等于0．
二、有理数的相关概念
（1）整数：正整数、0、负整数的统称；（2）分数：正分数、负分数的统称；
（3）有理数：整数和分数的统称；（4）有理数包括有限小数和无限循环小数．
例3 下列说法中，正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．正整数和负整数统称为整数[来源:学&科&网]
C．整数和分数统称为有理数 D．非正整数就是指零、负整数和所有分数
【思路点拨】A选项中，有理数应包括正有理数、0和负有理数；B选项中也漏掉了0；D选项中，非正整数是指负整数和0．
解：C
三、有理数的分类
例4 把下列各数填在相应的横线上．
－25，3．14，48，－，－0．40，0，＋，－3．5，1，
（1）
（2）
【思路点拨】此题考察有理数的两种分类方式，注意0是整数．
解：（1）
（2）
【方法规律】对有理数进行分类时，必须按照同一标准，不能将两种分类方式混在一起，小数（有限小数、无限循环小数）都是分数．
例5 下面四个结论中，正确的结论是（ ）
A．两个不同的整数之间必有一个正分数 B．两个不同的整数之间必有一个整数
C．两个不同的整数之间必有一个有理数 D．两个不同的整数之间必有一个负数
【思路点拨】对于A，如果是两个负整数，那么中间就没有正分数；对于B，如果是两个连续的整数，中间就再没有整数；对于D，如果两个整数是正整数，中间就没有负数；只有C，不论是怎样的两个不同的整数，中间必有有理数，如2和3中间有，－2，－3之间有－．
解：选C
【方法规律】如果一个说法（结论）不正确，可举反例说明．
四、数轴上的点和数
例6 指出下面数轴上A、B、C、D、O各点分别表示什么数？
【思路点拨】数的性质A点、B点在原点的左侧，表示的是负数；C点、D点在原点的右侧，表示的数是整数，0点在原点；其次，还要确定每个点到原点的距离．
解：点A表示－5，点B表示－1，点C表示2，点D表示5，点O表示0．
【方法规律】本题一个单位长度表示2，而不是1，容易看错，确定数轴上的点表示的数，一定性质，二定距离．
例7 数轴上表示到3的点的距离是5的点表示的数是__________．
【思维点拨】数轴上与表示3的点相距5个单位长度的点有两个，一个表示3的点的右侧且相距5个单位长度，另一个表示3的点的左侧且相距5个单位长度．
解：8或－2
【方法规律】距离是一个长度，在数轴上表示与某个点的距离为a（a＞0）的点时，用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧且距此点a个单位长度有一个点；在这个点右侧且距此点a个单位长度也有一个点．
五、画数轴
画数轴时，一定要体现出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴的步骤可归纳为：一画、二定、三选、四统一、五标数，即画直线、定原点、选取正方向，统一单位长度，确定要表示的数的对应点的位置．
例8 如图，数轴上有A、B、C、D、E、F六个点，每两个相邻的点的距离相等，那么下列说法中错误的是（ ）
A．表示原点的数在C、D之间 B．有三个点表示的数是负数
C．这六个数中没有表示整数的点 D．C点与原点最接近
【思维点拨】A点到F点的距离是，且相邻的点之间的距离相等，所以每两个相邻点间距离为÷5=，原点在C、D之间，＞，因此原点靠近D点，A、B、C三点表示的数是负数，B点表示的数是分数．
解：D
拓展研究
一、正、负数应用
在一些实际生产和生活的问题中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”这个量作为正、负数的界限，解决问题时，要按题目的要求正确理解整数、负数所代表的实际的量的真正意义，把实际的量进行转化．
例1 图中这个游戏叫做（井底之蛙），一个人或几个人玩，每人投一次骰子（可以是一粒或二粒），按点数井底之蛙开始往上爬，爬到哪一格，就按那一格的数字再往上升或往下降，只有升到井上或回到井底，才轮到第二个人．例如，投得3，往上爬三格，得“＋1”，再升一格，又得“－4”，降四格回到井底，于是轮到第二个人投骰子．
现在轮到你投骰子，请你简要分析一下，如果你投到哪些数，就可以把青蛙送到井上，不再坐井观天．
【思路点拨】读懂题意，将每个数按题意上升或下降这些格，看是否送到井上，是否仍回井底．
解：投到8~12时，可以把青蛙送到井上；投到1~7时，青蛙回到井底．
【方法规律】理解正、负数的意义是解题的关键．
二、有理数分类中0的位置
0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界，是唯一的中性数．
例2 下列说法正确的有（ ）
①一个有理数不是正数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数；
③一个整数不是正数就是负数； ④一个分数不是正数就是负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】一个有理数可能是正数、负数或0，整数也包括零，其中①④是正确的．[来源:Z+xx+k.Com]
解：B
【方法规律】在有关有理数概念的考察中，0最容易被忽视，要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”的错误出现．
三、利用正、负数探究数字的排列规律
例3 观察下列依次排列的两列数，它们的排列有什么规律？你能说出这两列数的第48个数，第101个数，第2015个数分别是什么吗？
（1）－1，，－3，，－5，，－7，，…；
（2），0，－，0，，0，－，0，…．
【思路点拨】（1）这列数从数的性质看正、负交替出现，再考虑分子、分母的变化规律；（2）这列数是0、交替出现，再考虑性质符号的变化规律．
解：（1）这列数的排列规律是：对于第n个数，n为奇数时，此数是－n，n为偶数时，此数是，因此，第48个数为，第101个数为－101，第2015个数为－2015．
（2）这列数的排列规律是：，0，－，0，…，从前往后奇数位上数是或－，偶数位上是0，位数除4余1的是，位数除4余3的是－，所以，第48个数是0，第101个数是，第2015个数是－．
【方法规律】从数的性质和除性质外的数的大小两方面寻找规律．
四、有理数分类中小数的划分
例4 下列各数中，哪些是有理数，哪些不是有理数？
，－，－，0．121121112…，0．676767…，π，－π，0．4．
【思路点拨】，－是分数，－，0．676767…是循环小数，可以化为分数，0．4是有限小数，也可以化为分数，所以都是有理数．0．121121112…，π，－π都是无限不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数．
解：有理数：，－，－，0．676767…，0．4；
不是有理数：0．121121112…，π，－π．
【方法规律】小数有三类：有限小数，无限循环小数和无限不循环小数，其中有限小数与无限小数都可以化为分数，故都是有理数，无限不循环小数不是有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数．
五、数轴上的数形结合
例5 如图，数轴上有A、B、C三个点，请回答下列问题：
（1）将B点在数轴上移动3个单位长度后，所表示的数是什么？
（2）怎样在数轴上移点C，使移动后的C点（不与B点重合）与A点的距离等于B点与A点的距离？此时C点表示的数是什么？
【思维点拨】（1）B点在数轴的移动可向正方向，也可向负方向，有两个结果；（2）A、B两点间的距离是2，C点向左移动，可在A点左边，也可在A点右边距离为2，但A点右边距离为2的点与B点重合，应排除．
解：（1）－5或1
（2）将C点向左移动9个单位长度，此时C点表示的数是－6．
【方法规律】到数轴上某点的距离为a（a＞0）的点有两个，在该点左、右两边各有一个点．
六、数轴的实际应用[来源:学#科#网]
利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将实际问题在数轴上表示出来，再根据要求求解．
例5 某人从A地向东走10米到达B地，然后向西走4米到达C地，又向东走7米到达D地，问此人现在在A地的哪个方向？距A地多远？
【思路点拨】本题可借助数轴来解决，按照此人行走的方向和距离找出他三次行走后的位置．
解：设A地是原点，向东为正方向，以1米为一个单位长度，由图可知D在A地的正东方向，距A地13米．
【方法规律】本题运用数形结合思想解决问题，根据已知条件画出一条数轴，在数轴上讲三次运动过程表示出来，便能顺利解决问题．
实战演练
A 链接中考
1．孔子出生于公元前551年，如果用－551表示，那么下列中国历史文化名人的出生年代表示为：①司马迁出生于公元前145年：__________；②李白出生于公元701年：_______．
2．林艳在东西向的路上，先向东走30米，又向西走30米，她一共走了______米，她最后的位置是在_________．
3．已知在数轴上有A、B两点，点A、B之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B表示的数是__________．
4．数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为_______．
5．点A为数轴上距原点距离4个单位长度的点，A点表示的数是_______．
6．下列各组量具有相反意义的是（ ）
A．收入3000元与增加5000元 B．向东走5km与向南走3．5km
C．温度上升12℃与水位下降 D．七（5）班在比赛中胜3场与负3场
7．下列说法中正确的有（ ）
①小数都是有理数；②存在最小的自然数；③－0．001是分数，也是有理数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ）
A．2．4 B．－2．4 C．－1．6 D．－1．4
9．点A在数轴上表示－2的点所在的位置，当点A沿数轴移动5个单位长度到达点B时，点B表示的有理数是（ ）
A．3 B．－7 C．3或－7 D．无法确定
B 冲刺中考
10．下列说法中，正确的个数有（ ）
①0℃表示没有温度； ②0是最小的整数； ③0是偶数，也是自然数； ④不带负号的数都是整数； ⑤带负号的数不一定是负数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11.下列说法中错误的是( )
A.正整数一定是自然数 B．自然数一定是正整数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．任何有理数都可以表示为分数
12.下列说法正确的是( )
A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点右边的点表示的数是非正数
C．有理数如在数轴上无法表示 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到
13. 一次月考中，新欣所在班级平均分为95分，把高出平均分的部分记作正数，新欣105分，记为____， 兰慧记-12分，她实际得分为 分．
14.下列四个判断中，错误的是( )
A.存在着最小的自然数 B．存在最小的正有理数
C．不存在最大的正有理数 D．不存在最大的负有理数
15. -a 一定是( )
A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．正数或零或负数
16.下列说法错误的是( )
A.数轴上原点右边的点表示的数是正数 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数
C．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 D．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3
17.已知数轴上的点A到原点的距离为2个单位长度，那么数轴上到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是( )
A.5 B．±5 C．±1 D．±1或±5
18.若b为正数，利用“<“号连接a，a-b，a+b为____．
19.写出5个数（不能重复），同时满足下列三个条件：
①其中三个数是非正数；②其中三个数非负数；③五个数都是有理数，这五个数可以是
．
20．数轴上点A表示3，点B表示-4.5，点C表示-2，则点A和点B中，距离点C较远的点是___ _．
21.点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧，若将点A向左移动4个单位长度，此时点A所表示的数是____，若点B表示的数是点A开始时所表示的数的相反数，作同样的移动以后，点B所表示的数是____．
22.点A、B、C、D、E在数轴上的位置如图所示，其中，B、C、E分别为相邻整数点的中点，请回答下列问题：
(1)点A、B、C、D、E各表示什么数？
(2)点A、B之间的距离是多少？点B、E之间的距离是多少？
(3)现在把数轴的原点取在点C处，其余都不变，那么点A、B、C、D、E又分别表示什么数？
23.观察下列各数
，…
(1)写出第10个数；
(2)写出第2015个数．
24.检修组乘汽车，沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发，到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8，-9，+4，+7，-2，-10，+18，-3，+7，+5
(1)收工时在A地的哪边？距A地多少千米？
(2)若每千米耗油0.4升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？
25.如图，数轴上A、B两点对应的有理数都是整数，若A、B对应的有理数a、b满足b- 2a=5，那么请指出数轴上原点的位置．
C决战中考
26.将…按一定规律排列如下：
第1行 1
第2行
第3行
第4行
第5行
则第20行从左到右第10个数是 .
27．在数轴任取一条长度为2015个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点个数为 ( )
A. 2016 B.2015 C.2014 D.2013
28.小明家、学校、邮局、图书馆坐标落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小明家西150米，邮局位于小明家东100米，图书馆位于小明家西400米．
(1)用数轴表示A、B、C、D的位置（建议以小明家为原点）；
(2)一天，小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，试问这时小明约在什么位置？距图书馆和学校各约多少米？
29.如图，一条笔直的流水线上，依次有5个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示．
(1)点M2和M5所表示的有理数是什么？
(2)点M1和M4之间的距离为多少？
(3)怎样将点M3移动，使它先到达M2，再到达M5，请说明；
(4)若原点是一休息游乐所，那么5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？
专题三 有理数的加减法
要点归纳
1．有理数的加法法则：①同号两数相加，取__________的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较______的加数的符号；③互为相反数的两数相加，和为0；④一个数与0相加，仍得这个数．
2．用字母表示加法法则：
①同号两数相加，若a＞0，b＞0，则a＋b＝__________；若a＜0，b＜0，则a＋b＝________；②异号两数相加，绝对值不相等时，若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a＋b＝_______；若a＞0，b＜0，|a|＜|b|，则a＋b＝_____；③若a＞0，b＜0，|a|＝|b|，则a＋b＝______；④a＋0＝a．
3．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用式子可以表示为：__________．
4．代数和：把加减混合运算统一为省略加号和括号的几个正数或负数的和的形式，这种算式称为___．
5．加减混合运算的步骤：①运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为_____，统一成代数和的形式；②运用加法法则，加法运算律进行运算．
典例讲解
经典再现
一、有理数的加法法则
例1 计算：
（1）(－15)＋(－7)； （2）(－1)＋(＋2)；
（3）(－14.2)＋(＋14.2)； （4）(－3.14)＋0．
【思路点拨】（1）两个负数相加，结果为负；（2）异号两数相加，因为|－1|＜|2|，所以符号取正；（3）互为相反数的两数和为0；（4）一个数同0相加，仍得这一个数．
解：（1）(－15)＋(－7)＝－22；（2）(－1)＋(＋2)＝；
（3）(－14.2)＋(＋14.2)＝0；（4）(－3.14)＋0＝－3.14．
【方法规律】计算有理数加法的步骤：①先定符号；②再算绝对值；③最后做加、减法．
二、对加法法则的理解
例2 下列说法正确的是（ ）
A．两个有理数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和
B．两个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和
C．一个正数和一个负数相加，和的绝对值等于它们的绝对值之和
D．一个正数和一个负数相加等于0
【思路点拨】可用一些具体的数验证上面的说法．
解：B
【方法规律】有理数的加法分同号、异号、与零相加三种情况，计算时先定符号，再计算绝对值的和或差．
例3 下列说法正确的是（ ）
A．两数之和一定大于每个加数 B．两数之和一定小于每一个加数
C．两数之和一定介于两个加数之间 D．以上皆有可能
【思路点拨】对于A、B、C选项，可分别举一个反例来证明它们是错误．
解：D
三、有理数加法运算律
（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；
（2）加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；[来源:学科网ZXXK]
使用加法交换律和结合律，移动加数位置时，一定要连同数前面的符号一起移动，用运算律计算可以减少反复确定结果符号的次数，也可以使运算变得简单．
例4 计算：16＋(－25)＋24＋(－32)＋(－5)＋(－13)．
【思路点拨】根据本题的特点，可分正、负两组数进行计算．
解：原式＝(16＋24)＋[(－25)＋(－32)＋(－5)＋(－13)]＝40＋(－75)＝－(75－40)＝－35．
【方法规律】同号n个数相加，容易确定和的符号，最后剩下一对异号的数相加，和的符号取绝对值大的加数的符号，并且较大的绝对值减去较小的绝对值．
例5 下列各式能用加法的运算律简便计算的是（ ）
A．6＋＋1 B．5＋(－2)
C．(－8)＋(－7.5)＋(－2)＋(＋4.5) D．4＋(－)＋(－3)＋(－2)
【思路点拨】C选项中，可按正、负数分组，也可把－7.5和＋4.5作一组，－8与－2作一组，分别求和，再相加．
解：C[来源:学科网]
【方法规律】用运算律的目的是使计算简便，因此，计算时，应该怎样算简便就怎样算．
四、有理数加法的实际应用
在运用有理数加法解决实际问题时，必须先确定何为“正”，何为“负”，然后才可以依据要求列出式子，最后用适当的方法计算得出结果．
例6 某旅游景区，今年第一季度盈利2200000元，第二季度亏损800000元，则该景区今年上半年的效益为多少？
【思路点拨】设定盈利为“正”，则亏损为“负”，再列加法计算出结果．
解：2200000＋(－800000)＝1400000（元）
即该景区今年上半年的效益为盈利1400000元．
【方法规律】做有理数的实际应用性题目时，先根据题意，设定“正|”、“负”，再计算，并由此作答．
五、有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)，在减法变为加法的时候，要注意“两变”：①运算符号由“－”号变为“＋”号；②减数变为原来的相反数．
例7 计算：
（1）3.3－(＋4.7)； （2）－7－(－8)； （3）(－3)－5；
（4）0－100； （5）(－8)－0； （6）8.5－(－5.7)．
【思路点拨】按减法法则，先将减法转化为加法，然后根据有理数加法的法则及运算律进行计算．
解：（1）3.3－(＋4.7)＝3.3＋(－4.7)＝－1.4；（2）－7－(－8)＝－7＋8＝1；
（3）(－3)－5＝(－3)＋(－5)＝－8；（4）0－100＝0＋(－100)＝－100；
（5）(－8)－0＝－8；（6）8.5－(－5.7)＝8.5＋5.7＝14.2．
【方法规律】一个数减0等于这个数本身．
六、有理数加减混合运算
有理数混合运算的步骤：①运用有理数减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成和的形式；②运用加法法则、加法运算律进行运算．
例8 计算：
（1）(－3)－(－5)＋(＋7)； （2）7.54＋(－5.72)－(－12.46)－(＋4.28)．
【思路点拨】（1）含分数的有理数运算中，同分母的数可优先计算；（2）含小数的有理数运算中，可以使用凑整法，简化运算过程．
解：（1）(－3)－(－5)＋(＋7)＝－3＋5＋7＝－3＋(5＋7)＝－3＋13＝9；
（2）7.54＋(－5.72)－(－12.46)－(＋4.28)＝7.54－5.72＋12.46－4.28＝(7.54＋12.46)－(5.72＋4.28)＝20－10＝10．
【方法规律】有理数的混合运算中，要注意正确的运算步骤．
拓展探究
一、有理数加法运算律的运算技巧
利用有理数的加法运算律，为了使计算简单，运算时常用到一些技巧，如：①相反数结合法；②同号结合法；③同分母结合法；④凑整法；⑤同形结合法、带分数相加时，先将其拆成整数和分数，再利用加法运算律相加．
例1 用简便方法计算：
（1）(－0.5)＋(－3)＋2.75＋(＋7)； （2）(－)＋(－2)＋(－1)＋(＋1.75)．
【思路点拨】分数与小数混合的有理数加法中，应先把小数与分数的形式统一之后，再进行计算．
解：（1）(－0.5)＋(－3)＋2.75＋(＋7)＝(－0.5)＋(－3.25)＋2.75＋(＋7.5)＝[(－0.5)＋(－3.25)]＋[2.75＋7.5]＝(－3.75)＋10.25＝6.5；
（2）(－)＋(－2)＋(－1)＋(＋1.75)＝(－)＋(－2)＋(－1)＋(＋1)＝[(－)＋(－1)]＋[(－2)＋(＋1)]＝(－2)＋(－1)＝－3．
【方法规律】（1）中用到同号结合法；（2）中用到同分母结合法，也可用同号结合法．
例2 计算：(＋3)＋(－2)＋(－7)＋5＋(－8)＋(＋7)．
【思路点拨】(－7)与＋7结合、(－2)与(－8)结合、(＋3)与5结合起来计算比较简便．
解：原式＝[(＋3)＋5]＋[(－2)＋(－8)]＋[(－7)＋(＋7)]＝9＋(－11)＋0＝－2．
【方法规律】多个分数相加，互为相反数的数或同分母的数优先相加．
例3 计算：(－2015)＋(－1999)＋(＋4015)．
【思路点拨】把每个带分数的整数部分与真分数部分分开，再分整数、分数分别进行计算．
解：原式＝(－2015)＋(－)＋(－2000)＋(＋)＋4015＋
＝[(－2015)＋(－2000)＋4015]＋[(－)＋()＋]
＝0＋(＋)＝．
【方法规律】有时拆分带分数为整数部分与分数部分，可使计算简便．
例4 用不同的简便方法计算：
(＋1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋…＋(＋99)＋(－100)．
【思路点拨】可用不同的分组的方法求和．
方法一：原式＝[(＋1)＋(－2)]＋[(＋3)＋(－4)]＋…＋[(＋99)＋(－100)]
＝＝－50；
方法二：原式＝[1＋(－2)＋(＋3)＋(－4)]＋[(＋5)＋(－6)＋(＋7)＋(－8)]＋…＋[(＋97）＋(－98)＋(＋99)＋(－100)]
＝＝－50．
二、用作差法比较两个有理数的大小
比较两个有理数a与b的大小，可以先求出a与b的差a－b：①若a－b＞0，则a＞b；②若a－b＝0，则a＝b；③若a－b＜0，则a＜b．
例5 若x＝－＋15.25＋(－)，y＝－11.25＋4.5，比较x与y的大小．
【思路点拨】先求出x与y的差，再比较x－y与0的大小关系．
解：因为x－y＝[－＋15.25＋(－)]－(－11.25＋4.5)＝(－1)＋26.5－4.5＝21＞0，所以x＞y．
三、有理数加减混合运算的步骤方法和技巧
做有理数加减混合运算时通常分两个步骤：①运用有理数的减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法，统一成代数和的形式；②运用加法法则、加法运算律进行计算．
常见的技巧：①正数和负数分组计算；②互为相反数的两个数结合；③同分母分数相结合；④凑整；⑤拆带分数为整数和分数两部分参与计算．
例6 计算：
（1）(＋0.125)＋(－4)＋(－2)＋(－12)＋0.75；
（2）(＋7)＋3.7869－(－5)＋(－5)－(＋3)－(＋1.7869)．
【思路点拨】（1）把小数、分数统一为分数形式较容易识别并结合同分母；（2）用凑整法分母结合．
解：（1）原式＝＋(－4)＋(－2)＋(－12)＋
＝[(－2)＋]＋[＋(－4)]＋(－12)＝－2＋(－4)＋(－12)＝－18．
（2）原式＝[3.7869－(＋1.7869)]＋[(＋7)＋－(－5)]＋(－5)－(＋3)
＝2＋12＋(－5)－(＋3)＝5．
【方法规律】分组结合时，注意括号的使用．
四、数轴上两点间的距离
表示数轴上两点间的距离可用右边点表示的数减去左边点表示的数，或用两个点表示的数相减的绝对值表示，如AB＝y－x＝|x－y|．
例7 已知数轴上两点A与B．
（1）若A表示3，B表示5，则A，B之间的距离为_______________；
（2）若A表示3，B表示－3，则A，B之间的距离为______________；
（3）若A表示－2，B表示3，则A，B之间的距离为______________；
（4）若A表示－2，B表示－3，则A，B之间的距离为_____________；
（5）猜想：若A表示数a，B表示数b，则A、B之间的距离为_____________．
【思路点拨】画数轴来分析问题．
解：（1）2 （2）6 （3）5 （4）1 （5）|a－b|
五、有理数加减法的实际应用
例8 甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动了0.5米，相待一会儿，又向乙队方向移动0.4米，随后又向甲队方向移动1.3米，在大家的欢呼声中标志物又向甲队方向移动0.9米．如果规定，标志物向某队方向移动2米，该队即可获胜，那么最终哪队取得了胜利？
【思路点拨】先规定标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，然后列式计算，比较结果与2米的大小．
解：设标志物向甲队方向移动为正，向乙队方向移动为负，依题意，得
(－0.2)＋(＋0.5)＋(－0.4)＋(＋1.3)＋(0.9)＝－0.2＋0.5－0.4＋1.3＋0.9＝(0.5＋1.3＋0.9)－(0.2＋0.4)＝2.7－0.6＝2.1（米）
所以，最终甲队取得了胜利．
实战演练
A 链接中考[来源:Zxxk.Com]
1．某天一股票开盘价为18元，中午跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则该股票的收盘价是（ ）
A．0.3元 B．1.62元 C．16.8元 D．18元
2．下列计算正确的是（ ）
A．(＋20)＋(－30)＝10 B．(－31)＋(－11)＝－20
C．(－3)＋(＋3)＝0 D．(－2.5)＋(＋2.1)＝0.4
3．如果两个有理数的和大于零，那么（ ）
A．两个有理数一定都是正数 B．两个有理数一个一定是正数，一个一定是负数
C．两个有理数不可能都是负数 D．两个有理数可能都是零
4．计算2－(－3)的结果是（ ）
A．5 B．1 C．－1 D．－5
5. －5的绝对值与5的相反数的差是（ ）
A. 0 B. 10 C. －10 D.
6. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 两数相减，被减数一定大于减数 B. 0减去一个数仍得这个数
C. 互为相反数的两个数的差为0 D. 减去一个正数，差一定小于被减数
7. 小萌在下面的计算中只做了一道题，他做对的题是（ ）
A. B. （－7）＋（＋3）＝－10
C. D.
8.计算： ，这一步运算运用了（ ）
A. 加法的交换律 B. 加法的结合律 C. 加法的交换律和结合律 D. 以上都不对
9. 某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（25±0.1）kg、（25±0.2）kg、（25±0.3）kg的字样，任意取出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A. 0.8kg B. 0.6kg C. 0.5kg D. 0.4kg
10、下列各式中，与式子－a＋b－c相等的是（ ）
A. －b＋a－c B. b－a－c C. a＋c－b D. －b＋a＋c
11、有理数A. b在数轴上的位置如图所示，则a＋b的值（ ）
A. 大于0 B. 小于0 C. 小于a D. 大于b
12、用“＞”或“＜” 填空：
（1）如果a＞0，b＞0，那么a＋b______；
（2）如果a＜0, b＜0， 那么a＋b _______;
(3)如果a＞0, b＞0, |a|＞|b|，那么a＋b______;
(4) 如果a＞0, b＞0, |a|＜|b|，那么a＋b______;
13、甲、乙、丙三地的海拔高度分别是200米，－50米，－150米，那么最高的地方比最低的地方高_____米.
14、下列计算运用律恰当的是有______(填序号)
①28＋(－18)＋＋(－22)＝[(－18)＋(－22)]＋(28＋6)
②
③
15、把 转化为加法为____________.
16. 已知x＝25, y＝－30, z＝－38，则－x－y－z＝__________.
17. 三个数－15，－5,10的和比它们的绝对值的和_____.
18、计算：
(1) ； (2)0＋(－4)；
(3) (4)
(5) (6) .
19、计算[来源:Zxxk.Com]
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
B 冲刺中考
20. 在1、－1、－2这三个数中，任意两数之和的值中，最大值是______.
21、有理数A. b在数轴上的位置如图，则下列说法正确的是( )
B. C. D. 以上答案都不对
22、如图，A、B两点间的距离是______；B、C两点间的距离是______.
23、下列各式可以写成a－b＋c的是( )
A. B. [来源:学+科+网]
C. D.
24、已知|a|＝3, |b|＝5，则|a＋b|＝___________.
25、－8和5加上同一个数x后所得结果互为相反数，则x＝________.
26、如果A. B. c是有理数，且a＋b＋c＝0，那么( )
A. 三个数有可能同号 B. 三个数一定是0
C. 一定有两个数互为相反数 D. 一定有一个数的相反数等于其余两个数之和
27. x与－1的差是－1 ，则x值为_______.
28. 若|x|＝5, |y|＝3，且x＜y，则x－y等于( )
A . －8 B. －2 C. －8或－2 D. 2或8
29、下列式子一定成立的是( )
A. B. C. D.
30. a, b两数在数轴上的位置如图所示，M＝a＋b, N＝－a＋b, H＝a－b, G＝－a－b, 则下列各式中正确的是( )
A. G＞H＞M＞N B. G＞N＞M＞H C. G＞M＞N＞H D. G＞N＞H＞M
31、如图是一个由六个小正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面都分别写着－1,2，3，－4,5，－6六个数字，那么图中所有看不见的面上数字之和是_______.
32、计算：
(1) (2
(3) (4)
33、用简便方法计算：
(1) (2)
(3)
(4)
34． 从图①中找规律，并按规律在图②中的空格里填上合适的数.
C 决战中考
35. 已知a＜0, b＞0, c＜0，且|c|＜|b|＜|a|,试比较a, b, c, a＋b, a＋c的大小.
36、已知的A、B两点在数轴上分别表示的数为m, n，
(1)对照数轴填写下表：
M
6
－6
－6
－6
2
－1.5
N
4
0
4
－4
－8
－1.5
A. B两点间的距离
(2)若A、B两点间的距离记为d, 试问d与m、n有何数量关系？并用文字描述出来；
(3)已知A、B在数轴上分别表示的数为x和－1，则A. B两间的距离d可表示为_________，如果d＝8，求x的值.
37. 对有理数a, b定义运算“※”如下，a※b＝(a＋b)－(a－b)，求－3※4的值.
38. (1)有1,2，3，…，11,12共12个数，请在每两个数之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0；
(2)若有1,2，3，…，2015，2016共2006个数，请在每两个数添上“＋”或“－”，使它们的和为0；
(3)根据(1)、(2)的规律试判断能否有1,2，3，…，2014,2015，共2015个数的每两个数之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0，若能，请说明添法；若不能，请说明理由.
专题二 相反数与绝对值
要点归纳
1．相反数
只有符号 的两个数叫做相反数，特别地，0的相反数是 ，除零以外的两个相反数在数轴上，位于原点的 ，且到原点的距离 ，我们称这两个点关于 对称，如果以a、b互为相反数，则a+b= ______．
2．绝对值
一般地，数轴上表示数a与原点的距离叫做数a的 ，一个正数的绝对值是____ ；一个负数的绝对值是它的_ ___；0的绝对值是__ __，即
3．有理数的大小比较：①正数 0,0____负数，正数 负数；②两个负数，绝对值大的反而_______．
典例讲解
经典再现
一、相反数的概念
只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个的相反数，0的相反数是0．
特别注意：“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是符号不同但是数字完全相同；相反数是成对出现，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数．
例1 下列说法正确的是( )
A．一2是相反数 B．与一2互为相反数
c．一3与+2互为相反数 D．与0.5互为相反数
【思路点拨】单独的一个数不是相反数，故A不对；与一2互为倒数，故B不对；一3与+2不符合只有符号不同，故C不对；0.5即为，与0.5只有符号不同，故D正确．
解：D
二、相反数的意义
例2 如图，点A、B、C、D表示的数中，表示互为相反数的两个点是( )
A．点A与点C B．点B与点C
C．点A与点D D．点B与点D
【思路点拨】根据相反数的几何意义可知，表示互为相反数的两点在原点两侧且到原点的距离相同，通过观察可以发现A点与D点满足条件，
解：C
【方法规律】在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称.
例33已知a与2b互为相反数，求3a+6b+3的值．
【思路点拨】由a与2b互为相反数，可得a+2b=0，再用a+2b整体代入3a+6b+3可求值．
解：因为a与2b互为相反数，所以a+2b=0，所以3a+6b+3=3(a+2b)+3=3×0+3=3．
【方法规律】解决此类问题的关键；由a与2b互为相反数，联想到a+2b=0，利用整体代入法求出所求式的值，不需要考虑a、b的取值
三、相反数的表示方法
求一个数的相反数，只需在这个数前面加上一个负号，如数a的相反数是-a，同时-a的相反数是a．
例4 - 2a的相反数是 ， a+b的相反数是 ．
【思路点拨】一个式子的相反数就是在它前面加上“一”；a+b的相反数应把a+b当作一个整体，在前面加上“一”．
解：2a；一（a+b）
【方法规律】求一个式子的相反数，就在这个式子当作一个整体.
四、绝对值的意义
绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离．
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
例5 写出下列各数的绝对值．
【思路点拨】是正数，它的绝对值是它本身；0的绝对值是0，都是负数，它们的绝对值是它们的相反数．
解：=； =0; =；=； =4.5; =5．
例6 已知数a，b在数轴对应的点的位置如图所示，则 （填“>”、“<”或“=”）．
【思路点拨】由绝对值的几何意义可知，b所对应的点比a所对应的点离点远，所以>
解：<
五、绝对值及其性质
例7 若 =a-2，则a的取值范围是 ；若=-(b—3)，则b的取值范围是
.
【思路点拨】当 =a-2时，a-2≥0；当=-(b—3)时，b-3≤0．
解：以≥2，6≤3．
【方法规律】利用=a，则a≥0；=-a，则a≤0的方法来解决问题，特别注意=-a时a≤0中的a=0的情况.
例8下列各式中，无论a为何值，一定是正数的是( )
A, B. C. +l D.-(-a)
【思路点拨】选项A中，若a=0时，不符合题意；选项B中，当a= -1时，=0，不符合题意；选项D中，-（-a）=a，这显然也不符合题意；选项C中，因为≥0，所以+1≥1，符合题意，
解：C
【方法规律】有绝对值的非负性得，-一定是非正数，与一个整数之和一定是正数
六、有理数的大小比较
（1）利用数轴比较有理数的大小，数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数；
（2）负数的大小比较：绝对值大的数反而小，比较步骤：①分别计算两数的绝对值；②比较绝对值的大小；③判断两数的大小．
例9 比较下列各数的大小：
（1）和； （2）和－3.13； （3）和0； （4）和．
【思路点拨】我们可以运用绝对值比较两个有理数的大小．
解：（1）因为，，且，所以＞；
（2）因为，，且3.14＞3.13，所以＜－3.13；
（3）因为，且－5＜0，所以＜0；
（4），．因为正数大于负数，所以＞．
拓展探究
一、相反数的性质
任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数是0．[来源:学科网ZXXK]
例1 已知a＋b＝0，b＋c＝0，a－d＝0，则（ ）
A．c与d相等 B．a与c互为相反数 C．a与b相等 D．b与c相等
【思路点拨】a＋b＝0，则a与b互为相反数，b＋c＝0，则c与b互为相反数，所以a与c相等，a－d＝0，则a与d相等，所以c与d相等．
解：A．
二、多重符号的化简规律
多重符号化简的的结果由“－”号的个数决定，与“＋”号无关，如果“－”号的个数是奇数，那么结果为“－”，如果“－”号的个数是偶数，那么结果为“＋”．
例2 化简下列个数：
（1）－(－12)； （2）－(＋5)； （3）＋(＋3)； （4）＋(－5)；
（5）－[－(－)]； （6）－[＋(－a)] ．
【思路点拨】多重符号化简的的结果由“－”号的个数决定，与“＋”号无关．
解：（1）－(－12)＝12；（2）－(＋5) ＝－5；（3）＋(＋3)＝3；（4）＋(－5)＝－5；
（5）－[－(－)]＝－； （6）－[＋(－a)]＝a．
三、绝对值中的分类讨论
由，可知a＝±b，再根据限制条件确定a的值．
例3 已知，，且a＜b，求a与b的值．
【思路点拨】因为，所以a＝±5；因为，所以b＝±4，本题要在a＜b的条件下进行分类讨论．
解：因为，所以a＝±5；因为，所以b＝±4．
所以，或，或，或，
因为a＜b，所以，或．
四、含有字母的绝对值的化简
化简绝对值：先判定这个数是正数、零还是负数，再由绝对值的意义确定去掉绝对值的符号，判断结果是等于它本身还是等于它的相反数．
例4 (abc≠0)的所有可能的结果有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】由本题的特殊结构可整体分类：可分a、b、c中没有正数，只有一个正数，有两个正数，有三个正数四种情况．
①若a、b、c中没有正数，即全为负数，则原式＝－4；
②若a、b、c中只有一个正数，不妨设a为正数，其余均为负数，则原式＝0；
③若a、b、c中只有两个正数，不妨设a、b为正数，c为负数，则原式＝0；
④若a、b、c中全为正数，则原式＝4．
解：C
五、比较有理数大小的方法
比较多个有理数的大小有三种方法：①分类法，先按正数、0、负数分类，再分别比较；②数轴法，数轴上右边的数总比左边的数大；③取特殊值法，即取符合题目条件的具体数字代换题中字母进行比较．
例5 若m＞0，n＜0，| m |＞| n |，用“”将m，－m，n，－n连接起来．
【思路点拨】可用上面讲的三种方法比较大小．
解：方法一：∵m＞0，n＜0，∴m为正数，－m为负数，n为负数，－n为正数．
又∵正数大于一切负数，且| m |＞| n |，
∴ m＞－n＞n＞－m．
方法二：因为m＞0，n＜0，| m |＞| n |，
所以m， n，－m，－n表示在数轴上如图所示．
∵数轴上右边的数总比左边的数大，∴m＞－n＞n＞－m．
方法三：选取符合条件的数，设m＝2，n＝－1（符合m＞0，n＜0，| m |＞| n |），
则－m＝－2，－n＝1，而2＞1＞－1＞－2
∴ m＞－n＞n＞－m．
实战演练
A 链接中考
1．2a的相反数是 ，a－b的相反数是 ．
2．化简下列个数
①－(－5)＝ ； ②＋(－8)＝ ； ③－(＋)＝ ； ④－[－(－)]＝ ；
⑤＋[－(－2)]＝ ； ⑥－[－(＋0.3)]＝ ．
3．若| a－4 |＝a－4，则a的取值范围是 ；若| b－5 |＝－(a－4)，则b的取值范围是 ．
4．已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则| a | | b |(填“＞”，“＜”或“＝”) ．
5．－| a |＝－4.5，则a＝（ ）
A．4.5 B．－4.5 C．±4.5 D．0或4,5
6．若a≠0，则的值是（ ）
A．1 B．0 C．－1 D．±1
7．下列判定中：①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③任何数的绝对值都是非负数；
④互为相反数的两个数的绝对值相等．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．有理数a在数轴上对应点如图所示，则a、－a、－1的大小关系是（ ）
A．－a＜a＜－1 B．－1＜－a＜a C． a＜－1＜－a D． a＜－a＜－1
9．下列说法正确的是（ ）
A．因为相反数是成对出现的，所以0没有相反数 B．符号不同的两个数互为相反数
C．正数与负数互为相反数 D．只有零的相反数是它本身
10．在数轴上，－3.9在－3.99的 边，它们的大小关系是 ．
11．下列四个数中，其相反数是正整数的是（ ）
A．4 B． C．－3 D．－
12．①若| x |＝2015，则x＝ ； ②若|－ x |＝2015，则x＝ ；
③若| x－2015 |＝0，则x＝ ．
13．绝对值大于2，且不大于4的整数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．下列四个数表示的是四个足球与标准克数偏差的克数，其中质量较好的是（ ）
A．＋10 B．－20 C．－5 D．＋15
B 冲刺中考
15．下列各对数中，互为相反数的有（ ） ①－3与＋(－3)；②＋(＋2)与－2；
③－(－2)与＋(－2)；④－(－5)与＋(＋5)；⑤＋[－(＋4)]与－[＋(－4)]
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
16．下列各式的结论，成立的是（ ）
A．若| x |＝| y |，则x＝y； B．若x＞y，则| x |＞| y|；
C．若| x |＞| y |，则x＞y； D．若x＜y＜0，则| x |＞| y|．
17．所有可能的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．若| a|＝2，| b|＝5，则a＋b＝（ ）
A．±3 B．±7 C．3或7 D．±3或±7
19．相反数等于－5的数是 ，倒数等于－的数是 ，绝对值等于5的数是 ．
20．下列说法正确的有（ ）
①3.14的相反数是－π；②－0.5的相反数是；③－(－2.5)的相反数是2.5；④互为相反数的两
个数到原点的距离相等；⑤正数和负数互为相反数；⑥一个数和它的相反数不可能相等．[来源:Zxxk.Com]
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
21．在如图的数轴上，0为原点，数轴上的点P、Q、R、S所表示的数分别为a、b、c、d，请问下
列大小关系不正确的是（ ）[来源:学§科§网]
A．| a |＜| d | B．| b |＝|c | C．| a |＞| b | D．| b |＜d
22．若－a＝3，则－[＋(－a)]＝ ，－[－(－a)]＝ ．
23．已知| x |＝| y |，2x＝4，则y＝ ．
24．已知|3－ x |与| y－1 |互为相反数，则的值为 ．
25．求下列各式中a的值．
（1）已知a的绝对值等于6，求a；
（2）已知| b|＝| a |且b＝－4，求a；
（3）| a |不大于4的所有整数a；
（4）已知a是整数，且3≤| a |＜5，求a．
26．定义新运算：规定a△b＝－| b|，a○b＝－a，如a＝3，b＝4，则a△b＝－| 4|＝－4，a○b＝－3．
根据以上规定比较5△(－7)与5○(－7)的大小．
27．小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为
负数，爬过的各段路程依次记为（单位：cm）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）小虫离开出发点O最远是多少厘米？
（2）在爬行过程中，每爬行1cm奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
C 决战中考
28．已知m与n互为相反数，a与b的乘积为1，c＝＋[－(－4)]，求3m＋ab＋3n＋c的值．
29．已知| x－2 |＋| x＋ y－5 |＝0，求x、y的值．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
[来源:Z,xx,k.Com]
30．已知| xy－2 |与| y－1 |互为相反数．
试求代数式的值．
31．| a |具有非负性，它的最小值为0，试讨论：x为何有理数时，| x－1 |＋| x－3 |有没有最小值？如果
有，求出这个最小值；如果没有，请说明理由．
32．解答下列问题：
（1）①已知a＝1，|b |＝2，若a＞b，求b的值；
②已知a＝2，|b |＝1，若a＞b，求b的值；
（2）①已知|a |＝1，|b |＝2，若a＞b，求a、b的值；
②已知|a |＝2，|b |＝1，若a＞b，求a、b的值；
（3）①已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，若a＞b＞c，求a、b、c的值；
②已知|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，若a＞b＞c，求a、b、c的值．
专题五 有理数的乘方
要点归纳
1．乘方:一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作 ，读作“a的n次方”，a叫做 ，n叫做 ; 求n个相同因数的积的运算，叫做 ，乘方的结果叫做 ，按照结果也可读作a的n次幂．
2．乘方的性质:负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，正数的任何次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是 ．
3．科学记数法:把一个大于10的数写成 的形式(其中a大于或等于1且小于10,n为正整数)，就是科学记数法，用科学记数法表示一个n倍整数，其中10的指数是(n-1) ．
4．近似数:一个近似数， 到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，近似数就是接近于实际数，但与实际数还有差别的数．
5．有理数的混合运算的运算顺序:先 ，再 ，最后 ，如果有括号，就先算括号里面的．
典例讲解
经典再现
一、乘方的意义
如中n叫指数，a叫底数，叫幂，表示n个a相乘．
例1表示( )
A. -6与5的积 B. 6与5的积 C. 5个-6的积 D. 5个-6的和
【思路点拨】正确理解乘方的意义，表示5个-6的积．[来源:Zxxk.Com]
解:C
例2下列对于的叙述正确的是( )
A.读作-5的6次幂 B.底数是-5，指数是6
C.表示6个5相乘的积的相反数 D.表示6个-5的积
解:C
【方法规律】与有区别．
例3 的结果是( )
A. 1 B.-1 C. 2015 D.-2015
【思路点拨】表示(-1)的2015次方的相反数．
解:A[来源:学|科|网Z|X|X|K]
二、乘方的运算
有理数乘方的运算有以下两种:①根据乘方的意义，先把乘方转化成乘法，再利用乘法的运算法则进行计算，②先确定幂的符号，再求幂的绝对值．
例4计算:
（5）； （6）； （7）； （8）.
【思路点拨】找准乘方运算时的底数，确定结果的符号，再计算绝对值，底数是带分数的，先要化成假分数，再作乘方运算.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）.
【方法规律】与的底数不同；与的意义不同，计算时容易出现混淆.
例5、 中，负数有_________个.
【思路点拨】根据乘方的性质，正确判断出结果的符号.
解：3
【方法规律】①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③0的任何正数次幂都是0；1的任何次幂都是1；的任何奇次幂是，任何偶次幂为1；的任何偶次幂是非负数.即（或）
三、科学记数法
把一个数写成的形式时，若这个数是大于10的数，则比这个数的整数位数少1，而的整数数位只能有一位，即；小于的数也可以用科学记数法表示，其方法是先用科学记数法表示出它的相反数，再在结果前加“”号.
例6、据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷，6090000用科学记数法可表示为（ ）.
A. B. C. D.
【思路点拨】，，比整数为少1.
解：A
例7、（2014.成都）正在建设的成都第二绕城高速全长超过220公里，串起了成都市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达290亿元，用科学记数法表示290亿元应为（ ）
A.元 B.元 C.元 D.元
【思路点拨】290亿元=元，再改成科学记数法表示.
解：C
四、求科学记数法表示数的原数
用科学记数法表示为的数，其原数等于把的小数点向右移动n位后得到的数，若向右移动位数不够时，应用0补上.
例8、下列求原数不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【思路点拨】D选项中，“3”后面应补上5个0.
解：D
例9、用科学记数法表示的数，其原数的整数位数有（ ）
A. 位 B. 位 C. 位 D. 位
【思路点拨】原数的整数位数是.
解：D
五、用四舍五入法取近似值
取近似值的方法有：四舍五入法、去尾法、进一法，通常情况下，取近似数用四舍五入法，用四舍五入法取近似值时，根据要求精确到的数位，往后多看一位，且只能看一位，四舍五入.
例10、用四舍五入法对下列各数取近似数.
(1)0.5730(精确到百分位)； （2）0.04977（精确到0.001）；
（3）2.5948（保留两位小数）； （4）5.649（精确到0.1）
【思路点拨】根据精确度进行四舍五入.（1）中的千分位上为3，应舍去；（2）中精确到千分位，万分位上为7，应向前一位进1；（3）中小数点后算3位上的数为4，应舍去；（4）中精确到0.1，即精确到十分位，百分位是4，应舍去.
解：（1）；（2）；（3）；（4）.
【方法规律】（3）的结果为0.050，最末一位上的“0”不能省掉；（4）小题中，只能看到数字“4”位上，不能最末一位“9”向前一位入.
六、有理数的混合运算
有理数的混合运算的顺序：先乘方（三级运算），再乘除（二级运算），最后加减（一级运算），有括号的先算括号里的，按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算从左至右的顺序计算.
例11.计算：
（1）
（2）
【思路点拨】按混合计算的顺序进行.
解：（1）原式=
.
（2）原式=.
【方法规律】在做有理数混合运算时，以加减为分界线，分成几个部分，各部分分别计算.
拓展探究
一、有理数的简便运算
乘方是特殊的乘法，乘法的运算律可简化运算，
.
例1、计算：
【思路点拨】指数较大时，无法直接进行计算，两底数、互为倒数，可结合乘方的意义和性质进行简便运算.
解：
【方法规律】指数较大时，无法直接进行计算，这种情况下要利用乘方的意义和性质进行简便运算.
例2、求的值.
【思路点拨】幂指数较大，参加运算的数较多，无法直接进行计算，对于这样的式子要先对其进行化简，互相抵消一些项再进行计算.
解：设①，则②，
②－①，得，所以.
【方法规律】本题使用的简便运算是错位相消，类似的像求、
的题型都可以用这种方法来求.
例3、为了求的值（结果用含n的式子表示），设计了如图所示的图形：
（1）请你利用①图求的值；
（2）请你利用②图再设计一个求的值的几何图形.
解：（1）由①图可知；
（2）由设计的几何图形如图②所示.
【方法规律】本题体现了数形结合思想，利用图形面积之间的关系求式子的值，由①图可知：
，，，…，易得：.
二、运用乘方解决实际问题
遇到利用有理数乘方解决实际问题这类题目时，可以从特殊情形入手，逐步分析、归纳、找出其变化规律.
例4你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根面条，每捏合一次，拉面的根数就扩大一倍，如图所示.
（1）第四次捏合后拉成的面条是多少根？
（2）捏合到第几次后可拉成128根面条？
【思路点拨】第一次捏合后拉成的面条是根，第二次捏合后拉成的面条是根，第三次捏合后拉成的面条是根，…，第次捏合后拉成的面条是根.
解：（1）（根）；
（2）设次后可拉成128根面条，则.
∵，∴.即第四次捏合后拉成的面条是16根，捏合到第7次后可拉成128根面条.
三、有理数的偶次幂的非负性
形如：、（为正整数，为有理数），.
例4、已知，求.
【思路点拨】都具有非负性，两个非负数相加和为0，则每一个都等于0.
解：因为，而，
所以，即，所以.
四、科学记数法的应用
例5、（1）计算：；；；
（2）已知式子（其中a、b、c均为大于或等于1且小于10的数，m、n、p均为正整数）成立，请说出m、n、p之间存在的等量关系.
【思路点拨】，结果也应该用科学记数法来表示.
解：（1）；；
；
（2）当时，；当时，.
【方法规律】，当，用科学记数法表示为
；当时，用科学记数法表示为.
五、用科学记数法表示绝对值大于10的数
把数写成科学记数法的形式，一般有两种方法：
①在时，把已知数的小数点向左移动几位，就乘以10的几次方；
②观察已知数的整数部分的位数，整数部分位数减去1，就等于10的指数.
例6、用科学记数法表示下列各数：
（1）3000000；（2）－4800000；（3）－2545.4；（4）504万.
【思路点拨】根据科学记数法的意义，要表示成的形式，关键在于确定和，要求必须满足条件，比原整数位数少1.
解：（1）；（2）；（3）；
（4）
六、由近似数确定准确值的范围
例7、近似数1.80所表示的准确数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【思路点拨】近似数1.80精确到百分位，应由千分位上的数字四舍五入得到，故当百分位上的数为9时，千分位上的数应不小于5；当百分位上的数为0时，千分位上的数应小于5.
解：A
【方法规律】由近似数确定准确值的范围时，值需要在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0，再在这一位上加减5即可，如，可取1.800，用1.800－0.005=1.795，1.800+0.005=1.805，还要注意“舍小不含大”，即.
七、取近似数都是“四舍五入”吗？
取近似值常用的是“四舍五入法”，但在实际问题中就不一定都是“四舍五入”，有时还要用“去尾法”和“进一法”.
例8、每个工人每天可加工4个某种零件，现需13个这种零件，要在1天内加工出来，至少需_________个工人才能完成.
【思路点拨】本题中所求近似数为人数的近似数，应用“进一法”，否则不能完成任务.
解：4
【方法规律】“进一法”是把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1.
例9、要用50cm的圆钢截成了3厘米长的一段做零件，最多可以截几段（不计损耗）？
解：50÷3=16.7，最多可以截16段.
【方法规律】“去尾法”是把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去.
实战演练
A链接中考
1.对于与，下列说法正确的是（ ）
A.读法相同，底数不同，结果不同 B. 读法相同，底数相同，结果相同
C. 读法不同，底数相同，结果相同 D. 读法不同，底数不同，结果不同
2.下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A.与 B.与 C.与 D.与
3.若a，b互为相反数（，），n是正整数，则（ ）
A. 和互为相反数 B. 与互为相反数
C. 和互为相反数 D. 与互为相反数
4.算式可表示为（ ）
A. B. C. D.以上答案均不对
5.n是一个正整数，则表示的是（ ）
A.10个n相乘所得的结果 B.n个10相乘所得的结果
C.10后面有n个0的数 D.是一个n位整数
6.任何一个有理数的偶数次幂（ ）
A.一定是正数 B.一定是负数 C.一定不是负数 D.一定大于它的绝对值
7.下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，若每人每天浪费水0.32L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )．
A．3.2×107L B．3.2×106L C．3.2×105L D．3.2×104L
9．关于近似数1.6万，下列说法中正确的是( )．
A．精确到十分位 B．精确到万位 C．精确到千位 D．精确到个位
10．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似数，其中错误的是( )．
A．0.1(精确到0.1) B．0.05(精确到百分位) C．0.05(精确到千分位) D．0.050(精确到0.001)
11．如果把一个面团拉开然后对折，再拉开再对折，如此往复下去，对折10次拉出的面条根数是( )．
A．20 B．10 C．102 D．210
12．计算：①＝＿＿＿；②＝＿＿＿＿；③(－3)3＝＿＿＿；④－(－3)3＝＿＿＿＿．
13．有理数a、b满足，则＝＿＿＿．
14．一个数的平方等于它本身的数是＿＿＿＿，一个数的立方等于它本身的数是＿＿＿＿．
15．计算：＝＿＿＿＿；－24＋(3－4)5＝＿＿＿；
＝＿＿＿＿；＝＿＿＿＿＿．
16．2015年3月中旬的某一天有超过190000的游人前往武汉大学观赏樱花，其中数字190000用科学记数法表示为＿＿＿＿人．
17．把47155精确到百位可表示为＿＿＿＿＿．
18．按要求求下列各数的近似数：
(1)0.00356(精确到万分位)； (2)7.6278×108(精确到百万位)；
(3)2.715万(精确到百位)； (4)2.9963×1010(精确到亿位)．
19．计算：
(1) ； (2)；
(3)(－2×3)2＋(－2×32)－62； (4)．
B 冲刺中考
20．下列式子正确的是( )．
A．－24＜(－2)2＜(－2)3 B．(－2)3＜－24＜(－2)2
C．－24＜(－2)3＜(－2)2 D．(－2)3＜(－2)2＜－24
21．若＞0，n为正奇数，则a( )．
A．一定是正数 B．一定是负数 C．可正可负 D．以上都不对
22．若a＜0，－1＜b＜0，则a、ab、ab2按从小到大的顺序排列为( )．
A．a＜ab＜ab2 B．ab2＜a＜ab C．ab＜ab2＜a D．a＜ab2＜ab
23．地球绕太阳转动每小时通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球转动一天(24小时)通过的路程约是( )．
A．0.264×107千米 B．2.64×106千米 C．26.4×105千米 D．264×104千米
24．下列说法正确的是( )．
A．近似数32与32.0的精确度相同 B．近似数3.2万与3.2×104精确度相同
C．近似数5万与近似数5000的精确度相同 D．近似数3.210是精确到百分位
25．近似数6.0的准确值a的取值范围是( )．
A．5.5＜a＜6.4 B．5.95≤a≤6.05 C．5.95≤a＜6.05 D．5.95＜a＜6.05
26．由四舍五入法得到的近似数a≈2.1，b≈2.10，那么a、b的关系是( )．
A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．以上情况都有可能
27．下列结论：(1)a2＞0；(2)(－a)4＝a4；(3)(－a) 5＝a5；(4)(a＋2)2＞0；(5)(a－1)2＋2＞0；(6)(－2)m＞0，则(－1)m＝1；(7)若(－2)m＜0，则(－1)m＝－1；(8)若0＜a＜1，则a2＜a；(9)的最小值为；(10)7－(a－3)2的最大值为7，其中正确的个数为( )．
A．7 B．8 C．9 D．10
28．观察下列算式并总结规律：31＝3，32＝9；33＝27；34＝81；55＝243；36＝729；37＝2187，…，用你发现的规律写出3999的末尾数字是( )．
A．1 B．3 C．9 D．7
29．在以下的各数中，最大的为＿＿＿，最小的为＿＿＿(填序号)．
①－3.141 ②－ ③－3.1 ④－3.14
30．已知，求(a×b)2的值．
31．已知，求(a＋b)2016＋a2015的值．
[来源:学科网]
32．探索规律：观察由※组成的图案和算式，请猜想：
1＋3＝4＝22；[来源:学_科_网]
1＋3＋5＝9＝32；
1＋3＋5＋7＝16＝42；
1＋3＋5＋7＋9＝25＝52；
(1)1＋3＋5＋7＋…＋19＝＿＿＿；
(2)请猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)等于多少？(用含n的式子表示)
33．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
34．在－2.2，－2.02，－2.002，－2.0202，－2.00202中最大的数除以最小的数的商为x，求：的值，并且科学法表示出它的结果．
35．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.575s，已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离大约是多少千米(精确到千位)．
C 决战中考
36．观察下列三行数：
①－2，4，－8，16，－32，64，…；
②0，6，－6，18，－30，66，…；
③－1，2，－4，8，－16，32，…．
(1)第①行数是按什么规律排列的？
(2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第10个数，计算这个3个数的和．
37．我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图的大正方形，逐次割成面积为，，，，，…．请用结合的思想计算：
(1)＝＿＿＿＿＿；
(2) ＝＿＿＿＿；
(3) ＝＿＿＿＿．
38．观察下列各式：13＝1＝，13＋23＝9＝；13＋23＋33＝36＝，13＋23＋33＋43＝100＝，…，回答下列问题：
(1)猜想13＋23＋33＋…＋(n－1)3＋n3＝＿＿＿(直接写出你的结果)；
(2)利用你得到的(1)中的结论计算：13＋23＋33＋…＋993＋1003的值；
(3)计算：①113＋123＋…＋993＋1003的值；
②23＋43＋63＋…＋983＋1003的值．(温馨提示：(2a)3＝23×a3＝8a3)．
39．观察下列式子：
第一个等式a1＝；
第二个等式a2＝；
第三个等式a3＝；
第四个等式a4＝；
按上述规律，回答下列问题：
(1)用含n的代数式表示第n个等式：an＝＿＿＿＝＿＿＿＿；
(2)式子a1＋a2＋a3＋…＋a20＝＿＿＿＿．
专题四 有理数乘除法
要点归纳[来源:学_科_网]
有理数乘法：(1)两个数相乘，同号得正，异号得____，并把绝对值______；(2)任何数与0相乘，都是_______.[来源:学科网]
倒数：乘积是1的两个数互为_______，_____没有倒数，可表示为：若ab＝1，则a与b互为倒数.
有理数乘法运算律：(1)乘法交换律：即________；(2)乘法结合律：即_______________；(3)分配律：即a(b＋c)＝_________.
有理数除法：(1)除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____；(2)两数相除，同号得______，异号得____，并把绝对值______；(3)0除以任何一个不等于0的数，都得_____.
典例再现
一、有理数乘法法则
有理数乘法的步骤：先看是否有0因数，只要有一个因数为0，积就为0，在没有0因数的情况下，先确定积的符号，再把绝对值之积的绝对值.任何与1相乘都等于这个数本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数.
例1 计算
(1) (－6)×(＋5)； (2) ； (3) (4)
【思路点拨】(1)异号两数相乘，积为负；(2)同号两数相乘，积为正；(3)异号得负；(4)有0因数的式子结果为0.
解：(1) ；(2) ；
(3) ；(4)
【方法规律】有理数乘法法规中“同号得正，异号得负”是针对“两数相乘”而言的，不能与加法法则相混淆；当因数中有负号时，必须用括号将负因数括起来，第一个因数有负号可省略括号，如可写成，但不能写成.
例2 计算：(1) ； (2)
【思路点拨】非零因数相乘，首先根据负数的个数决定积的符号，把各因式相乘，0作因数连乘，积为0.
解：(1)
(2) .
【方法规律】一般情况下，算乘法时带分数化成假分数.
二、倒数
若a是非零有理数，则a的倒数是 ，即 A. b互为倒数.[来源:学_科_网]
A. b互为倒数.
例3.求下列各数的倒数：
⑴－5；⑵－；⑶－2；⑷1.5
【思路点拨】根据定义，要求a(a为非零数)的倒数，只要求即可.
解：⑴因为＝－，所以－5的倒数是－；
⑵因为＝－，所以－的倒数是－；
⑶因为＝－，所以－2的倒数是－；
⑷因为1.5＝，且＝，所以1.5的倒数是.
【方法规律】求一个整数的倒数，直接写成a分之一即可；求一个真分数的倒数，把这个数的分子、分母交换位置即可；求一个带分数的倒数，先将带分数化成假分数，然后再交换分子、分母的位置；求一个小数的倒数，先把小数化成分数后再求其倒数.
三、有理数乘法的运算律
运用乘法分配律时，若括号前面为“－”号，去括号后，各项都要变号.
例4.计算：
⑴(－172)×(－0.25)×(－)×40
⑵(－8)×1×(－5)×(－)×(－0.125)；
⑶－24×(1－1＋2－1).
【思路点拨】⑴、⑵利用乘法的交换律的乘法的结合律计算；⑶利用乘法的分配律可使计算简便.
解：⑴原式＝－(172×0.25××40)＝－(172×)×(0.25×40)＝－2×10＝－20；
⑵原式＝＋(0.125××8××5)＝(0.125×8)×(×)×5＝5；
⑶原式＝(－24)×1＋(－24)×(－1)＋(－24)×2＋(－24)×(－1)＝－28＋36－54＋26＝－20.
【方法规律】运用乘法交换律时，要连同因数的符号一起交换位置；多个有理数相乘时，通常运用交换律、结合律把能约分或互为倒数的有理数先结合，使计算简便.
四、有理数的除法法则
有理数的除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×(b≠0)；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.即：(ⅰ)当ab＞0时，则a÷b＝；(ⅱ)当ab＜0时，a÷b＝－；(ⅲ)0÷a＝0(a≠0).
例5.计算：⑴(－48)÷(－6)；⑵(－6)÷(＋)；⑶(－1)÷(－2)；⑷0÷(－3.14)；⑸1÷(－2.5)；⑹(－3.14)÷1.
【思路点拨】⑴运用法则②，同号得正，先定符号，再算绝对值；⑵运用法则①，除号变乘号，除数变为它的倒数；⑶带分数化为假分数再相除；⑷0除以任何一个不为0的数都等于0；⑸小数化为分数再相除；⑹任何数除以1都等于它本身.
解：⑴(－48)÷(－6)＝8； ⑵(－6)÷(＋)＝－6×(＋4)＝－24；
⑶(－1)÷(－2)＝－×(－)＝； ⑷0÷(－3.14)＝0；
⑸1÷(－2.5)＝1÷(－)＝1×(－)＝－； ⑹(－3.14)÷1＝－3.14.
【方法规律】有理数除法的法则有两个，应注意灵活运用，一般在不能整除的情况下用法则①，在能整除的情况下用法则②；0不能作除数，0作除数无意义.
五、有理数乘除法的混合运算
有理数的除法可以化为乘法，因此有理数乘除混合运算可以统一成乘法运算，可以按如下步骤：①将所有除法转化为其倒数，所有的除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果.
例6.计算：⑴(－15)÷(－3)×(＋)；⑵(－2)÷(－1)÷；⑶8÷(－)×÷(－)；
⑷(－1)÷(×)；⑸1×(－)÷(－2)÷(－)×0.
【思路点拨】⑴可以按从左向右的顺序计算；⑵可将除法转化为乘法再计算；⑶除法转化为乘法后，约分比较简便；⑷可先算括号里的；⑸在乘除的同级运算中，若算式中有0，则结果为0.
解：⑴(－15)÷(－3)×(＋)＝5×(＋)＝2；
⑵(－2)÷(－1)÷＝－×(－)×2＝4；
⑶8÷(－)×÷(－)＝8×(－)××(－)＝4
⑷(－1)÷(×)＝－÷＝－×＝－2；
⑸1×(－)÷(－2)÷(－)×0＝0
【方法规律】同级运算，从左向右，除法变乘法，方便运算.
拓展探究
一、带分数乘整数的技巧
有时带分数乘整数，可把被乘数拆成“整数＋分数”或“整数－分数”，再用它们分别乘后面的整数，再把积相加或相减.
例1计算：9×(－15).
【思路点拨】如果把带分数化成假分数直接相乘很麻烦，根据题目的特点，可以把“9”拆成两项，然后用乘法分配律计算.
解：方法一：9×(－15)＝－(9＋)×15＝－(9×15＋×15)＝－135－＝－149；
方法二：9×(－15)＝(10－)×(－15)＝10×(－15)－×(－15)＝－150＋＝－149.
【方法规律】相比较，方法二比方法一更简便，做这种乘法时，要注意：①巧妙拆项，运用乘法分配律；②不能漏乘；③要注意各数的符号.
二、乘法分配律的正用、逆用
乘法分配律正用：a(b＋c)＝ab＋ac；逆用：ab＋ac＝a(b＋c).
例2.计算：
⑴－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4；
⑵12×(＋)－13×－17×.
⑶(－11)×＋(＋5)×－(－137)×(－)＋(＋113)×.
【思路点拨】⑴可找每部分中的相同乘数3.14提取，二、三部分的6.28、1.57可构造出3.14；⑵前面部分可正用分配律，后两部分可逆用分配律；⑶可提取公因数，其余的因数相加减时，可用加法的交换律、结合律，使计算简便.
解：⑴原式＝－3.14×35.2－3.14×46.6－3.14×18.2＝－3.14×(35.2＋46.6＋18.2)＝－3.14×100＝－314；
⑵原式＝12×＋12×－×(13＋17)＝4＋3－15＝－8；
⑶原式＝×{[(－11＋5]＋[(＋113)＋(－137)]}＝×{－6＋(－4)}＝×(－10)＝－2.
【方法规律】在去括号时，要注意：①括号外面的因数是正数，去括号后式子的各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；②括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反，添括号时与去括号的方法相同.
三、倒数的整体应用
例3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求a－5cd＋b的值.
【思路点拨】相反数之和等于0，即a＋b＝0；倒数之积为1，即cd＝1.
解：由题意可知a＋b＝0，cd＝1，所以a－5cd＋b＝(a＋b)－5cd＝0－5＝－5.
【方法规律】本题用整体代入法可以使计算简便.
四、有理数除法与绝对值
形如求式子＋值时，可按下面两种方法分类：⑴①a＞0，b＞0；②a＞0，b＜0；③a＜0，b＞0；④a＜0，b＜0；⑵a、b中两个正，一个正、0个正(即两个负).其中，方法⑵更简单.
例4⑴若三个有理数x，y，z，满足xyz＞0，求式子＋＋的值.
⑵已知ab＜0，试求＋＋的值.
【思路点拨】由xyz＞0，根据所求式子的特点，不妨设x、y、z中有“一正两负”和“全正”两种情形；⑵由ab＜0和所求式子的特点，不妨设a＞0，b＜0即可求解.
解：⑴因为xyz＞0，所以x、y、z中负数有0个或2个.
当x、y、z三个数全正时，原式＝＋＋＝3；
当x、y、z三个数中“一正两负”时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，
原式＝＋＋＝－1；所以，＋＋＝3或－1.
⑵因为ab＜0，不妨设a＞0，b＜0，原式＝＋＋＝－1.
【方法规律】本题的分数讨论中若对x、y、z的性质分别考虑，分的情形特别多而很多的答案又是重复的，因此，全面考虑负数或正数的个数比较简便，当一个式子的值与a＞0、b＜0与a＜0、b＞0无区别时，通常不妨设出其中一种情形而忽略另一种情形.
例5若＋＝0，则下列结论成立的是( )
A.x＝0或y＝0 B.x、y同号 C.x、y异号 D.x、y为任意有理数
【思路点拨】因为两数之和为0，所以与互为相反数.当x＞0时，＝1，此时＝－1，则y＜0；当x＜0时，＝－1，此时＝1，则y＞0，因为x与y作分母，所以x、y均不能为0，所以x、y异号.
解：C
【方法规律】若a＞0，则＝1；若a＜0，则＝－1，反过来也是成立的.
五、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算中，若没有括号，则先算乘除，再算加减，若有括号，按照先算括号里的，再算乘除，然后算加减的顺序计算.
例6.计算：⑴－3.5×(－0.5)×÷(－)；⑵÷(－)＋(1－0.2÷)×(－6).
【思路点拨】⑴先算括号里的，再把除法转化成乘法，作连乘计算；⑵先算括号里的，再算乘、除法，然后算加法.
解：⑴原式＝－×(－)×÷(－)＝－×(－)××(－4)＝－×(－)××(－4)＝－×××4＝－2.
⑵原式＝×(－4)＋(1－×)×(－6)＝－2＋×(－6)＝－6.
【方法规律】同级运算要按从左至右的顺序进行运算.
六、正确使用运算律，简化计算
在加减乘除混合运算中，合理运用运算律可简化运算.
例7.计算：⑴(－)÷(＋－－)；⑵－÷[－(－)－]；
⑶[(－)－(－)＋]÷(－).
【思路点拨】⑴、⑵不能用乘法分配律，但是，我们可以先算(＋－－)÷(－)、[－(－)－]÷(－)，再把结果倒过来；也可直接计算；⑶把除法转化为乘法，再用乘法分配律可使计算简化.
解：⑴原式＝－÷(＋－－)＝－÷＝－×＝－(此种解法不够简便)；
⑵先算[－(－)－]÷(－)＝×(－108)＋×(－108)－×(－108)＝－－9＋＝－12.
所以，原式＝－.
⑶原式＝×105－×105＋×(－105)＝21－35－15＝－29.
【方法规律】利用倒数法，先交换除数和被除数的位置，再用分配律计算，然后求其倒数，这种方法可以解决不能直接用分配律计算的问题.
七、新定义运算题
例8.a、b均为有理数，如果规定一种新的运算“⊕”；a⊕b＝a2－ab＋a－1，求(1⊕3)⊕(－3)的值.
【思路点拨】先算出1⊕3，再用它的结果与(－3)作新运算.
解：(1⊕3)⊕(－3)＝(12－1×3＋1－1)⊕(－3)＝(－2)⊕(－3)＝(－2)2－(－2)×(－3)＋(－2)－1＝4－6－3＝－5.
【方法规律】理解新定义是解题的关键.
实战演练
A链接中考
1.若ab＞0，则的值是( )
A.大于0 B.小于0 C.大于或等于0 D.小于或等于0
2.下列说法正确的是( )
A.两个有理数的和为正数，则这两个数中必有一个为正数
B.两个有理数的差为负数，则被减数为负数
C.两个有理数的积一定大于其中一个因数
D.两个有理数相除的商大于1，则被除数大于除数
3.下列各式，表示a，b互为倒数的是( )
A.a＋b＝1 B.a＋b＝0 C.ab＝1 D.ab＝0
4.如果a·＝－1，那么a与b( )
A.互为相反数 B.a＝b C.互为倒数 D.互为负倒数
5.(－0.125)×15×(－8)×(－)＝[(－0.125)×(－8)]×[15×(－)]，运算中没有运用的运算律是( )
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.分配律 D.乘法交换律和结合律
6.下列运算过程有错误的个数是( )
①(3－4)×2＝3－4×2；②－4×(－7)×(－125)＝－(4×125×7)；③9×15＝(10－)×15＝150－；④[3×(－25)]×(－2)＝3×[(－25)×(－2)]＝3×50.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.下列运算中，正确的是( )
A.2÷(－)×(－)＝2×(－)×(－) B.(－1)÷(－5)×(－)＝(－1)÷1
C.(－5)÷(－1)＝(－5)÷－5÷(－1) D.－6÷25÷(－4)＝－6÷[25×(－4)]
8．在算式□31中的□里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
9．在算式每一步后面填上该步运用的运算律:
.
10．若两个数的商是2,被除数是－4，则除数是 ．
11．化简：
12．被除数是，除数比被除数小，则商为 ．
13．按下面程序计算，如果输入的数是-2，那么输出的数是 ．
14．判断下列各式乘积的符号:
①;②;
③;④,其中积为正数的有 ，积为负数的有 （填序号）；③的计算结果为 ．
15．按下面的程序计算.，若输出的数y=3，则输入的数x= .
16．若a、b互为相反数,c、d互为倒数，x的绝对值为2,则
B 冲刺中考
17．计算的结果是（ ）
A．-24 B．-12 C．-9 D．6
18．一个数值转换器如右图所示，根据要求回答问题:要使输出值y小于-100,输入的最大负整数x为 .
19．已知xy<0 ,则的值为( )
A．0 B．-1 C．1 D．2
20．若,则( )
A． B．与a互为相反数 C．a <0 D．a的倒数为
21．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2015坐标在( )
A.第504个正方形的左下角 B.第504个正方形的右下角
C.第504个正方形的左上角 D.第505个正方形的右下角
22．已知a,b,c都是负数，且，则xyz是（ ）
A.负数 B.非负效 C.正数 D.非正数
23．下列说法不正确的是( )
A．一个数与它的倒数之积是1 B．一个数与它的相反数的商为-1
C．两个数的商为-1，则这两个数互为相反数 D．两个数的积为1，则这两个数互为倒数
24．a,b互为相反数，下列结论中不一定正确的是( )
A． B． C． D．
25．已知，且xy<0，则的值为 ．
26．对于有理数a,b(a十b≠0)，定义运算“△”如下:a△b=，则2△3= ，-3△(-4) = ，
27．已知a,b,c是非零有理数，那么可能的值有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
28．计算:
; ;
[来源:Z&xx&k.Com]
; .
29．用简便方法计算
.
C 决战中考
30．对于任何有理数a、b定义运算“△”如下：如
求△4的值.
31．已知x,y,z都为不为0的有理数，求的最大值和最小值.
32．四个各不相等的整数a,b,c,d，它们的积abcd=25，求a+b+c+d的值.
33．观察图形，解答问题:
(1)按下表已填写的形式完成表中的空格:
(2)请用你发现的规律求出图④中的数S.
34．计算(能简算的要简算):
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
35．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是
36．观察下列等式：，将以上三个等式两边分别相加得：
(1)猜想并写出：= ;
(2)直接写出下列各式的计算结果:
① ;
② ;
③当时，探究并计算
的值．
37．观察下列等式，并根据规律计算．
试计算:(1);
(2) ;
(3) ．
