2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一．选择题（共10小题）
1．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
3．下列事件中是必然发生的事件是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
4．当k＞5时，关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
5．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
6．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
7．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　）

A．6m B．12m C．8m D．10m
9．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．20°
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣3，1，则下列结论正确的个数有（　　）
①ac＞0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④对于任意实数m均有am2+bm≥a﹣b．

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题）
11．抛掷一枚均匀的硬币，前5次都正面朝上，则抛掷第50次正面朝上的概率是　 　．
12．若点A（2，m）在抛物线y＝x2上，则点A关于原点对称点的坐标是　 　．
13．若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2017的值为　 　．
14．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　 　cm．
15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给　 　 个人．
16．在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆周角的大小为　 　．
17．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，且OB＝4，∠ABO＝30°，一个半径为1的⊙C，圆心C从点（0，1）开始沿y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，⊙C运动的距离是　 　

18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（，0），B（0，4），则点B2019的横坐标为　 　．

三．解答题（共8小题）
1．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．
2．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题：
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）求线段AB在旋转过程中所扫过的面积．

3．小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
4．已知关于x的二次方程x2+mx+n2+1＝0．
（1）若n＝1，且此方程有一个根为﹣1，求m的值；
（2）若m＝2，判断此方程根的情况．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．
（1）若∠BDA＝70°，求∠BAC的度数；
（2）若BC＝8，AC＝6，求△ABD中AD边上的高．

6．某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件．为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件．
（1）如果童装店想每天销售这种童装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
（2）每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．

8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S△PAB＝8，并求出此时P点的坐标．


2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
第二、三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，
第四个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x轴有一个交点得到△＝0，由此求得a的值．
【解答】解：新抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣2+a＝x2+2x﹣1+a，
∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，
∴△＝4﹣4（﹣1+a）＝0，
解得a＝2．
故选：D．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．下列事件中是必然发生的事件是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
【分析】根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件进行分析即可．
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故此选项正确；
B、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖，是随机事件，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
D、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了概率，以及随机事件和必然事件，关键是掌握①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
4．当k＞5时，关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．
【解答】解：∵x2+4x+k＝0，
∴△＝42﹣4k＝4（4﹣k），
∵k＞5，
∴4﹣k＜0，
∴△＜0，
∴该方程没有实数根，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
5．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．±2
【分析】把x＝0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m﹣1≠0．
【解答】解：根据题意，将x＝0代入方程，得：m2﹣1＝0，
解得：m＝1或m＝﹣1，
又m﹣1≠0，即m≠1，
∴m＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m﹣1≠0这一条件．
6．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
【分析】根据二次函数解析式求得对称轴是x＝3，由抛物线的对称性得到答案．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣6x+m得到对称轴是直线x＝3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x＝3对称，
∵其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（5，0），
故选：C．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握抛物线的对称性质．
7．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题；
【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+x+，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　）

A．6m B．12m C．8m D．10m
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y＝0，求x的正数值．
【解答】解：把y＝0代入y＝﹣x2+x+得：
﹣x2+x+＝0，
解之得：x1＝10，x2＝﹣2．
又x＞0，解得x＝10．
故选：D．
【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度一般．
9．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．20°
【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC＝∠B＝∠AOC＝40°，推出∠AOD＝50°．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD＝90°，
∵∠B＝∠AOC＝40°，
∴∠ADB＝90°﹣∠B＝50°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形，求∠B的度数．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣3，1，则下列结论正确的个数有（　　）
①ac＞0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④对于任意实数m均有am2+bm≥a﹣b．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴、x＝﹣2时的函数值及函数的最小值逐一判断即可．
【解答】解：①∵抛物线开口向上且与y轴交于负半轴，即x＝0时，y＜0，
∴a＞0、c＜0，
∴ac＜0，故此结论错误；

②∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为﹣3、1，
∴x＝﹣＝，即2a﹣b＝0，故此结论正确；

③由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故此结论错误；

④∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且开口向上，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值，
∴当x＝m时，am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm≥a﹣b，故此结论正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共8小题）
11．抛掷一枚均匀的硬币，前5次都正面朝上，则抛掷第50次正面朝上的概率是　　．
【分析】根据概率的意义解答．
【解答】解：∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能，
∴第50次正面朝上的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本题的关键．
12．若点A（2，m）在抛物线y＝x2上，则点A关于原点对称点的坐标是　（﹣2，﹣4）　．
【分析】首先把A点坐标代入y＝x2中可得m的值，进而可得A点坐标，然后再根据关于原点对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：∵点A（2，m）在抛物线y＝x2上，
∴m＝4，
∴A（2，4），
∴点A关于原点对称点的坐标是（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
13．若m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2017的值为　2019　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．
【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得
2m2+3m﹣1＝0，
则2m2+3m＝1．
所以4m2+6m+2017＝2（2m2+3m）+2017＝2+2017＝2019．
故答案为：2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　13　cm．
【分析】圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设母线长为R，则：65π＝π×5R，
解得R＝13cm．
【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．
15．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给　7　 个人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆周角的大小为　45°或135°　．
【分析】连接OA、OB，根据垂径定理和已知求出∠AOB＝90°，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB，又OC＝AB，
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴弦AB所对的圆周角的度数是45°或135°．
故答案为：45°或135°．

【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理和等腰直角三角形的性质，正确理解弦所对的圆周角的两种情况是解题的关键．
17．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，且OB＝4，∠ABO＝30°，一个半径为1的⊙C，圆心C从点（0，1）开始沿y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，⊙C运动的距离是　3或7　

【分析】设第一次相切的切点为E，第二次相切的切点为F，连接EC′，FC″，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】解：设第一次相切的切点为E，第二次相切的切点为F，连接EC′，FC″，
在Rt△BEC′中，∠ABC＝30°，EC′＝1，
∴BC′＝2EC′＝2，
∵BC＝5，
∴CC′＝3，同法可得CC″＝7，
故答案为3或7．

【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A（，0），B（0，4），则点B2019的横坐标为　10096　．

【分析】由图象可知点B2019在第一象限，求出B2，B4，B6的坐标，探究规律后即可解决问题．
【解答】解：由图象可知点B2019在x轴上，
∵OA＝，OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝，
∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…
∴B2018（10090，4）．
∴点B2019横坐标为10090++＝10096．
故答案为：10096．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
1．用公式法解方程：2x（x﹣3）＝x2﹣1．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：方程整理为x2﹣6x+1＝0，
△＝（﹣6）2﹣4×1＝32，
x＝＝3±2，
所以x1＝3+2，x2＝3﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
2．在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题：
（1）将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1；
（2）求线段AB在旋转过程中所扫过的面积．

【分析】（1）根据旋转的定义作出变换后的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据扇形的面积公式计算可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；


（2）∵AB＝＝5，∠BAB1＝90°，
∴线段AB在旋转过程中所扫过的面积为＝．
【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．
3．小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
【分析】（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可；
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
【解答】解：（1）列表如下：
2 3 4
2 2+2＝4 2+3＝5 2+4＝6
3 3+2＝5 3+3＝6 3+4＝7
4 4+2＝6 4+3＝7 4+4＝8
由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，
则这两数和为6的概率＝；

（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为P（和为奇数）＝，P（和为偶数）＝，而≠，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
【点评】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．已知关于x的二次方程x2+mx+n2+1＝0．
（1）若n＝1，且此方程有一个根为﹣1，求m的值；
（2）若m＝2，判断此方程根的情况．
【分析】（1）将x＝﹣1，n＝1代入原方程，可求出m的值；
（2）代入m＝2，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝﹣4n2，分n＝0及n≠0两种情况找出此方程根的情况．
【解答】解：（1）将x＝﹣1，n＝1代入原方程，得：（﹣1）2﹣m+12+1＝0，
解得：m＝3．
（2）当m＝2时，原方程为x2+2x+n2+1＝0，
∴△＝22﹣4×1×（n2+1）＝﹣4n2．
当n＝0时，△＝﹣4n2＝0，此时原方程有两个相等的实数根；
当n≠0时，△＝﹣4n2＜0，此时原方程无解．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x，n的值求出m的值；（2）分n＝0及n≠0两种情况找出方程解的情况．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．
（1）若∠BDA＝70°，求∠BAC的度数；
（2）若BC＝8，AC＝6，求△ABD中AD边上的高．

【分析】（1）由旋转性质知BD＝BA、∠CBA＝∠EBD，据此可得∠BDA＝∠BAD＝70°，从而得∠ABD＝∠ABC＝40°，结合∠C＝90°可得答案；
（2）由旋转性质得BE＝BC＝8、DE＝AC＝6、AB＝BD＝10，从而得AE＝2，利用勾股定理知AD＝2，作BF⊥AD得AF＝AD＝，再次利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）由旋转性质知BD＝BA、∠CBA＝∠EBD，
∵∠BDA＝70°，
∴∠BAD＝70°，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝50°；

（2）∵BC＝8、AC＝6，∠C＝90°，
∴AB＝10，
由旋转性质知△ABC≌△DBE，
则BE＝BC＝8、DE＝AC＝6，
∴AE＝2，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝2，
作BF⊥AD于点F，

∵BA＝BD，
∴AF＝AD＝，
则BF＝＝＝3．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
6．某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件．为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件．
（1）如果童装店想每天销售这种童装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
（2）每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每件童装降价m元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；
（2）设每件童装降价x元，可获利y元，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．
【解答】解（1）设每件童装降价m元，根据题意，得（100﹣60﹣m）（20+2m）＝1050，
解得：m1＝5，m2＝25，
∵要使顾客得到较多的实惠，
∴取m＝25，
答：童装店应该降价25元．
（2）设每件童装降价x元，可获利y元，根据题意，得y＝（100﹣60﹣x）（20+2x），
化简得：y＝﹣2x2+60x+800
∴y＝﹣2（x﹣15）2+1250
答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA＝OC得出∠ACO＝∠OAC＝30°，再由AP＝AC得出∠P＝30°，继而由∠OAP＝∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，于是得到BE＝BC＝，CE＝3，根据勾股定理得到AC＝＝5，于是得到AP＝AC＝5．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B＝60°，BC＝2，
∴BE＝BC＝，CE＝3，
∵AB＝4+，
∴AE＝AB﹣BE＝4，
∴在Rt△ACE中，AC＝＝5，
∴AP＝AC＝5．
∴在Rt△PAO中，OA＝，
∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30°直角三角形的性质．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S△PAB＝8，并求出此时P点的坐标．

【分析】（1）由于抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣1或x＝3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使MA+MC的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x＝1代入即可得到点M的坐标；
（3）根据S△PAB＝8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣1或x＝3，
∴﹣1+3＝﹣b，
﹣1×3＝c，
∴b＝﹣2，c＝﹣3，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣2x﹣3．

（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小．
设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），
则，
解得：．
∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴当x＝1时，y＝﹣2．
∴抛物线对称轴上存在点M（1，﹣2）符合题意；

（3）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB＝8，
∴AB?|yP|＝8，
∵AB＝3+1＝4，
∴|yP|＝4，
∴yP＝±4，
把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1±2，
把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB＝8．
【点评】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．