专题七 整式的加减法
要点归纳
1．同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 ，几个常数项也是同类项．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做 ，合并同类项后，所得的项的系数是合并前同类项的系数的和，且字母连同它的 不变．
3．去括号法则：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ．
4．整式的加减：一般地，n个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 ．
典例讲解
经典再现
一、同类项的识别
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项，如，，都是同类项，判断一个多项式中的项是否是同类项有两个条件：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数分别相等，两者缺一不可．
例1 下列各组中的两个式子不是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】A、C、D选项中所含字母相同，且相同字母的指数也相同；B项中，所含字母相同，但相同字母的指数不同．
解：B．
【方法规律】①同类项与项中字母及其指数有关，与系数无关；②同类项与项中字母排列的先后顺序无关；③所有常数项都是同类项．
例2 指出下列多项式中的同类项：
（1） （2）
【思路点拨】找出所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项即为同类项．
解：（1）是同类项，是同类项，1与－7 是同类项；
（2）是同类项，是同类项．
二、由同类项的概念确定字母的值．
由同类项概念建立相同字母指数相同的等式求解．
例3 若是同类项，求m，n的值．
【思路点拨】由是同类项可知相同字母的指数相等．
解：m＝2，n＝3.
三、合并同类项
合并同类项时，只需把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
例4合并同类项：
(I)x3 ＋2x2y＋y2x＋yx2 ＋2xy2 ＋y3; (2)2(x－ 2y)2－7(x－2y)3＋3(x－2y)2一（x－2y)3.
【思路点拨】(l)先找同类项，再合并系数；(2)把（x－2y）2、（x－2y）2当作整体来算，找同指数的合并系数．
解：(l)原式＝x3 ＋(2＋1)x2y＋(1＋2) xy2 ＋y3 ＝x3 ＋3x2y＋3xy2 ＋y3;
(2)原式＝(2＋3)（x－2y）2一(7＋1)（x－2y）3＝5（x－2y）2－8（x－2y）3．[来源:学科网]
例5下列式子正确的有( )
①2xy3 － 7y3x一－ 5x3y;②3x2y－2xy＝l;③a2 ＋a2 ＝a4;
④3x＋2y一5xy；⑤4ab－4ab＝ab；⑥一ab2一ab2＝4ab2．
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】①中2xy3与一7y3x为同类项，合并后应得一5xy3，而不是一5x3y；②和④的式子中等号左边两项都不是同类项，不能合并；③错把字母的指数相加；⑤合并后应为0；⑥正确，
解：A
【方法规律】合并同类项时可在同类项下用符号标记，不同的同类项，用不同的符号标记，注意要包含该项的符号.
四、去括号法则
当括号前是“＋”号时，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不改变符号；当括号前是“一”号时，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里的各项都改变符号．
例6去括号，合并同类项：
(1)一(xy＋ab)＋(2xy－ab); (2)(3yz－2xz＋3xy)－2（xy－3yz＋3xz）；
(3) －(3a2 －5a＋2)一（2a2＋a－3）．
【思路点拨】(l)中括号前是负号，去括号后原括号内的每项符号都要改变；(2)括号前有系数一2，去括号后要与原括号内的每一项相乘；(3)中有两个括号，前面的都是负号，去括号时，括号内的每项符号都要改变．
解：(1)原式－xy－ab＋2xy－ab＝xy－ 2ab；
(2)原式＝3yz－2xz＋3xy－2xy＋6yz－6xz＝9yz－8xz＋xy;
(3)原式＝﹣3a2＋5a－2a2－a＋3＝一5a2 ＋4a＋l.
【方法规律】当括号前有数字因数时，应先利用乘法分配律计算，然后再去括号，执意不要乘括号内的每一项.
例7计算：－2（x2 －3x＋5）＋(x2＋4x＋3) －（2x2－3x－l）．
【思路点拨】去括号时应逐项有序进行，合并同类项时，通常是按某一个字母降幂排列．
解：原式＝－ 2x2＋6x－1O＋x2 ＋4x＋3 － 2x2 ＋3x＋l＝（﹣2﹣2＋1）x2＋（3＋6＋4）x＋（1－10＋3)＝﹣3x2 ＋13x－6．
【方法规律】合并同类项要完整彻底，不能项项
五、化简求值
先去括号、合并同类项，再把字母的值代人化简后的式子中求值.
例8先化简，再求值．
(l) －（4x3一x2 ＋5）＋（5x2－x3 －4），其中x＝ －1;
(2)（ab－a－）－（a－ab＋1），其中a＝，b＝
【思路点拨】将所求式去括号合并同类项，然后再代入求值，
解：(l)原式一4x3 ＋x2－5＋5x2 －x3 －4＝ － 5x3 ＋6X2 －9
当x＝－1时，原式＝－5×（－1）3＋6×（－1）2－9＝2；
（2）原式＝＝，
当a＝，b＝时，原式＝＝.
一、你会找隐含条件吗？
例1已知多项式(m＋4)x4 －xn＋x－n是关于x的二次三项式，求m与n的差的相反数，
【思路点拨】能使多项式为二次式的只有－xn为关于x的二次式．
解：依题意可得：n＝2，m＋4＝0，m＝ －4.所以－ (m－n)＝﹣（－4－2）＝6，即m与n的差的相反数为6．
【方法规律】从“﹣xn为二次式”切入、破题.
例2已知代数式（2x2 ＋ax－y＋6）一（2bx2—3x＋5y－1）．当a、b取何值时，此代数式的值与字母x、的取值无关？
【思路点拨】代数式的值与字母x的取值无关，则将原多项式整理成按x的降幂排列式后，含有x、x2项的系数一定为O，由此可求a、b的值．
解：（2x2 ＋ax－y＋6）－( 2bx2—3x＋ 5y－1)＝2x2 ＋ax—y＋6—2bx2 ＋3x － 5y＋l＝(2－ 2b)x2＋(a＋
3)x－6y＋7，
因为此多项式的值与字母x的取值无关，所以2 － 2b＝0且a＋3＝0，b＝1，a＝ －3.
例3已知代数式一3am－1b3与anb2＋n的和仍然是一个单项式，求m＋n的值．
【思路点拨】两个单项式的和仍是一个单项式，说明这两个单项式是同类项．
解：由题意可得m－l＝n，3＝2＋n，所以m－2，n－l．
二、你能去多重括号吗？
去多重括号，可以先去大括号，再去中括号，后去小括号；也可以先从最内层开始，即先去小括号，再去中括号，后去大括号．
例4化简：(1)3a3b－[7ab2一（4ab2 ＋3）－5a3b]；
(2)14x2 －{ － 3x2 ＋[5x＋8x2一（2x2一z)＋ 7x]＋3x）．
【思路点拨(l)中注意小括号和中括号前都是负号，故去括号后原括号内各项应变号；(2)中因小括号和大括号前是负号，故去括号后原括号内各项应变号，
解：(l)方法一：原式＝3a2b－[7ab2—4ab2—3 － 5a2b]＝3a2 b－ 7ab2 ＋4ab2 ＋3＋5a2b＝ 8a2b－ 3ab2＋3，
方法二：原式＝3a2b－ 7ab2＋ (4ab2 ＋3)＋5a2b＝ 3a2b－ 7ab2 ＋4ab2 ＋3＋5a2b＝ 8a2b－3ab2＋3.
(2)方法一：原式＝14x2 －{ －3x2＋[5x＋ 8x2—2x2＋ x＋7x2]＋3x）＝14x2 －{﹣3x2＋ 5x＋8x2—2x2＋ x＋7x2 ＋3x}＝14x2 ＋3x2—5x－ 8x2 ＋2x2 －x－ 7x2—3x＝4x2—9x.
方法二：原式＝14x2 ＋3x2－[5x＋8x2－（2x2一x）＋7x2]一3x＝14x2＋3x2－5x－8x2＋（2x2－x）－7x2－ 3x＝ 14x2＋ 3x2—5x一8x2 ＋2x2－x －7x2－3x＝4x2—9x.
【方法规律】去括号时，一般顺序为先去小括号，再去中括号，最后去大括号；也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号.
三、借助数轴对含绝对值代数式化简
正确地打开绝对值是成功化简含绝对值代数式的关键，根据绝对值符号里代数式的性质确定其整体前面添加“＋”或“一”号，再用去括号的方法去括号、合并同类项化简.
例5已知a、b、c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简∣b＋c∣＋∣a＋c∣－∣b－a∣－∣a＋b＋c∣
【思路点拨】先结合数轴分析a、6、c的大小，可知a＜b＜0＜c．由此化掉题目中的绝对值的符号，然后合并同类项，化简．
解：由题可知：a＜b＜0＜c，且b＋c＜0，a＋c＜0，b－a＞0，a＋b＋c＜0，
所以，∣b＋c∣＋∣a＋c∣－∣b－a∣－∣a＋b＋c∣＝﹣（b＋c）－（a＋c）－（b－a）－[﹣（a＋b＋c）]＝﹣b－c－a－c－b＋a＋a＋b＋c＝a－b－c.
【方法规律】本题运用了数形结合思想，结合数轴确定绝对值符号内代数式的性质，再化去绝对值的符号、去括号，合并同类项.
四、整体代入法求代数式的值
求整式的值，一般先化简后求值，当题目中含未知数的部分可以构成一个整体时，一般用整体代入法，这样会使计算更简洁．
例6若当x＝2时，多项式ax3 ＋bx＋1的值为6，则当x＝－2时，多项式ax3 ＋bx＋1的值为____．
【思路点拨】把x＝2代入ax3 ＋bx＋1中，可得8a＋2b＋1＝6，则8a＋2b＝5，而当x＝－2时，ax3＋bx＋
1＝ －8a－2b＋l＝ －（8a＋2b）＋1，当8a＋2b＝5时，一(8a＋2b) ＋l＝ － 5＋1一－4.
解：－4
【方法规律】把8a＋2b视作一个整体，不考虑a、b的值，整体代入﹣（8a＋2b）＋1中
例7(1)已知xy＝－3，x＋y＝4，求整式(3xy＋lOy)＋[5x－（2xy＋2y－3x]的值
(2)已知a2＋ab＝5，ab＋b2＝－3，求a2－b2及a2＋3ab＋2b2的值．[来源:Zxxk.Com]
【思路点拨】先将要求的代数式进行化简或变形，变成含有已知式的形式，再将已知式整体代入求值．
解：(l)原式一3xy＋lOy＋5z － 2xy － 2y＋3x＝xy＋8y＋8x＝xy＋8( r＋y)．
把xy＝ －3．x＋y＝4代入原式，则原式＝－3＋8×4－29.
(2)因为a2 ＋ab＝5，ab＋b2＝－3，所以a2－b2＝(a2 ＋ab) －（ab＋b2）＝5 －（－3）＝8．
又因为a2 ＋3ab＋2b2一(a2 ＋ab) ＋2ab＋2b2＝(a2 ＋ab)＋2(ab＋b2) ＝5＋2×（一3）＝ －1．
【方法规律】根据已知条件，把要求的式子拆分成已知条件构成的代数式，可直接代入求值.
五、整式在生活实际问题中的应用
例8 如图，用代数式表示图中阴影部分的面积，
【思路点拨】阴影部分是一个不规则图形，不能直接求其面积，用矩形（长为（a－_－b）、宽
为a）面积减去3个扇形（分别以a、b、（a－b）为半径，圆心角为90°）面积即可表示．
解：a（a＋b）－－－.
【方法规律】（a－b）2作为一个整体，不要写成a2－b2
例9某公园准备修建一块长方形草坪，长为30米，宽为20米，并在草坪上修建 如图所示的十字路，已知十字路宽x米，用含z的代数式表示：
(l)修建的十字路面积是是多少平方米？
(2)草坪（阴影部分）的面积是多少平方米？
【思路点拨】(l)十字路面积＝两条小路面积一交叉部分面积；(2)草坪面积＝矩形面积(20×30) －两条小路面积，
解：(1) 30x＋20x－x2＝50x－x2（平方米）
(2)600－（30x＋20x－x2）＝600－50x＋x2（平方米）
例10图是某月的日历．
(1)带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？
(2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移至其他几个位置试一试，你能得出什么结论？你知道为什么吗？
(3)这个结论对于任何一个月的日历都成立吗？
解：(l)带阴影的方框中的9个数之和是11的9倍．
(2)带阴影的方框中的9个数之和是正中间数的9倍，理由如下：设方框正中心的数为x，则其余八个数分别为：x－8，x－7，x－6，x－1，x＋l，x＋6，x＋7，x＋8，阴影的方框中的9个数之和为：(x－8)＋（x－7）＋ (x－6)＋x＋(x＋6)＋(x＋7)＋(x＋8)＝9x，所以带阴影的方框中的9个数之和是正中间数的9倍．
(3)这个规律对任何一个月都成立
六、整式运算中的“将错就错”
例11一同学做一道题：“已知两个多项式A、B，计算2A＋B”，他误将“2A＋B”看成“A＋2B”，求得的结果为9x2 －2x＋7，已知B＝x2＋3x －2，请求出正确的答案.
【思路点拨】由A＋2B＝9x2 －2x＋7，B＝x2＋3x－2，得到A的多项式，再求A、B的多项式A＋2B的式子.
解：由题意，得A＋2（x2＋ 3x －2）＝9x2 － 2x＋7，
A＝9x2—2x＋7 － 2(x2 ＋3x －2)＝9x2—2x＋7—2x2 － 6x＋4＝7x2 － 8x＋ ll.
所以，正确答案为：2A＋B＝2(7x2 －8x＋ll)＋（x2＋3x－2）＝14x2 － 16x＋22 ＋x2＋ 3x －2—15x2—13x＋20.
【方法规律】由看错的式子，得到正确的代数式A，再由A、B式求正确的代数式这就是将错就错.
实战演练
A 链接中考
1．下列各组整式中，不是同类项的是( )
A. 5m2n与nm2 B．a4y与ay4
C．abc2与2×103abc2 D．－2x3y与3yx3
2.合并同类项﹣4a2b＋3a2b＝(﹣4＋3)a2b＝ ﹣a2b时，依据的运算律是( )
A.加法交换律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律
3．下列计算正确的是( )
A. 3a2－2a2 ＝1 B.5－ 2x3＝3x3 C.3x2 ＋2x3＝5x5 D.a3 ＋a3＝2a3
4．下列各式加括号后正确的是( )
A．a＋b－c＝a－ (b－c) B.a－b＋c＝a－（b－c）
C．a－b－c＝a－ (b－c) D.a＋b＋c＝a－（b－c）
5．下列运算正确的是( )
A．－2 (a－b)＝－ 2a –b B.﹣2（a－b）＝﹣2a＋b
C．－ 2(a－b)一－2a－2b D.﹣2（a－b）＝﹣2a＋2b
6．减去－6x等于4x2 －3x＋7的代数式是( )
A. 4x2—9x－＋7 B.4x2—3x＋7 C.4x2＋3x＋7 D.－4x2－9x＋7
7．若单项式_2ab2与一mab2是同类项，并且它们的值互为相反数，则m的值是( )
A.0 B．2 C．－2 D．无法确定
8．把多项式2x2 －5x＋x2 ＋4x － 3x2合并同类项后所得的结果是( )
A.二次二项式 B．二次三项式 C．－次二项式 D．单项式
9．某商店一季度收入a元，一月份的收入占本季度的，二月份的收入占本季度的，三月份的收入______元．
10．化简：－[a－（b－c）]＝_________.
11.已知轮船在静水中的速度是a千米／时，水流的速度是4千米／时，则轮船在逆水中航行2小时的路程是_______千米．
12.x －y的相反数是_________．
13.若5x2y3－ax2y3—8x2y3，则数a＝_____若﹣4xay＋x2y＝－ 3x2y，则a＋b－____
14.三角形的第一边是m＋3n，第二边比第一边小n－2，第三边比第二边大2，这个三角形的周长是____.
15.合并下列各式的同类项：
(1) 3x－x—x； （2）7m2n－3mn2＋5m2n＋2mn2；
(3)； （4）8ab＋ab3－4＋ab2－ab－5ab＋3.
16.计算：
（1）； （2）（3x2－xy＋6）－（﹣4x2＋2xy＋6）；
(3) (2x2－＋2x)－4(x－x2＋1) ; (4) 3a2 －[6a－ (4a－3)－2a2].
17.先化简, 后求值
(1) 其中
(2) ,其中
B 冲刺中考
18. 已知,则的值是( )
A. 6z B. 7z C. 8z D. 9z
19. 三角形第一边长为,第二, 第三边的长分别比第一边长大和,那么这个三角形的周长为( )
A. 2a+3b+c B. 3a+4b5 C. 4a+5b5 D. 2a+3b+5
20. 如图, 边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后, 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙), 若拼成的矩形一边长为3, 则另一边长是( )
A. m+3 B. m+6 C. 2m+3 D. 2m+6
21. 如果多项式中不含项, 则的值为( )
A. 2 B. 2 C. 2或2 D. 0
22. 化简得( )
A. 2y B. 2z C. 2y D. 2z
23. 一个多项式加上,再减去等于,这个多项式为( )
A. B. C. D.
24. 若成立, 则的值分别为( )
A. 3，7，1 B. 3，7，1 C. 3，7，1 D. 3，7，1
25. 已知，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不确定
26. 下列添括号中错误的是（ ）
A. B.
C. D. [来源:学科网ZXXK]
27. 一台微波炉成本价是a元, 销售价比成本价增加22%,因库存积压降价到售价的60%出售, 则每台实际售价为( ) 元
A. a（1+22%）(1+60%) B. a（1+22%）60%
C.. a（1+22%）(160%) D. A. a（1+22%+60%)
28. 当分别等于3和3时, 多项式的值是( )
A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D. 异号
29. 多项式是关于x的二次三项式, 则m=________________
30. 张祥由于粗心, 在计算时, 误将“+”看成“－”，结果得12，则的值为______________
31. 实数在数轴上对应点如图所示，化简等于_______________
32. 如图, 在图①中, 互不重叠的三角形共4个, 在图②中, 互不重叠的三角形共7个, 在图③中, 互不重叠的三角形共10个, …, 则在第n个图形中, 互不重叠的三角形共________________个(用含n的代数式表示)
33. 张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了a份报纸, 以每份0.5元的价格出售了b份报纸, 剩余的以每份0.2元的价格退回报社, 则张大伯卖报收入是_________________元
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
34. 计算
(1) (2)
35. 化简求值
(1) ,其中
(2) 若,试求的值
36. 关于的多项式不含二次项,
求多项式的值
37. 观察下列各式
(1) (2) (3) (4)
探索一下以上四个式子中括号的变化情况, 它和去括号法则有什么不同? 利用你探索的规律, 解答下面题目: 已知,求的值
C 决战中考
38. 已知满足, z是最大的负整数,
化简求值:
39. 设a表示一个两位数,b表示一个三位数, 把a放在b的左边, 组成一个五位数x, 把b放在a的左边, 组成一个五位数y, 试问9能否整除x-y? 请说明理由
40. 仔细观察下列三组数:
第一组:1,4,9,16,25, …
第二组:1,8,27,64,125, …[来源:学科网]
第三组: 2, 8, 18, 32, 50, …
(1) 写出每组的第6个数各是什么?
(2) 第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？
(3) 取每组的第n个数, 计算这三个数的和.
41. 若有理数在数轴上的位置如图所示,A点对应的数是2, 且
试求的值.
42. 将连续的奇数1,3,5,7, …排成如图所示的数阵:
(1) 十字框中的五个数的和与中间数15有什么关系?
(2) 设中间数为a, 用代数式表示十字框中五数之和
(3) 若将十字框上下，左右平移，可框任意另外五个数，这五个数的和还是有这种规律吗？
(4) 十字框中五个数之和能等于2016吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由.
专题六 整式
要点归纳
1．单项式：式子5，，－a2b，3a，3x3，y，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做＿＿＿，特别地，单独的一个数或一个字母也是单项式．
2．单项式的系数和次数：单项式中数字因数叫做这个单项式的＿＿＿；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的＿＿＿＿．
3．多项式：n个单项式的和叫做＿＿＿，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做＿＿＿＿．
4．多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的＿＿＿，一个多项式中含有几项，最高次是几次就叫＿＿＿＿．
5．多项式的排列：把一个多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列叫＿＿＿．反之，则称为＿＿．
6．整式：单项式与多项式统称为＿＿＿，即整式
典例讲解
经典再现：
一、用字母表示数
在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“·”或省略不写，如，35×t可以写成35·t或35t，但数与数相乘，“×”不可省略．
字母与数相乘，一般要把数写在字母前，出现带分数的要先写成假分数．
例1 列式表示：
(1)一本字典的售价是56元，n本这样的字典的售价是＿＿＿元；
(2)a的平方的相反数是＿＿＿；
(3)乙数比甲数小7%，甲数为x，乙数表示为＿＿＿＿＿；
(4)一个三位数，它的百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为＿＿＿＿．
(5)一个正方形的周长为c，则这个正方形的边长为＿＿＿＿．
[思路点拔](1)n本字典的售价＝一本字典的售价×n；
(2)先平方再写相反数；
(3)乙数相当于甲数的(1－7%)；
(4)三位数的表示方法：个位数字＋十位数字×10＋百位数字×100；
(5)正方形的边长＝；
解：(1)56n；(2)－a2；(3)(1－7%)x；(4)100a＋10b＋c；(5)；
二、单项式
单项式识别标记：单项式中不含加减运算，只含字母与字母或数与字母的乘法(包括乘方运算，单项式的系数包括前面的符号，且只与数字因数有关，而次数只与字母有关；一个单项式的次数就是n，就叫做n次单项式．
项式．
例2 判断下列各式中哪些是单项式，哪些不是?如果是单项式，请指出它的系数与次数．
，，，，，，．
【思路点拨】判断一个式子是否是单项式，关键是看式子中数与字母、字母与字母之间是否只有乘法运算 （包括乘方运算）和数字作分母的除法运算，如果含其他运算就不是单项式，还要注意是不是常数．
解：是单项式的有：，，，，，．
的系数为-23，次数为2；
的系数为，次数为3；
的系数为，次数为0；
的系数为，次数为4；
的系数为，次数为5．
【方法规律】单独的一个常数的次数为0，系数就是这个常数的本身．
三、多项式的识别[来源:学科网ZXXK]
几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
例3 请指出下列式子中的多项式：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）-20．
【思路点拨】根据多项式是n个单项式的和进行判断．（1）可看成是单项式，，的和；（2）可看成单项式的和；（3）、（4）的分母中含有字母，不是多项式；（5）可看成与的和；（6）是单项式．
解：多项式有（1）、（2）、（5）．
四、多项式的项和次数及升降幂排列
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数；多项式里，每个单项式叫多项式的项，通常用“n次n项式”来叙述一个多项式．
例4 指出下列多项式的项和次数，并说明每个多项式是几次几项式．
（1）； （2）．
【思路点拨】根据多项式的项，多项式的次数的概念来解答．
解：（1）多项式的项有次数是3，它为三次四项式；
（2）多项式的项有，次数是5，它为六次三项式．
【方法规律】像多项式，每项的次数都是3，这样的多项式也叫齐次多项式．
例5 将多项式按照x的降幂排列是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】将多项式中某一项移动位置时，要连同前面的符号一起移动，将多项式按走一字母的升幂或 降幂排列，只与这个字母的指数有关，而与各项的次数无关，本题中的多项式共有四项： 、、、，其中x的指数依次为2，1，0，3．
解：B
五、整式
不论是单项式还是多项式，都是整式；分母中含有字母的式子不是整式；在整式中，字母与数相乘、字母 与字母相乘时通常省略乘号，且数字放到字母的前面，系数为带分数时写成假分数．
例6 判断下列各式子是否为整式：
（1）； （2）； （3）； （4）； （5）-35．
【思路点拨】判断一个式子是否为整式，关键要看它是不是单项式或多项式，代数式和不是整式．
解：是整式的有：（2）、（3）、（4）．
【方法规律】判断一个式子是单项式还是多项式．首先判断它是否是整式．若分母中含字母，则一定不是整式，也不可能是单项式或多项式．单项式与多项式的区别在于是否含有加减运算，整式中加乘运算的是多项式，不含加减运算的是单项式．
例7 下列式子中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式?
，，，，，，，0，．
【思路点拨】用单项式、多项式、整式的概念去判断．
解：单项式有： ，，0；
多项式有： ；；；
整式有： ，，，，，0．
一、用含字母的式子表示变化规律
例1 如图，是正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是 ．
【思路点拨】寻找规律，正方形网格中阴影部分小正方形可分为两部分：除最右一列的部分和最右一列的 部分．
除最右一列的小正方形个数
最右一列小正方形个数
合计小正方形个数
第1个图
1 = 12
3 = 1 + 2
4 = 12 + 1 + 2
第2个图
4 = 22
4 = 2 + 2
8 = 22+2 + 2
第3个图
9 = 32
5 = 3 + 2
14 = 32+3 + 2
第72个图
n2
n+2
n2 +n+2
解：n2 +n + 2
【方法规律】此题需逐一看图，通过观察、分析、归纳，发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题， 体现了从特殊到一般的思想．
二、由多项式的次数、项数、系数求字母的值
m次n项式：即多项式的次数为m，也就是多项式中次数最高的项的次数为m，多项式的项数为n，某项 的系数就是指它的数字因数．
例2 多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-7，求m+n-6的值．
【思路点拨】多项式的次数是单项式中次数最高项的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数．
解：由题意可得：m=3，，n=2．且k=0，
所以m=3，n=2，k=0，m+n-k=5．
例3 已知是关于x，y的五次单项式，求（a+l）2的值．
【思路点拨】由已知式子是五次单项式，可知2+a+l=5，则a=2，又因为a=2时，a-1≠0，所以a=2， 代入所求式即可求值．
解：因为是关于x，y的五次单项式，所以所以a=2，则（a+l）2=（2+l）2=9．
例4 已知关于x的多项式3x4-（m+5）x3+（n-l）x2-5x +3不含x3项和x2项，求2m+5n的值．
【思路点拨】要使式子不含x3项和x2项，则-（m+5）x3和（n-l）x2都是0，
所以它们系数-（+5）和n-1均为0．
解：依题意可知，-（m+5）=0，且n-1=0，则 m=-5，n=l．所以 2m+5n=2×（ -5）+5×l=-5．
【方法规律】多项式不含某一项，则这项的系数为0．
三、求多项式的值
求多项式的值分为三种：①直接代人求值；②间接代人求值，就是根据已知条件，求未知数的值，再代人 求值；③整体代人．
例5 已知，求多项式的值．
【思路点拨】根据所给的条件，不能求出x，y的具体值，但根据式子的特点，易发现用整体思想求解．
解：因为3y2+2x=l，所以 6y+4x=2，所以6y2+4x=2，所以．
【方法规律】本题运用整体代入思想求解，这种思想在解决数学问题时应用广泛．
例6 已知，x、y互为相反数，c、d互为倒数，求的值．
【思路点拨】由条件可得a-3=0，6+2=0，x+y=0，cd=l，把它们看成整体代入所求式中求值即可．
解：因为（a -3）2+|b+2| =0，所以 a=3，6=-2．
又因为x，y互为相反数，c，d互为倒数，所以x+y=0，cd=0．
所以，原式=（-2）3-4（x+y）+3cd=-8-4×0+3×1=-5．
【方法规律】本题求代数式的值运用了非负数的性质、相反数、倒数的特点，同时隐含了整体思想．
四、整体知识的实际应用
某超市出售一种商品，其原价为每件a元，现有三种调价方案：（1）先提价20%；再降价．20%； （2）先降价 20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价15%．
用这三种方案调价，结果是否一样?最后是不是都恢复了原价?
【思路点拨】方案（1）先提价20%，再降价20%得，现价为每件a× （1+20%） × （1-20%）元．
方案（2）先降价20%，再提价20%得，现价为每件a×（l-20%）×（l+20%）元．
方案（3）先提价15%，再降价15%得，现价为每件a× （1+15%）×（1-15%）元．
解：依题意可知，
方案（1），（2），（3）的调价结果分别是：
每件（1+20%）（1 -20%）a=0．96a 元；
每件（1-20%）（l+20%）a=0．96a 元；
每件（1+15%）（1-15%）a=0．9775a 元．
对比可知，前两种方案调价结果一样．这三种调价方案最后的价格与原价都不一样．
【方法规律】正确理解问题中的数量关系，特别是要弄清问题中和、差、积、商及大、小、多、少、倍、几分之 几等词的含义，记住一些实际问题中常用的等量关系，如：路程=速度×时间，利润=售价-进价等可方便解题．
A 中考链接
1．下列用字母表示的数中不正确的是（ ）
A．温度由t℃下降5℃后是（t-5） ℃
B．今年小薇m岁，去年（m-1）岁，10年后（m+10）岁
C．小强用m秒走n米，他的速度为米/秒
D． a的25%加30可表示为a×25%+30
2．一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数为（ ）
A．ab B．a+b C．10a+b D．10ab
3．下列单项式中，书写不正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在0，-1，-x，，3-x，，中，是单项式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．下列说法正确的是（ ）
A．单项式x的系数是1，次数是0
B．单项式的系数是-2，次数是4
C．单项式24ab2c的系数是2，次数是8
D．单项式的系数是，次数是4
6． 下列说法正确的是（ ）
A．0不是单项式 B．是单项式 C．-m是单项式 D．是单项式
7．在，，，，中，多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列说法错误的是（ ）
A．m是单项式也是整式 B．是多项式也是整式
C．整式一定是单项式 D．整式不一定是多项式
9．用含字母的式子表示：
（1）一个数工的一半与-3的和 是 ；
（2）君怡从家里以每小时v千米的速度去学校，共走了t小时，则小明家离学校 千米；
（3）学校购买了一批图书，共a箱，每箱有b册，将这批图书的一半捐给社区，则捐给社区的图书共 册；
（4）三个连续偶数，中间一个为2n（n为整数），则其他两个数分别为 ．
10．填表．
单项式
0．2n
系数
次数
11． 有一块长xm，宽为ym的长方形草坪，在草坪中间有一条宽为2m人行道，形状如图所示，则这块草坪的实际绿化面积是 m2．
12．下列各式：，，1，，，，，其中单项式有x个，多项式有：y个，整式有z个，则：x+y+z= ．
13．根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数：
（1）买了单价为5元的钢笔x支，则应付的钱为多少元?
（2）边长为a米的正方形面积为多少平方米?
（3）三角形的底是3米，高是h米，它的面积是多少平方米？
14．当一2时，求下列多项式的值．
（1）； （2）-5x2+4x-2．
[来源:学&科&网]
B冲刺中考
15．—件服装降价10%后卖m元，则原价为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．10m元
16．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元， 之后的每一分钟收费b元，如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）
A．分钟 B． 分钟 C． 分钟 D．分钟
17．如果（2－m）xnyb是关于x、y的五次单项式，则m，n应满足的条件是（ ）
A．m=2，n=1 B．m≠2，n=5 C．m=2，n=5 D．m≠2，n=1
18．图①中是一个正方形，将图①中的正方形剪开得图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，则图③中共有7个正方形……，如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是 ．
19．观察下列算式：①1×3－22=3－4=－1；②2×4－32=8－9=－1；③3×5－42=15－16=－1；……把这个规律用含字母n的式子表示出来 ．
20．火车站、机场、邮局等场所都有为旅客提供打包服务的项目，现有一个长、宽、高分别为a、b、c的箱子，按如图所示的方式打包，则打包带的长（不计接头处的长）至少应为（ ）
A．a+3b+2c B．2a+4b+6c C．4a+10b+4c D．6a+6b+8c
21．已知实验与x，y的一个单项式，且系数为－5，次数为4，则m= ，n= ．
22．某种药品前年的定价是a元，去年提价20%，今年又降价20%，今年的定价是 元．[来源:学科网]
23．观察下面的单项式：x，－2x2，4x3，－8x4，…根据你发现的规律，写出第7个式子是 ．
24．一个关于x、y的二次三项式，其常数项是－5，其余各项系数都是1．
（1）写出一个符合要求的多项式；
（2）若，求出你所写的多项式的值．
25．某城市为增强人们节水的意识，规定生活用水的基本价格是2元/m3，每月用水限定为7m3，超出部分按3元/m3收费，已知小华家上月用水a m3（超过7m3），那么小华家上月应交水费多少元（用含a的式子表示）？
26．新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题：
（1）每本书的高度为 cm，课桌的高度为 cm；
（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（用含x的代数式表示）
（3）桌面上有56本与（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取走14本，求余下的数学课本高出地面的距离．
27．某汽车行驶时油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）的关系如下表：
行驶时间t（h）
余油量Q（L）
1[来源:学科网ZXXK]
48－6
2
48－12
3
48－18
4
48－24
5
48－30[来源:学_科_网]
（1）用含t的整式表示Q；
（2）当时，求Q的值；
（3）根据所列整式回答：汽车行驶前油箱中有多少升的汽油？
（4）油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时?
28．电影院第一排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位，问第二排有几个座位？第三排呢？若第n排有x个座位，x是多少？
C 决战中考
29．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…，将这列数排成下列形式：
记为第i行第j列的数，如，那么是 ；．
30．观察下列单项式：－a，2a2，－3a3，4a4，－5a5，…
（1）写出第2010项和第2015项；
（2）写出第m项和第m+1项（m为奇数）
31．有足够多的每个面的面积为1cm2的小正方体按下图的方式进行组合，则第4个图形的表面积为 cm2，如此排下去，第n个图形表面积为 cm2．
32．观察下列一列单项式的特点．
（1）请照此规律写出第8个单项式，它是n次式？
（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数是多少？次数为多少？
33．已知是关于x、y的7次单项式，试求m2+2m－3的值．
34．如果关于x的多项式与是同次多项式，求的值．
35．若是关于a、b的六次单项式，则x、y满足什么条件？
36．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值．
37．若是关于x、y的单项式，且系数为，次数为3，求的值．
38．当x=2，y=－2是，求当x=－4，时，式子的值．
