课件38张PPT。2.1.1 合情推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.梳理 (1)定义：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的
都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理.
(2)特征：由 到 ，由 到 .部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般知识点二 类比推理思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火
星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？答案 类比推理.梳理 (1)定义：由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些
特征，推出 也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
(2)特征：由 到 的推理.类似已知另一类对象特殊特殊知识点三 合情推理思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理.
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 、
、 、 ，再进行 、 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理.
(2)推理的过程观察分析比较联想归纳类比猜想1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( )
2.由个别到一般的推理为归纳推理.( )
3.在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究命题角度1 图形中的归纳推理
例1 (1)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是类型一 归纳推理及应用A.B*D，A*D B.B*D，A*C
C.B*C，A*D D.C*D，A*D解析 由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.解析答案√(2)n个连续自然数按规律排列(如图所示).根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是
A.↓→ B.→↑
C.↑→ D.→↓解析 观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为↓→.解析答案√反思与感悟 对于图形中的归纳推理，找准规律特征是解题的关键.跟踪训练1 (1)设n棱柱有f(n)个对角面，则(n＋1)棱柱的对角面的个数f(n＋1)等于
A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2解析答案√(2)观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n个图形是由n个正方形组成.解析答案通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有___根；第n个图形中，火柴棒有______根.133n＋1解析 第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n个图形有(3n＋1)根火柴棒.命题角度2 数列中的归纳推理解答反思与感悟 数列中的归纳问题要充分利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，这是检验归纳猜想是否正确的根据.跟踪训练2 若在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2(n∈N*)，则猜想an等于解析答案√解析 ∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
…，
猜想an＝2n－2(n∈N*).命题角度1 平面几何性质类比立体几何性质类型二 类比推理及应用√解析答案反思与感悟 平面问题类比空间问题时，注意性质的相同性和相似性，注意等面积类比等体积，线线距离类比线面距离或者面面距离.解答命题角度2 等差数列的性质类比等比数列的性质解析答案反思与感悟 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加、减法运算对应等比数列的乘、除法运算，等差数列的乘、除法运算对应等比数列的乘方、开方运算.跟踪训练4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则
T4，___，___， 成等比数列.解析 等差数列类比等比数列时，和类比积，减法类比除法.解析答案达标检测12341.数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为
A.28 B.32
C.33 D.27答案√5解析 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，
所以猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故选B.解析2.若f(n)＝n2＋n＋21，n∈N*，则下列说法正确的是_____.
①f(n)可以为偶数；
②f(n)一定为奇数；
③f(n)可能为质数；
④f(n)一定为合数.解析 f(1)＝12＋1＋21＝23，f(2)＝22＋2＋21＝27，…，f(n)＝n(n＋1)＋21，
所以f(n)有质数，也有合数，一定不是偶数，
所以f(n)一定是奇数.解析答案12345②③3.我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，用图形表示如图所示，则第n个正方形中的点数是___.解析答案12345解析 由题意知，第n个正方形中的点数为n2.n24.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正三棱锥的类似属性是____________________________________________________
_______________.12345答案解析 等腰三角形的底与腰可分别与正三棱锥的底面与侧面类比.解析 各侧面与底面所成的二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等12345答案解析123451.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为规律与方法本课结束 课件37张PPT。2.1.2 演绎推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.了解演绎推理的含义及其重要性.
2.掌握演绎推理的基本模式，并进行一些简单的推理.
3.利用具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的区别和联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 演绎推理思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.思考2 演绎推理的结论一定正确吗？答案 所得结论不一定正确.梳理 演绎推理的定义特点一般到特殊某个特殊情况下知识点二 三段论思考1 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案 分为三段.
大前提：所有的金属都能导电.
小前提：铜是金属.
结论：铜导电.答案 大前提为：奇函数的定义，即若对于函数f(x)的定义域中任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数.梳理 三段论的一般模式已知的一般原理所研究的特殊情况知识点三 演绎推理与合情推理的关系1.演绎推理的结论一定正确.( )
2.在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断.( )
3.大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的.( )[思考辨析 判断正误]×√√题型探究例1 (1)演绎推理是
A.由部分到整体、由个别到一般的推理
B.由特殊到特殊的推理
C.由一般到特殊的推理
D.由一般到一般的推理类型一 演绎推理概念的理解解析 由演绎推理的定义可知.解析答案√(2)《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是
A.类比推理 B.归纳推理
C.演绎推理 D.一次三段论解析 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用了五次三段论，属于演绎推理的形式.解析答案√反思与感悟 演绎推理是从一般到特殊的推理，这是它不同于其它推理的根本区别.跟踪训练1 给出下列说法：
①演绎推理的特征为：前提为真时，结论一定为真；
②演绎推理的特征为：前提为真时，结论可能为真；
③由合情推理得到的结论一定为真；
④演绎推理和合情推理都可以用于证明；
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明.
其中正确说法的序号为_____.解析答案②⑤解析 结合合情推理与演绎推理的概念判断.例2 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；类型二 把演绎推理写成三段论解 平行四边形的对角线互相平分， 大前提
菱形是平行四边形， 小前提
菱形的对角线互相平分. 结论解答(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；解 等腰三角形的两底角相等， 大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角， 小前提
∠A＝∠B. 结论解答 (3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.解 在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，
大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. 结论解答 反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练2 (1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是___.答案②(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：______________________________________.
小前提：______________________.
结论：____________________________.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线例3 (1)“因为对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝ 是对数函数(小前提)，所以y＝ 是增函数(结论)”.上面的推理
A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提都错导致结论错类型三 演绎推理的实际应用√解析答案解析 对数函数y＝logax(x>0)不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的.(2)用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.证明证明 如图所示，延长AB，DC交于点M.平行线分线段成比例(大前提)，
在△AMD中，AD∥BC(小前提)，等量代换(大前提)，
AB＝CD(小前提)，
MB＝MC(结论).
在三角形中，等边对等角(大前提)，MB＝MC(小前提)，
∠1＝∠2(结论).
等量代换(大前提)，
∠ABC＝π－∠1，∠DCB＝π－∠2(小前提)，
∠ABC＝∠DCB(结论).反思与感悟 在进行演绎推理时，小前提往往是我们进行推理的条件，大前提是推理的依据，然后由条件依据大前提得出结论.三段论推理是演绎推理的一般模式，同时也是一种最常用的推理.对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，有时把一个三段论的结论作为另一个三段论的前提.三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用.解答跟踪训练3 用三段论形式写出求解下列题目的主要解答过程.
已知不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，求实数a的值.解 推理的第一个关键环节：
大前提：若不等式f(x)<0的解集为(m，n)，
且f(m)，f(n)有意义，则m，n是方程f(x)＝0的实数根.
小前提：不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，
且x＝－1与x＝2都使|ax＋2|－6有意义.
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根，
所以|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立.
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a>0，那么x＝±a.
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6.
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
故可得出结论a＝－4.达标检测12341.指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数.以上推理
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.正确答案√5解析 此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.解析2.推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是
A.① B.②
C.③ D.①和②解析 大前提为①，小前提为②，结论为③.解析答案12345√3.用演绎推理证明y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数时，大前提是____________.答案12345减函数的定义12345答案解析 由三段论形式得，结论应为log2x－2≥0.解析log2x－2≥012345答案解析大前提解析 大前提应为指数函数y＝ax(a>1)为增函数.1.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是明显的，则可以省略.
2.合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
3.合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.规律与方法本课结束 课件44张PPT。2.2.1 综合法和分析法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法.
2.了解综合法和分析法的基本模式、思考过程及特点.
3.掌握直接证明的一般步骤，会用综合法和分析法证明一些简单的问题.
4.通过具体案例，体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 综合法思考 (1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案 综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.(2)综合法的思维过程是怎样的？综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？答案 综合法的思维过程是由已知走向求证，即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，达到待征明的结论或需求的问题.综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的必要条件，综合法的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论，其实质是命题“p?q”中已知p寻找q，即寻找必要条件.梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 成立，这种证明方法叫做综合法.
(2)综合法的框图表示定理定义(P表示 、已有的 、 、 等，Q表示 )公理推理论证结论已知条件定义定理公理所要证明的结论知识点二 综合法的特点1.从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，由因导果，其逐步推理实质上是寻找它的 .
2.用综合法证明不等式，其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、形式简洁.必要条件知识点三 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？答案答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.梳理 (1)定义：从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 、
、 、 等)，这种证明方法叫做分析法.充分条件结论已知条件定理定义公理(2)分析法的框图表示知识点四 综合法与分析法的联系思考 (1)综合法和分析法的本质区别是什么？答案 综合法是由因导果法，每步寻找的是必要条件；而分析法是执果索因法，每步寻找的是充分条件.(2)在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答案 对于思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q，再根据结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若P?Q，则结论得证.
在解题时常用分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程.梳理 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点： 是“执果索因”，它的优点是利于思考，解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；
是“由因导果”，它的优点是易于表述、条理清晰、形式简洁，能较简捷地解决问题，缺点是不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程.分析法综合法1.综合法是执果索因的逆推证法.( )
2.分析法就是从结论推向已知.( )
3.分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究命题角度1 综合法在证明等式、不等式问题中的应用类型一 综合法证明证明证明 因为a，b，c∈(0，＋∞)，又上述三个不等式中等号不能同时成立，上式两边同时取常用对数，解答命题角度2 综合法在立体几何中的应用
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点.(1)若线段AC上存在点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；解 点D是AC的中点，理由如下：
∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，
∴AB∥DE，
∵在△ABC中，E是BC的中点，
∴D是AC的中点.证明(2)证明：EF⊥A1C.证明 ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AA1，
∴四边形A1ACC1是菱形，
∴A1C⊥AC1，
∵AA1⊥底面ABC，AB?平面ABC，
∴AA1⊥AB，
又AB⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C1C，
∴AB⊥平面AA1C1C，
∵A1C?平面AA1C1C，
∴AB⊥A1C.∵AB∩AC1＝A，AB，AC1?平面ABC1，
∴A1C⊥平面ABC1，
又BC1?平面ABC1，
∴A1C⊥BC1.
又∵E，F分别为BC，CC1的中点，
∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.反思与感悟 把立体几何中线面平行、垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向.解答这类问题首先要判断线线之间的位置关系，然后利用几何体的性质进行推理或计算.证明跟踪训练2 如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：(1)AF∥平面BCE；证明 如图，取CE的中点G，连接FG，BG.∵F为CD的中点，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB.∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG.
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE.证明(2)平面BCE⊥平面CDE.证明 ∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF.
又CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE，
∴AF⊥平面CDE.
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
又∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.类型二 分析法证明反思与感悟 分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，综合法是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，综合法的实质是分析法的逆过程.利用分析法一定要注意证明命题的思维特点以及分析法步骤的特殊性，一定要恰当使用“要证”“只需证”“即证”等词语.证明 由于x1，x2∈R时， ，所以由基本不等式知，即证 ，即证 －(x1＋x2)≥ －(x1＋x2)，只需证 . 显然成立，故原结论成立.达标检测12341.设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，a＋b＝2，则必有答案5解析√解析答案12345√当x＝－2时，f(－2)＝1>0，排除D，故选C.3.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件__________________________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形).答案12345对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证A1C⊥B1D1，
只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，
因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，
故只需证B1D1⊥A1C1即可.解析12345答案解析312345证明12345只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.规律与方法本课结束 课件39张PPT。2.2.2 反证法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.了解间接证明的基本方法——反证法.
2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.
3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.
4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 反证法的定义思考 在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论.
A.①② B.②③
C.①②③ D.①②④√梳理 一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是 的一种基本方法.原命题矛盾间接证明知识点二 反证法的理论依据思考 反证法解题的实质是什么？答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳理 由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性.根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法.也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立.知识点三 反证法的一般步骤思考 (1)反证法常见的主要矛盾有哪些？答案 常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾.(2)反证法适用范围主要有哪些方面？答案 一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等.梳理 反证法的证题步骤
(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立.
(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等.
(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立.1.反证法属于间接证明问题的方法.( )
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究例1 反证法是
A.从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B.对其否命题的证明
C.对其逆命题的证明
D.分析法的证明方法类型一 反证法概念的理解答案解析√解析 反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立.反思与感悟 对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立.跟踪训练1 (1)命题“在△ABC中，若 ∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是
A.aC.a＝b D.a≥b答案解析√解析 “a>b”的否定应为“a＝b或a①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数.答案解析解析 “a，b，c中存在偶数”的反面就是“a，b，c中没有偶数”，即“a，b，c都不是偶数”.②命题角度1 证明一般性命题类型二 反证法的应用证明反思与感悟 用反证法证明数学命题步骤：
第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；
第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；
第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.证明从而a＝b＝c，这与a，b，c不成等差数列矛盾，证明命题角度2 证明“至多、至少、唯一性”问题又∵x，y都是正实数，∴x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题结论正确.反思与感悟 常用的“原结论词”与“反设词”如下表：跟踪训练3 已知函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根α，β，
即f(α)＝f(β)＝0，且α≠β，不妨设α>β，
∵f(x)在区间[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
∴f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明命题角度3 证明否定性命题∴2ac＝bc＋ab. ①
又a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c. ②
∴2ac＝b(a＋c)＝b·2b，
∴b2＝ac. ③
由②，得4b2＝(a＋c)2，
把③代入上式得4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
把a＝c代入②得b＝a，故a＝b＝c，
∴公差为0，这与已知矛盾.反思与感悟 证明否定性问题常用反证法，例如证明异面直线，可以先假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.证明所以假设不成立，所以原结论成立.达标检测1234答案5解析√解析答案123452.异面直线在同一个平面上的射影不可能是
A.两条平行直线 B.两条相交直线
C.一个点与一条直线 D.同一条直线解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；
BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；
BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.√3.由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过________来证明原命题的正确性.答案12345逆否命题12345答案解析4.用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是____________.a≠1或b≠1解析 结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”.12345证明5.证明：方程2x＝3有且仅有一个实根.∴方程2x＝3至少有一个实根.
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾.
∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立.用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.规律与方法本课结束 课件30张PPT。章末复习第二章 推理与证明学习目标
1.理解合情推理和演绎推理.
2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.
2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.部分整体个别一般特殊特殊一般特殊(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理，
② ——所研究的特殊情况，
③ ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 ：
① 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.综合法分析法综合法分析法反证法大前提小前提结论1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )
2.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )
3.一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*).( )
4.在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.( )[思考辨析 判断正误]×√×√5.在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )
6.命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了综合法.( )×√题型探究例1 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________.类型一 合情推理的应用f(n)＝n3答案解析解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列问题中的常见类型.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式应为______________________________.n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2答案解析解析 把已知等式与行数对应起来，则每个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n－1；右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1＝1 1 1
2＋3＋4＝9 2 3
3＋4＋5＋6＋7＝25 3 5
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 4 7
…… …… ……
所以n＋(n＋1)＋…＋[n＋(2n－1)－1]＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
故填n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.例2 已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.类型二 综合法与分析法证明 构造函数f(x)＝(bc－1)x－b－c＋2(x∈(－1,1))，
则f(1)＝(bc－1)－b－c＋2＝(b－1)(c－1).
∵|b|<1，|c|<1，∴f(1)>0.
又∵bc－1<0，∴f(x)在(－1,1)上为减函数.
∴f(x)在(－1,1)上恒大于0.
∵|a|<1，∴f(a)>0.
∴(bc－1)a－b－c＋2>0，即abc＋2>a＋b＋c.证明反思与感悟 根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函数问题，再利用函数的图象与性质解决问题.跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明 要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
即需证a2－ab＋b2>ab成立.
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立.
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
所以(a－b)2>0显然成立.
即a3＋b3>a2b＋ab2.证明类型三 反证法证明 假设x0是f(x)＝0的负根，证明所以假设不成立.
故方程f(x)＝0没有负根.反思与感悟 当结论为否定形式的命题时，常常借助于反证法进行证明，如将方程f(x)＝0没有负根，假设为方程f(x)＝0存在负根x0，然后利用已知条件和假设结论进行推理，推出的结果同已知条件或已成立的事实矛盾，从而得出“假设不成立”的结论.跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0且Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.证明达标检测12341.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为
A.9(n＋1)＋n＝10n＋9 B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1 D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10答案√解析解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
第n(n∈N*)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.5答案解析√12345123453.下列关于否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是
A.有一个解 B.有两个解
C.至少有三个解 D.至少有两个解答案√解析 “至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C.解析12345答案4.在等差数列{an}中，2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*).类比以上结论，在等比数列{bn}中，类似的结论是_________________________.12345答案5.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________________________________成立.b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析12345解析 在等差数列{an}中，由a10＝0，得
a1＋a19＝a2＋a8＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0(n<19，n∈N*)，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1.
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.
相应地，在等比数列{bn}中，则可得b1b2…bn＝b1b2…·b17－n(n<17，n∈N*).12345规律与方法1.归纳推理和类比推理都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．本课结束
