第五章图形与变换第29节相似三角形
■知识点一：比例线段
1.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■知识点二：图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■知识点三：相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■知识点四：相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点1.比例线段
◇典例：
1.（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元
故选（C）
【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属于基础题型．
2.（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
【点评】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．
3.（2018年浙江省舟山市）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则= ．
【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答．
解：∵=，
∴=2，
∵l1∥l2∥l3，
∴==2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
◆变式训练
1. 湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）．
2.（2016?山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
3.（2018年浙江省嘉兴市）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则= ．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D．
【点评】本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
◆变式训练
如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
■考点3.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.（2018年湖南省邵阳市）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形： ．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为△ADF∽△ECF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
2.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出=，构建方程求出x即可解决问题；
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设DF=x．
∵△ADC∽△BDF，
∴=，
∴=，
整理得x2+10x﹣24=0，
解得x=2或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，
∴S△ABC=?BC?AD=×10×12=60．
故答案为60．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3.（2018年山东省临沂市）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【考点】相似三角形的应用
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．
解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
◆变式训练
1.（2018年甘肃省兰州）如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，则△ADE的面积是（ ）
A． B． C． D．2
2.（2018年广西柳州市）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠DCA=30°，AC=，AD=，则BC的长为 ．
3.（2018年吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= m．
选择题
（2018年甘肃省定西市）已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．= B．2a=3b C．= D．3a=2b
（2018年四川省乐山市）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
（2018年重庆市（B卷））制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
（2018年湖北省荆门市）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
（2018年广西玉林市）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
（2018年浙江省绍兴市）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
、填空题
（2016年浙江省杭州市）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A． B． C． D．1
（2018年云南省）如图，已知AB∥CD，若=，则= ．
、解答题
（2018年福建省（A卷））求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
（2018年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．
选择题
（2018年四川省内江市）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
（2018年黑龙江省哈尔滨市）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
（2018年浙江省杭州市临安市）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
（2018 年广西梧州市）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
（2018年江苏省宿迁市）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（?? ）。
A．??? ?B.?2?? ??C.???? ?D.?4
（2018年内蒙古包头市）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
（2018年山东省聊城市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
填空题
（2018年湖南省岳阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
（2018年北京市）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为 ．
（2018年上海市）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
解答题
（2016年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
（2018年上海市）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．
（2018年福建省（A卷））如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
（2018年海南省）已知，如图1，在?ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n?HK（n为正整数），求n的值．
第五章图形与变换第29节相似三角形
■知识点一：比例线段
1.比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的基本性质 (1)基本性质：? ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k.（b、d、···、n≠0）
3.平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
■知识点二：图形的相似
（1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
■知识点三：相似多边的定义和性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
■知识点四：相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
2.相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比
3.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.
■考点1.比例线段
◇典例：
1.（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ）
A．540元 B．1080元 C．1620元 D．1800元
【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案．
解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，
∴每平方厘米的广告费为：180÷50=元，
∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15×=1620元
故选（C）
【点评】本题考查相似形的应用，解题的关键是求出每平方厘米的广告费，本题属于基础题型．
2.（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b=+2 B．a=4，b=﹣2 C．a=2，b=+1 D．a=2，b=﹣1
【考点】黄金分割；矩形的性质．
【分析】根据黄金矩形的定义判断即可．
解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴=，
∴a=2，b=﹣1，
故选D．
【点评】本题主要考查了黄金矩形，记住定义是解题的关键．
3.（2018年浙江省舟山市）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则= ．
【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答．
解：∵=，
∴=2，
∵l1∥l2∥l3，
∴==2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
◆变式训练
1. 湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）．
【考点】比例线段．
【分析】由比例尺的定义计算可得．
解：我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握比例尺的定义是解题的关键．
2.（2016?山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，DF==
∴FG=
∴CG=﹣1
∴=
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
3.（2018年浙江省嘉兴市）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则= ．
【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答．
解：∵=，
∴=2，
∵l1∥l2∥l3，
∴==2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
■考点2.相似多边的定义和性质
◇典例
下列四组图形中，一定相似的是（ ）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【考点】相似图形．
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意． 故选：D．
【点评】本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
◆变式训练
如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．
（1）求AD的长；
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；
（2）相似比即为是对应边的比．
解：（1）由已知得MN=AB，MD=AD=BC，
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
，
∵MN=AB，DM=AD，BC=AD，
∴AD2=AB2，
∴由AB=4得，AD=4；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为=．
【点评】本题考查相似多边形的性质，对应边的比相等．
■考点3.相似三角形的性质与判定
◇典例
1.（2018年湖南省邵阳市）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形： ．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为△ADF∽△ECF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
2.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出=，构建方程求出x即可解决问题；
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设DF=x．
∵△ADC∽△BDF，
∴=，
∴=，
整理得x2+10x﹣24=0，
解得x=2或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，
∴S△ABC=?BC?AD=×10×12=60．
故答案为60．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3.（2018年山东省临沂市）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
【考点】相似三角形的应用
【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．
解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=10.5（米）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
◆变式训练
1.（2018年甘肃省兰州）如图，边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，则△ADE的面积是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】等边三角形的性质，相似三角形性质，三角形的中位线定理
【分析】由于D、E是AB、AC的中点，因此DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．
解：∵等边△ABC的边长为4，
∴S△ABC=×42=4，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，AD=AB，AE=AC，
即===，
∴△ADE∽△ABC，相似比为，
故S△ADE：S△ABC=1：4，
即S△ADE=S△ABC=×=，
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质、相似三角形性质及三角形的中位线定理，解题的关键是掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
2.（2018年广西柳州市）如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠DCA=30°，AC=，AD=，则BC的长为 ．
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【分析】作辅助线，构建直角三角形，设DE=x，先根据直角三角形30度角的性质和
勾股定理得：x的值，分情况根据三角形相似列比例式计算可得BC的长．
解：过D作DE⊥AC于E，
设DE=x，
∵∠ACD=30°，
∴CE=x，AE=，
Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2=DE2+AE2，
，
18x2﹣27x+10=0，
（3x﹣2）（6x﹣5）=0，
x1=，x2=，
①当x=时，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC=2；
②当x=时，同理得：，
BC=5，
综上，BC的长为2或5；
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、直角三角形30度角的性质及勾股定理，熟练运用勾股定理计算线段的长是关键．
3.（2018年吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= m．
【考点】相似三角形的应用
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，，
解得：AB=（米）．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
选择题
（2018年甘肃省定西市）已知=（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．= B．2a=3b C．= D．3a=2b
【考点】比例的性质
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由=得，3a=2b，
A．由原式可得：3a=2b，正确；
B、由原式可得2a=3b，错误；
C、由原式可得：3a=2b，正确；
D、由原式可得：3a=2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
（2018年四川省乐山市）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（ ）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC
【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．
解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．
（2018年重庆市（B卷））制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【考点】相似多边形的性质
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
（2018年湖北省荆门市）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（ ）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵DE=EF=FC，
∴EF：AB=1：3，
∴△EFG∽△BAG，
∴=（）2=，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（2018年广西玉林市）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选：C．
（2018年浙江省绍兴市）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
【考点】相似三角形的应用
【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则=，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴=，
解得：CD=0.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
、填空题
（2016年浙江省杭州市）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（ ）
A． B． C． D．1
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
（2018年云南省）如图，已知AB∥CD，若=，则= ．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题；
解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴==，
故答案为．
【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
、解答题
（2018年福建省（A卷））求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【考点】作图—复杂作图，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；
（2）依据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到=，根据△ABC∽△A'B'C'，即可得到=，∠A'=∠A，进而得出△A'C'D'∽△ACD，可得==k．
解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；
（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，===k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
求证：=k．
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD=AB，A'D'=A'B'，
∴==，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴=，∠A'=∠A，
∵=，∠A'=∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴==k．
【点评】本题考查了作图—复杂作图，相似三角形的判定与性质,主要利用了相似三角形的性质,相似三角形对应边成比例的性质,以及两三角形相似的判定方法,要注意文字叙述性命题的证明格式。
（2018年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．
【考点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；
（2）利用面积法：?AD?BD=?AB?DE求解即可；
解：（1）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
（2）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD===12，
∵?AD?BD=?AB?DE，
∴DE=．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．
选择题
（2018年四川省内江市）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
【考点】相似三角形的性质
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．
解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
（2018年黑龙江省哈尔滨市）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．= B．= C．= D．=
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．
解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴=，=，
∴==．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出==是解题的关键．
（2018年浙江省杭州市临安市）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．
解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，
A．C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=，AC=2，
对应的图形B中的边长分别为1和，
∵=，
∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
（2018 年广西梧州市）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【考点】平行线分线段成比例
【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得到==，则 CE=DF，由 DF∥AE 得到==，则 AE=4DF， 然后计算的值．
解：过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，
∵DF∥CE，
∴=，
而 BD：DC=2：3，
∴=，则 CE=DF，
∵DF∥AE，
∴=
∵AG：GD=4：1，
∴=，则 AE=4DF，∴=
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 对应线段成比例
（2018年江苏省宿迁市）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（?? ）。
A．????B.?2????C.?????D.?4
【考点】三角形的面积，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质
【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO= ，AC=2A0=4 ，根据三角形面积公式得S△ACD= ·OD·AC=4 ，根据中位线定理得OE∥AD，由相似三角形性质得 ,从而求出△OCE的面积.
解：∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，
∵∠BAD＝60°,
∴△ABD是等边三角形，
又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOD中，
∴AO= ，
∴AC=2A0=4 ，
∴S△ACD= ·OD·AC= ×2×4 =4 ，
又∵O、E分别是中点，
∴OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴ ,
∴ ,
∴S△COE= S△CAD= ×4 = .
故答案为：A．
（2018年内蒙古包头市）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CEBC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，
∴AB=3，
∴，
∴，
∴DF=BD=×2=，
故选：D．
【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
（2018年山东省聊城市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．
解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，
由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，
∠1=∠2=∠3，
则△A1OM∽△OC1N，
∵OA=5，OC=3，
∴OA1=5，A1M=3，
∴OM=4，
∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，
则（3x）2+（4x）2=9，
解得：x=±（负数舍去），
则NO=，NC1=，
故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．
填空题
（2018年湖南省岳阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是 步．
【考点】相似三角形的应用
【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．
解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=ED，DE∥CF，
设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
x=，
如图2，四边形DGFE是正方形，
过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，
设ED=x，
S△ABC=AC?BC=AB?CP，
12×5=13CP，
CP=，
同理得：△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
x=，
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
（2018年北京市）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质、矩形的性质，勾股定理
【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=?AC，即可求出CF的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠FAE=∠FCD，
又∵∠AFE=∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴==2．
∵AC==5，
∴CF=?AC=×5=．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．
（2018年上海市）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．
解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC?AH=6，
∴AH==3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴=，即=，解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
解答题
（2016年浙江省杭州市）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．
（2018年上海市）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF=AE﹣BE；
（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；
（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．
证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABE和△DAF中
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF，
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；
（2）如图，∵=，
而AF=BE，
∴=，
∴=，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠4=∠3，
而∠1=∠3，
∴∠4=∠1，
∵∠5=∠1，
∴∠4=∠5，
即BE平分∠FBP，
而BE⊥EP，
∴EF=EP．
（2018年福建省（A卷））如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（1）求∠BDF的大小；
（2）求CG的长．
【考点】旋转的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．
解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB=10，
∴∠ABD=45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠BDF=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5，
由平移的性质得，CG=AE=12.5．
【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转,平行线的性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键。
（2018年海南省）已知，如图1，在?ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．
①求证：HC=2AK；
②当点G是边BC中点时，恰有HD=n?HK（n为正整数），求n的值．
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得到∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，利用AAS定理证明即可；
（2）作BN∥HC交EF于N，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理证明；
（3）作GM∥DF交HC于M，分别证明△CMG∽△CHF、△AHD∽△GHF、△AHK∽△HGM，根据相似三角形的性质计算即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE；
（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，
∵△ADE≌△BFE，
∴BF=AD=BC，
∴BN=HC，
由（1）的方法可知，△AEK≌△BFN，
∴AK=BN，
∴HC=2AK；
（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，
∵点G是边BC中点，
∴CG=CF，
∵GM∥DF，
∴△CMG∽△CHF，
∴==，
∵AD∥FC，
∴△AHD∽△GHF，
∴===，
∴=，
∵AK∥HC，GM∥DF，
∴△AHK∽△HGM，
∴==，
∴=，即HD=4HK，
∴n=4．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握它们的判定定理和性质定理是解题的关键．
