江苏省连云港市2018-2019学年高二上学期期末考试数学理试题

2018～2019学年度第一学期期末考试试题
高二数学（选修物理）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1．双曲线的渐近线方程是 ▲ .
2．焦点为的抛物线标准方程是 ▲ .
3．命题“若，则”的逆否命题为 ▲ .
4．若，，且，则的最大值是 ▲ .
5．已知双曲线与椭圆有公共焦点且离心率为，则其标准方程为 ▲ .
6．已知函数，则 ▲ .
7．函数的极小值是 ▲ .
8．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ▲ .
9．若直线是曲线的一条切线，则实数的值是 ▲ .
10．已知是椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，则的最大值与最小值的差是 ▲ .
11．设集合，，若，则实数的取值范围是 ▲ .
12．已知，R+，且，则的最小值是 ▲ .
13．已知椭圆过点，其短轴长的取值范围是，则椭圆离心率的取值范围是 ▲ .
14．已知，若，，使成立，则实数的取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知：函数在R上是单调增函数，：．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，求实数的取值范围．








16．（本小题满分14分）
如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值．







17．（本小题满分14分）
如图，在等腰直角中，，，点，分别为，边上的动点，且．设，的面积为．
（1）试用的代数式表示；
（2）当为何值时，的面积最大？求出最大面积．








18．（本小题满分16分）
已知抛物线经过点，过作直线与抛物线相切．
（1）求直线的方程；
（2）如图，直线∥，与抛物线交于，两点，与直线交于点，是否存在常数，使．















19．（本小题满分16分）
已知椭圆的离心率，且经过点，，，，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标．









20．（本小题满分16分）
已知函数，R．
（1）若函数在上单调递减，在上单调递增，求的值；
（2）求函数在上的最大值；
（3）当时，若有3个零点，求的取值范围．

2018-2019学年第一学期期末
高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、填空题：
1.； 2.； 3.若，则； 4.1； 5.； 6.3； 7.；
8.； 9.1； 10.1； 11.； 12.； 13.； 14.．
二、解答题：
15．解：（1）由函数在R上是单调递增函数，得
R时，恒成立，且无连续区间上的导数为0， …………….2分
则，
恒成立，所以， …………….4分
则．若为真命题，则． …………….6分
（2）由，得，则， …………….8分
所以当为假命题时，或． …………….10分
又为假命题，则，都是假命题， …………….12分
所以实数满足解得． …………….14分
16．解：如图建立以为原点，分别以，，的方向为
轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系，
因为棱长为3，且可得，，，
，，． …………….2分
（1）则，． …………….4分
所以． …………….6分
（2）依题意，可得．
设为平面的法向量，
则即不妨令，可得； …………….9分
设为平面的法向量，
则即不妨令，可得． …………….12分
因此有，于是．
所以，二面角的正弦值为． …………….14分
17．解：（1）在中，，
又，则． ...............2分
在和中，由得∽， ............4分
所以．因直角中，，则，所以，
代入； ...............6分
（2）的面积为，则
， ...............8分
则，得． ...............10分
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减． ............12分
所以当时，．
答：当时，的面积最大，最大面积为． ...............14分
18．解：（1）将代入，则，所以抛物线方程为． …………….2分
设直线的方程为，联立方程组
消得，因相切，由得，
所以直线的方程为． .....................6分
另：设直线的方程为，联立方程组
消得，因相切，由得，
所以直线的方程为． .....................6分
（2）因，∥，设直线的方程为，联立方程组
解得，则． …………………………8分
设，，联立方程组得，
所以，；因 …………………………10分
， …………………………14分
所以存在实数，使． …………………………16分
19．解：（1）因的离心率，且经过点，
所以 ……………2分
解得，．所以椭圆标准方程为．………4分
（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，，． …………6分
设，，则直线的方程为， …………………………8分
联立方程组消得，
所以点的横坐标为； …………………………10分
又直线的方程为，
联立方程组消得，
所以点的横坐标为． …………………………12分
由得，
则有，则， …………………………14分
化简得，解得，因为，所以，
所以点的坐标为． …………………………16分
20．解：（1）由，则．
因函数在上单调递减，在上单调递增，得，
当时，显然满足要求，所以． ……………2分
（2）因，，
当，即时，，在上单调递增，
则； ……………4分
当，即时，，在上单调递减，
则； ……………6分
当，即时，当时，；当时，，
所以在递减，在递增，则．
又，故当时，；
当时，；当时，．
综上，在上的最大值 ……………8分
（3）因得或；
又，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增，则，．
令，因R，所以R，所以与图像相同．则的零点个数即为方程不同实数解的个数．
①当(如图1)，即时，，有唯一负实数解，则存在使，而只有一个实数解，故只有一个实数解． ……………10分
②当（如图2），即时，有两个不同实数解，．
因，则与各有一个实数解，故有两个不同的实数解．……12分



③当时（如图3），即，有三个不同实数解，，，
因，有一个实数解，则与只能各有一个实数解．
则由（2）可知在单调递减，单调递增，则
即由得，当时，，
因，故有．
综上，时，若有3个零点，则的取值范围是． ……………16分




B

A

注 意 事 项
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

C

D

A1

D1

C1

B1



（第16题图）

B

E

A

C

D

（第17题图）

A

B

O

x

y

T

P

l′

l

（第18题图）























（第19题图）

A

B

C

D

A1

D1

C1

B1



（第16题图）





































（图2）

O

1







1







（图3）

O









1

（图1）

O