《圆的标准方程》教学设计
课题
圆的标准方程
解
读
理
念
数学学习不是被动接受的过程，而是学习者积极主动的建构过程。本节课的教学设计正是在这种教学理念指导下，设计导学案，引导学生课前实施自主、合作、探究学习，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力，课上在合作和分享中扩展自己的经验，老师适时地点拨总结，使知识得以升华。同时通过对知识的实际应用，增强学生的民族自豪感和学习数学的兴趣，引导学生学以致用。
学
情
分
析
学生在上一单元已经学习了直线的方程，对求解轨迹方程的步骤有了基本了解。在初中已经学习了圆的定义和一些简单的几何性质，这为本节课学习奠定了必要的知识基础。本班是艺术班，两极分化较大，个别同学比较突出，大部分学生处于中等水平，少部分学生基础非常薄弱，同学们解决问题的方法和能力还有待提高，但学生的学习态度端正，积极性高，在平时的学习中采用小组帮扶的形式，教学内容从易到难，尽量让每个学生都学有所得。
教
材
分
析
内
容
标
准
本章的主题是建立几何与代数的联系，用代数方法研究几何。坐标法是解析几何研究的基本方法，由曲线求方程和由方程研究曲线是解析几何的基本问题，它们贯穿于解析几何学习的全过程中。圆的标准方程的获得，是通过利用学生初中学过的圆的定义，类比直线的方程的推导过程而求得，而且在今后将进一步学习圆锥曲线的方程，所以本节课有着承上启下，渗透方法的作用，是提高学生思维能力，培养学生良好的数学素养和提升数学思想方法的一个重要内容。
教
学
目
标
情感态度
价值观目标
通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。
能力目标
1.通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；
2.学会借助实例分析探究数学问题。
知识目标
1.理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心和半径；
2.运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
教学资源
1.人教B版数学必修2教材
2.导学案
3.课件
教学重点
圆的标准方程的推导以及根据具体条件正确写出圆的标准方程
教学难点
运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题
方
法
解
读
教学方法
1.本节课主要采用启发式、合作探究式教学方法，借助学生已有的知识引出新知；使用导学案，引导学生主动探索，自己构建新知识；通过层层深入的例题配置，使学生的思路逐步开阔，提高解决问题的能力。
2.借助多媒体，增强教学的直观性，提高课堂效率
3.使用实物投影仪展示学生的解题过程
教学准备
1.把握教材，选取典型例题及练习，使教学更重点突出。
2.学生课前完成导学案，对题目有了了解。
3.教师搜集相关资料，制作多媒体课件。
教
学
过
程
教
学
过
程
教学环节
教学内容
教师活动
学生活动
复
习
引
入
复习直线方程及相关知识，为本节课学习新知识做铺垫
展示课件复习回顾内容
回顾相关知识，激发学习兴趣
概
念
形
成
在以往对圆有一个初步认识的基础上，动画展示到定点距离等于定长的点的运动轨迹
引导学生思考在运动中固定不变的量，引出圆的定义
观察动画，找出其中的不变因素，说出动点满足的条件
方
程
推
导
圆的标准方程的推导是本节课的一个重点，其推导方法也是求轨迹方程的一个基本方法。
步骤：（1）建系设点；
找等量关系；
等量关系代数化，列出方程；
（4）化简方程；
（5）检验.
提出要求，类比直线的方程来推导圆的标准方程，
学生回答完后总结推导的步骤.
给出圆的标准方程并给出当圆心位于坐标原点时的特殊情况
学生展示本组讨论的结果，在交流合作中经历知识的形成过程，体会坐标法的思想，加深对知识的理解并逐步提高用代数方法解决几何问题的能力
概
念
深
化
认识圆的标准方程
结合推导过程加深对方程的理解记忆
启发学生观察、认识圆的标准方程的结构特点，设计小练习加深记忆
学生说说对圆的标准方程的认识，并完成简单口答练习
典
例
解
析
判断点和圆的位置关系
例1 写出圆心为M ，半径为的圆的方程，并判断点，，是否在圆上．
给出判断点与圆位置关系的方法
求圆的标准方程
例2 根据下列条件求圆的方程
圆心在点C（1,3），并与直线3x-4y-6=0相切
过点（0,1）和点（2,1），半径为
几何法，利用圆的几何特征，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径求解
待定系数法求解
对学生的做题方法进行总结，提炼出判断点与圆位置关系的方法
求圆的标准方程的关键是找到圆心和半径，引导学生根据具体条件发现求圆心和半径的方法，并对方法和解题过程加以总结和规范
学生展示本组讨论的结果，在交流合作中学会判断点与圆位置关系的方法。
学生展示本组讨论的结果，体会用几何法和待定系数法求圆的标准方程。
合
作
探
究
例3 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．
（1）待定系数法求解
（2）几何法，利用圆的几何特征，圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上，从而求出垂直平分线m和已知直线l的公共点即为圆心
例4 赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程（精确到0.01m）
求圆的标准方程的关键是找到圆心和半径，引导学生根据具体条件发现求圆心和半径的方法，并对方法和解题过程加以总结和规范
观看赵州桥视频，提出问题，如何求拱圆方程，引导学生正确的建系
学生展示本组讨论的解题思路，其他小组可加以补充，进一步巩固求圆的标准方程的一般方法，用几何法和待定系数法求圆的标准方程。
观看赵州桥视频，增强民族自豪感，小组讨论如何建系，如何求得拱圆方程并展示本组讨论的解题思路
当
堂
检
测
5分钟测试，当堂完成，学生解答.
在讲解过程中，有意识的应用这些方法，完成知识的内化
展示答案，学生交换批改，并展示正确率，简要讲解。
完成当堂检测，检测学生对本节课内容的掌握情况。
课
堂
小
结
对本节课知识的系统回顾，强调重要知识点，加深对知识的理解
理清脉络，进行课堂小结，对学生提出希望。
学生在课堂小结中整理知识，进一步巩固圆的标准方程的相关内容.
板
书
设
计
2.3.1 圆的标准方程
圆的定义
圆的标准方程
点与圆的位置关系
求圆的标准方程
1、几何法 2、待定系数法
推导圆的标准方程
建系设点
找等量关系
列方程
化简
检验
教
学
效
果
预
测
本节课密切联系考纲要求，针对学生情况，结合学生的感受创设教学情境，设计符合学生实际的课堂活动，如师生讨论，学生展示，学生讨论等活动形式，激发学生兴趣，调动学生学习的积极性；精心选取典型例题，讲解例题时，我力争做到讲明怎样解，更要讲明为什么这样解，还及时对解题方法、规律进行概括总结，有利于发展学生的思维能力，所选取例题，体现从简单到复杂、从特殊到一般，层层加深，以满足不同层次学生的需要；从当堂检测结果来看，学生对本节课几个知识点的掌握程度达到了预想的效果。
课件16张PPT。高一数学人教B版必修22.3.1 圆的标准方程片头1复习回顾圆的定义：C(a,b)M平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.圆的两个要素：定点：圆心（a，b）
定长：半径 r
2
——确定圆的位置（定位）
——确定圆的大小（定形）推导圆的标准方程C(a,b)M(x,y)一、建系设点
建系，设圆上任意一点M（x，y）求以C(a,b)为圆心，r 为半径的圆的标准方程二、找等量关系
|MC|= r三、列方程
四、化简
① 五、检验
圆上点M的坐标满足方程，坐标满足方程的点M在圆上特别地，以O(0,0)为圆心，r 为半径的
圆的标准方程为 以C(a,b)为圆心，r 为半径的圆的标准
方程为3认识圆的标准方程半径1圆心的横坐标圆心的纵坐标已知圆的标准方程可得到圆的圆心和半径；要得到圆的标准方程需要确定
圆心（横坐标和纵坐标）和半径共三个量.4标准方程的形式5写出圆心半径小练习圆的标准方程的应用例1 写出圆心为M（-2,1），半径为5的圆的标准方程，
并判断点A（2,-2），B（3,2），C（0,1）是否在圆上解：圆心是M（-2,1），半径长等于5的圆的标准方程是： 把A（2,-2）的坐标代入左边得 ，左右两边相等，
A点的坐标满足圆的方程，所以A点在这个圆上； 把B（3,2）的坐标代入左边得 ，
把C（0,1）的坐标代入左边得 ，左右两边不相等，
点B,C的坐标不满足圆的方程，所以点B,C不在这个圆上.6例1判断点和圆的位置关系＝＞＜关键：点与圆心的距离与半径的大小比较.7点圆位置 例2 根据下列条件，求圆的标准方程
（1）圆心在点C（1,3），并与直线3x-4y-6=0相切
（2）过点（0,1）和点（2,1），半径为分析：求圆的标准方程最关键的就是找到圆的圆心和半径
（1）因为直线3x-4y-6=0是所求圆的切线，所以圆心（1,3）到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，有
所求圆的方程为
几何法8例2（1）位置 例2 根据下列条件，求圆的标准方程
（1）圆心在点C（1,3），并与直线3x-4y-6=0相切
（2）过点（0,1）和点（2,1），半径为分析：求圆的标准方程最关键的就是找到圆的圆心和半径
（2）设圆心坐标为（a,b）则圆的方程为
已知圆过点（0,1）和点（2,1），代入圆的方程，得
①-②，解得a=1 ，代入①，得
所求圆的方程为
待定系数法9例2（2）例2（2）位置例3 已知圆心为C的圆经过点A(6, 0)和B(1, 5)，且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上，求圆心为C的圆的标准方程．xyOCA(6,0)B(1,5)方法一：待定系数法
设所求圆的方程为
由题意得：
①-②得 ④
由③④联立，解得 ，
代入①得
所以所求圆的方程为l10例3方法一待定系数3待定系数置例3 已知圆心为C的圆经过点A(6, 0)和B(1, 5)，且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上，求圆心为C的圆的标准方程．圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(6,0)B(1,5)弦AB的垂直平分线AB中点D分析：由题意得，
圆心在弦AB的垂直平分线 m 上
又在直线 l 上，
所以圆心是直线 m 和 l 的交点
求出圆心后，
由圆心和圆上一点的坐标
可以求出圆的半径lm11方法二：几何法3几何法例3 已知圆心为C的圆经过点A(6, 0)和B(1, 5)，且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上，求圆心为C的圆的标准方程．xyOCA(6,0)B(1,5)AB中点Dlm12方法二：几何法直线AB的中点M ，
直线AB的斜率为
所以AB的垂直平分线m的斜率为1
所以 m 的方程为x-y-1=0
因为 l 的方程为2x-7y+8=0
由C= l ∩ m，联立，解得C(3,2)
由r=|CA|，解得r2=13，
所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=133几何法过程3几何法过程例4 赵州桥例题例4 赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆方程（精确到0.01m）.解：以AB的中点为原点，x轴通过AB建立直角坐标系。
根据已知条件，B (18.51，0)，C(0，7.2)，
设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为
因为B，C都在圆上，所以坐标满足方程，
得方程组
解得
因此，圆拱桥的拱圆的方程近似为待定系数法评测练习： D D B (-1, 1) 14圆的基本要素知识小结15知识小结
