课件35张PPT。第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程第二讲 一 曲线的参数方程学习目标
1.理解曲线参数方程的有关概念.
2.掌握圆的参数方程.
3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x，y)，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？知识点一 参数方程的概念答案 可以引入参数，作为x，y联系的桥梁.梳理 参数方程的概念
(1)参数方程的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数 ①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y) ，那么方程①就叫做这条曲线的 ，t叫做 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫 .都在这条曲线上参数方程参数普通方程(2)参数的意义
是联系变数x，y的桥梁，可以是有 意义或 意义的变数，也可以是 的变数.
特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化.
参数物理几何没有明显实际意义知识点二 圆的参数方程答案 P(cos θ，sin θ)，由任意角的三角函数的定义即x＝cos θ，y＝sin θ.思考 如图，角θ的终边与单位圆交于一点P，P的坐标如何表示？梳理 圆的参数方程题型探究例1 已知曲线C的参数方程是 (t为参数).类型一 参数方程及应用解答解 把点M1的坐标(0,1)代入方程组，∴点M1在曲线C上.
同理可知，点M2不在曲线C上.(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值.解 ∵点M3(6，a)在曲线C上，解答∴a＝9.反思与感悟 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的.解答跟踪训练1 在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程是
(θ为参数).
(1)求曲线C上的点Q(－ ，－3)对应的参数θ的值；解答(2)若点P(m，－1)在曲线C上，求m的值.解 把点P的坐标(m，－1)代入参数方程，例2 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程.类型二 求曲线的参数方程解答解 方法一 设点P(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q.如图所示，
则Rt△OAB≌Rt△QBP.
取OB＝t，t为参数(0
(1)画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.
(2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点
①曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；
②x，y的值可以由参数惟一确定.
(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.跟踪训练2 长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动， ＝3 ，点P的轨迹为曲线C.
(1)以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；解答解 设P(x，y)，由题意，得(2)求点P到点D(0，－2)距离的最大值.解答解 由(1)得|PD|2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2
＝4cos2α＋sin2α＋4sin α＋4
＝－3sin2α＋4sin α＋8例3 如图，圆O的半径为2，P是圆O上的动点，Q(4,0)在x轴上.M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，
(1)求点M的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形；类型三 圆的参数方程及应用解答解 设点M(x，y)，令∠xOP＝θ，∴点P的坐标为(2cos θ，2sin θ).又Q(4,0)，由参数方程知，点M的轨迹是以(2,0)为圆心，1为半径的圆.解答(2)若(x，y)是M轨迹上的点，求x＋2y的取值范围.∵－1≤sin(θ＋φ)≤1，反思与感悟 (1)圆的参数方程中的参数是角，所以圆上的点的坐标是三角函数.
(2)运用圆的参数方程，可以将相关问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题.跟踪训练3 已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.解答解 由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，则x2＋y2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2达标检测答案12345√12345答案√答案解析3.圆C： (θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C关于直线x－y＝0对称的圆C′的普通方程是______________________________
___________.12345解析 将参数方程化为标准方程，得(x－3)2＋(y＋2)2＝16，
故圆心坐标为(3，－2).
点P(3，－2)关于直线y＝x的对称点为P′(－2,3)，
则圆C关于直线y＝x对称的圆C′的普通方程为
(x＋2)2＋(y－3)2＝16(或x2＋y2＋4x－6y－3＝0).(3，－2)(x＋2)2＋(y－3)2＝16(或x2＋y2 ＋4x－6y－3＝0)12345答案解析解析 ∵y＝t2＝1，
∴t＝±1.
∴x＝1＋1＝2或x＝－1＋1＝0.0或212345答案解析x－y－3＝0解析 圆心O′(1,0)，∴kO′P＝－1，即直线l的斜率为1.
∴直线l的方程为x－y－3＝0.1.参数方程
(1)参数的作用：参数是间接地建立横、纵坐标x，y之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用.
(2)参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系.
2.求曲线参数方程的步骤
第一步，建系，设M(x，y)是轨迹上任意一点；
第二步，选参数，比如选参数t；
第三步，建立x，y与参数间的关系，即本课结束 课件40张PPT。第2课时 参数方程和普通方程的互化第二讲 一 曲线的参数方程学习目标
1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？知识点 参数方程和普通方程的互化答案 用普通方程比较方便.思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案 关键是消参数.梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化
①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程；
②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲线的参数方程.消去参数x＝f(t)y＝g(t)(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法
①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.
特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.题型探究例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.类型一 参数方程化为普通方程解答得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线.解答解答所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2).
方程表示直线(去掉一点(－1,2)).所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2).
方程表示直线(去掉一点(－1,2)).反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数.
(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法.
(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.解答跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：∴x≥2或x≤－2，
∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2).解答两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，
即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.例2 已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方程.
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；类型二 普通方程化为参数方程解答解 过原点且倾斜角为θ的直线方程为y＝xtan θ，当x＝0时，y＝0，当x＝2cos2θ时，y＝xtan θ＝2cos θ·sin θ＝sin 2θ.(2)设x＝2m，m为参数.解答解 把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.
(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.
(1)若令y＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？解答解 把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cos θ(由θ的任意性可取x＝2cos θ).(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解答解 将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是同理将x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，例3 已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)求3x＋4y的最大值和最小值；类型三 参数方程与普通方程互化的应用∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.解答解答(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标.反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程.
(2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－4 ρcos ＋6＝0.
(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；解答解 直线l的方程为x－y＋4＝0，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋4＝0.所以ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值.解答达标检测1.若点P在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤ ，ρ>0，则点P的轨迹是
A.直线x＋2y＝3
B.以(3,0)为端点的射线
C.圆(x－1)2＋y2＝1
D.以(1,1)，(3,0)为端点的线段答案12345√2.将参数方程 (θ为参数)化成普通方程为
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)12345√解析 由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，
∴y＝x－2.
又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].答案解析3.参数方程 (θ为参数)表示的曲线的普通方程是________
____________.12345(－1≤x≤1)y2＝x＋1答案4.将参数方程 (t为参数)化成普通方程为_______________.12345答案解析x2－y＝2(y≥2)12345答案解析圆解析 x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆.5.参数方程 (φ为参数)表示的图形是____.1.参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标(x，y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.3.参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.规与方法本课结束 课件52张PPT。三 直线的参数方程第二讲 参数方程学习目标
1.理解并掌握直线的参数方程.
2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 直线的参数方程答案 y－y0＝tan α(x－x0).思考1 如图，直线l过定点M0(x0，y0)且倾斜角为α ，那么直线的点斜式方程是什么？思考2 在思考1中，若令x－x0＝tcos α(t为参数)，那么直线l的参数方程是什么？梳理 (1)直线的参数方程
①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)；
②由α为直线的倾斜角知，当0<α<π时，sin α>0.
(2)直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示t对应的点M到M0的距离.
①当 与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 ；
②当 与e反向时，t取 ，当M与M0重合时，t＝ .
(3)重要公式：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA，tB，则|AB|＝|tB－tA|＝ .正数负数0题型探究|t|表示t对应的点M(x，y)到M0的距离.例1 (1)化直线l1的普通方程x＋ y－1＝0为参数方程，并说明|t|的几何意义；类型一 直线的参数方程与普通方程的互化解答解 直线l1与x轴交于点M0(1,0)，解答①代入②消去参数t，又∵①②两式平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，反思与感悟 (1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α<π)惟一确定，直线上动点M(x，y)的参数方程为 (t为参数)，这是直线参数方程的标准形式，特别地，当α＝ 时，直线的参数方程为
(t为参数).
(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为 的直线的参数方程是 (a，b为常数，t为参数).(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；解答(2)求直线l的倾斜角；解答(3)求直线l上的点M(－3 ，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.解答解 由(2)可知直线l的单位向量命题角度1 求弦长|AB|问题
例2 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点.
(1)求|AB|；类型二 直线参数方程的应用解答解 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，设A，B对应的参数值为t1，t2，(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.解答解答跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝ ，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；设A，B对应的参数分别为t1，t2，(2)求A，B两点坐标.解答命题角度2 求积|M0A|·|M0B|问题
例3 过点P 作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值.解答代入曲线x2＋12y2＝1，反思与感悟 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，当求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，根据直线参数方程中参数的几何意义解题更为方便.跟踪训练3 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝ ，
(1)写出直线l的参数方程；解答解答(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积.解 因为点A，B都在直线l上，
所以可设它们对应的参数为t1和t2，把直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.类型三 直线参数方程的综合应用解答(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；所以曲线C1表示一条直线.得(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C2表示以(－2,1)为圆心，1为半径的圆.(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.解答代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，设A，B对应的参数分别为t1，t2，引申探究
1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB|的值.解答曲线C2是圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1.
因为点P(－4,0)在圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1外，代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1，t2同号，解答|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标.
(2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决.跟踪训练4 已知直线l： (t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；解 曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.解答(2)设点M的直角坐标为(5， )，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值；解答设这个方程的两个实根分别为t1，t2，
则由参数t的几何意义可知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.解 由(2)知t1，t2为同号，解答达标检测12345√答案解析解析 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，
故不能直接由1－0＝1来得距离，
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，2.直线 (t为参数，α＝ )不经过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限12345答案√12345答案解析－14.设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为 ，则直线l的参数方程为
_________________________.12345答案解析12345解答5.一直线过点P0(3,4)，倾斜角α＝ ，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离.将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，1.经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数).其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段 的数量，可以为正、为负，也可以为零.
2.直线l： (t为参数)与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参数为t1，t2.则|AB|＝|t1－t2|.但|M0A|＋|M0B|与|AB|不完全相同，当t1与t2异号时，|M0A|＋|M0B|＝|AB|＝|t1－t2|；当t1与t2同号时，|M0A|＋|M0B|＝|t1＋t2|≠|AB|.3.要注意区别直线参数方程是否为标准形式，若不是标准形式，则参数t就不具有相应的几何意义.课件42张PPT。二 圆锥曲线的参数方程第二讲 参数方程学习目标
1.掌握椭圆的参数方程及应用.
2.了解双曲线、抛物线的参数方程.
3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 椭圆的参数方程答案 是点(rcos θ，rsin θ)绕点O逆时针旋转的旋转角.思考1 圆x2＋y2＝r2的参数方程 的参数θ的几何意义是什么？(2)φ是点M(acos φ，bsin φ)的 .梳理 (1)椭圆的参数方程离心角知识点二 双曲线的参数方程双曲线的参数方程知识点三 抛物线的参数方程1.抛物线的参数方程2.参数的几何意义(1)α表示OM的倾斜角.题型探究命题角度1 利用参数方程求最值类型一 椭圆的参数方程解答反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解.跟踪训练1 已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排序，点A的极坐标为 .
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；解答解 由曲线C2的极坐标方程ρ＝2可知，
曲线C2是圆心在极点，半径为2的圆，(2)求曲线C1的普通方程，判断曲线形状；解答所以曲线是焦点在y轴上的椭圆.(3)设点P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围.解答得P(2cos φ，3sin φ)，
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ，
因为32≤32＋20sin2φ≤52，
所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围是[32,52].命题角度2 利用参数方程求轨迹方程解答解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动，
故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
由三角形重心的坐标公式，可得反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便.解答解 由题意知B(0,9)，设A(12cos α，6sin α)，M(x，y)，例3 已知等轴双曲线C的实轴长为2，焦点在x轴上.
(1)求双曲线的普通方程和参数方程；类型二 双曲线的参数方程解答解 设等轴双曲线C的普通方程为x2－y2＝a2(a>0)，
依题意，得2a＝2，所以a＝1，(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值.解答解 因为点P(0,1)，Q在双曲线C上，
设Q(sec φ，tan φ)，反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2φ＋cos2φ＝1?1＋tan2φ＝ ＝sec2φ?sec2φ－tan2φ＝1.跟踪训练3 设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.证明则(|F1P|·|F2P|)2又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，
由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.例4 已知抛物线C的参数方程为 (t为参数).若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝_____.类型三 抛物线的参数方程答案解析解析 由题意知抛物线的普通方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，
过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能.跟踪训练4 将方程 (t为参数)化为普通方程是______.y＝x2将tan t＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程.答案解析达标检测答案1.参数方程 (φ为参数)表示
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线12345√2.曲线 (φ为参数)的焦点与原点的距离为
A.2 B.3 C.4 D.512345答案√3.曲线 (θ为参数)的对称中心
A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上
C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上12345解析 曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y＝－2x上，故选B.答案解析√4.把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是12345答案解析√令x＝2cos θ，y＝3sin θ，12345解答设P(5cos θ，4sin θ)，则当cos θ＝－1时，|PA|最大.
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5,0).123451.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.
2.当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程.
3.如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用.本课结束 课件28张PPT。四 渐开线与摆线第二讲 参数方程学习目标
1.了解圆的渐开线的参数方程.
2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.
3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 渐开线答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状.若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数.设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y).显然，点M由角φ惟一确定.梳理 圆的渐开线及其参数方程
(1)定义
把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 叫做渐开线的基圆.
(2)参数方程
设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是_______________________________.定圆知识点二 摆线答案 摆线.思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？梳理 摆线及其参数方程
(1)定义
当一个圆沿着一条定直线 滚动时，圆周上的 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做 .
(2)参数方程
设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是
__________________________无滑动地一个定点旋轮线题型探究例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.类型一 圆的渐开线解答设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，则|AM|＝ ＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为 (φ为参数)，则该基圆半径为___，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角坐标为________.答案解析类型二 平摆线答案解析圆的方程为x2＋y2＝9，
∴圆的圆心为(0,0)，半径r＝3，反思与感悟 (1)摆线的参数方程
摆线的参数方程为 (φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是 (φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是___；一个拱的跨度为____.66π解析 当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高；
当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.答案解析达标检测答案1.圆 (θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是
A.π B.3π
C.6π D.10π1234√2.当φ＝2π时，圆的渐开线 (φ为参数)上的点是
A.(6,0) B.(6,6π)
C.(6，－12π) D.(－π，12π)答案1234√答案解析3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是
A.3π B.4π
C.5π D.6π1234√所以曲线AEFGH的长是5π.12344.已知一个圆的摆线方程是 (φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.1234解答解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，
所以面积为16π，1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程.
3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示.本课结束 课件42张PPT。第二讲 参数方程复习课学习目标
1.梳理知识要点，构建知识网络.
2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.
3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.参数方程2.常见曲线的参数方程
(1)直线
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为
__________________________.
(2)圆
①圆x2＋y2＝r2的参数方程为______________________；
②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为________________________.(3)椭圆
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为______________________.
(4)双曲线
中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为______________________.(5)抛物线
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_______________________
或____________________.题型探究即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.类型一 参数方程化为普通方程例1 把下列参数方程化为普通方程：解答解 关于cos θ，sin θ的方程组解答反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项
(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.
(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.跟踪训练1 判断方程 (θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状.解答类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.解答代入方程y2＝4x整理，得t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0. ①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题
(1)直线的参数方程应为标准形式.
(2)要注意直线倾斜角的取值范围.
(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.
(4)套公式|t1－t2|求弦长.跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为 (t为参数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；解答解 将直线l的参数方程代入圆的方程，设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，(2)过P0作圆的切线，求切线长.解答解 设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin ＝2 .
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；解答可得(x－2)2＋y2＝1，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，
即x＋y＝4.(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值.解答解 方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，所以Q(3,5)，
由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，
|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.
(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.解答(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；解答(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.类型三 极坐标与参数方程解答例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.解答解 方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.得t2＋(12cos α)t＋11＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，
所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点.
(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解.当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；解答在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
得3x＋2y－12＝0，
所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.解答(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积.易得A(4,0)，B(2,3)，达标检测1.曲线 (θ为参数)的焦点坐标为
A.(±3,0) B.(0，±3)
C.(±6,0) D.(0，±6)解析答案12345√这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，
所以焦点坐标为(0，±6).√答案123453.已知直线l的参数方程为 (t为参数)，圆C的极坐标方程为
ρ＝2 sin θ，则直线l与圆C的位置关系为
A.相离 B.相切
C.相交 D.由参数确定答案√123454.点P(1,0)到曲线 (t为参数)上的点的最短距离为___.解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.解析答案1123455.在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆 ＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值.解答123451.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力.
2.参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围.本课结束