北师大版 数学 八年级下 1.1 等腰三角形（1） 教学设计
课题
1.1 等腰三角形（1）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：通过全等三角形的判定定理证明等腰三角形的两条性质定理，并进一步感受证明过程；
过程与方法：通过引导、启发学生利用全等三角形证明等腰三角形的定理，展学生的初步演绎逻辑推理的能力,鼓励学生在交流探索中发现证明的多样性,提高逻辑思维水平；
情感态度与价值观：使学生渗透数学思想，培养学生合作交流的意识，同时使学生通过独立思考去考虑问题的能力加强,培养良好的学习习惯.
重点
探索证明等腰三角形的性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法.
难点
通过探索利用全等三角形的判定与定义证明等腰三角形的性质定理明确推理证明的基本要求.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在“平行线的证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论，下面请同学们回答：
想一想：在“三角形”这一章中，我们认识了全等三角形及其判定方法. 那么证明两个三角形全等的基本事实有哪些呢？
答案：
（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)；
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)；
（3）三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).
引言：我们可以用基本事实和已经证明的定理来证明有关三角形的一些结论.
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾证明的思路和方法，为等腰三角形的性质证明做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
思考：你能证明“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”这个命题吗？
已知：如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）
∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B′C′中
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.
归纳：全等三角形判定定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
符号语言：
在△ABC与△A′B′C′中
∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）.
指出：根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
符号语言：
∵△ABC≌△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′,∠B=∠B′ ,∠C=∠C′
AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′.
议一议：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
答案：
定理：等腰三角形的两个底角相等.
推论：等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).
引问：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
介绍：
我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.
实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.
想一想：如何证明“等腰三角形的两个底角相等. ”这个定理呢？
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=?C
·
证明：如图所示，取BC的中点D，连接AD.
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等).
追问：你还有其他证明的方法吗?
归纳：定理：等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
几何语言：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对角）
例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B 的度数.
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，
∴∠B＝65°.
想一想：在前面的证明中，线段AD还具有怎样的性质呢？
·
答案：线段AD即是这个等腰三角形底边上的中线，也是顶角的平分线，同时也是底边上的高.
即：三线合一
追问：你能证明它们吗？
已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，线段AD是△ABC的中线.
求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
归纳：推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
符号语言:
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD.
∴BD＝CD. AD⊥BC.
或
∵AB=AC，BD＝CD.
∴∠BAD=∠CAD. AD⊥BC.
或
∵AB=AC，AD⊥BC.
∴BD＝CD.∠BAD=∠CAD.
例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
求证：EF＝ED.
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC.
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
学生读题，在老师的引导下对AAS定理进行证明，然后班内交流.
跟老师一起学习AAS定理的符号语言表达形式.
学生回答全等三角形的定义并得出全等三角形的性质.
在老师的引导下对等腰三角形的性质进行证明，然后小组交流，并真听老师的讲解.
跟老师一起学习“等边对等角”的符号语言表达形式.
学生读题后认真进行求解，然后班内交流.
学生认真观察并思考，然后小组讨论、班内交流，然后对所发现的：三线合一的性质进行证明.交流后仔细听老师讲评.
跟老师一起学习“三线合一”的符号语言表达形式.
学生独立完成例2，并小组交流，然后老师点评.
利用已学的基本事实和定理来验证AAS的正确性，并知道可用AAS定理判定两个三角形全等.
认识AAS的几何语言表达语言.
体会全等三角形性质的几何语言表达形式.
对等腰三角形的性质定理进行证明.
体会等腰三角形性质定理的几何语言表达形式.
体会等腰三角形性质的应用.
对等腰三角形的性质定理的推论进行证明.
体会等腰三角形性质定理的推论的几何语言表达形式.
对等腰三角形的性质定理的推论进行应用，并
进一步体会证明的方法和步骤.
课堂练习
1．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙
答案：B
2.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是（ ）
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
答案：B
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中不一定正确的是( )
A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BC
C．∠B＝∠C D．∠BAC＝∠B
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．
解：∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)，
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
∴△ABC中，∠A=36 °,∠ABC=∠C=72 °．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2018·镇江）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE 和△ACF 中，
∴△ABE≌△ACF（SAS）.
解：（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠CAF=∠BAE=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC=180°?30°2=75°.
故答案为：75
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说全等三角形的判定定理——边边角？
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
问题2、说一说全等三角形的性质？
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
问题3、说一说等腰三角形的性质？
（1）等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).
记住：等腰三角形是轴对称图形
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第4页习题1.1第3、4题
能力作业
教材第5页习题1.1第6题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
1.1 等腰三角形（1）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，∠B＝40°，则∠BAD＝（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
2．△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD
3．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定
4．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．周长为16的等腰三角形，其一边长为6，则另两边长为___________________．
7．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为___ _____．
8．若等腰三角形的一个外角为50°，则它的底角为_________度．
9．如图，△ABC的周长为16，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为12，那么AD的为 ．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC，则AD平分∠EAC，试说明理由．
11．如图，在△MIC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠B＝35°，求∠CAE度数.
12．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，且AD=AE．
（1）若∠ABC=60°，∠ADE=70°，求∠BAD与∠CDE的度数；
（2）设∠BAD=α，∠CDE=β，试写出α、β之间的关系并加以证明．
试题解析
2．D
【解析】根据等腰三角形的性质逐项分析即可.
解：A.等腰三角形的两个底角相等，所以∠B=∠C，故A项结论正确；
B、C项，等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线以及底边上的高的重合，因为D是BC中点，，所以AD⊥BC，AD平分∠BAC，故B、C项结论正确；
D.由于三角形角度不确定，故无法得到AB和BD的关系，故D项结论错误.
故选D.
3．C
【解析】解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；
②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．
故选C．
4．A
【解析】根据等边对等角，“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线重合，依次分析各小题即可。
解：∵AB=AC，AD是角平分线，
根据“三线合一”可得AD⊥BC，BD=DC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
结论正确是①②③④共4个，故选A.
5．C
【解析】如图，
当△ABC为锐角三角形时，已知∠A= n°，则∠C=.
所以∠DBC=.当△ABC为钝角三角形时，同理可得.
6．5，5或 4，6．
【解析】当腰为6时，则另两边长为6、4，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；
故答案为：6，4或5，5．
7．40°或100°．
【解析】∵等腰三角形中有一个角等于40°，
∴①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；
②若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°-40°×2=100°．
∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
8．25
【解析】根据题意分情况讨论，一种情况是当底角的外角为50°时，不含题意舍去；另一种情况顶角的外角为50°时利用邻补角的关系求出顶角，继而利用三角形内角和以及等腰三角形的两个底角相等的性质计算即可．
9．4
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
又∵△ABC的周长=AB+AC+BC=2（AC+CD）=16，
∴AC+CD=8，
又△ACD的周长=AC+AD+CD=12，
∴AD=4.
10．证明见解析
【解析】由等边对等角可得到∠B=∠C，再根据平行线的性质可得到∠EAD=∠B=∠C=∠DAC，即AD平分∠EAC．
解：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠B=∠C=∠DAC
∴AD平分∠EAC．
11．∠CAE＝20°.
【解析】根据等边对等角求出∠BAD，从而求出∠ADC，在等腰三角形ADC中，由三线合一求出∠CAE.
解：∵BD＝AD，
∴∠BAD=∠B=35°，
∴∠ADE=∠BAD＋∠B=70°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADE=70°，
∵AD=AC，AE平分DC，
∴AE⊥EC，（三线合一）.
∴∠EAC=90°－∠C=20°.
12．（1）20°，10°；（2）结论：α=2β，理由见解析.
【解析】（1）根据∠BAD=∠BAC-∠DAE，∠AED=∠CDE+∠C，进行计算即可解决问题；
（2）α=2β，理由是：设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，同理求出∠ACB=180°?x°2和∠AED=180°?y°2，利用外角定理得：β=∠AED-∠ACB，代入可得结论．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=20°，
∵∠AED=∠CDE+∠C，
∴∠CDE=70°-60°=10°．
（2）结论：α=2β，理由是：
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=180°?x°2，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=180°?y°2，
∴β=∠AED-∠ACB=180°?y°2-180°?x°2=x°?y°2=α2，
∴α=2β；
课件25张PPT。等腰三角形（1）数学北师大版 八年级下新知导入想一想：在“三角形”这一章中，我们认识了全等三角形及其判定方法. 那么证明两个三角形全等的基本事实有哪些呢？
答：（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS)；
（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA)；
（3）三边对应相等的两个三角形全等 (SSS).我们可以用基本事实和已经证明的定理来证明有关三角形的一些结论.新知讲解 思考：你能证明“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”这个命题吗？ 已知：如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.新知讲解 已知：如图所示,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.证明: ∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）
∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B′C′中
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.新知讲解 全等三角形判定定理:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.符号语言：在△ABC与△A′B′C′中
∴ △ABC≌△A′B′C′（AAS）.新知讲解根据全等三角形的定义，我们可以得到符号语言：∵△ABC≌△A′B′C′
∴ ∠A=∠A′,∠B=∠B′ ,∠C=∠C′
AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.新知讲解议一议：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗? 推论：等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).定理：等腰三角形的两个底角相等. 你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?新知讲解知识链接： 我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.
实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.新知讲解想一想：如何证明“等腰三角形的两个底角相等. ”这个定理呢？已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=?C·D证明：如图所示，取BC的中点D，连接AD.
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等). 你还有其他证明的方法吗?新知讲解定理：等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.几何语言：∵AB=AC（已知）∴?B=?C（等边对角） 例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B 的度数.新知讲解解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，
∴∠B＝65°.新知讲解想一想：在前面的证明中，线段AD还具有怎样的性质呢？·D 线段AD即是这个等腰三角形底边上的中线，也是顶角的平分线，同时也是底边上的高.三线合一新知讲解已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，线段AD是△ABC的中线.求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.·D证明：∵ AD是△ABC的中线,
∴BD=CD，
∵AB=AC，AD=AD，
△ABD≌△ACD(SSS),
∴ ∠BAD=∠CAD ,∠ADB=∠ADC (全等三角形的对应角相等),
∵∠ADB+∠ADC =180 °,
∴∠ADB=90 °,即AD⊥BC.新知讲解 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).符号语言:∵AB=AC，
∴ AD⊥BC.BD＝CD.∠BAD=∠CAD.·D新知讲解例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
求证：EF＝ED.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC.
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.课堂练习 1．下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是( )
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙B课堂练习2. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是（ ）
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°B 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中不一定正确的是( )
A．∠BAD＝∠CAD
B．AD⊥BC
C．∠B＝∠C
D．∠BAC＝∠BD拓展提高 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．解：∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)，
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得 x=36°，
∴△ABC中，∠A=36 °,∠ABC=∠C=72 °．中考链接 （2018·镇江）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE 和△ACF 中，
∴△ABE≌△ACF（SAS）.中考链接 （2018·镇江）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．?75课堂总结1、说一说全等三角形的判定定理——边边角？ 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.2、说一说全等三角形的性质？全等三角形的对应边相等、对应角相等.3、说一说等腰三角形的性质？（1）等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） （2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).轴对称图形板书设计
课题：1.1等腰三角形（1）??
教师板演区?
学生展示区1、全等三角形判定定理：AAS
2、全等三角形的性质
3、等腰三角形的性质
（1）等边对等角
（2）三线合一基础作业
教材第4页习题1.1第3、4题
能力作业
教材第5页习题1.1第6题
作业布置
