第3讲 平行线及其判定
【知识扫描】
知识点一 平行线的定义
定义：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示。
平行线定义的要点：
（1）平行线定义的前提是“在同一平面内”，因为在空间中也存在两条不相交的直线，但它们不平行。
（2）平行线必须是直线，如果是线段或射线，它们即使不相交而不一定就是平行线。
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系。
知识点二 平行公理及其推论
1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
2. 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。即：如果a∥b，a∥c，则b∥c
知识点三 两直线平行的判定方法
方法1：同位角相等，两直线平行；
符号语言为：∵∠1＝∠2
∴a∥b
方法2：内错角相等，两直线平行；
符号语言为：∵∠2＝∠3
∴a∥b
方法3：同旁内角互补，两直线平行
符号语言为：∵∠3＋∠4＝180°
∴a∥b
【平行线判定中的基本模型】
模型
解析
若∠1＝∠2，则a∥b
若∠1＝∠2，∠1＋∠3＝180°，则a∥b∥c
若∠1＝∠2＋∠3，则a∥b
若∠1＋∠2＋∠3＝360°，则a∥b
【典型例题】
考点一 平行线的定义
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
【变式】在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．相交或垂直或平行
考点二 平行公理及其推论的运用
【例2】下列语句：正确的个数是（ ）
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式】下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种；
（4）不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点三 平行线判定方法综合应用
【例3】如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4
B．∠4＝∠5
C．∠1＝∠3
D．∠1＋∠4＝180°
【变式】如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（ ）个．
①∠1＝∠4； ②∠3＝∠5；
③∠2＋∠5＝180°； ④∠2＋∠4＝180°
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图，∠ABC+∠BGD＝180°，∠1＝∠2．
求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC＋∠BGD＝180°，（已知）
∴_________（______________________________）
∴∠1＝∠3 （______________________________）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴_________（______________________________）
∴EF∥DB （______________________________）
【例5】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD
【变式】如图，已知A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠D＝∠3．
（1）说明BD∥CE的理由．
（2）若∠C＝68°，∠DAC＝52°，求∠DBE的度数．
【例6】如图，已知∠B＋∠D＋∠BED＝360°，求证：AB∥CD。
【变式】如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，求证：AB∥ED
第3讲 平行线及其判定（巩固练习）
一、选择题。
1. 如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4
C．∠2＝∠3 D．∠2＋∠3＝180°
2. 如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（ ）个．
①∠1＝∠4； ②∠3＝∠5；
③∠2＋∠5＝180°； ④∠2＋∠4＝180°
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( )
A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
4. 我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
5. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
二、填空题。
6. 如图，∵∠1＝∠2，∴______∥______，理由是____________________
7. 如图，直线l与直线AB、CD分别相交于E、F，∠1＝105°，当∠2＝______°时，AB∥CD．
8. 如图所示直线AB，CD被直线EF所截，
（1）量得∠1＝80°，∠2＝80°，则判定AB∥CD，根据是_____________________；
（2）量得∠3＝100°，∠4＝100°，也判定AB∥CD，根据是___________________
9. 如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1＝48°，那么∠2＝_______°
10. 在同一平面内有2018条直线a1，a2，a3…，a2018，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，那么直线a1与直线a2018的位置关系是__________
三、解答题。
11. 如图已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE=∠AEB，AD与BC平行吗？为什么？
解：∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠ABE＝∠EBC（___________________________）
∵∠ABE＝∠AEB （___________________________）
∴∠______＝∠______（___________________________）
∴AD∥BC （___________________________）
12. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1＋∠2＝90°。
求证：DE∥BC．
13. 如图，将一长方形纸条ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，已知∠ABD＝70°，那么当∠BAE为多少时，才能使AB′∥BD？
14. 已知：如图，DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°．试猜想BC与AB有怎样的位置关系，并说明其理由．
15. 已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．
第3讲 平行线及其判定
【知识扫描】
知识点一 平行线的定义
定义：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示。
平行线定义的要点：
（1）平行线定义的前提是“在同一平面内”，因为在空间中也存在两条不相交的直线，但它们不平行。
（2）平行线必须是直线，如果是线段或射线，它们即使不相交而不一定就是平行线。
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系。
知识点二 平行公理及其推论
1. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
2. 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行。即：如果a∥b，a∥c，则b∥c
知识点三 两直线平行的判定方法
方法1：同位角相等，两直线平行；
符号语言为：∵∠1＝∠2
∴a∥b
方法2：内错角相等，两直线平行；
符号语言为：∵∠2＝∠3
∴a∥b
方法3：同旁内角互补，两直线平行
符号语言为：∵∠3＋∠4＝180°
∴a∥b
【平行线判定中的基本模型】
模型
解析
若∠1＝∠2，则a∥b
若∠1＝∠2，∠1＋∠3＝180°，则a∥b∥c
若∠1＝∠2＋∠3，则a∥b
若∠1＋∠2＋∠3＝360°，则a∥b
【典型例题】
考点一 平行线的定义
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条线段是平行线
B．不相交的两条直线是平行线
C．不相交的两条射线是平行线
D．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
【解答】解：根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
A，B，C错误；D正确；
故选：D．
【变式】在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．相交或垂直或平行
【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；
故选：C．
考点二 平行公理及其推论的运用
【例2】下列语句：正确的个数是（ ）
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：B．
【变式】下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种；
（4）不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）在同一平面内，过直线外一点一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种是正确的；
（4）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原来的说法错误．
故说法中错误的个数是3个．
故选：C．
考点三 平行线判定方法综合应用
【例3】如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4
B．∠4＝∠5
C．∠1＝∠3
D．∠1＋∠4＝180°
【解答】解：若∠2＝∠4，则a∥b，故A选项能判定a∥b；
若∠4＝∠5，则a∥b，故B选项能判定a∥b；
若∠1＝∠3，则不能得到a∥b，故C选项不能判定a∥b；
若∠1＋∠4＝180°，则a∥b，故D选项能判定a∥b；
故选：C．
【变式】如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（ ）个．
①∠1＝∠4； ②∠3＝∠5；
③∠2＋∠5＝180°； ④∠2＋∠4＝180°
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠1＝∠4，
∴a∥b；
∵∠3＝∠5，
∴a∥b，
∵∠2＋∠5＝180°，
∴a∥b， ∴能判断直线a∥b的有3个，
故选：C．
【例4】在横线上完成下面的证明，并在括号内注明理由．
已知：如图，∠ABC＋∠BGD＝180°，∠1＝∠2．
求证：EF∥DB．
证明：∵∠ABC＋∠BGD＝180°，（已知）
∴_________（______________________________）
∴∠1＝∠3 （______________________________）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴_________（______________________________）
∴EF∥DB （______________________________）
【解答】证明：∵∠ABC＋∠BGD＝180°，（已知）
∴DG∥AB（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴EF∥DB（同位角相等，两直线平行）
【例5】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD
【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知）
∴CE∥FB（同位角相等，两直线平行）
∴∠4＝∠AEC（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠4 （已知）
∴∠3＝∠AEC（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【变式】如图，已知A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠D＝∠3．
（1）说明BD∥CE的理由．
（2）若∠C＝68°，∠DAC＝52°，求∠DBE的度数．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2
∴AD∥BE，
∴∠D＝∠DBE，
∵∠3＝∠D，
∴∠3＝∠DBE，
∴BD∥CE；
（2）∵AD∥BE
∴∠EBC＝∠DAC＝52°，
又∵BD∥CE
∴∠ABD＝∠C＝68°，
∵∠ABD＋∠DBE＋∠EBC＝180°
∴∠DBE＝180°－∠ABD－∠EBC＝60°
【例6】如图，已知∠B＋∠D＋∠BED＝360°，求证：AB∥CD。
【解答】解：AB∥CD．
过点E作EF∥AB
∴∠ABE＋∠BEF＝180°
∵∠ABE＋∠BED＋∠EDC＝360°
∴∠FED＋∠EDC＝180°
∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥CD．
【变式】如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，求证：AB∥ED
【解答】解：AB∥CD．
过点E作EF∥AB，
∴∠ABE＋∠BEF＝180°，
∵∠ABE＋∠BED＋∠EDC＝360°．
∴∠FED＋∠EDC＝180°，
∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥CD
第3讲 平行线及其判定（巩固练习）
一、选择题
1. 如图，下列条件能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4
C．∠2＝∠3 D．∠2＋∠3＝180°
【解答】解：A、∠2＝∠1不符合三线八角，不能判定AB∥CD；
B、∠1与∠4不是直线AB、CD构成的内错角，不能判定AB∥CD；
C、∠3＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD；
D、∠2＋∠3＝180°，不能判定AB∥CD．
故选：C．
2. 如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（ ）个．
①∠1＝∠4； ②∠3＝∠5；
③∠2＋∠5＝180°； ④∠2＋∠4＝180°
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠1＝∠4，
∴a∥b；
∵∠3＝∠5，
∴a∥b，
∵∠2＋∠5＝180°，
∴a∥b，
∴能判断直线a∥b的有3个，
故选：C．
3. 同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( )
A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c
∴a∥c，
∵c⊥d，
∴a⊥d．
故选C．
4. 我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【解答】A
5. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【解答】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，也可以得到∠1＝∠2．
故选：A．
二、填空题
6. 如图，∵∠1＝∠2，∴______∥______，理由是____________________
【解答】解：如图，∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，理由是内错角相等，两直线平行．
7. 如图，直线l与直线AB、CD分别相交于E、F，∠1＝105°，当∠2＝______°时，AB∥CD．
【解答】解：若AB∥CD，
∴∠2＋∠3＝180°，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＋∠1＝180°，
∵∠1＝105°，
∴∠2＝75°，
则当∠2＝75°时，AB∥CD
9. 如图所示直线AB，CD被直线EF所截，
（1）量得∠1＝80°，∠2＝80°，则判定AB∥CD，根据是_____________________；
（2）量得∠3＝100°，∠4＝100°，也判定AB∥CD，根据是___________________
【解答】解：（1）∵∠1＝80°，∠2＝80°，
∴∠1＝∠2＝80°，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
（2）∵∠3＝100°，∠4＝100°，
∴∠3＝∠4，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
9. 如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1＝48°，那么∠2＝_______°
【解答】解：如图，∵AB⊥BC，∠1＝48°，
∴∠3＝90°－48°＝42°．
又∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝42°．
10. 在同一平面内有2018条直线a1，a2，a3…，a2018，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，那么直线a1与直线a2018的位置关系是__________
【解答】解：如图a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，
∴a1⊥a2，a1⊥a3，a1∥a4，a1∥a5，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，
∵2018÷4＝504……2，
∴a1⊥a2018
三、解答题
11. 如图已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE=∠AEB，AD与BC平行吗？为什么？
解：∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠ABE＝∠EBC（___________________________）
∵∠ABE＝∠AEB （___________________________）
∴∠______＝∠______（___________________________）
∴AD∥BC （___________________________）
【解答】解：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠ABE＝∠EBC（角平分线的意义），
∵∠ABE＝∠AEB （已知），
∴∠AEB＝∠EBC （等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
12. 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1＋∠2＝90°。
求证：DE∥BC．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1＋∠3＝90°（垂直定义）．
∵∠1＋∠2＝90°（已知），
∴∠3＝∠2（同角的余角相等）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
13. 如图，将一长方形纸条ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，已知∠ABD＝70°，那么当∠BAE为多少时，才能使AB′∥BD？
【解答】解：∵△AB′E由△ABE翻折而成，
∴∠BAE＝∠B′AE，∠ABD＝70°，
∵AB′∥BD，
∴∠ABD＋∠BAE＋∠B'AE＝180°
∴2∠BAE＋70°＝180°
∴∠BAE＝55°．
14. 已知：如图，DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°．试猜想BC与AB有怎样的位置关系，并说明其理由．
【解答】解：BC⊥AB．理由如下：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∵DA⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴∠B＝180°－∠A＝180°－90°＝90°，
∴BC⊥AB．
15. 已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．
【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知）
∴CF∥BD（内错角相等，两直线平行）
∴∠6＋∠2＋∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠5＝∠6，∠1＝∠2（已知）
∴∠6＋∠2＋∠3=∠5＋∠1＋∠3＝180°（等量代换）
∴ED∥FB（同旁内角互补，两直线平行）
