课件35张PPT。3.1.1 数系的扩充和复数的概念第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念学习目标
1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念及其代数形式.
3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.
4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如x2＋1＝0，为此，人们引进一个新数i，并且规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.知识点二 复数的概念与分类思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数.梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 .
②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式.
(2)复数集
①定义： 所成的集合叫做复数集.
②表示：通常用大写字母 表示.虚数单位虚部z＝a＋bi全体复数C实部z知识点三 两个复数相等的充要条件思考 由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案 不能.当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.梳理 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是 .a＝c且b＝d知识点四 复数的分类(2)集合表示：1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
2.复数z＝bi是纯虚数.( )
3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究A.0 B.1
C.2 D.3类型一 数系的扩充与复数的概念解析答案√(2)给出下列四个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题.
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题.
对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题.
对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题.解析答案√反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.跟踪训练1 下列命题：
①1＋i2＝0；
②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
③两个虚数不能比较大小.
是真命题的为_____.(填序号)解析答案①③解析 ②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错.
所以①③正确.类型二 复数的分类解答解 复数z是虚数的充要条件是∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数.解答解 复数z是纯虚数的充要条件是∴当m＝3时，复数z是纯虚数.(2)纯虚数.解答虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是引申探究
1.若本例条件不变，m为何值时，z为实数.∴当m＝－2时，复数z是实数.解得m＝3或－2.3或－2解析答案反思与感悟 根据复数的定义，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.要充分理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的另一个必要条件是b≠0，计算中分母不为0也不可忽视.跟踪训练2 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；解答故当m＝1时，z是零.(2)纯虚数.解答故当m＝0时，z是纯虚数.类型三 复数相等及应用解答解 将原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0.例3 若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值.反思与感悟 已知两个复数相等求参数值的问题，可根据相等的定义将其转化为方程(组)来求解.当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等.跟踪训练3 (1)满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为
A.x＝0且y＝3 B.x＝0且y＝－3
C.x＝5且y＝3 D.x＝3且y＝0答案√解析(2)已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.解答解 由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，达标检测12341.已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A.1 B.2
C.3 D.0答案√5解析 易知①正确，②③错误，故选A.解析解析答案12345√解析答案√123454.3i2＋7i的实部为___，虚部为___.12345答案解析 3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.解析－3712345答案解析5.已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝____.－1解得m＝－1.1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.规律与方法本课结束 课件46张PPT。3.1.2 复数的几何意义第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念学习目标
1.了解复数z、复平面内的点Z、向量 之间的一一对应关系.
2.理解并掌握复数的几何意义.
3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复平面的定义思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.思考2 判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.答案 ①②③正确，④⑤错误.
因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错.
因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以⑤错.梳理 如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做
，y轴叫做 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复平面虚轴实轴知识点二 复数的几何意义思考 平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？答案 向量的起点是原点.梳理 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量____是一一对应的.Z(a，b)知识点三 复数的模思考 (1)复数的模一定是正数吗？答案 不一定，复数的模是非负数，即|z|≥0.
当z＝0时，|z|＝0；
反之，当|z|＝0时，必有z＝0.(2)若复数z满足|z|＝1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？答案 点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆.梳理 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为 ，则向量 的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作 或 .由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝
________(r≥0，r∈R).|z||a＋bi|1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )
2.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( )[思考辨析 判断正误]√×题型探究例1 (1)对于复平面，下列说法错误的是
A.实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上
B.虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上
C.第一象限的点都表示实部为正数的虚数
D.实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限类型一 复平面的相关概念解析答案√解析 原点是虚轴上的点，但它表示实数.(2)下列命题为假命题的是
A.复数的模是非负实数
B.复数等于零的充要条件是它的模等于零
C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|解析 D中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错.解析答案√解析答案－3i解析答案(4)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)，则|z|＝____.反思与感悟 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解.跟踪训练1 已知复数z＝m－2－(4－m2)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为
A.0 B.2
C.－2 D.±2解析答案解析 当点在虚轴上时，实部m－2＝0，∴m＝2.√类型二 复数的几何意义解答解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.即当－3(1)第三象限；解答解 z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.(2)直线x－y－3＝0上.解答解 当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上.引申探究
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；解答即当2A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限解析 z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，
∵0∴点(m＋1，m－1)位于第四象限.√答案解析解答类型三 复数的模则1＋a2<4，所以a2<3，命题角度1 复数模的基本运算
例3 (1)如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是答案√解析答案解析反思与感悟 复数的模的几何意义是复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加以理解.解答解 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝1，命题角度2 复数模的几何意义答案解析A.圆面
B.以点C为圆心，半径等于1的圆
C.满足方程x2＋y2＝1的曲线√得|z|＝1，故到点C(1,2)的距离为1的点的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
该方程表示以点C为圆心，半径等于1的圆.反思与感悟 对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都为一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.答案解析又∵复数z对应的点在第二象限，达标检测12341.复数z与它的模相等的充要条件是
A.z为纯虚数 B.z是实数
C.z是正实数 D.z是非负实数答案√5解析 由z＝|z|，故z∈R且z≥0.解析解析答案123452.已知与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为e2，则它们对应的复数分别是
A.e1对应实数1，e2对应虚数i
B.e1对应虚数i，e2对应虚数i
C.e1对应实数1，e2对应虚数－i
D.e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i√解析 e1＝(1,0)，e2＝(0,1).解析答案123453.若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________.－1或4解析 由题意知m2－3m－4＝0，解得m＝－1或m＝4.12345答案解析12345解答5.已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，由已知得32＋a2<42，方法二 由|z|<4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，∴线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，123451.复数的几何意义规律与方法这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法(即数形结合法)解决，增加了解决复数问题的途径.
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；2.复数的模(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.本课结束 课件31张PPT。3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算学习目标
1.理解并掌握复数代数形式的加减运算法则.
2.了解复数代数形式的加法、减法的几何意义，掌握不同数集中加减运算法则的联系与区别.
3.在研究复数代数形式的加法、减法的几何意义时，充分利用向量加法、减法的性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数代数形式的加减法思考1 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.思考2 若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?答案 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小.梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝_______
，(a＋bi)－(c＋di)＝ .
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ .(a＋c)＋(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)(b＋d)i知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？梳理1.两个虚数的和或差可能是实数.( )
2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.
( )
3.复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立.
( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 复数的加、减法运算解答(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).解 (6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R).跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝_____.解析 ∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.解析答案6－2i(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝_____________(a，b∈R).－a＋(4b－3)i解析 (a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.解析答案∴z＝－4＋3i.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.－4＋3i类型二 复数加、减法的几何意义解答解 z1－z2＝(－2＋i)－(－1＋2i)＝－1－i.例2 已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.
(1)求z1－z2；(2)在复平面内作出z1－z2的运算结果所对应的向量.反思与感悟 复数的减法可以用向量来运算，同样可以运用平行四边形法则和三角形法则进行运算.跟踪训练2 已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限答案√解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，
故复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－3)，故选C.解析类型三 复数加、减法及其几何意义的综合运用解答解 由已知得，在复平面内复数z对应的点Z在以原点为圆心，半径为2的圆上.跟踪训练3 在平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是
A.2－3i B.4＋8i
C.4－8i D.1＋4i答案√解析∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.达标检测12341.计算(3＋i)－(2＋i)的结果为
A.1 B.－i
C.5＋2i D.1－i答案√5解析 (3＋i)－(2＋i)＝1.解析解析答案12345√解析答案√123454.若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2∈R)，则|z2－z1|＝
__________________.12345答案解析 ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，
∴z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，解析12345答案解析5.若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则2z1＝______.8＋2i解析 两式相加得2z1＝8＋2i.1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.
2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.规律与方法本课结束 课件45张PPT。3.2.2 复数代数形式的乘除运算第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算学习目标
1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.
2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.
3.理解并掌握共轭复数的性质及应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的乘法及运算律思考 请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律.答案 in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝ .
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3知识点二 共轭复数思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？梳理 (1)共轭复数的概念
一般地，当两个复数的 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .z的共轭复数用___表示.若z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝ .
(2)共轭复数的性质
①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于 对称.
②实数的共轭复数是 ，即z＝ ?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.实部相等，虚部互为相反数共轭虚数实轴它本身a－bi③若z≠0且z＋ ＝0，则z为 ，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.纯虚数知识点三 复数的除法法则1.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ＝
.
复数的除法的实质是 .若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
2.实数的平方根
设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数
当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数分母实数化3.虚数的平方根1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减.( )
2.两个共轭复数的和与积是实数.( )
3.若z1，z2∈C， 则z1＝z2＝0.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 复数的乘、除法运算命题角度1 复数乘、除法基本运算
例1 (1)i(1－i)2的值等于
A.－4 B.2
C.－2i D.4i解析 i(1－i)2＝i(－2i)＝2.答案√解析解析答案(2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限答案√解析解析答案(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝____.答案解析解析答案1＋i反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，解析答案2由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.解答命题角度2 复数乘除法的灵活运算
例2 计算下列各式：＝1＋(4i)4－i25＝257－i.答案解析解答答案解析解答反思与感悟 复数四则运算的解答策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.答案解析A.i B.－i
C.22 005 D.－22 005答案√解析(2)计算：解答②1＋in＋i2n＋…＋i2 000n(n∈N*).答案解析解答解 当n＝4k(k∈N*)时，原式＝ ＝2 001.当n≠4k(k∈N*)时，类型二 复数运算的综合应用解答解 设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，例3 试判断方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根，并解该方程.解得x0＝1，故该方程有实根.
根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,3－2i.反思与感悟 根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决.答案解析√答案解析(2)已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为
A.22 B.36
C.38 D.42√解析 ∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.∴p＋q＝38.类型三 共轭复数的概念及其应用A.－2－i B.－2＋i
C.2－i D.2＋i√答案解析(2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是____.答案解析答案解析解析 m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，
可得m＝2，n＝－2，i所以它的共轭复数为i.解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.达标检测12341.若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于
A.4＋2i B.2＋i
C.2＋2i D.3＋i答案√5解析 z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.解析解析答案12345√解析答案12345－112345答案解析12345解答5.计算：＝8＋8－16－16i
＝－16i.12345解答1.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.规律与方法本课结束 课件36张PPT。章末复习第三章 数系的扩充与复数的引入学习目标
1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件.
2.理解复数的几何意义.
3.掌握复数的相关运算.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的
和 .若b＝0，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi为虚数，若_____
，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴，
叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示
；各象限内的点都表示非纯虚数.实部虚部b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝c，b＋d＝0x轴y轴实数纯虚数(5)复数的模：向量 的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝________(r≥0，r∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；|a＋bi|(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i|z|③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝ .z2＋z1z1＋(z2＋z3)(ac－bd)＋(ad＋bc)i1.2i＋5的共轭复数为2i－5.( )
2.若m，n∈R，m＋(n－1)i＝1＋i，则m＝1，n＝2.( )
3.若z1，z2为复数，且z1－z2>0，则z1>z2.( )
4.复数z＝i(2＋i)对应的点在第二象限.( )
5.若|z－z1|＝r，则在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以z1的对应点为圆心，半径为r的圆.( )[思考辨析 判断正误]×√×√√√题型探究(1)z是实数；类型一 复数的概念解答解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
要使z为实数，需a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
解得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.(2)z是虚数；答案解 要使z为虚数，需a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
解得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.(3)z是0.解 要使z为0，需a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.引申探究
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.解答解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.解答解 设方程的实数根为m，类型二 复数的四则运算解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.解答(1)求复数z；∴a＝－1，即z＝－1＋3i.解答反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.解 z1＝z2(2＋i)，
(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，解答所以z2(5＋5i)＝±50，类型三 方程思想解答解 将b代入题中方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0，
整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0.
则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.例3 已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；解答解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
复数z在复平面内对应的点为Z，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.反思与感悟 方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上.解答解 方法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入已知等式中得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，达标检测1234A.(1,3) B.(3,1)
C.(－1,3) D.(3，－1)答案√解析所以它的实部为1，虚部为3，所以它在复平面内对应的点的坐标为(1,3).故选A.5答案解析123452.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√解析 复数i(1－2i)＝2＋i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限.故选A.答案则|z|＝1.故选A.解析12345√解答12345＝(1＋i)2－(－1)＝1＋2i.解答5.已知集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；12345解 由|z－1|≤1可知集合M在复平面内对应的点集所表示的图形是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部和边界，由|z－1－i|＝|z－2|可知集合N在复平面内对应的点集所表示的图形是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P表示的图形是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示.12345解答(2)求集合P中复数z的模的最大值和最小值.12345解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1，1234512345规律与方法1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化.
2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现.
3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.本课结束
